Explication du gag des 10 pierres à propos des bases de numération

El Jj †

Abstract : Notre article explique le gag des 10 pierres du point de vue mathématique, en introduisant les concepts de "base humainement canonique" et de "base exobiologiquement canonique".

Date : 25 septembre 2011
Mathematics Subject Classification: 11B73, 05A99.
Mots clés : interaction humanité/extraterrestres, base 4, base 10, nombre de doigts, Caillou chéri, Riemann hypothesis

1. Introduction

arXivL'article que vous vous apprêtez à lire est sans doute le plus étrange de toute l'histoire de ce blog, puisque son existence n'est liée qu'à l’existence d'un pari moral. L'explication de ce phénomène s'explique par le fait que la baisse d'inspiration est corrélée avec l'arrivée de l'automne. C'est également l'article qui contiendra le plus grand nombre de private jokes et de verbiage volontaire, ce qui rendra le fond du propos encore plus diffus.

La publication par [1] d'un gag mettant en scène une interaction entre un humain et un extraterrestre a amené [3] à publier l'explication du gag d'un point de vue philosophique, mettant l'accent sur le rapport ethnocentrique que l'on considère face à une intelligence extraterrestre. Dans notre approche du problème, nous verrons comment la définition des chiffres et des bases de numérations offre un éclairage profond sur la nature humoristique du gag illustré par [2].

Le gag des 10 pierres se présente sous la forme d'un dessin humoristique (voir Fig. 1). On y voit une petite créature grise à la tête orange possédant deux doigts par main que l'on suppose être un extraterrestre, un personnage en habit d'astronaute représentant un humain, ainsi que quatre pierres posées au sol. L'extraterrestre indique à l'astronaute qu'il y a 10 pierres. L'astronaute, voyant qu'il n'y a que quatre pierres au sol, lui dit qu'il utilise la base 4, et non la base 10. L'extraterrestre lui rétorque que non, il utilise bien la base 10, mais s'interroge tout de même sur ce que signifie "base 4". La légende indique que toutes les bases sont des bases 10.

Question 1.1 Mais pourquoi c'est drôle ?

Cette question peut sembler légitime dans le sens où le rapport des referees de [1] lui ont signifié, je cite, "hihi", "Huhu", "Ha ha !", "Hé hé !" et "oh oh".

Réponse 1.2 Le comique de la situation vient de l’ambiguïté qu'il y a à parler de base 10.

Nous allons détailler cette réponse dans la deuxième partie de l'article, avant de nous intéresser à la fin alternative au gag proposé par [2].

le gag des 10 pierres
Figure 1. Le gag des 10 pierres.

2. Toutes les bases sont des bases 10

En mathématiques, on parle de chiffres et de nombres. Quitte à raffiner le concept, on se limitera ici à évoquer les nombres entiers. Un nombre est un concept philosophique permettant de mettre en relation plusieurs quantités identiques d'objets différents. Un chiffre est un symbole graphique qui permet de noter facilement les différents nombres. Ces deux concepts sont donc profondément différents, mais sont liés par ce que l'on appelle les bases de numérations. Pour énumérer les nombres, on a besoin d'utiliser un jeu de chiffres, que l'on appelle les bases. La convention communément admise (introduite par [4]) est pour les humains d'utiliser la base 10.

Définition 2.1 La "base 10" est la base de numération positionnelle utilisant les chiffres suivants : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Le plus petit nombre entier non nul est noté "1". Le suivant est noté "2", et ainsi de suite. L'entier qui suit 9 est noté (en base 10) "10". Remarquons que le "10" qui apparaît dans l'expression base "10" est celui qui est défini comme l'entier qui suit 9.

Dans la suite de l'article, nous utiliserons l'expression "base humainement canonique" pour parler de cette base 10, car cette base de numération est la base la plus simple pour compter sur les doigts de la main. On l'appelle parfois "système décimal".

Définition 2.2 La base 4 est la base de numération positionnelle utilisant les chiffres suivants : 0, 1, 2, 3.

Dans la base 4, le nombre qui suit 3 est noté "10". Nous appellerons cette base la "base exobiologiquement canonique", car les extraterrestres disposent de 4 doigts (le nombre ici noté "4" est celui de la base humainement canonique).

On peut étendre les définitions des bases à d'autres nombres que 4 ou 10 (base humainement canonique).

Définition 2.3 La "base n" est la base de numération positionnelle utilisant les n chiffres suivants : 0, 1, 2, ..., (n-1).

En base n, le nombre entier qui suit le nombre écrit "(n-1)" est noté "10". Par convention, le nombre n qui apparaît dans la dénomination "base n" est celui de la base humainement canonique.

Pour expliquer la nature comique du gag, on peut aisément admettre que l'astronaute compte en utilisant la base humainement canonique (qu'il appelle "base 10"), alors que l'extraterrestre utilise la base exobiologiquement canonique.

L'humour de la situation vient de la différence entre les conventions mathématiques utilisées par les humains et celles utilisées par les extraterrestres. En effet, contrairement à l’humain, le nombre n qui apparaît dans la dénomination "base n" chez l'extraterrestre est celui de la base exobiologiquement canonique. L'extraterrestre appelle donc "base 10" la base exobiologiquement canonique. Ceci explique la morale : toutes les bases sont des "base 10".

Le second ressort humoristique de la situation se retrouve dans la deuxième intervention de l'extraterrestre, quand il demande ce que signifie "4". Bien qu'il connaisse le sens du nombre 4, il le connaît seulement sous le nom "10". Il est donc logiquement décontenancé lorsqu'il apprend que l'humain utilise une base de numération bien plus compliquée que la base exobiologiquement canonique.

3. La fin alternative

Nous allons à présent évoquer brièvement la fin alternative du gag. En effet, [2] propose une fin alternative au gag, en expliquant que l'astronaute peut répondre à l'extraterrestre en lui disant "Je ne sais pas ? à neutraliser l'acide ?".

Conjecture 3.1 La fin alternative est drôle.

Expérimentalement, la conjecture est vérifiée, puisque j'ai personnellement ri en lisant cet ajout, même si je ne l'ai pas totalement pigé. Cependant, les concepts à mettre en place pour l'expliquer demanderaient un travail bien plus fin que seul un doctorant est capable de fournir. De plus, le budget de la recherche a été intégralement alloué à l'étude d'arguments prouvant que Einstein est le dernier des imbéciles.

Annexe

Les vingt premiers nombres, écrits en base exobiologiquement canonique.

(4.1)

0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110

 

Références

[1] P. BLANCHE, Le gag des dix caillous, Topic officiel trop bien de El Jj 5 (2011)

[2] S. KULKARNI, All your base, Cowbirds in love 43 (2009)

[3] P. , Pourquoi c'est absurde que l'extraterrestre considère dix cailloux comme 4 cailloux ?, Topic officiel trop bien de El Jj 5 (2011)

[4] A. Denjoy, L’Hypothèse de Riemann sur la distribution des zéros de ζ(s), reliée à la théorie des probabilités, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 192 (1931), 656–658.