Défi : écrire tous les entiers de 1 à 100 en utilisant dans l'ordre les chiffres 2, 0, 1, 2 ainsi que les opérations algébriques classiques ?

En ce dimanche matin, je reprend l'idée de mathforum.org en vous proposant en français le "Jeu de l'année". Le principe du jeu reprends le principe de l'énigme des quatre quatres : écrire tous les entiers de 1 à 100 avec les chiffres de 2012 et les opérations mathématiques classiques.

Dans le détail, les règles sont les suivantes :

  • Utiliser une fois (et une seule fois) les quatre chiffres 2, 0, 1 et 2. Dans l'ordre, c'est encore mieux !
  • Utiliser les opérations mathématiques classiques : addition (+), soustraction/opposé (-), multiplication (×), division (/). On peut également utiliser les racines carrées (√), l'exponentiation (puissance) (^) et les factorielles (!), ainsi que les parenthèses/crochets.
  • Il est permis de concaténer les chiffres de base entre eux (pour obtenir des nombres comme 20 ou 12), ou avec le point décimal (pour écrire les nombres .2, .01 ou 1.2).

Avec toutes ces règles, beaucoup de nombres restent inaccessible, d'où la nécessite d'ajouter plus de symboles. Ainsi, vous pouvez :

  • Utiliser la double factorielle (n!!) : la double factorielle d'un nombre n est le produit de tous les entiers congrus à n modulo 2. Par exemple, 6!! = 6×4×2 = 48 et 5!! = 5×3×1 = 15.
  • Utiliser la triple factorielle (n!!!) : même principe que la double factorielle, mais en ne gardant que les entiers congrus à 3 modulo n. En exemple, cela donne 7!!! = 7×4×1 = 28 et 8!!! = 8×5×2 = 80.
  • Utiliser la n-ième factorielle (n!k). Cependant, le nombre k doit être construit proprement.
  • Utiliser les racines k-ième (k√n), avec k construit proprement.
  • Utiliser la fonction Gamma (Γ), défini sur les entiers par Γ(n)=(n-1)!
  • Utiliser le développement décimal périodique des rationnels. Ainsi, on peut écrire .[2] pour écrire le nombre 0.2222... (=2/9) ou 2.0[1] pour le nombre 2.0111111... (=181/90).

Quelques remarques supplémentaires :

  • Il est tout à fait légal d'imbriquer ses factorielles ou ses racines carrées (par exemple, (3!)! est permis).
  • N'oublions pas que 0!=1.
  • Le point décimal ou le développement décimal périodique ne s'utilise qu'avec les chiffres de base. Il est interdit d'écrire .(1+2) pour écrire .3. De même, .[0!] pour désigner le nombre .111... n'est pas autorisé.
  • La fonction inverse n'est pas permise. On peut cependant utiliser le chiffre 1 pour écrire 1/n ou n^(-1). De la même façon, les fonctions "carré" ou "cube" ne sont pas autorisée, sauf en utilisant l'exponentiation pour écrire n^2 ou n^(1+2).
  • Pas de fonction altérant l'intégrité des nombres ! Donc, pas de fonctions transcendantes (exp, cos, sin, tan, log, argcotanh, ...), ni de parties entières / parties fractionnaires.
  • Dans un premier temps, on va éviter d'utiliser les fonctions combinatoires (nombres d'arrangements, de dérangements, de combinaisons avec/sans répétitions....) ou les fonctions arithmétiques (partage d'un entier,  etc.)

Il est maintenant l'heure de jouer ! Pour cela, il faut se munir d'un stylo, d'une feuille de papier et de suffisamment de temps (par exemple, dans le bus, dans la salle d'attente de son ophtalmo, pendant son cours de philo, pendant un exposé très long et très ennuyeux, ...), et de chercher activement comment diable on pourrait écrire le nombre 87, ainsi que tous les autres.

Pour ajouter un peu de piment, je propose un système de points, le but étant d'avoir le plus petit nombre de point. Pour rester dans l'esprit du problème original, certaines solutions sont meilleures que d'autre : il faut éviter de désordonner les chiffres ou de les concaténer. Dans la pratique, pour chaque nombre, on gagne des points pour :

  • Utilisation de +, -, ×, /, √, ^ ou ! : 0 points.
  • Utilisation du point décimal : 1 point par utilisation
  • Utilisation de concaténation : 10 points.
  • Chiffres désordonnés : 50 points.
  • Utilisation de multifactorielles, de racine n-ième : 5 points par utilisation.
  • Utilisation de développement décimal périodique, de la fonction gamma : 30 points par utilisation.
  • Nombre non trouvé : 500 points.

Exemple avec le nombre 42 : On peut l'écrire :
42 = 21×2+0 rapporte 60 points, car les chiffres sont désordonnés (50 points), et le nombre 21 a été obtenu par concaténation (10 points).
42 = ((2+0!)!)!!-(1+2)! rapporte 5 points, dus à l'utilisation de la double factorielle.

Le score total étant la somme du score de chacun des 100 nombres à reconstituer.

 

Maintenant, c'est à vous de jouer !
A l'heure où je poste cet article, mon score est de 4782 (en comptant les 6 nombres non découverts), à vous de le battre et de faire moins !