Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Les cordes de Bertrand

Les probas ont ceci de magique qu'elle est une ressource quasi inépuisable de paradoxes mathématiques pour briller en société (et/ou, se prendre la tête avec les gens trop sûrs de leur intuition) : le paradoxe de Monty Hall, paradoxe des anniversaires (vive les liens qui pointent dans les entrailles de ce blog) ou paradoxe des deux enfants pour ne citer que les plus simples. Ces paradoxes n'existent que pour prouver que les mathématiques sont plus fort que les intuitions. De l'autre côté, il y a le paradoxe de Bertrand, qui a le bon goût de montrer que les probabilités ne peuvent pas tout trancher (ce qui, à la longue, ont poussé les mathématiciens à revoir leur copie, pour créer une vraie théorie des probas qui sait ce qu'elle peut et ne peut pas faire).

L'histoire d'aujourd'hui se déroule donc en 1888. En intro de son bouquin "Calcul des probabilités", Joseph Bertrand, grand fan des paradoxes (le terme "paradoxe de Bertrand" peut renvoyer à trois problèmes différents), expose son plus célèbre. Quelle est la probabilité pour qu'une corde choisie au hasard dans un cercle ait une longueur supérieure à celle de son triangle inscrit ?

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Un cercle et son triangle inscrit (équilatéral) en noir. On tire au hasard une corde (dessinées en rouge ou en bleu) : quelle est la probabilité pour qu'elle soit comme les cordes en rouge : plus longue que les segments noirs ?

Première méthode
Choisissons au hasard une corde. Pour cela, on choisit un premier point au hasard sur la circonférence du cercle, puis on en choisit un deuxième (ce qui nous donne une corde).
Le choix du premier point (disons, A) permet de dessiner le triangle inscrit. Le choix du deuxième (B) détermine le cas dans lequel on se trouve. Soit B est sur l'arc opposé à A (arc en bleu), et la corde tirée au hasard est plus longue que le côté du triangle inscrit, soit B est sur l'un des deux autres arcs (en rouge)... Ces trois arcs sont de même longueurs, on a donc 1 chance sur 3 de piocher une corde plus grande que le côté du triangle (une chance sur trois de tomber sur l'arc en bleu).

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Méthode 1 : après le choix d'un point A sur la circonférence du cercle qui dessine un triangle inscrit en noir, on choisit un deuxième point B. Dans un tiers des cas, il sera choisit sur l'arc bleu.

Une façon équivalente de procéder est de choisir au hasard un angle entre 0 et 180° après avoir choisit le point A. Cet angle correspondra à l'angle entre la tangente en A et la corde tirée au hasard, qui sera plus grande que celle du triangle s'il est entre 60° et 120° : 1 chance sur 3.

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Choix de 1000 cordes par la méthode 1, et les centres correspondants

Deuxième méthode
Choisissons au hasard une corde. Pour cela, on choisit d'abord un rayon du cercle, puis on choisit un point sur ce rayon. Ce point est le milieu d'une corde : c'est cette corde qui nous intéresse !
Après avoir choisit le rayon, on peut dessiner le triangle inscrit qui lui est perpendiculaire (et qui passe par son milieu). Le point que l'on choisit sur ce rayon n'a que deux possibilité : ou bien il est à l'intérieur du triangle (et la corde est plus grande que le côté du triangle), ou bien il est à l'extérieur (et la corde est plus petite). Bref : on a une chance sur 2 de tomber sur une corde longue !

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Méthode 2 : après le choix d'une corde qui dessine un triangle inscrit, on choisit un point sur cette corde. En choisissant au hasard un point B sur ce rayon, on a une chance sur 2 de tomber sur sa moitié bleue.

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Choix de 1000 cordes par la méthode 2, et les centres correspondants

Troisième méthode
Choisissons au hasard une corde. Pour cela, on choisit au hasard un point dans le disque : c'est le milieu d'une corde, celle que l'on vient de tirer au hasard.
Dessinons un triangle inscrit à ce cercle, puis son cercle inscrit c. Si le point choisit au hasard dans le disque est à l'intérieur de ce cercle c, la corde correspondante sera grande. Inversement, si le point choisit est extérieur à c, la corde correspondante sera petite. Le cercle c a un rayon deux fois plus petit que le grand cercle, et donc, une surface 4 fois plus petite. Le point pris au hasard dans le grand disque a une chance sur 4 d'être dans le petit disque. On a donc une chance sur 4 de tomber sur une corde longue.

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Méthode 3 : en choisissant au hasard un point dans le disque, on a une chance sur 4 de tomber dans le petit disque rouge intérieur, qui correspond à une grande corde

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Choix de 1000 cordes par la méthode 3, et les centres correspondants (on voit au passage ce que donne une distribution uniforme de points dans un disque)

Bref...
Alors, quelle est la bonne réponse ? Une chance sur 2 ? Une chance sur 3 ? Une chance sur 4 ? Une chance sur 4+2√3 ? Une chance sur 42 ?
En fait, toutes les solutions sont bonnes, (ou plutôt, comme le disais Bertrand, "Aucune de trois n'est fausse, aucune n'est exacte, la question est mal posée") tant que le terme "au hasard" de l'énoncé ne sera pas plus précis que ça. On aimerait que toutes les cordes soient équiprobables (que chaque corde ait à priori autant de chance qu'une autre d'être choisie), mais pour cela, il faudrait commencer par choisir une mesure sur cet ensemble. Choisir une corde par ses extrémités, sa direction, son milieu ou sa longueur, ce n'est pas du tout équivalent.
- Dans la première méthode, on a supposé que l'angle entre la corde et la tangente en une extrémité a une distribution uniforme sur [0°,180°]
- Dans la première méthode, on a supposé que la longueur entre le milieu d'une corde et le centre du cercle distribution uniforme sur [0,R]
- Dans la troisième méthode, on a supposé que le milieu des corde a une distribution uniforme sur le disque.
Bref : trois points de vue inconciliables, il faut choisir l'un d'entre eux (et si l'on choisit au hasard l'une des trois méthodes, on trouve la probabilité de 13/36...)

Mais quelle est la meilleure, alors ?!
On en va quand même pas garder une question comme ça sans réponse unique ! En 1973, l'américain E.T. Jaynes utilise le principe de l'ignorance maximale pour trancher une bonne fois pour toute la question. Ce principe dit que pour répondre de manière objective à la question, il ne faut ajouter aucune information qui n'est pas dans l'énoncé, notamment la taille et la position du cercle que l'on considère. Si on considère une distribution sur un cercle, elle doit être la même sur les cercles plus petits.

Regardons par exemple ce qu'il se passe sur un cercle de rayon 1 quand on utilise la méthode 3, en posant dessus un cercle plus petit, de diamètre 1 : on voit clairement que la distribution des cordes n'est pas la même sur le grand et sur le petit cercle. Sur le grand cercle, les cordes sont plus rares au milieu que sur les bords, cette rareté se trouve décentrée sur le plus petit cercle. Cette méthode n'est donc pas LA meilleure des méthodes ! (Si on s'était contenté de diminuer la taille du cercle sans changer le centre, la méthode n'aurait pas été éliminée de la sorte)

methode3_test

Le même phénomène apparaît sur la première des méthodes (même si ça ne se voit pas au premier coup d'œil), contrairement à la méthode 2, qui passe grande gagnante le test !

La meilleure méthode est donc à priori la méthode du rayon aléatoire (ou de la direction aléatoire, équivalente), et donc, la réponse au problème de Bertrand est 1/2....

En fait, cette réponse est encore une fois un peu hâtive : même si seule la méthode 2 passe le test, il existe peut-être encore d'autre méthodes, encore inconnues, qui donneraient une probabilité différente, mais qui répondent au principe de l'ignorance maximale...


Sources :
Wikipédia est plutôt efficace sur la question

Posté par El Jj à 18:00 - Commentaires [2] - Permalien [#]
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Commentaires sur Les cordes de Bertrand

    Bravo !

    Cela me laisse sans voix. Ou sans doigt, comme on dit sur internet : ce paradoxe est exemplaire à bien des points de vue

    Posté par Robyn Slinger, 30 mai 2010 à 23:08 | | Répondre
  • J'suis assez vexé, j'aurais bien voulu que ça soit la première, elle me semblait plus naturelle. Dommage que la question soit pas tranchée...

    Posté par Gaurbhack, 31 mai 2010 à 22:39 | | Répondre
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