Entendu lundi matin sur France Info :
- Vous êtes sur France info, il est 8h17. Bonjour Christine Lagarde. (...) Finalement, ce gouvernement n'a rien de vraiment révolutionnaire ?
- Ah si, il est totalement révolutionnaire. Le principe de la révolution (...) c'est que vous faites un tour complet à 360°.
- Donc, on est revenu aux fondamentaux, le RPR, le Sarkozysme, le bla bla bla...
- On est surtout revenu au bla bla bla...

En fait, Christine n'a jamais parlé de "virage à 360°" comme ont pu le rapporter certains mauvais twitteurs, mais simplement de ce que Candeloro aurait appelé un simple Lutz. Une révolution, c'est bien faire "un tour complet à 360°" (et revenir au point de départ, ça, tout le monde l'a bien compris).
On peut cependant toujours réfléchir au sens caché de ce qu'elle a dit : soit un virage à 360°, soit un virage (qui forme un angle) de 360°. Mathématiquement, un angle de 360°, c'est un angle de 0° : un virage à 360°, c'est donc pas de virage du tout (et le remaniement ne change rien à la politique préexistante). Sinon, c'est un virage de 360°, et le remaniement désigne le moment où la politique du gouvernement revient sur ses pas (ou revient à ses fondamentaux, suivant que vous soyez optimiste ou pessimiste).

Ce petit buzz anecdotique de notre 42e ministre de l'économie préférée me rappelle qu'il y a longtemps que je voulais faire un topo sur ce vieux concept que sont les angles ! Allez, hop, on y va !

Qu'est ce qu'un angle ?
Les angles sont aussi vieux que la géométrie, et c'est tout naturellement que l'on retrouve la première définition des angles dans les éléments d'Euclide :
Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont pas placées dans la même direction.

Le mauvais côté, c'est que le français de l'époque (qui ressemble surtout à du grec traduit au début du XIXe siècle) n'est pas super clair. Le bon côté, c'est que comme tout le monde sait intuitivement ce qu'est un angle, ce n'est pas trop problématique. Ce qu'il faut retenir ici, c'est qu'un angle (du latin angulus, "coin"), c'est une inclinaison, si possible entre deux trucs droits. On peut définir les angles sans jamais parler d'une quelconque mesure en degré ou en radians.

Si on veut vraiment être précis, avant d'introduire le concept d'"angle", on doit parler du concept de "former le même angle que" (si deux couples de segments ont la même inclinaison l'un par rapport à l'autre, on dit qu'il ont le même angle). A partir de là, si deux trucs forment le même angle, c'est que c'est la même chose : c'est un angle.

Mais suivant le "truc droit" que l'on considère, on définit tout un tas de concepts plus ou moins apparentés :
- les angles géométriques (l'inclinaison entre deux segments, ou deux demi-droites)
- les angles de droites (l'inclinaison entre deux droites)
- les angles orientés (l'inclinaison entre deux vecteurs d'un plan)
- les angles dièdres (l'inclinaison entre deux plans de l'espace)
- les angles entre courbes (l'inclinaison entre deux courbes)
- les angles sphériques (l'inclinaison entre deux grands cercles d'une sphère)
- les angles solides (généralisation 3D des angles, qui n'a pas grand-chose à voir avec tous ceux pré-cités)
etc.

Angles
α : angle géométrique de segments, noté AÔB (=BÔA). Qu'on le représente rentrant (en rouge) ou sortant (en vert), c'est exactement le même angle. Sa mesure est entre 0° et 180° (ou entre 0 et π)
β : angle de droites, entre d et d', noté (d,d'). Sa mesure est entre 0° et 90° (ou entre 0 et π/2).
γ : angle orienté entre les vecteurs u et v, noté (u,v) ou (OA,OB). On prend l'angle dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre), l'angle rentrant (v,u) est différent de l'angle sortant (u,v)... Sa mesure est entre entre 0° et 360° (ou entre 0 et 2π).
δ : angle dièdre entre les plans P et Q. C'est en fait l'angle de droite formé par deux droites contenues respectivement dans le plan P et le plan Q, et dans un plan perpendiculaire à ces deux plans (non représenté ici).
ϵ : angle entre les courbes C et C'. C'est encore un angle de droite, formé par les tangentes. On peut toujours améliorer le concept d'angle de courbes en considérant des courbes orientées, par exemple.
ζ : angle sphérique, d'arcs a et b. Jusqu'alors, tous les angles étaient des angles d'un plan, concepts de la géométrie euclidienne. Mais il n'y a pas que la géométrie du plan qui existe, il y a aussi celle de la sphère. Sur une sphère, les "droites" sont les grands cercles, et quand deux droites se croisent, ça forme un angle. C'est le genre d'angle qui permet de clouer le bec à ceux qui prétendent qu'un triangle ne peut pas avoir trois angles droits (!).

Après, on a inventé tout un vocabulaire pour parler d'angles (géométriques) particuliers : il y a les angles plats (quand les deux demi-droites sont dans la même direction mais pas le même sens), les angles droits (demi-plats), les angles aigus ou obtus suivant qu'ils sont "plus petits" ou "plus grands" que l'angle droit...

Une chose est sûre : à proprement parler, "25°", "2π/3 radians", "100%" ou "50 grades" ne sont pas des angles, mais des mesures d'angles. Par contre, "angle plat", "angle droit" ou "angle nul" sont des angles (géométriques ou orientés) ! Cela dit, quand on précise bien le cadre, à une mesure d'angle correspond toujours un angle (et inversement), et on peut parler de l'un pour l'autre.

Ah oui, tiens, comment on mesure les angles ?
Avec un rapporteur ! Ou avec un goniomètre... Quel que soit la variante d'angle que l'on considère, ça représente toujours une ouverture, mesurable. De nombreuses unités ont été inventées pour répondre au problème de la mesure des angles.

Degré ? Minutes ? Secondes ? Radians ? Grades ? Pourcents ? Mais pourquoi autant de façons de mesurer un même truc ?

Degrés, minutes, secondes
Depuis Ptolémée (IIe siècle après JC), on mesure les angles en degré (alias degré sexagésimal) : un degré correspond à 1/90e de l'angle droit, et donc, l'angle droit mesure 90° et l'angle plat 180°. Le tour complet mesure alors 360°.
Pourquoi l'angle droit mesurerait 90° et pas autre chose ? Ben c'est comme ça, totalement arbitraire... Le bon côté, c'est que les calculs tombent juste : un triangle équilatéral a des angles de 60°, et un triangle isocèle rectangle a des angles de 45°, 45° et 90°. Ça donne des nombres entiers, et c'est bien pratique pour les petits calculs.

Histoire de compliquer un peu les choses, on évite de mesurer les angles avec des nombres à virgule. On utilise plutôt les minutes d'angles et les secondes d'angles ! Un degré correspond à 60 minutes d'angles, et une minute d'angle à 60 secondes d'angles (et après, on utilise les dixième, les centièmes d'angles). Pour parler de l'angle au centre d'un hexadécagone, on ne dira pas 22,5°, mais 22°30'. L'angle quatre fois plus petit n'est pas 5,625°, mais 5°37'30" (5 degrés, 37 minutes, 30 secondes).
Notons au passage que les degrés des angles n'ont rien à voir avec ceux de la température, et que les minutes et les secondes d'angles n'ont rien à voir avec le temps qui passe (et encore moins avec l'angle formé par deux aiguilles d'une horloge).

Grades
Pour simplifier ce système sexagésimal hérité des Babyloniens, on a inventé le grad(e), ou gon, ou degré centésimal. Ici, l'angle droit ne mesure plus 90°, mais 100 gr. L'angle plat mesure 200 gr, et le tour complet 400gr. Le gros problème, c'est que la mesure des angles d'un triangle équilatéral est de 66,6666... gr, ce qui est affreusement pas pratique. Bref, quand on fait des maths, on utilise pas le grade (mais dans d'autres domaines, ça peut se négocier).

Radians
Quand on veut faire des calculs, les degrés ou les grades sont pratiques, mais ils ont un défaut : leur définition est affreusement arbitraire ! C'est au XVIIIe siècle qu'émerge le concept de radian : la mesure de l'angle ne sera plus relative à la mesure de l'angle droit, mais à la longueur de l'arc du cercle unité intercepté par l'angle. On dit alors qu'un angle mesure 1 radian si il intercepte un arc de 1 unité.

1radian
Sur ce cercle unité, l'arc AA' mesure 1 : l'angle qui l'intercepte mesure par définition 1 radian (environ 57,3°)

Résultat, puisque la circonférence d'un cercle vaut 2π, la longueur du quart d'arc est de π/2. Un angle droit mesure donc π/2 radians. La grande majorité des angles que l'on rencontre en géométrie s'expriment alors comme une fraction de π.

400px_Radian_common
J'ai trouvé cette chouette illustration sur Wikipédia !

On peut définir cette mesure d'angle autrement, via les rotations. Si on considère deux vecteurs u et v de même longueur (unitaire, pour simplifier), on peut montrer qu'il n'existe qu'une seule application linéaire qui transforme le premier vecteur en le deuxième. On appelle ça une rotation vectorielle ! Avec un peu d'algèbre, on montre que l'ensemble des rotations vectorielle ("les angles") forment un groupe (ce qui permet, au passage, de définir mathématiquement le nombre π). Avec un peu d'algèbre linéaire, on peut montrer que la matrice d'une rotation vectorielle possède une matrice qui ressemble à ça :

matrice_rotation

où θ est unique, modulo 2π. Ce θ sera parfait pour définir la mesure de l'angle qui transforme u en v...

Pourcent
Enfin, il existe une dernière façon courante pour mesurer un angle : parler non pas de l'angle en lui même, mais de sa tangente ! C'est bien pratique pour mesurer la déclivité d'une pente. D'après la formule cahsohTOA, la tangente d'un angle est, dans un triangle rectangle, le rapport de la longueur du côté opposé sur le côté adjacent.

tangente

Si la tangente d'un angle vaut 20%(=0.2), c'est que l'on se trouve dans le cas d'un triangle rectangle 5 fois plus long que haut. On croise des tangentes d'angles bien plus souvent qu'on ne le pense : c'est ce qui est indiqué sur les panneaux "descente dangereuse"...

200px_A16
Descente dangereuse à 10% : quand on avance horizontalement de 100m, on descend de 10m.

Rien à rajouter ?
Je ne terminerai pas cet article sans un tour de magie incroyable. Regardez votre main droite, et faites le signe du V de Nixon en regardant le dos de votre main: votre index droit fera office de vecteur u, et votre majeur droit fera office de vecteur v. L'ouverture des deux doigts forme un angle orienté (u,v). C'est maintenant que la magie intervient : retournez votre main, paume vers vous : l'angle orienté (u,v) s'est transformé inexplicablement en angle orienté (v,u) !

Incroyable, non ? (on peut parler d'angles géométriques dans l'espace, mais surtout pas d'angles orientés)


Sources :
- Révolution, sur le wiktionnaire
- Wikipédia (d'où proviennent certaines illustrations ici ou ici)