Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Cervalobélophilie

Cartes Pokémon, Minifigurines Légo, Départ'aimants, vignettes Panini, Pogs, surprises Kinder, fèves Astérix, cartes Magic, canards vivants... Combien de collections a-t-on débuté sans jamais en voir le bout, la faute aux doubles qui s'accumulent et aux nouveaux qui se font de plus en plus rares ?... Très vite, des moyens collaboratifs ont été mis en place pour compléter sa collection : échanges dans la cour de récré, échanges via forum internet, achat à l'unité sur des sites d'occasion... Aujourd'hui, petit tour de ce qu'il faut savoir avant de commencer une collection.

Pog_CollectionSachez cependant que débuter aujourd'hui une collection de Pogs est une mauvaise idée.

Compléter sa collection ?
Prenons un collectionneur de base, qui veut coûte que coûte acquérir ses n vignettes Panini, quel que soit le nombre de paquets qu'il faudra acheter. On supposera que l'on achète chaque vignette une par une, au hasard. Celles-ci sont équiprobables  : la probabilité d'obtenir une vignette donnée est de 1/n

Estimons donc le nombre de vignettes qu'il faudra acheter en moyenne pour compléter son album.

  • Quand on achète sa première vignette, notre album est vide. La probabilité d'obtenir une nouvelle vignette est donc de 1.
  • Maintenant que l'on a une vignette dans son album, il ne faut pas retomber sur la même. Cette proba est de 1/n. La proba d'obtenir une nouvelle vignette est donc de (n-1)/n
  • De façon équivalente, si on a déjà k-1 vignettes dans son album, la probabilité d'obtenir une nouvelle vignette sera de (n-k+1)/n.
  • Enfin, quand il ne manque qu'une seule vignette, la probabilité d'obtenir cette dernière est de 1/n.

De la même façon qu'il faut jeter en moyenne 6 fois un dé avant d'obtenir pour la première fois le chiffre 6, la première apparition d'un événement de probabilité p n'aura lieu en moyenne qu'après 1/p tentatives (espérance d'une loi géométrique de paramètre p).
Ainsi, puisque la probabilité d'obtenir la k-ième vignette est de (n-k+1)/n, il faudra acheter en moyenne n/(n-k+1) vignettes en plus avant d'avoir cette k-ième.

Pour avoir les n vignettes, il faudra en acheter en moyenne :

Obtenir_n_vignettes

ce qui équivaut, pour n grand, à n (ln n +  γ), où γ≃0.577 est la constante d'Euler-Mascheroni (la petite soeur de π et e qu'on a tendance à oublier).

En considérant n=456 vignettes à collectionner, il faudra en acheter en moyenne 3056 pour compléter son album. Cela demandera 612 packs de 5 vignettes (soit 367.20€), ou 34 packs de 90 vignettes (soit 326.40€).

nlnn+ngy = x (ln x + γ)
Minifigurines légos : n=16, f(n) = 54

Départ'aimants : n=93, f(n) = 475
Images panini Rugby 2012-2013 : n=456, f(n) = 3056

La formule n'est en réalité pas tout à fait correcte, puisqu'un pack de cartes ne peut pas contenir de vignettes en double. La formule que l'on obtient est un peu plus compliquée, mais les résultats restent grosso modo les mêmes.

Rareté ?
Certaines cartes ont l'air plus rares que d'autres. Les joueurs Hongrois ou Slovènes pullulent, alors qu'il me manque toujours le Nosferalto brillant, le Pog Noel ou le départ'aimant de la Mayenne... Sylvain Sardy et Yvan Velenik, deux mathématicien suisses, ont mené l'enquête. En dépouillant 6000 vignettes de l'édition 2010 de l'album football Panini et en procédant à un test du χ², ils en sont arrivés à la conclusion qu'aucune carte n'est plus rare qu'une autre. Oui, même les brillantes !

Mais alors, pourquoi ce sentiment de complot ? La réponse est en fait assez simple : plus on avance dans la collection, plus les nouveautés se font rares.

Raretesx = Tn(y) = ∑i=0y-1 n/(n-i) pour n=456
Nombre moyen de vignettes distinctes en fonction du nombre de vignettes achetées

Par exemple, sur une collection Panini de 456 vignettes, la première moitié de la collection demandera environ 320 achats. Avec 320 vignettes en plus, on peut espérer compléter son album à 75%. Les 25% restantes demanderont 2500 vignettes en plus, et les 3 dernières nécessiteront à elles seules presque 1500 achats !

Trésors sur Internet
Heureusement, grâce au réseau mondial de l'Internet, il est désormais possible de faire des échanges avec des collectionneurs du monde entier. On peut même acheter la vignette de ses rêves à l'unité. Évidemment, les vignettes supplémentaires seront un peu plus chères que les vignettes aléatoires, mais quand on aime...

Ainsi, on peut se demander à partir de quel moment il devient le plus intéressant de ne plus se laisser tenter au hasard. Supposons qu'une vignette est trois fois plus chère sur internet qu'en pack aléatoires (estimation haute). En décidant d'acheter ses images au hasard jusqu'à en avoir k, puis d'obtenir les (n-k) autres par des moyens détournés, le prix de revient sera Tn(k).e+(n-k).3e, où Tn(k) est le nombre moyen de vignettes (de prix unitaire e) à acheter pour en avoir k distinctes.

Dans le cas de la collection Panini Rugby 2012-13, on a le graphique suivant :

Prix_collectionCoût moyen (en €) de la collection complète en fonction du moment où l'on arrête d'acheter au hasard
y = 0.12.T
n(x)+0.36.(n-x) pour n=456
Le minimum de la courbe est atteint aux alentours de x=300

Le meilleur moment pour passer aux échanges sur Internet, c'est donc le moment où l'on possède 300 vignettes sur les 456. On peut alors obtenir la collection pour un peu plus de 100€. De manière générale, il est préférable d'arrêter les packs aléatoires quand on possède les deux tiers de la collection complète.

Maintenant vous savez : le plus important quand on commence une collection, c'est de savoir s'arrêter à temps !


Sources :
L'émission suisse A bon entendeur du 18 mai 2010, avec son sujet sur les images Panini.
Coupon collector's problem sur Wikipedia

Posté par El Jj à 10:00 - Commentaires [5] - Permalien [#]
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Commentaires sur Cervalobélophilie

    Le prix du paquet ?

    D'où sort le prix du paquet de vignettes ? Tu nous sors des valeur « (soit 367.20€) », mais on n'a pas le prix unitaire au début. Ça fait bizarre

    Posté par judu, 27 janvier 2013 à 15:06 | | Répondre
  • @judu J'ai préféré ne pas donner toutes les données pour éviter un effet catalogue de prix pas forcément très utile. Mais je cède aux revendications populaires : un paquet de 5 vignettes coûte 0.60 €, un paquet de 90 vignettes coûte 9.60€, ce qui donne un prix unitaire de 0.12€ ou de 0.107€ .

    Posté par El Jj, 27 janvier 2013 à 17:14 | | Répondre
  • Belle etude Bravo

    Posté par monom, 01 février 2013 à 10:48 | | Répondre
  • Excellent... ma fille vient de commencer un album d'images.. ça fait peur...

    Posté par savanna, 01 février 2013 à 12:28 | | Répondre
  • Echanges ?

    Super ! Passionnant comme d'habitude...

    J'ai une petite question : que peut-on dire dans le cas ou plusieurs collectionneurs echangent entre eux ?
    Par exemple, supposont qu'on a P personnes qui comment au meme moment une collection comportant N vignettes. Chaque fois que quelqu'un a un 'double' il propose de l'echanger contre une qu'il n'a pas (il faut sans doute preciser un peu mieux le protocole d'echange si plusieurs sont interesses par la meme).
    Si P est assez grand je suppose qu'au bout de N semaines il y a toutes les chances qu'au moins un des collectionneurs ait une collection complete. Dans ce cas il arrete d'acheter et d'echanger. La question interessante est : au bout de combien de semaines le dernier des collectionneurs aura-t-il termine sa collection ?
    Ca vous inspire ??

    Posté par Erbaf, 28 février 2013 à 00:35 | | Répondre
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