L'été dernier, un pavé est tombé dans la marre des pavages pentagonaux. Et le pavé en question, le voici :

Un pavé dans la mare
Oh, pavé de classe 15, tu as éclairé notre rentrée !

Ce pavé vient s'ajouter à la liste des classes de pavés convexes pentagonaux, qui en compte donc désormais 15. Peut-être en existe-t-il encore davantage, personne ne le sait, et personne n'ose vraiment se risquer à annoncer que la liste est complète... Il faut dire que l'histoire des pavages pentagonaux regorge de mathématiciens persuadés à tort d'avoir complété la liste !

Mais de quoi parle-t-on exactement ? Eh bien, de ça :

Pavage 15
Et il y en a encore qui carrellent leur salle de bain avec des tuiles carrées...

La question qui se pose est celle des pentagones qui pavent le plan : peut-on trouver des pentagones tous identiques qui peuvent recouvrir l'ensemble du plan. Bien sûr, les pentagones ne doivent pas se chevaucher (sinon, c'est trop facile) et doivent être évidemment tous de même taille.

Par soucis de simplification, on supposera aussi que les pentagones sont convexes (toutes les diagonales du polygone sont à l'intérieur de celui-ci) :

Pavage Non Convexe 1 Pavage Non Convexe 2
Exemples de pavages avec un des pentagones non convexes.
Jusqu'à présent, aucune classification des pavés pentagonaux non convexes n'a été tentée.

Le plus ancien exemple de pavé pentagonal convexe pavant le plan est le pavé du Caire : un pentagone dont les angles valent 120°, 90°, 120°, 90° et 120°. Assez étonnamment, il n'usurpe pas son nom, puisqu'on retrouve réellement des exemplaires de ce pavé dans les rues de la capitale égyptienne. Avec 4 exemplaires de ce pavé, on peut fabriquer un hexagone qui, après répétition par translations, peut paver l'ensemble du plan.

Pavages du Caire - On raconte que Ramsès II, Cléopatre, Dalida et Nagui auraient foulé ces tuiles pentagonales.
En haut à gauche : le pavé du Caire
En haut à droite : assemblage de 4 tuiles formant un motif hexagonal
En bas à gauche : le pavage du Caire
En bas à droite : pavage d'une zone résidentielle du Caire.

On s'est donc très vite posé la question : quels sont les pentagones convexes qui pavent le plan ? En fait, il en existe une infinité. Par exemple, dès qu'un pentagone a deux côtés parallèles, on peut toujours en faire un pavage.

Pavage 1 a Pavage 1 b Pavage 1 c
Plusieurs variantes du même même pavage, construit à partir d'un pavé possédant deux côtés parallèles.

Il faut donc plutôt parler de classes de pavés. Ainsi, un pavé possédant deux côtés parallèles sera rangé dans la classe #1.
La deuxième subtilité, c'est que la classification des pavés pentagonaux n'a rien à voir avec la classification des groupes de papier peint (a.k.a. "groupes cristallographiques du plan"), qui sont définitivement au nombre de 17 (démontré en 1891).
En particulier, une classe de pavé donné peut fournir des pavages appartenant à divers groupes de papier peint. Par exemple, les pavés de classe #1 peuvent aboutir à 8 types de pavages différents.

Pavage 1 pgg Pavage 1 p2Pavage 1 cm Pavage 1 pmg
D'autres exemples de pavages construits à l'aide de pavés de classe #1. 
Ces différents pavages sont sensiblement différents, puisqu'ils ne présentent pas les mêmes symétries, qui sont, respectivement, pgg, p2, cm et pmg.

La classification des pavés pentagonaux : de tempêtes en naufrages
Le premier à s'être attaqué à la classification des pavés pentagonaux est l'allemand Karl Reinhardt. Il découvre en 1918 les 5 premières classes de pentagones, et conjecture qu'il n'y en a pas d'autre ( "croyez-moi, j'ai cherché au moins une heure, et ce sont les seuls, j'en suis sûr et certain" ).

Pavé 1 Pavé 2 Pavé 3 Pavé 4 Pavé 5

Pavage 1 Pavage 2 Pavage 3 Pavage 4 Pavage 5

Les 5 premières classes de pavés pentagonaux, découvertes par Reinhardt
A noter que le pavé du Caire rentre à la fois dans la classe #2 et #4

Pendant 50 ans, le problème est resté en suspens, puisque tout le monde a fait confiance à Reinhardt. Jusqu'à ce que l'américain Richard Kershner ne découvre en 1968 trois nouvelles classes de pavés pentagonaux. Cette fois-ci, il en est sûr : il n'existe que 8 classes de pavés pentagonaux, pas une de plus ! Mais il manque de place pour le démontrer soigneusement...

Pavé 6 Pavé 7 Pavé 8

Pavage 6 Pavage 7 Pavage 8
Les classes #6, #7 et #8, découvertes par Kershner.

En 1975, Martin Gardner publie dans le Scientific American un article relatant les résultats de Kershner. Cela inspirera Richard James, qui découvre alors un nouveau type de pavé pentagonal. Pour une fois, il ne cherche pas à prouver qu'il n'en existe aucun autre.

Pavé 10  Pavage 10

La classe #10, découverte par James

En 1977, Gardner publie à nouveau un article sur les pavages pentagonaux pour évoquer la découverte de James. C'est alors que Marjorie Rice, femme au foyer sans aucune formation mathématique, tombe sur l'article, et commence à chercher de nouveaux types de pavages. Triomphe des mathématiques amateurs : elle trouvera 4 nouvelles classes !

Pavé 9 Pavé 11 Pavé 12 Pavé 13

Pavage 9 Pavage 11 Pavage 12 Pavage 13
Les classes #9, #11, #12 et #13, découvertes par Rice

En 1985, l'allemand Rolf Stein découvre un 14e type de pavage, et démontre formellement que sa liste est exhaustive... Jusqu'à ce que l'on découvre une faille dans son raisonnement...

Pavé 14  Pavage 14

La classe #14, découverte par Stein

Enfin, durant l'été 2015, un 15e pavé est découverte (avec surprise) par Casey Mann, Jennifer McLoud, et David Von Derau, une équipe de mathématiciens américains à l'aide d'une rigoureuse recherche informatique. Personne n'ose désormais se risquer à dire que la classification est terminée...

Pavé 15Pavage 15

La classe #15, découverte par Casey, McLoud et Von Derau

D'autres classifications
Ça, c'est pour la classification des pavés pentagonaux convexes. Elle n'est pas terminée, mais elle est l'objet de nombreuses recherches. On peut cependant citer d'autres théorèmes, qui permettent d'affirmer que la recherche cherche et trouve.

Par exemple, la classification des pavés pentagonaux aboutissant à des pavages "côté contre côté" (deux pavés qui se touchent partagent nécessairement une arête commune) est terminée. Ce résultat a été trouvé indépendemment en 2011 et 2012 par la russe Olga Bagina et par le japonais Teruhisa Sugimoto, et annonce qu'il n'en existe que 8 classes (les classes #1, #2,  #4, #5, #6, #7, #8 et #9).

Outre les pavés, on peut aussi classifier les pavages (un même pavé peut donner plusieurs pavages) en fonction du nombre de positions équivalentes différentes que peuvent prendre les pavés. On parle alors de pavages isoédraux, 2-isoédraux, etc.
Plus précisément, un pavage est isoédral si, quand une isométrie (rotation, translation ou symétrie) transforme un pavé en un autre pavé, elle en fait de même avec le pavage dans son ensemble. Ce sont tous les pavages unicolores des paragraphes précédents. On peut prouver qu'il existe 24 pavages pentagonaux isoédraux.

Pour les pavages 2-isoédraux (les pavés peuvent prendre deux familles de positions différentes, représentés par deux couleurs différentes), on compte aujourd'hui 97 familles différentes, mais cette liste n'a pas été démontrée comme étant complète.

Et les autres polygones ?
Mais au fait, pourquoi s'intéresse-t-on à la classification des pavés pentagonaux, et pas à celle des pavés triangulaires, quadrilatères ou hexagonaux ? Eh bien, parce que la classification des pentagones convexes est la seule qu'il reste à achever...

  • En ce qui concerne les pavés triangulaires : puisque deux triangles identiques forment toujours un parallélogramme et que les parallélogrammes pavent le plan, on peut donc conclure que tout triangle pave le plan.

Pavage Triangles
Le plus simple des pavages triangulaires, construit à partir d'un triangle quelconque.

  • Pour ce qui est des quadrilatères : là aussi, on peut prouver que n'importe quel quadrilatère (même non convexe) pave toujours le plan, et de façon périodique.

Pavage Quadrilatères
Exemple de pavage construit à partir d'un quadrilatère quelconque

  • Ensuite, on peut démontrer que les pavés hexagonaux convexes se divisent en seulement trois classes :

Pavé hexagonal 1 Pavé hexagonal 2Pavé hexagonal 3
Pavage hexagonal 1 Pavage hexagonal 2 Pavage hexagonal 3
Les trois classes de pavés hexagonaux

  • Enfin, pour les polygones convexes à 7 côtés ou plus, un théorème démontré par Niven en 1978 montre que ces polygones ne peuvent pas paver le plan.

Bref : les mathématiciens travaillent d'arrache-pied pour vous proposer un choix exhaustif en terme de carrellage de cuisine et de salle de bain. Voilà pourquoi toute avancée sur le sujet doit être accueilli à bras ouverts !


Sources :
Les pavages du Caire, A. El Kamici
Les pavages pentagonaux, une classification qui s'améliore, J.-P. Delahaye
L'énigme des pentagones, E. Ghys
Pentagonal tiling, Wikipédia

Images :
Toutes les illustrations des pavages proviennent de l'applet de Jaap
Les pavages du Caire