N'en déplaise aux triskaidekaphobes (mot qui fait désormais parti du langage courant depuis que l'émission culturelle du vendredi soir de Tf1 l'a mis à l'honneur), vendredi prochain sera un vendredi 13 ! La Française des Jeux en salive d'avance. La dernière fois que c'est arrivé, c'était en novembre dernier, et le prochain n'arrivera pas avant mai 2011. Ces temps-ci, les vendredis 13 se font plutôt rares, et pourtant, le 13ème jour d'un mois est plus souvent un vendredi que n'importe quel autre jour ! Pourquoi ? A cause des années bissextiles pas assez régulières...
Bien que je ne sois pas convaincu que ce fait statistique légitime la paraskevidékatriaphobie, alias peur des vendredis 13...

La roue des calendriers
Rappelons les règles de la bissextibilité, celle élaborée  par Grégoire XIII en 1582 pour caler au mieux  avec la révolution autour du Soleil de la Terre : une année après 1600 (pour simplifier) est bissextile si elle est divisible par 4 (1), sauf si elle est divisible par 100 (2), sauf si elle est divisible par 400 (3). Sinon, elle n'est pas bissextile. Ainsi, 2004 et 2008 sont bissextiles (règle 1), 1900 et 2100 ne sont pas bissextiles (règle 2) mais 2000 est bien une année bissextile (règle 3).

Un calendrier est déterminé par seulement deux paramètres : le jour de la semaine où tombe le premier janvier, et sa bissextibilité. Ainsi, puisque les années 2009 et 2015 sont toutes les deux non bissextiles et commencent par un jeudi, ce sont des années où les jours se succèdent de la même façon : votre calendrier de l'année dernière pourra resservir en 2015.  Sur une période de 28 ans, on compte 21 années non bissextiles et 7 bissextiles, soit 10227 jours. Puisque ce nombre est divisible par 7, les calendriers sont périodique, avec une période de 28 ans. On peut même vérifier que les 14 types de calendriers servent effectivement.

RoueClendriers2

La roue des calendriers, fonctionnant sur les années 1901-2099. Les lettres correspondent au jour de la semaine du premier janvier. Les nombres correspondant aux restes modulo 28, et sont placées sur les années bissextiles.

Pour déterminer par quel jour commence une année du XXe ou XXIe siècle, on peut utiliser la roue ci-dessus, en regardant le reste de l'année dans la division euclidienne par 28. Par exemple, pour l'année 2042, on a 2042=28*72+26. Le reste de 2042 dans la division par 28 est donc 26. Cela correspond à une année non bissextile commençant par un mercredi.

Malheureusement, l'année 2100 (reste 0) commence bien par un vendredi, mais n'est bissextile. L'année qui suit, 2001, ne commence pas par un dimanche mais par un jeudi (ce qui rend inutilisable ma roue après 2099...). Cela dit, le premier janvier 2400 tombe bien un samedi (une période de 400 ans compte 97 années bissextiles, soit 146097 jours, ce qui est divisible par 7), ce qui rend tout de même les calendriers périodiques, avec une période de 400 ans ! Cela dit, sur 400 ans, on ne compte que 4800 mois, ce qui n'est pas divisible par 7 : certains jours tombent plus souvent un 13 qu'un autre...

La roue des vendredis 13
Pour connaître le nombre de vendredis 13 dans une année donnée (entre 1901 et 2099), il suffit simplement de savoir comment faire correspondre le type de calendrier au nombre de vendredis 13. Par exemple, 2010, qui est une année de type NB-V, possède un seul vendredi 13, en août.

tableauVendredi1
Tableau récapitulatif du nombre de vendredis 13 d'une année en fonction de son calendrier

Couplé à la roue des calendriers, on découvre ces quelques faits tout à fait intéressants :
- Il y a toujours au moins un vendredi 13 par an, mais jamais plus de 3
- Deux vendredis 13 consécutifs peuvent être séparés de 27, 90, 181, 244, 272, 335 ou 426 jours
- Deux vendredis 13 peuvent être séparés de plus de un an, lors d'un passage d'une année NB-V à une année B-S (par exemple, de août 1999 à octobre 2000)

Ce qui donne, sur la chouette roue des calendriers :

RoueVendredi13

Sur une période de 28 ans (qui n'est pas à cheval sur un début de siècle), on compte donc 48 vendredis 13... Soit autant que de lundis 13, de mardis 13, ...

Sauf que ! Sur une période de 400 ans, on perd 3 années bissextiles, qui va un peu augmenter la fréquence des vendredis 13 : on compte 688 vendredis 13 entre le 1er janvier 2000 et le 31 décembre 2399 (un calcul qui se fait avec beaucoup de patience et/ou un programme informatique). Plus précisément :

tableauNbVendredi13
La fréquence d'apparition d'un vendredi 13 est de 14.33%, soit plus que n'importe quel autre doudedi 13 !

Bref, si un jour de la semaine tombe un 13, il y a plus de chance que cela soit un vendredi que n'importe quel autre ! Enfin, à échelle humaine, tous les jours ont sensiblement la même probabilité de tomber un 13...

Reste la question : les vendredis 13 portent-ils bonheur ou portent-ils malheur ? La réponse est... non.


Sources :
Quels sont les secrets du vendredi 13, article du Figaro
Au pays des paradoxes, Jean-Paul Delahaye