Peut-on démontrer le théorème de Pythagore en moins de deux minutes ? Bien sûr, ce n'est pas difficile.

Mais peut-on le faire de 8 façons différentes ? C'est justement le sujet de la première vidéo de ma nouvelle chaîne Youtube !

Bonus
Il y a une autre démonstration du théorème de Pythagore que j'aurais voulu placer dans la vidéo, mais elle aurait gravement dépassé les 2 minutes... La démonstration de Arioni, basée sur la convergence de la série géométrique.

Pour cela, la première chose à remarquer, c'est que, dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit donne deux triangles semblables au premier (car ils ont forcément un angle en commun en plus de l'angle droit).

Du coup, sur la figure suivante, tous les triangles représentés sont semblables :

Arioni
ABC est un triangle rectangle en A, de côtés a, b et c.
Pour tout k, Ck+1 est le pied de la hauteur issue de Adu triangle CkAkB, 
et Ak+1 est le pied de la hauteur issue de Ck+1 du triangle Ck+1AkB

Tous les triangles bleus sont similaires, si bien que

Arioni_1

On a alors, pour tout k, 

Arioni_2

On regarde ensuite les triangles de part et d'autres des segments hk :

Arioni_3

On a alors, pour tout k,

Arioni_4

En remplaçant dans l'égalité des triangles bleus, on a :

Arioni_5

De plus, tous les triangles rouges sont similaires à ABC, donc

Arioni_6

Donc 

Arioni_7

Autrement dit, la suite c est géométrique, de raison c²/a²

La longueur c est égale à la série géométrique c0+c1+c2+...
Donc

Arioni_8

De plus, la similarité de ABC avec ABH0 implique que h0 = cb/a
La similarité de A1H0A avec ABC implique que c0 = h0.b/a
Donc c0 = c b²/a².

On remplace dans la série géométrique :

Arioni_9

Ce qui se simplifie en :

Arioni_10

Autrement dit :

a² = b² + c²

CQFD !


Sources :
Vous pouvez retrouver 103 (103 !) démonstrations du théorème de Pythagore sur cut the knot