- Ca fait combien, zéro divisé par zéro ?
- Ca fait zéro puissance zéro...

Ainsi se terminait un article posté sur ce blog du temps où DSK n'était même pas encore président du FMI (là-bas). Rétrospectivement, l'article en question brille plus par ses commentaires d'illuminés que par son fond.

Du coup, la question reste encore en suspens : ça fait combien, zéro puissance zéro ? (Des voix s'élèvent et disent "Ca fait 1, crétin ! C'est une convention !". Qu'elle se rassoient  : c'est pas toujours une convention, et c'est pas toujours 1 !). Oui, mais... combien ça fait ?

Par convention, 00=1
C'est quoi, déjà, élever un nombre x (>0) à la puissance n (entière non nulle) ? Ah oui : multiplier n fois le nombre x par lui-même : xn = x × ... × x (n fois).

Grâce à cette formidable définition, on peut démontrer que, pour deux entiers n,m (avec n+m>0), on a la formule xn+n = xn×xm. Pour que la formule fonctionne encore quand m=0, il n'y a pas d'autre choix que de dire que x0 = 1. (Ca, c'est pas une convention, c'est un fait démontré). Pour pouvoir dire que x0 = 1 tout le temps, il est a peu près légitime de déclarer que 00=1.

Oui, mais revenons quand même à la définition première : 0 puissance n (>0), c'est multiplier 0 par lui-même n fois de suite... mais quand on multiplie zéro par lui-même plein de fois de suite, ça donne toujours 0. Du coup, 0n = 0, et pour uniformiser la formule, il faudrait déclarer que 00=0.

Comme on aime pas les statu quo, il faut se décider : ça fait 0 ou ça fait 1 ? Mathématiquement, rien ne permet de choisir entre l'un ou l'autre, mais dans les faits, la convention 00 = 1 est la forme la plus économique en papier. On aura toujours tendance à préférer écrire

convention_maline

plutôt que

 convention_stupide

(La formule du binôme de Newton aurait aussi fait bonne figure dans cette liste)

La convention 00=1, c'est surtout pour éviter de s'embêter avec les cas particuliers...

Par démonstration, 00=1
Mais pas que ! Il y a aussi des cas où 00=1 n'est pas une convention, mais un fait mathématique démontré ! Ce domaine magique n'est autre que la douce théorie des ensembles...

Pour ça, il nous faut deux ensembles. Appelons les N et M. Le premier possède n éléments, le deuxième en possède m (|N|=n et |M|=m).

En bossant un peu ses cours de dénombrement, on retrouve une correspondance entre les opérations arithmétiques de base (addition, multiplication, exponentiation) et les opérations ensemblistes de base (union, produit cartésien, puissance cartésienne). En l’occurrence, on trouve que le nombre d'applications allant de l'ensemble N à l'ensemble M est précisément nm. (Ou, pour aller dans le sens inverse, on peut définir nm comme le nombre d'applications allant d'un ensemble à n éléments vers un ensemble à m éléments)

On rappelle qu'une application, c'est un ensemble de départ (N), un ensemble d'arrivée (M) et n relations (des couples (x,y) avec x∈N et y∈M).

Du coup, on peut regarder les cas particuliers :
* n=0, m>0 : une seule application correspond, mais c'est l'application vide (son ensemble de définition est vide). Du coup, n0=1
* n>0, m=0 : ce cas est impossible : il n'y a pas d'applications partant de quelque part et allant nulle part. Du coup, 0m=0
* n=0, m=0 : encore une fois, une seule application possible, l'application vide, qui va de l'ensemble vide vers lui-même.

Conclusion : 00=1.

CQFD

Dès lors, il n'y a plus aucun doute sur 00 dès lors que l'on remplace la définition arithmétique de l'exponentiation par sa définition ensembliste.

Par esprit de contradiction, 00=42
Mais une définition comme ça, c'est bon que sur les entiers. Quand on est un bon analyste, on préfère dire que xy=exp(y.ln(x)) (au moins pour x>0, sinon, on doit rentrer dans des considérations tordues d'analyse complexe). Du coup, il faut s’atteler topologiquement au problème : après tout, ce n'est qu'une affaire de calculs de limites.

Ça donne une fonction a deux variables f(x,y)=xy, et la seule façon de trouver une bonne valeur pour 0^0, c'est de chercher la limite de f quand x et y tendent vers 0...

Trouver la limite d'une fonction à une variable, c'est parfois compliqué, mais quand il s'agit de fonctions à plusieurs variables, les choses peuvent s'avérer bien plus sibyllines : la limite dépend de la façon dont on fait tendre x et y vers 0 (indépendamment l'un de l'autre, ou simultanément).

- on peut faire tendre x vers 0 puis y vers 0 : on doit trouver la limite en 0 de y↦0y (ce qui donne 00=0 [au moins dans le cas y>0])
- on peut faire tendre y vers 0 puis x vers 0 : trouver la limite en 0 de x↦x0 (ie, 00=1)
- on peut faire tendre x vers 0 et y vers 0 en même temps : trouver la limite en 0 de x↦xx (ie, 00=1)

Mais on peut faire tendre x et y simultanément vers 0 de bien d'autres façons. Par exemple, en considérant la fonction :

fonction_putassiere

quand x tend vers 0, l'exposant 1/ln(x) tend aussi vers 0. Mais la limite de cette fonction en x=0, c'est e ('suffit de remplacer dans xy=ey.ln(x))... Finalement: 00=e

Et pourquoi pas ça :

 fonction_putassiere2

Formellement, ça donne 00=1/e

On peut aussi prendre ça :

fonction_putassiere3

Ce qui donne 00=+∞

En fait, ces raisonnements analystes prouvent une chose : la fonction f(x,y)=xy n'est pas continue en (0,0), il est donc impossible de lui donner une valeur logique (obtenue par prolongement par continuité) en ce point. La seule façon de régler ce problème est de donner une valeur arbitraire à l'image de (0,0) par cette fonction, on y prendra la convention 00=1. La fonction n'y est toujours pas continue. Tant pis.

Bref :
- Ca fait combien, zéro puissance zéro ?
- Ca fait exponentielle de zéro divisé par zéro...