C'est toujours l'été, cela n'a pas changé depuis la semaine dernière. Qui dit "été" dit "farniente", et qui dit "fainéantise" dit évidemment "et si je reprenais le même thème que la semaine dernière ?"... Un best-of ! C'est donc tout naturellement que je propose un nouveau numéro de "Les 100 plus grands ..." !
Comme personne ne s'est manifesté comme ayant résolu le 8ème ou 16ème problème de Hilbert depuis la semaine dernière, je vais plutôt me tourner vers le XXI ème siècle et ses deux meilleurs remakes de la liste de Hilbert : les 7 célèbres problèmes du prix du millénaire et les un peu moins célèbres 18 problèmes de Smale. Voici donc "Les 21 plus grands problèmes du XXIeme siècle", histoire de se faire une idée sur les sujets les plus débattus dans les labos mathématiques du monde entier.

D'un côté, nous avons Steven Smale (Lauréat Field en 1966, à qui l'on doit la démonstration en dimension 5 et plus de la conjecture de Poincaré, ou à l'inversion de la sphère). A l'aube de l'an 2000, alors que le siècle des problèmes de Hilbert arrive à son terme, Vladimir Arnold (qui résolvait à 19 ans le 13e problème de Hilbert, décédé le 3 juin dernier) demande à Smale (et entre autres) une liste de problèmes pour le XXIe siècle. Après un brainstorming hilbertien, il propose le 8 août 1998 une liste des 18 problèmes de mathématiques les plus importants, selon lui.
De l'autre côté, il y a Landon Clay. Il n'est pas mathématicien, mais il est riche... Il fonde en 1998 l'institut de mathématiques Clay, dans le but de promouvoir les mathématiques à travers le monde. Dans le même esprit hilbertien, l'Institut rend public en 2000 sept problèmes fondamentaux pour faire travailler les mathématiciens dans le siècle millénaire qui arrive. Ce sont les "problèmes du prix du millénaire". Un petit plus non négligeable : un millions de dollars US par problème est promis à celui ou celle qui viendra à bout de l'un des problèmes.

Les deux listes se recoupent plus ou moins (4 problèmes se retrouvent dans les deux listes), mais des deux challengers de Hilbert, on retiendra seulement Clay : entre les prix remis au gagnant et les frasques de Perelman, tout est fait pour que l'on parle d'eux. Quant à la liste de Smale, elle fait plutôt partie du registre anecdotique...

Voici donc, à titre culturel, la liste des 7 problèmes, et à titre de curiosité, la liste des 14 autres problèmes de Smale :

Problème de Smale n°1 / Problème de Clay n°1 : l'hypothèse de Riemann
(et aussi, le 8ème problème de Hilbert). Toujours la même conjecture, toujours pas résolue, 150 après que Riemann l'ait énoncé : trouver où s'annule la fonction zêta de Riemann (ζ:s↦1+1/2s+1/3s+...). Cette fonction, à valeur complexes, est le pilier de la théorie des nombres telle qu'on la pratique aujourd'hui (qui s'intéresse aux questions du style "où sont les nombres premiers). Pourquoi s'acharner à démontrer cette conjecture ?
- Parce que tout un tas de travaux prennent pour hypothèse la véracité de l'hypothèse de Riemann, et que ça serait pas mal que ça ne se base pas sur du vent...
- Parce que "qui connaît la fonction zêta connaît le monde", d'après les mots de Voronin, qui a démontré le "théorème d'universalité" : la fonction zêta est proche quelque part de n'importe quelle fonction analytique (en gros, toute les fonctions  à valeur complexes sont codées quelque part dans zêta)
- Pour savoir si la démonstration de la conjecture la plus attendue au monde fera autant de couvertures de journaux qu'un match raté de l'équipe de France.
- Parce que quand même, ça serait sympa de savoir comment se répartissent les nombres premiers.

Problème de Smale n°2 / Problème de Clay n°2 : la conjecture de Poincaré
(Qui, aujourd'hui, s'appelle plutôt théorème de Perelman). On peut résumer le problème par "En dimension 3, à quel point ce qui partage les propriétés d'une sphère est une sphère ?". Le problème apparaît sous la plume de Poincaré en 1904, soit 4 ans trop tard pour faire parti de la liste des 23 de Hilbert. La conjecture tombe petit à petit : la dimension 5 et plus en 1961 (Smale, & co), puis la dimension 4 en 1982 (Freedman). Ne reste plus que la dimension 3. La suite, les magazines people l'ont raconté avant moi : Gregori Perelman, un ermite russe qui n'avait plus donné des nouvelles de lui depuis 7 ans publie sur Internet un résumé de sa démonstration. La communauté mathématique le porte en héros et lui... s'en fout, abandonne les mathématiques et refuse le millions de dollars qui lui est toujours dû...
(Scoop : il refuse un prix de un millions de dollars !)

Problème de Clay n°3 : La conjecture de Hodge
La topologie algébrique est la branche des mathématiques qui mêle astucieusement la topologie (l'étude de la forme des objets) et l'algèbre. Au tout début, les construction étaient surtout géométriques : on construit des objets à partir de bouts de droites, de cercle ou de plans. De fils en aiguille, le domaine s'est vu agrémenter de tout un tas de nouveaux outils et de nouvelles théories (notamment les théories de cohomologie), jusqu'à devenir très abstraite, et oublier complètement ses origines géométriques. La conjecture de Hodge, sous ses airs sur-abstraits, est en fait là pour dire qu'il y a encore un peu de géométrie en topologie algébrique...

Problème de Smale n°3 / Problème de Clay n°4 : P=NP ?
ie, une question dont la réponse peut être vérifiée rapidement peut-elle être résolue rapidement ?
Mettons-nous en situation : c'est les vacances, et le comité des fêtes de votre station balnéaire préférée organise un grand concours de puzzle. Un joli puzzle de 500 pièces représentant un chat dans un transat vous est confié, et votre mission est de le reconstituer. Plusieurs techniques existent, mais la plus simple consiste à prendre une par une les pièces, et regarder si on peut la placer sur le cadre. Sinon, on la repose, et on la réexaminera tout à l'heure. Pendant ce temps là, les organisateurs surveillent, en attendant de voir qui terminera le plus vite le petit chat. La tâche qui consiste à monter le puzzle est difficile (il faut procéder par tâtonnements, et le temps de résolution augmente considérablement si le nombre pièces augmente), alors que la tâche qui consiste à vérifier les travaux finis est facile (si le nombre de pièces augmente, il faudra au pire quelques secondes de plus pour savoir si le puzzle est bien terminé). Monter un puzzle est par cette méthode dans la classe NP : difficile à réaliser, mais facile à vérifier. A côté de ça, les tricheurs du coin ont un puzzle avec la notice de montage : pour reconstituer leur puzzle, il leur suffit de regarder où doit se poser la pièce, et de la poser. Pour eux, la résolution du problème est facile : monter un puzzle avec la notice de montage est rapide. C' est un problème de classe P.
La question est ici de savoir si il y a vraiment lieu de distinguer les problèmes qui peuvent se résoudre en un temps polynomial, raisonnable (les problèmes P) et ceux qui ne peuvent à priori pas se résoudre en temps polynomial (les problèmes NP). La question date de 1971, et personne n'a vraiment d'idée sur la réponse : P=NP, P≠NP ou indécidable ? Une réponse positive pourrait avoir de sérieuses répercussions sur la vitesse de l'informatique...
Ou pas.

Problème de Smale n°4 : A propos des racines entières d'un polynôme à une variable
Prenons un polynôme à coefficients entiers, disons P=X2+2X+1. La question est de savoir comment écrire ce polynôme en utilisant seulement "1", "X" et un minimum d'opérations algébriques (+, -, *), à la façon "des chiffres et des lettres" (un même nombre pouvant être utilisé plusieurs fois). Par exemple, l'écriture P=(1+1+X)*X+1 requiert 4 opérations, mais on peut faire mieux avec l'écriture P=(X+1)*(X+1) (2 opérations). La question est de savoir à quel point le nombre minimal d'opérations dépend du nombre de racines entières du polynôme (le nombre de zéro est-il polynomialement borné par le nombre minimal d'opérations ?). Ce problème est en fait complètement relié au problème P=NP.
Ce problème est aussi relié au nombre minimal d'opérations +, - et * qu'il est nécessaire d'utiliser pour écrire un nombre donné. Par exemple, pour faire 42, on fait 1+1=2, 2+1=3, 2*3=6, 6+1=7, 6*7=42 : 5 opérations au minimum sont nécessaires.

Problème de Smale n°5 : A propos des courbes diophantiennes
Cette question remet au goût du jour le dixième problème de Hilbert, dans le cas particulier des courbes diophantiennes : étant donné un polynôme P(X,Y), l'équation P(X,Y)=0 représente alors une courbe du plan.  La question est ici de savoir si il est facile de savoir si la courbe passe par des points entiers (Peut-on toujours savoir s'il y a des solutions ? Si oui, à quelle vitesse pourra t-on les trouver ?). Ce problème mélange allègrement des problèmes actuels de théorie des nombres (notamment le problème de Clay qui suit) et d'informatique...

Problème de Clay n°5 : la conjecture de Birch Swinnerton-Dyer
Ce qui amuse les mathématiciens depuis la nuit des temps, c'est de résoudre les problèmes avec des solutions entières. Le théorème de Pythagore affirme que, en notant x, y et les côtés d'un triangle rectangle, on a la relation x²+y²=z². On a même des exemples ou la relation est vérifiée sur des nombres entiers, les triplets pythagoriciens (par exemple, 3²+4²=5²). La recherche des triplets Pythagoriciens se ramène facilement à la recherche des points à coordonnées rationnels sur un cercle (en divisant par z², on retrouve l'équation a²+b²=1 : des points d'un cercle).
Ca, c'est pour le cercle. On peut généraliser le problème : sur les courbes elliptiques (d'équation y²=x3+ax+b) qui n'ont rien à voir avec les ellipses), y a-t-il des points à coordonnées rationnelles ? La conjecture de Birch et de Swinnerton-Dyer établit un lien précis entre ces points et les fonctions L, des variantes de la fonction ζ pour la courbe elliptique qui nous intéresse.
Mine de rien, ce genre de problème est à la base de ce que l'avenir nous réserve en terme de cryptage de données confidentielles...

Problème de Smale n°6 : Le problème des N corps
Quand Newton a découvert l'interaction gravitationnelle, l'astronomie a pris un tournant : quand on connaît la position et la vitesse de N corps célestes, on peut théoriquement calculer leur trajectoire. Pour N planètes données, l'idéal serait de connaître précisément (avec une formule) la trajectoire suivie par les astres. Pour N=2, Kepler nous a fourni des solutions explicites. Pour N=3, des solutions existent, pas sont en pratique inutilisables. Pour N plus grand, on a plus de formule. Dans tout ces cas, seule des approximations permettent aux astronomes de prédire le mouvement des planètes.
Même si les solutions exactes ne ont pas connues, on peut au moins chercher qualitativement à quoi pourraient ressembler les trajectoires et s'il existe des points d'équilibres. Pour le problème des 3 corps, on sait par exemple qu'il existe 5 positions d'équilibres différentes (grâce à Lagrange et Euler). Pour N plus grand, rien n'est sûr, on est incapable de dire s'il existe un nombre fini de positions d'équilibre. Le sixième problème est donc de savoir s'il n'y a qu'un nombre fini de positions d'équilibre dans le problème des N corps.

Problème de Smale n°7 : Distribution des points sur une sphère
Ce problème est relié au problème des dictateurs ennemis : étant donné N dictateurs régnant en maître sur une planète sphérique, comment doivent-ils se répartir pour que chacun soit le plus loin possible des autres dictateurs. Autrement dit : comment répartir N points sur une sphère de la meilleure manière possible.

Problème de Smale n°8 : Introduction de la dynamique en économie théorique
Hilbert voulait axiomatiser la physique, Smale veut axiomatiser l'économie ! Enfin, il veut surtout étendre les modèles actuels pour les rendre moins statiques. Un problème à mi-chemin entre les mathématiques et l'économie, donc...

Problème de Smale n°9 : Le problème de la programmation linéaire
Encore un problème à propos d'algorithme : existe-t-il un algorithme (polynomial) qui permet de savoir si un problème réel du type Ax>b a ou non une solution. Ce genre de problèmes intervient généralement dans les problèmes d'optimisations de tout types de domaines (notamment dans l'industrie) ... Selon Smale, c'est le principal problème encore non résolu de la théorie de la programmation linéaire, qui a fait du chemin depuis sa création lors de la seconde guerre mondiale.

Problème de Smale n°10 : Le closing lemma
Le closing lemma de Pugh (1967) est un théorème qui dit qu'en certains points, un système chaotique n'est pas si chaotique que ça. La question de Smale est de généraliser au mieux ce théorème...

Problème de Smale n°11 : La dynamique uni-dimensionnelle est-elle généralement hyperbolique ?
Toujours dans le domaine de la théorie du chaos, on cherche ici en savoir un peu plus sur la manière dont les polynômes se comportent quand on les itère.

Problème de Smale n°12 : A propos des centralisateurs des difféomorphismes
Une question qui mêle géométrie différentielle et algèbre... Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson ont donné en 2009 une réponse dans un cas particulier, mais qui représente tout de même un grand pas après 40 ans de vaches maigres.

Problème de Smale n°13 : Le seizième problème de Hilbert
Voici le deuxième problème non résolu de la liste de Hilbert, après l'hypothèse de Riemann. C'est celui qui parle des équations différentielles : comment se comportent les solutions d'un système différentiel de la forme {x'=P(x,y), y'=Q(x,y) ? Possèdent-elles toujours un nombre fini de cycles limites ? Et combien ? Bien que la question ne soit pas conceptuellement difficile (ce ne sont que des équations différentielles, après tout
), il a fallut par exemple attendre 1991 pour avoir une démonstration correcte du nombre fini de cycles limites...

Problème de Smale n°14 : L'attracteur de Lorenz
Edward Lorenz, météorologue américain, est l'inventeur de "l'effet papillon" : petite cause, grandes conséquences. Devant un public médusé, il montre que la chaos peut surgir de pas grand chose, en présentant son attracteur étrange : une courbe en forme de papillon, solution d'un système différentiel, qui dépend très fortement des conditions initiales. Le problème n°14 porte sur l'étude de ce système différentiel. Tucker donne à ce problème sa solution en 2002.

Problème de Smale n°15 / Problème de Clay n°6 : Les équations de Navier-Stokes
Au XIXe siècle, Navier et Stokes mettent en place les équations qui gouvernent la mécanique des fluides. Ces équations interviennent partout, des prévisions météorologiques aux turbulances aérodynamiques. Seul problème : on est absolument incapable de voir à quoi ressemble une solution à ces équations, ou même de savoir s'il existe bien des solutions ! Le problème est en fait d'améliorer le cadre théorique autour de ces équations pour espérer mieux les comprendre.

Problème de Clay n°7 : Les équations de Yang-Mills
Est-ce un problème de mathématiques ou de physique ?  Dans les années 50, les deux physiciens Yang et Mills ont découvert des propriétés inattendues des particules à l'échelle atomiques, et ont obtenu les équations qui portent aujourd'hui leur nom. Les équations sont tous les jours vérifiées expérimentalement par les différents accélérateurs de particule du monde entier. Gros problème : ces équations ne s'inscrivent dans aucun cadre théorique digne de ce nom, et il faut que cela cesse ! Surtout que les physiciens attendent...

Problème de Smale n°16 : La conjecture Jacobienne
(qui, en fait, n'est pas dûe à Jacobi, mais à Keller, dans les années 30). Considérons une fonction  ℂn→ℂn polynomiale ; si cette fonction est inversible, alors le déterminant de sa jacobienne est une constante non nulle (ça, c'est en fait facile à démontrer). Par contre, sa réciproque est insoluble, et c'est l'objet de ce problème.

Problème de Smale n°17 : Résoudre des problèmes polynomiaux
Ce problème recoupe une nouvelle fois le problème P=NP : il s'agit ici de trouver un moyen efficace pour résoudre de manière générale les systèmes d'équations polynomiales. En 2006, une réponse est découverte : un algorithme probabiliste  est découvert pour le problème des systèmes polynomiaux, et cet algorithme est rapide et efficace.

Problème de Smale n°18 : définir les limites de l'intelligence
"Quelles sont les limites de l'intelligence", c'est la dernière question posée par Smale. Le problème est ici de trouver des modèles qui tiennent la route de ce qu'est l'intelligence, artificielle et/ou humaine. Une question sous-jacente est celle des problèmes que l'on peut résoudre, domaine déjà bien exploré par Gödel et Turing. L'intelligence humaine n'a par contre pas été l'objet de beaucoup de travaux mathématiques. Avec cette question, les mathématiciens viennent une nouvelle fois manger le pain de philosophes !...



Sources :
Pour les problèmes du prix du millénaire, le Pour La Science de juillet 2000,  Wikipedia, Bibm@th et le coin des amatheurs proposent des articles de différents niveaux de vulgarisation.
Pour ce qui est de Smale, tout ses problèmes sont détaillés dans son article. Wikipedia possède de bons articles à propos de programmation linéaire, de l'attracteur de Lorenz et de la conjecture jacobienne.