C'est l'été ! Qui dit "été" dit "vacances", et qui dit "programme estival" dit... Best-of de l'été ! Rien de mieux qu'un bon best-of pour célébrer le 200e article de ce blog (à un epsilon près) et l'agrégation de l'auteur du blog !
Je vous propose donc aujourd'hui un numéro spécial de "Les 100 plus grands...", intitulé "Les 23 plus grands problèmes de Hilbert" : le top 23 des plus grands problèmes mathématiques qui ont fait cogiter les plus grands esprits du siècle dernier !

Bon, en fait, des problèmes de Hilbert, il n'y en a que 23... C'est la liste des problèmes donnés par David Hilbert lors du deuxième congrès international de mathématiques, qui a eu lieu à Paris en 1900. (en fait, il n'en a donné que 10 lors de cette conférence, il a publié les autres un peu plus tard). Ces problèmes, qui tenaient encore en échecs les mathématiciens à l'aube du XXe siècle, étaient censés, selon leur auteur, marquer le siècle à venir. Hilbert a eu du nez, puisque sa liste a effectivement marqué le XXe siècle ! La grande majorité des problèmes ont été résolus, mais quelques un tiennent encore en haleine le public...

hilbert
David Hilbert, 1862-1943
Si on doit faire la liste des 23 plus grands mathématiciens ayant vécu, il aurait une très bonne place dans le classement !

Découvrons donc dans les grandes lignes de quoi parlent les 23 problèmes de Hilbert !
(Dans les grandes lignes, hein, parce que les mathématiques des années 1900 sont suffisamment avancées pour être incompréhensibles sans 5 années d'études post-bac...)

Problème n°1 : Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor ?
et son corollaire, l'ensemble des réels est-il bien ordonnable ?
Même s'il y a une infinité de nombres entiers et une infinité de nombres réels, on ne peut pas dire qu'il y en a "autant" (ces deux ensembles ne peuvent être mis en bijection). L'infini des réels est plus "grand" que celui des entiers. Mais y a-t-il quelque chose entre les deux, des infinis intermédiaires ? C'est l'objet de la question.
Hilbert pensait, à tord, que les deux problèmes étaient liés. En fait, pas du tout : l'ensemble des réels est bien ordonnable, si on accepte l'axiome du choix (1904, Zermelo), mais l'hypothèse du continu est indécidable dans la théorie des ensembles. Autrement dit : on ne peut pas montrer que l'hypothèse du continu est fausse (Gödel, 1938) et on ne peut pas montrer non plus qu'elle est vraie (Cohen, 1963)...
La question est donc résolu dans la théorie classique des ensembles, mais les recherches vont de bon train pour savoir quels axiomes naturels il faudrait ajouter à la théorie des ensembles pour pouvoir affirmer ou infirmer l'hypothèse du continu.

Problème n°2 : Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?
Un système formel est dit consistant si ses axiomes ne sont pas contradictoire, qu'il n'existe pas de théorèmes à la fois vrai et faux (ce qui, il faut l'avouer, serait embêtant). La question de Hilbert est de savoir si la consistance de l'arithmétique, qui est le plus simple des systèmes formel dans lequel on peut faire des choses intéressantes, peut être démontrée. La réponse est donnée par Gödel en 1931 : elle ne peut pas être démontrée sans sortir du cadre de l'arithmétique (cette proposition y est indécidable). Par contre, vu de l'extérieur (depuis la théorie des ensembles), l'arithmétique est bien consistante (Gentzen, 1936)

Le problème est encore considéré comme ouvert par certains mathématicien, personne ne sachant vraiment si les réponses données par Gödel et Gentzen répondent à la question posée...

Problème n°3 : La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ?
Étant donné deux polygones de même aire, on peut toujours découper le premier en petites pièces qui, une fois rassemblées, permettent d'obtenir le deuxième (ça, c'est le théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein, problème né de la façon dont Euclide a démontrer un théorème sur l'aire des triangles). Hilbert pose la question de la généralisation de ce théorème en 3 dimensions. On sait, par exemple, comment découper un cube pour en faire un prisme à base hexagonale, mais pas comment découper ce cube pour en faire un tétraèdre. Existe t-il des polyèdres que l'on ne peut pas obtenir en découpant un cube ?
Le troisième problème de Hilbert est celui qui a tenu le moins longtemps : la réponse a été donnée en 1902 par Max Dehn, élève de Hilbert : la réponse est non. Un cube et un tétraèdre ne sont pas équidécomposables !
[Découpages curvilignes et dissections tridimensionnelles]

Problème n°4 : Dans quelles géométries la ligne droite est-elle le plus court chemin d'un point à un autre ?
On connaît bien la géométrie du plan ou celle de l'espace : ce sont des géométries euclidiennes, et la plus courte distance entre deux points, c'est la ligne droite. On peut imaginer d'autres géométries, plus exotiques, où les choses ne sont pas aussi simples. La question de Hilbert a été jugée trop vague pour admettre une réponse digne de ce nom, mais depuis qu'elle a été reformulée, on garde le nom de Hammel (1877-1954) comme celui qui a résolu le problème.

Problème n°5 : Les groupes de Lie sont-ils toujours différentiables ?
Pour étudier certaines équations différentielles, le mathématicien norvégien Sophus Lie a créé lors d'un hiver froid de 1873, les groupes qui portent son nom : des structures algébriques qui permettent le calcul différentiel. La question de Hilbert est de savoir si la définition des groupes de Lie peut être simplifiée, en y enlevant tout le côté calcul diff. Autrement dit, un groupe continu est-il lisse ? Pour une fois, la réponse est oui, ce qui a été démontré dans le cas général par Montgomery et Zipin en 1953.

Problème n°6 : Axiomatiser la physique
Peut-on, à la manière de l'arithmétique ou de la théorie des ensembles, trouver des axiomes pour la physique ?
Le gros problème de cette question, c'est que la physique n'était pas si bien développée en 1900. Depuis, on a eu la théorie de la relativité, la physique quantique, donnant un tout autre sens à ce sixième problème. Le nom de John Von Neumann est grandement associé à ce problème, pour les travaux qu'il réalisé sur l'axiomatisation de la physique quantique.

Problème n°7 : Un nombre de la forme ab, avec a algébrique (différent de 0 et 1), et b algébrique irrationnel, est-il toujours transcendant ?
Un nombre est irrationnel s'il ne peut être écrit comme une fraction (par exemple, √2 est irrationnel) ; un nombre est algébrique s'il est racine d'un polynôme (par exemple, √2 est algébrique, puisqu'il est racine de X2-2) ; un nombre est transcendant s'il n'est pas algébrique (par exemple, π est transcendant). Plus de 150 ans se sont écoulés entre le moment où Leibniz s'est dit que les nombres transcendants pouvaient exister (1682) et celui où Liouville en a donné explicitement (1844). Avant 1900, on avait déjà su démontrer que les nombres e et π était transcendant, et on commençait a avoir de sérieux doute sur l'algébricité des nombres de la forme ab, quand a est algébrique et b algébrique irrationnel...
La question est donc de savoir si les nombres comme 2√2 (constante de Gelfond-Schneider) ou (-1)-i=eπ (constante de Gelfond) sont des nombres transcendants. La réponse a été donnée en 1934 par Gelfond et Schneider, qui ont travaillé de manière indépendante : le théorème qui porte leur nom répond par l'affirmative au septième problème de Hilbert (et donne des exemples faciles à fabriquer de nombres transcendants)

Problème n°8 : Démontrer l'hypothèse de Riemann
Vaste chantier, puisque le problème n'est toujours pas résolu aujourd'hui. Hilbert aurait dit à son sujet : « Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question serait : L'hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée ? ». La question est de savoir si les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2, et est intimement lié aux nombres premiers. SI on résumer le problème, on peut tout simplement dire que c'est le plus ardu des problèmes mathématique qui existe aujourd'hui...
Plusieurs résultats approchent la solution, mais jusqu'à aujourd'hui, rien de définitif. On sait qu'il y a une infinité de zéros non triviaux sur la droite x=1/2 (Hardy, 1914), on connaît leur densité moyenne (Hardy Littlewood, 1921 ; Selberg, 1942), et on a vérifié sur les 1013 premiers que la conjecture est bien vérifiée (2004). Une médaille Field a même été décernée, non pas pour la résolution, mais simplement pour une avancée dans le domaine (Deligne, 1978, qui a démontré que l'hypothèse de Riemann sur les corps finis).
[Une histoire de partie imaginaire]

Problème n°9 : Généraliser la loi de réciprocité quadratique à tout corps de nombres algébriques
La loi de réciprocité quadratique (1788) est un théorème sur les nombres entiers, qui permet entre autre de résoudre les équations diophantiennes de la forme x²+py=q, où x,y,p,q sont des entiers, et p et q sont donnés. La question est de généraliser cette loi (dans des corps de nombres plus gros que ℚ). Finalement, les recherches sur ce neuvième problème ont surtout apporté un très grand nombre de démonstrations différentes de la loi de réciprocité quadratique (aujourd'hui, plus de 230 démos différentes). On attribue la résolution de ce problème à Artin, avec son théorème de 1927. (Bien que ce théorème soit encore généralisable)

Problème n°10 : Existe-t-il un algorithme permettant de savoir si une équation diophantienne a ou non des solutions.
Une équation diophantienne, c'est une équation portant sur les nombres entiers. On apprend par exemple en terminale S (spé maths) comment déterminer si une équation de la forme ax+by=c possède une solution. Pour une équation de la forme x²+by+c, il faut faire appel à la loi de réciprocité quadratique pour déterminer l'existence de solution.  Ces deux exemples ne sont que des cas particuliers : pour une équation quelconque sur des nombres entiers, y a t-il toujours moyen de savoir s'il existe une solution ?
La question posée par Hilbert n'aura vraiment un sens qu'en 1930 (quand Church et Turing auront défini ce qu'est un algorithme). L'affaire est close en 1970, quand Matijasevic montre qu'un algorithme universel ne peut pas exister. Chez les équations diophantiennes, il n'y a que des cas particuliers...
[De ces polynômes qui ne servent pas forcément à quelque chose]

Problème n°11 : Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques.
On appelle forme quadratique un polynôme (à plusieurs variables), où chaque terme est un carré ou un produit de deux variables (par exemple, x2-2xy+y2 est une forme quadratique, mais x3+5a non, à cause du "3" ou à cause du "5a"). Dans le cas réel à deux dimensions, les formes quadratiques sont intimement liées aux coniques, étudiées bien avant nous par les grecs, qui les avaient déjà bien classifié. La classification des formes quadratiques réels (et même complexes) était au temps de Hilbert parfaitement comprises, mais beaucoup moins dans ses généralisations (sur d'autres corps de nombres).
Le tour du problème n'a toujours pas été fait, mais le principe local-global de Hasse (1923) est considéré comme répondant à la question.

Problème n°12 : Prolonger le théorème de Kronecker sur les corps non-abéliens.
Un bon problème de théorie des corps... Il a été résolu en 1922 par Takagi.

Problème n°13 : Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.
On préfère à cet énoncé sa variante : étant donné une fonction à 3 variables f, existe-il des fonctions u, v et w, à deux variables, tel que f(x,y,z)=u(v(x,y),w(x,z)).
La réponse est donnée en 1954 par Kolmogorov et son élève Arnold : non !

Problème n°14 : L'anneau des invariants de l'action d'un groupe algébrique sur un anneau polynomiale est-il toujours de type fini ?
Ca, c'est pointu ! En tout cas, il faudra attendre 1954 (Zariski) pour avoir une réponse affirmative dans le cas de la dimension 1 et 2. Nagata donnera en 1959 un contre-exemple, ce qui permet de répondre non au quatorzième problème de Hilbert.

Problème n°15 : Mettre en place les bases de la géométrie énumérative de Schubert
Le principe de continuité de Poncelet est de dire qu'une propriété vérifiée par une figure reste vraie même dans les cas limite. (Ce n'est qu'un principe, utilisé seulement pour conjecturer, et non pour démontrer). Par exemple, en géométrie algébrique, l'une des choses les plus fun que l'on y fait, c'est de compter le nombre d'intersection entre deux courbes. Deux droites se coupent toujours en exactement un point, sauf quand ces deux droites sont parallèles, le cas limite. Enfin, d'une certaine façon, il existe encore un point d'intersection, à l'infini (le genre de choses qui fonde la géométrie projective). Hermann Schubert a repris et amélioré le principe de Poncelet, mais les choses sont toujours assez vague en 1900. le problème est donc de fixer une bonne fois pour toute ce qu'a voulu dire Schubert. Le problème, résolu en 1930 par van der Waerden, est à l'origine de nouveaux pans des mathématiques, représenté par Grothendieck, le mathématicien hippie écolo médaillé Field, qui a fait parler de lui en février dernier.

Problème n°16 : Étudier la topologie des courbes et surfaces algébriques réelles
Ce problème s'intéresse aux courbes et aux surfaces algébriques, celles qui sont données par des équations de la forme f(x,y)=0 ou f(x,y,z)=0, où f est polynomiale. Par exemple, un cercle (d'équation x2+y2-1=0) ou une hyperbole (xy-1=0) sont des courbes algébriques. Hilbert pose en fait deux questions. La première est d'étudier le nombre maximal de composantes (le nombres de branches) d'une courbe algébrique de degré donné. Par exemple, un cercle possède une seule composante, alors qu'une hyperbole en possède 2. Un théorème sur la question existait déjà (Harnak, 1876), mais Hilbert demande en plus d'étudier la manière dont ses composantes sont situées les unes par rapport aux autres (dans le cas des courbes de degré 6), et de généraliser le théorème en dimension 3. La deuxième partie du problème s'intéresse à la forme des solutions des équations différentielles polynomiales à deux variables.
Ce problème est loin d'être classé : très peu d'éléments de réponses ont été donné...

Problème n°17 : Tout polynôme positif peut-elle s'écrire comme somme de carrés de fractions rationnelles ?
Par un raisonnement relativement simple, on peut montrer que tout polynôme P(X) (à une variable) positif (qui prend en tout point une valeur positive) peut s'écrire sous la forme d'une somme de deux polynômes au carré (qu'il existe des polynômes Q(X) et R(X) tels que P=Q2+R2). Hilbert a cherché à généraliser la question aux polynômes à plusieurs variables, mais a très vite trouvé que ce n'était pas toujours possible (par exemple, le polynôme x2y2(x2+y2-1)+1 ne peut pas s'écrire sous la forme d'une somme de carrés). Et si on cherche à les écrire comme somme de carrés de fractions rationnelles des fractions de polynômes ? C'est la question !
La réponse affirmative arrive par Artin, en 1927 (qui a résolu la même année deux problèmes de Hilbert). Delzell donnera en 1984 un moyen pour trouver la décomposition en question.
Le problème continue d'être étudié : on cherche par exemple le nombre minimal de carrés entrant dans la décomposition.

Problème n°18 : Comment paver l'espace à l'aide de polyèdres congruents ?
En disposant de tuiles carrées toutes identiques, on peut facilement carreler un sol (ou un plan infini). Même chose si les tuiles sont des triangles équilatéraux, des hexagones réguliers, des losanges. On peut également essayer de paver l'espace à l'aide de polyèdres tous identiques... Le dix-huitième problème de Hilbert s'intéresse à différents aspects du pavage de l'espace. Ce problème inclut notamment la conjecture de Kepler, sur l'empilement optimal des oranges dans le présentoir du commerçant du coin. La première partie du problème, sur l'existence d'un nombre fini de pavages compacts de ℝn, est résolu en 1910, par Bieberbach. La solution de la seconde partie, sur l'existence de polyèdres pavant l'espace vérifiant une propriété particulière, vient de Reinhardt et Heesch (1928). Enfin, la troisième partie, qui concerne la conjecture de Kepler, a été résolu grâce à l'informatique par Hales, en 1998.
[Une orange + une orange + une orange]

Problème n°19 : Montrer que le calcul des variations est nécessairement analytique
Les analystes disposent de tout une armée de concept pour dire à quel point une courbe est lisse : elle peut être continue, dérivable, dérivable à dérivée continue (C1), infiniment dérivable (C), analytique... La question est ici de savoir à quel point les solutions d'un système d'EDO (la généralisation à plusieurs variables des équations différentielles) sont lisse.
Bernstein et Rado signent en 1929 la résolution de ce problème.

Problème n°20 : Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite
Considérons une fonction continue définie sur le pourtour d'un cercle. Le problème de Dirichlet est prolonger cette fonction sur le disque entier de façon harmonique. Ce problème, étudié et résolu sous toutes ses coutures dans différent domaine, est l'objet dans une forme plus générale du vingtième problème.
C'est également Bernstein qui a résolu ce problème (1908).

Problème n°21 : Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fuchs (à mes souhaits)
Cet antépénultième problème parle d'une histoire d'équations différentielle qui devrait vérifier certaines conditions... La résolution du problème a été épique (avec des choses du genre "en fait, la solution que tu avais donné il y a 82 ans, elle est fausse !"), mais elle est terminé. On attribue la solution finale à Rörl, en 1957 et à Bolibrukh, en 1990...

Problème n°22 : Uniformisation des courbes algébriques complexes au moyen de fonctions automorphes
C'est dans les récents travaux de Poincaré que Hilbert a pioché ce problème là. C'est tout naturellement Poincaré qui s'occupera de la résolution de son problème (avec Koebe, 1908). Si on devait résumer de manière vraiment très grossière le problème, on peut dire que l'on cherche d'une certaine manière à réduire le nombre de variables de fonctions complexes...

Problème n°23 : Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations
Pour son dernier problème, Hilbert demande simplement "améliorez-moi le calcul des variations" (la partie de l'analyse fonctionnelle qui traite des problèmes de maximisation). Depuis 1900, cette branche des mathématiques a comme toute les autres bien progressé et donné naissance a des petits, donc ce problème peut être considéré comme partiellement résolu, et fait toujours l'objet de nouvelles recherches.

Problème n°24 : le problème mystère
En 2000, un historien allemand a retrouvé parmi les manuscrit de Hilbert un 24ème problème traitant de la théorie des preuves. Hilbert a préféré finalement ne pas l'inclure dans sa célèbre liste des 23...

Si on doit résumer les choses, sur les 23 problèmes, 14 sont parfaitement résolu (1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20, 21, 22), 5 sont résolues, même si les solutions sont améliorables (4, 9, 12, 15 et 18), 2 n'attendent pas de réponse (6 et 23), et seulement 2 attendent toujours une réponse digne de ce nom (8 et 16)...
Les mathématiciens du XXe ont donc bien bossé ! On se retrouve donc en l'an 3000 pour savoir si les mathématiciens du prochain millénaire auront réussi à résoudre tous les problèmes de Clay...


Sources :
Les 23 problèmes, commentés par Hilbert, sont disponible en anglais là-bas.
Pour le reste, j'ai croisé un maximum de sources venant des différents coin d'Internet, qui ont la particularité de ne pas toujours être d'accord sur l'intitulé des problèmes, leur objet, leur statut, leur découvreur et les dates qui vont avec.... On trouve en tout cas des choses intéressantes sur Bibm@th.net, sur le coin des amatheurs et sur wikipedia.en.