La quadrature du cercle est impossible à la règle et au compas ? Vraiment ? Y'a pas moyen de moyenner, par exemple, en changeant de géométrie ?... Si, évidemment !

Les règles du jeu
Rappelons quand même le principe du problème de la quadrature du cercle : [Pb1] peut-on construire un carré d'aire égale à un cercle donné ? On dira alors que le cercle est quarrable. Ou, de manière pas équivalente : [Pb2] peut-on construire un cercle et un carré d'aires égales ?

Attention, on a pas le droit de le faire n'importe comment, puisque les seuls outils permis sont une règle non graduée et un compas. Avec ces deux outils, on peut donc faire deux actions :
- tracer une droite entre deux points,
- tracer un cercle dont le centre est un point et dont le rayon est la distance entre deux points.

Les points en question sont les points "constructibles" : ou bien trois points de base fournissant un repère orthonormé, ou bien des points qui apparaissent au cours de la construction :
- à l'intersection de deux droites.
- à l'intersection d'une droite et d'un cercle.
- à l'intersection de deux cercles.

On dit qu'un nombre (réel) x est constructible si le point (0,x) est constructible. En manipulant un peu la règle et le compas, on s'aperçoit très vite que tous les entiers sont constructibles (en reportant n fois le compas), que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres constructibles sont constructibles, que la racine carré d'un nombre constructible est constructible.

constructions_euclidiennes
Constructions à la régle et au compas des différentes opérations algébriques

Donnons maintenant un cercle. Disons, celui de centre (0,0) et de rayon 1. Son aire vaut π. Il faut donc trouver un carré ayant pour aire π, autrement dit, de côté √π. On est donc ramené à la question : le nombre √π est-il constructible ?

Eh bien... Non ! π n'est pas algébrique (Lindemann, 1882), et du coup, √π non plus. Pour être constructible, la moindre des choses que l'on demande à un nombre, c'est d'être algébrique (et même plus que ça : il faut pouvoir l'écrire à partir des opérations élémentaires et de la racine carrée, ce qui n'est pas le cas de π).

Et l'autre problème, alors : [Pb2] construire un cercle et un carré de même aire ? Encore une fois, c'est impossible ! Si ça l'était, on pourrait, par règle de trois, construire un carré de côté √π. Et ça, je viens de dire que c'était impossible !

Bref, la quadrature du cercle est impossible.

Impossible n'est pas hyperbolique !
La géométrie de papa, c'est la géométrie euclidienne : les 3 angles d'un triangle forment un angle plat, les parallèles ne se touchent pas, les pentagones ne pavent pas le plan... La géométrie de tonton offre bien plus de suprises : la géométrie hyperbolique !

Pour faire de la géométrie hyperbolique, il faut oublier un peu les bases : les droites ne sont plus droites, le centre d'un cercle n'est plus au milieu, le théorème de Pythagore est faux et le plan entier peut se résumer en un seul disque, le disque de Poincaré (d'autres modèles existent, mais on va les laisser là où ils sont).

Ce que l'on va dorénavant appeler "droite hyperbolique", ça sera un arc de cercle perpendiculaire au bord du disque de Poincaré (comme d), ou un diamètre de ce disque (comme h).

Poincare
Le disque de Poincaré : d, h, p et k sont des droites !

La question hyperbolique de la quadrature hyperbolique du cercle hyperbolique se pose alors : étant donné un cercle hyperbolique, peut on construire, à la règle hyperbolique et au compas hyperbolique, du carré hyperbolique d'aire égale ?

Il faut quand même faire quelques aménagements :
- la règle hyperbolique ne trace que des droites hyperboliques entre deux points.
- à partir d'un centre et d'un rayon (donné par la distance entre deux points), le compas hyperbolique peut tracer des cercles hyperboliques, qui ne tournent plus très rond.
- le concept de "carré" n'étant plus clairement défini en géométrie hyperbolique, mais on peut quand même parler de quadrilatères ayant 4 côtés et 4 angles (aigus) égaux. Pour n'importe quel angle α < π/2, il existe un carré hyperbolique portant quatre fois cet angle.

cercles_hyperb
Ces trois cercles hyperboliques ont le même rayon !

Les choses sérieuses arrivent
Du coup, il faut tout réapprendre : comment tracer des perpendiculaires, comment construire les parallèles, comment additionner ou multiplier des longueurs...

[Remarque préalable : Puisque personne ne dispose vraiment de compas hyperbolique, je préfère ne pas donner explicitement les constructions.]

Pour tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point donné, il n'y a pas grand chose de nouveau : la construction est la même que dans le cas euclidien.

Pour les histoires de parallèles, mettons tout de même les choses aux clair : par un point extérieur à une droite, il passe toujours une infinité de droite (dans l'exemple au dessus, p et k passent par L mais ne croisent pas h). Cela dit, certaines de ces droites parallèles le sont plus que les autres : ce sont celles qui "touchent" la droite de référence au bord du disque, les droites asymptotes. Dans l'exemple juste en dessous, p et k sont les asymptotes à h passant par L. En plus, la construction de ces asymptotes peut être faite à l'aide de la règle et du compas hyperbolique.

asymptotes
Les plus belles des parallèles

La possibilité de construction de ces droites permet la construction de triangles rectangles d'angles donnés (tant que les angles α et β vérifient α+β < π/2). En collant 8 triangles rectangles d'angles π/4,α/2, on peut fabriquer un carré hyperbolique d'angle α.

carr__hyper_2
Ceci est un carré, formé par 8 triangles rectangles.

Pour additionner des longueurs, pas de problème. Par contre, il devient impossible de multiplier ou diviser, la construction euclidienne reposant sur Thalès (une propriété très euclidienne). C'est au passage ce qui rend impossible la trisection d'un segment dans le cas hyperbolique...

Autre résultat important : les angles constructibles en géométrie hyperbolique sont les mêmes que ceux qui sont constructibles en géométrie euclidienne. On en déduit au passage l'impossibilité de la trisection de l'angle...

Et la quadrature du cercle, alors ? Il faut maintenant distinguer [Pb1] et [Pb2]. Dans le cas euclidien, l'un se déduit de l'autre par l'utilisation de la multiplication/division des nombres constructibles. Dans le cas hyperbolique, cette règle est fausse, les deux problèmes sont donc différents.

Réponse au problème 2 :
Oui ! Il existe des carrés et des cercles de même aire qui sont tous les deux constructibles ! Et ils forment une famille infinie !

On peut même être plus précis : ces carrés sont ceux dont l'angle α est de la forme 2kπ/n, où k est entier et n correspond au nombre de côté d'un polygone euclidien constructible (n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, ...). La quadrature du cercle est donc inattenduement liée à celle de la construction des polygones réguliers.

Prenons par exemple α=π/4 (l'octogone régulier étant constructible). L'aire d'un carré d'angle α est de 2π-4α, et celle d'un cercle de rayon r est de 4π.sinh(r/2) [ou π.tan²(θ) : il existe un angle θ qui est constructiblement lié au rayon r]. Il va falloir construire un cercle d'aire π, autrement dit, un cercle d'angle θ=π/4. Ça tombe bien, c'est un angle qui est constructible dans le plan euclidien, donc dans le plan hyperbolique !

Réponse au problème 1 :
Malheureusement, non ! Il n' a aucun moyen systématique pour quarrer un cercle, et il n'y en a pas non plus pour cercler un carré. Les contre-exemples se déduisent du théorème précédent : il suffit de prendre un carré dont les angles sont non euclidiennement constructibles...

Cela dit, il existe des couples cercle-carré où le carré est cerclable, mais où le cercle n'est pas quarrable...

Le monde hyperbolique est décidément plein de surprises... Et je ne parle même pas du problème de la duplication du cube...


Sources :
Squarring circles in Hyperbolic Plane, William C. Jagy : presque tout ce que je n'ai pas mis dans mon article, de la construction explicite des parallèles asymptotes ou des carrés d'angles prescrits à la démonstration de l'existence de cercles hyperboliques quarrables.