Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Top 10 des maths autour du monde

La blogomode du moment est au calendrier de l'avent : tous les jours, un petit quelque chose pour nous faire saliver avant l'arrivée des cadeaux. Seulement, le rythme hebdomadaire du blog empêche ce genre d'initiatives.... Tant pis.
A la place, le blog accueillera jusqu'à l'arrivée du petit Jésus une série de Top 10 de culture générale mathématique !

Puisque les matheux n'ont de cesse de s'intéresser à ce qui se passe ailleurs, voici aujourd'hui un top 10 consacré aux mathématiques des baroudeurs. Attachez vos ceintures, le tour du monde commence maintenant !


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N° 10 : Le théorème du cercle arctique
(Et celui du diamant aztèque)

Cercle_polaire
Un pavage du diamant aztèque d'ordre 100

diamant_ordre_5Prenez un diamant aztèque (un échiquier renversé à 45° qui ressemble à un diamant: celui à gauche est d'ordre 5), et tentez de le recouvrir par des dominos 1x2. Vous devriez réussir : pour un diamant aztèque d'ordre n, il y a 2n(n+1)/2 pavages possibles (le théorème du diamant aztèque). En choisissant au hasard l'un de ces pavages, et en coloriant en rouge/jaune les dominos verticaux et en bleu/cyan les dominos horizontaux, on s'aperçoit que lorsque le diamant est grand, les dominos des coins du diamant sont figés dans leur direction (alors que ceux proches du centre ont une orientation bien plus chaotique). Ce phénomène, c'est le phénomène du cercle arctique, inexistant lorsque l'on pave un échiquier carré.

Quel rapport avec le parallèle  de 66° 33' 39" de latitude nord ? Eh bien, parce qu'au delà de ce cercle, tout est gelé !

diamant_ordre_5_pave
Pavage du diamant d'ordre 5 par des dominos colorés suivant leur orientation. Le cercle arctique apparaît progressivement.

 

N° 9 : Les tours de Hanoï

Tours_de_hano_
Les trois tours de Hanoï

Un célèbre casse-tête plus ou moins mathématique : en ne déplaçant qu'un seul disque à la fois, il faut déplacer la pile du premier au troisième pilier, sans jamais déposer un disque sur un disque plus petit. Mathématiquement, ces tours permettent d'appréhender les démonstrations par récurrence, et démontrer que pour déplacer au plus vite n disques, on aura besoin de 2n coups.

Quel rapport avec la capitale de Viêt-Nâm ? Eh bien, parce que Edouard Lucas, l'inventeur de ce casse-tête, avait une imagination débordante dès qu'il s'agissait de mettre en scène ses problèmes...

Pour que Bramah tombe

N° 8 : Les nombres brésiliens

Brazil_chalor
Les 24 premiers nombres brésiliens.

Un nombre brésilien est un nombre qui peut s'écrire avec un seul chiffre répété dans une base donnée. On a des exemples simples en base 10, comme 22, 33, 555555. Mais on peut aussi montrer que 31 est brésilien, puisqu'il s'écrit 11111 en base 2, ou que 17316 est brésilien, puisqu'il s'écrit (12,12,12) en base 37. Par contre, 1993 n'est brésilien dans aucune base (inférieure à 1991).

Quel rapport avec le plus grand pays d'Amérique du Sud ? Eh bien, parce que les Olympiades de mathématiques de 1994 se déroulaient au Brésil, concours durant lequel les Mexicains ont fait sensation en apportant cet étonnant problème d'arithmétique.

Numeros dou Brazil, qui parle aussi de nombres colombiens et de nombres parfaits Canada.

N° 7 : La distance de Manhattan

Manhattan
La distance (euclidienne, en rouge) entre A et B est de 10 unités. La distance de Manhattan (en bleu) entre A à B est de 14 unités.
A droite, les points bleus sont sur un cercle (de Manhattan) de rayon 3

Quand on est un géomètre standard, on utilise la distance euclidienne pour mesurer des longueurs, avec la formule d(A,B) = √[(xB-xA)2+(yB-yA)2]. Mais quand on est un géomètre qui veut briser les barrières, on peut utiliser d'autres formules, notamment celle de la distance de Manhattan (alias "1-distance"), qui est d(A,B) = |xB-xA|+|yB-yA|. Géométriquement, cela revient à mesurer la distance de A à B en prenant un chemin en escalier.

Quel rapport avec le borough le plus touristique de Big Apple ? Eh bien, puisque les rues de ce quartier sont toutes perpendiculaires les unes aux autres, on ne peut plus vraiment mesurer les distances à vol d'oiseau, mais seulement à vol de taxi. La formule qu'il faut utiliser est alors celle de la distance de Manhattan.

De la ronditude du cercle, qui parle aussi de distance du chemin de fer français.

N° 6 : Les fractions égyptiennes

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Un développement en fractions égyptiennes de 4/13

Dans une fraction, on distingue deux parties : le numérateur, qui est le nombre du dessus, et le dénominateur, qui est celui du dessous. Quand une fraction a un numérateur égal à 1, on dit que c'est une fraction égyptienne. On sait depuis bien longtemps qu'une fraction non égyptienne peut toujours être écrite sous la forme d'une somme de fractions égyptiennes distinctes, même si la somme comprend beaucoup de termes. Le grand défi est donc de trouver comment exprimer une fraction avec le minimum de fractions égyptiennes. La fraction 4/13, par exemple, peut s'écrire de manière plus économique sous la forme 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468.
Des conjectures, toujours non résolues, prétendent qu'une fraction de la forme 4/n ou 5/n peut toujours s'écrire sous la forme d'une somme de 3 fractions égyptiennes (les conjectures de Erdös-Strauss et de Sierpinski).

Quel rapport avec le pays de Nagui ? Eh bien, parce que les Égyptiens des années -2000 avaient inventé leur propre notion de fraction, mais qui ne possédait pas de numérateur. Pour exprimer les fractions compliquées, il devaient les découper en somme de fractions de numérateur 1.

L'œil d'Horus plane

N° 5 : Le théorème japonais

Cercles_japonais
La somme des rayons des cercles inscrits ne dépendent pas de la triangulation

Prenez un cercle, et dessinez-y un polygone. Ce polygone peut être découpé en triangles, de plusieurs façons, mais quelque soit la triangulation choisie, la somme des rayons des cercles inscrits est toujours la même. C'est ça, le théorème japonais !
De manière plus générale, les théorèmes qui portent sur les cercles inscrits de polygones cycliques portent le nom de "théorème japonais".

Quel rapport avec le pays de Shigeru Miyamoto ? Eh bien, parce qu'au XVIIe siècle, le Japon était coupé du reste du monde, et a développé ses propres mathématiques sans l'influence du reste du monde. Les San Gaku, des problèmes géométriques gravées dans des tablettes de bois, sont nés de cette période. Ces problèmes faisaient entre autres intervenir des histoires de tangence ou de cercles inscrits...

N° 4 : Le théorème des restes chinois

chinois
Nom étonnant pour l'un des principaux théorèmes en algèbre

En arithmétique, on ne cesse de se poser des questions sur le reste des divisions. Une question qui revient souvent est celui des systèmes de congruence  :"quand je divise mon nombre par ça, il reste cela, et quand je divise par ci, il reste ceci. Quel est mon nombre ?". Pour trouver la solution, il faut passer par le théorème bien nommé théorème des restes chinois. On tombe sur ce théorème quand on se pose des questions sur les calendriers, sur les calculs d'astronomie ou le partage des Skittles.

Quel rapport avec le dernier pays organisateur des Jeux Olympiques ? Eh bien, parce que le théorème trouve ses origines au IIIe siècle sous la plume de Sun zi, qui posait le problème suivant : Soit des objets dont on ignore le nombre. En les comptant 3 par 3 il en reste 2; en les comptant 5 par 5, il en reste 3 et en les comptant 7 par 7, il en reste 2. Combien y a-t-il d'objets? La résolution du problème passe par le théorème des restes...

N° 3 : Les méthodes de Monte-Carlo

Monte_Carlo
Sur les 50 fléchettes, 39 sont tombées à l'intérieur, et 11 à l'extérieur. On en déduit une valeur approximative de pi/4 = 50/39, soit pi = 3.12

Comment trouver une valeur approximative de pi ? Des tas de méthodes existent, mais la plus originale d'entre elles est la méthode de Monte-Carlo. Pour cela, on dessine un carré, et on y dessine un quart de cercle. L'aire du carré vaut 1, celle du disque vaut π/4 (et donc, la proportion de disque dans le carré est de π/4 (78%)). Maintenant, lançons aléatoirement n fléchettes. Si en en croit la loi des grands nombres, plus on en lance, plus la proportion de fléchettes qui tombent dans le quart de disque s'approchera de π/4 !
Dans la pratique, il faut avouer que cette méthode est plutôt décevante : pour espérer obtenir 3 décimales exactes de pi avec une petite marge d'erreur, il faudrait théoriquement lancer 1 000 000 fléchettes...

De manière plus générale, une méthode de Monte-Carlo est une méthode numérique qui utilise les probabilités. De la même façon que l'on calcule pi, on peut facilement faire des calculs d'intégrales. Bien sûr, il y a des méthodes numériques infiniment plus précises, mais les méthodes de Monte-Carlo ont l'avantage d'être très générales et de garder la même précision (en √n) en toute dimension.

Quel rapport avec le quartier Monégasque ? Eh bien, pour ses casinos, ses machines à sous, son poker, son blackjack... Le royaume des probas, tout simplement !

Les méthodes de Monte-Carlo ont des petits frères : les algorithmes de Las Vegas. Ce sont les algorithmes qui utilisent l'aléatoire, mais qui renvoient un résultat sans aucune imprécision.

N° 2 : La conjecture de Syracuse

graphiks

Prenez un entier supérieur à 1. S'il est pair, divisez le par 2, et s'il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Réitérez ensuite les deux précédentes étapes. Quel que soit l'entier n choisi au départ, la suite finira par retomber à 1... Et personne ne sait pourquoi ! C'est la célèbre conjecture de Syracuse, d'apparence très simple, mais finalement insaisissable.

Quel rapport avec la ville sicilienne ? Eh bien, absolument aucun ! En fait, le problème a connu son heure de gloire dans les années 50, quand Helmut Hasse a fait une conférence sur le sujet à l'université de Syracuse... à New York !

J'aimerai tant revoir Syracuse

N° 1 : Les ponts de Königsberg

Konigsberg_bridges

150px_Konigsburg_graphLa ville de Königsberg, traversée par le Pregel, possède deux îles intérieures, reliées par sept ponts. Quel itinéraire faut-il suivre à travers la ville pour emprunter une et une seule fois chacun des sept ponts ? Le problème se traduit dans la théorie des graphes, sous la question "trouvez un chemin eulérien dans le graphe à gauche" (alias, "dessinez le dessin sans lever le crayon"). On s'aperçoit très vite que c'est impossible, trop de sommets de degré impair...

Quel rapport avec l'ancien Kaliningrad ? Eh bien, parce que quand Leonhard Euler apprend que les Königsbergeois passent leur dimanche après-midi à se balader dans la ville en essayant de passer par les 7 ponts, il résout le problème par la négative en fondant au passage la théorie des graphes et la topologie...


Sources :
#10 : Pavages aléatoires par touillage de dominos, sur Images des mathématiques. L'illustration du diamant aztèque d'ordre 100 vient de là-bas
#1 : Wikipédia, où j'ai piqué les images

Posté par El Jj à 14:00 - Commentaires [8] - Permalien [#]
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Commentaires sur Top 10 des maths autour du monde

    Extra

    Bonjour,
    Bravo pour ce post original et accessible.
    Je ne connaissais pas tous les items.

    Posté par Sonia, 05 décembre 2010 à 17:06 | | Répondre
  • Il y a deux n°3 et aucun n°2. Ce blog est scandaleux.

    Posté par Arnaud G., 05 décembre 2010 à 18:55 | | Répondre
  • Je ne connaissais pas le théorème du cercle arctique. J'avais eu une idée un peu similaire, celle de répertorier les théorèmes avec des noms bizarres, ça peut donner une idée de billet que tu écriras, sans aucun doute, beaucoup mieux que moi.

    Posté par OL, 05 décembre 2010 à 21:30 | | Répondre
  • Très très sympa ! J'en ai cherché d'autres de tête mais j'ai pas grand chose qui me vient à l'idée...
    La polonaise inverse ?

    Posté par DavidL, 06 décembre 2010 à 09:23 | | Répondre
  • OL > C'est précisément ce classement des théorèmes aux noms étranges qui m'ont donné l'idée de ces tops ! Par contre, je n'ai pas prévu d'en faire un top (Pas assez d'items qui ne fasse pas doublon avec un autre top...)

    DavidL > Bien vu ! Comment j'ai fait pour passer à côté ?!
    J'ai aussi éliminé le carré latin, l'algorithme de Babylone, les rosaces de Troie et la croix de Malte (pour des raisons diverses et variées)

    Posté par El Jj, 06 décembre 2010 à 11:05 | | Répondre
  • Article très intéressant ! Connaissant quasiment toute ces notions, je ne connaissais aucune de leur origine. Notamment concernant la distance de Manhattan, cela permet d'avoir un bon moyen mnémotechnique pour se souvenir de sa signification.

    Posté par Romain, 31 décembre 2010 à 01:45 | | Répondre
  • pb de Syracuse

    Le problème est passé historiquement par la ville de Syracuse aux USA

    Posté par marc, 10 avril 2011 à 17:37 | | Répondre
  • Bonjour,
    Bravo pour cet article intéressant.

    Posté par Voaary, 01 octobre 2012 à 11:03 | | Répondre
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