04 juillet 2009
La nuit des courbes monstres
Courbe de Hilbert (7 itérations)
Nous nous étions arrêtés la semaine dernière aux monstres du peuple des courbes, à savoir les courbes continues mais dérivables nulle part (Courbe de Weierstrass, de Bolzano, du blanc-manger, de Koch...). Mais ces courbes restent des monstres gentils, face aux démons réveillés par Peano. Il est temps de passer du côté obscur, avec les courbes de Peano-Hilbert, qui parviennent à visiter chaque point d'un carré unité.
La courbe de Peano (1890)
Courbe de Peano (4 itérations)
L'histoire se déroule à la fin du XIXe siècle, où Cantor étudie l'infini. De ses travaux découlent différents type d'infini : le dénombrable et le continu (et le reste). D'un côté, il y a les ensembles dénombrables, qui ont "autant" d'élément qu'il y a d'entiers dans ℕ. De l'autre, les ensembles continus, qui ont "autant" d'éléments qu'il y a des réels dans ℝ.
Un ensemble de nombres (pourvu qu'il ne soit pas trop compliqué) est soit fini, soit dénombrable, soit continu. Par exemple, l'ensemble des nombres pairs est dénombrable : il y a autant d'entiers pairs que d'entiers (en doublant un entier, on trouve toujours un entier pair, et vice-versa). De même, en étirant un segment de longueur 1 ([0,1]), on peut obtenir un segment de longueur 2 ([0,2]) : il y a "autant" d'éléments dans [0,1] que dans [0,2]. En poussant un peu, on peut voir qu'il y a autant de nombres dans [0,1] que dans ℝ.
Cantor fini par démontrer (en 1877) qu'il y a "autant" d'éléments dans [0,1] que dans [0,1]×[0,1]. Dit autrement, il y a "autant" d'élément dans le côté d'un carré que dans le carré ! Lui-même n'arrive pas à croire ce qu'il vient de démontrer !
Pour s'en convaincre, il faudrait construire une courbe (le déformé d'un segment, dont autant de point que dans [0,1]) qui recouvre entièrement un carré. On montrerait alors qu'il y a le même nombre de points dans un carré et dans son côté.
Quand on cherche, on trouve ! En 1890, c'est Peano qui a eu le privilège de donner le premier exemple d'une telle courbe, qui seront appelés courbes de Peano-Hilbert.
La courbe est donnée par la fonction suivante :
où (t1t2t3...)3 est la décomposition de x∈[0,1] en base 3 (tk∈{0,1,2})
et k(0)=2, k(1)=1 et k(2)=0
J'admets, cette formulation est complètement tordue, mais je la trouvais au moins aussi jolie que la courbe qu'elle engendre !
En fait, on construit dans la pratique la courbe de Peano plutôt comme la limite d'une suite de courbes :
4 premières étapes de la construction de la courbe de Peano
Pour construire cette courbe, on part d'un carré que l'on divise en 9 régions (3×3). On numérote alors ces régions en suivant le chemin en N de la première étape illustré ci-dessus. En reliant les centres des cases, on trouve la première étape de la courbe de Peano.
Pour obtenir la deuxième étape, on part de la grille de 9 régions déjà dessinée, et on découpe chacune d'entre elles en 9 cases (on obtient une grille vierge de sudoku). Pour chaque région, on numérote les cases de 1 à 9 en suivant le motif en N (ou son symétrique par un axe vertical), de façon à ce que le 9 d'une région touche le 1 de la suivante. Pour chaque région, on relie de 1 à 9 le centre des cases : on obtient l'étape 2 de la construction de la courbe de Peano.
On réitère ce principe pour obtenir les étapes suivantes de la construction.
De façon générale, on peut obtenir de nombreuses courbes de Peano-Hilbert par ce procédé. En découpant à chaque étape les carrés en 4, on peut par exemple obtenir la courbe de Hilbert, la courbe de Lebesgue ou la courbe de Moore (De telles courbes sont appellées courbes de Peano-Hilbert binaire).
La courbe de Peano est une fonction P(x)=(x(t),y(t)). On peut alors remarquer que les deux fonctions x(t) et y(t) sont continues partout et dérivables nulle part ! Tout concorde !
Graphe de la première composante de la fonction de Peano : continue partout, dérivable nulle part
La courbe de Hilbert (1891)
Courbe de Hilbert (7 itérations)
L'année suivante, Hilbert donne un autre exemple de courbe remplissante, donnant à ce type de courbe le nom de courbe de Peano-Hilbert. Elle se construit sur le même principe que la courbe précédente.
6 premières étapes de la construction de la courbe de Hilbert
Grâce à un langage comme Logo (Mon tout premier langage de programmation, découvert en CM1 !) et le L-système, on peut construire facilement ce type de courbe.
Le L-système est une façon de décrire ce type de courbe de manière algorithmique. Pour cela, il suffit simplement de définir des règles de remplacement. Pour la courbe de Hilbert, elles sont :
"L" ↦ "+RF-LFL-FR+"
"R" ↦ "-LF+RFR+FL-"
A l'étape 0, on commence par "L" (l'axiome). Chaque étape consiste alors à remplacer les L et R par l'expression correspondant.
Etape 0 : "L"
Etape 1 : "+RF-LFL-FR+"
Etape 2 : "+-LF+RFR+FL-F-+RF-LFL-FR+F+RF-LFL-FR+-F-LF+RFR+FL-+"
Pour dessiner la n-ième étape de la construction de la courbe de Hilbert, on commence par calculer l'expression de l'étape n. On enlève ensuite les L et R qui deviennent inutiles, puis on dessine la courbe en convenant que :
+ signifie tourner à gauche
- signifie tourner à droite
F signifie avancer d'une unité
Par exemple, l'algorithme de l'étape 1 est : "+F-F-F+", c'est à dire :
gauche - avancer - droite - avancer - droite - avancer - gauche
La courbe de Peano peut se représenter de la même façon, avec pour axiome X et les deux règles de remplacement :
"X" ↦ "XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX"
"Y" ↦ "YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY"
La courbe de Lebesgue (1904)
Courbe de Lebesgue (4 itérations)
Cette courbe se construit sur le même principe que les deux précédente (c'est une courbe de Peano-Hilbert binaire), en découpant le carré unité en N, puis en reportant exactement le même motif dans chaque sous-case.
Reliez les points
Contrairement aux courbes de Peano et deux Hilbert, cette courbe est un peu moins monstrueuse. En effet, elle est dérivable presque partout !
Toutes ces courbes (à priori, de dimension 1) ont la particularité d'être de dimension 2 (de Hausdorff) !
Les autres
Terminons cet article avec quelques autres jolies courbes de la famille Peano-Hilbert:
La courbe de Moore (7 itérations)
C'est simplement 4 courbes de Hilbert recollées
La courbe de Sierpiński
Sources :
Courbes remplissante sur Mathcurves.com (D'où proviennent la courbe de Lebesgue et de Sierpiński)
Continuous Nowhere Differentiable Functions - Thèse de Johan This
28 juin 2009
Les courbes monstres
Elles sont apparues au XIXe siècle, et ont été loin de laisser indifférent : Poincaré les a qualifiées de "monstres" et Hermite de "plaies lamentables". On les appelle plus affectueusement "pathologiques"... Mettons-les pour une fois à l'honneur !
Une courbe continue : une courbe que l'on peut tracer sans lever le crayon.
Si le mouvement de la main est soyeux et délicat (le crayon ne s'arrête pas, ne trace pas d'angles), on dit que la courbe est dérivable (enfin, on dit plutôt que la fonction est différentiable, mais on est pas à cette approximation près...).
Les courbes les plus simples que l'on imagine sont continues et dérivables, mais il arrive, même dans la vie d'un lycéen, que la courbe de la fonction ne soit plus dérivable en un point précis. La courbe y est alors anguleuse, et n'y admet pas de tangente. L'exemple le plus simple est le graphe de la fonction valeur absolue :
Graphe de la fonction f(x)=|x|
Fonction continue et dérivable sauf en 0
Cette fonction a le mérite d'être continue (la courbe peut sans problème être tracé sans lever le crayon), mais n'est pas dérivable en 0 (la courbe y est anguleuse, le mouvement de la main pour tracer la fonction ne sera pas velouteux). Heureusement, partout ailleurs, la courbe est bien dérivable (On dit qu'elle est dérivable presque partout)
On peut alors facilement s'imaginer des courbes continues qui ne sont pas dérivables partout : on appelle ça des zig-zag !
Graphe d'une fonction zigzag
Fonction continue mais non dérivable en -1, 0, 1, 2 et 3
Cette fonction reste tout de même dérivable presque partout : il n'y a que 6 points où elle ne l'est pas (les points anguleux), ce qui est négligeable vu le nombre de points où elle l'est. On peut même imaginer une fonction continue mais non dérivable en une infinité de points (un zig-zag infini), mais l'ensemble des points où la fonction n'est pas dérivable reste négligeable !
Ce genre de choses était déjà bien connu à la fin du XVIIIe siècle (où les problèmes étaient généralement de trouver la dérivée d'une fonction donnée), et on s'est rapidement dit que toutes les courbes continues devaient n'avoir qu'un nombre négligeable de points anguleux. Une courbe partout continue et nulle part dérivable : inimaginable !
André-Marie Ampère (celui qui a donné son nom à l'unité électrique) a même tenté de démontrer en 1804 que toute courbe ne devait avoir qu'un nombre négligeable de points de non-dérivabilité. Aujourd'hui, on a toujours du mal à comprendre ce qu'il a voulu prouver, et de toutes façons, il avait tord !
La courbe de Bolzano
La toute première courbe partout continue et nulle part dérivable (On va appeler ça une courbe ND) est l'œuvre du mathématicien tchèque Bernard Bolzano, découverte en 1830. Il faudra tout de même attendre 1930 avant qu'elle ne soit publiée. Par sa construction, on peut l'identifier comme étant la première fractale de l'histoire ! Elle ressemble à ceci :
Courbe de Bolzano
(Continue partout, dérivable nulle part)
Pour la construire, on part de deux points A(0,0) et B(1,1). (On a le segment B0=[AB]). Pour obtenir B1, on construit les trois nouveaux points suivants : C(3/8,5/8), D(1/2,1/2) et E(7/8,9/8). La courbe B1 est le zigzag ACDEB. Pour passer à B2, il faut reprendre chaque segment composant B1, et les transformer en zigzag selon l'opération décrite à l'étape précédente. En itérant ce processus une infinité de fois, on obtient la courbe de Bolzano. Les trois premières étapes sont représentées ci-dessous :
En pointillé, B0 ; en bleu B1 ; en rouge B2
Cette courbe est ND : elle est continue (ce ne sont que des bouts de segments), mais dérivable nulle part (tout point est un angle)
Les courbes de Weierstrass
La star des courbes ND, c'est bien celle-ci ! Le 18 juillet 1872, le mathématicien Karl Weierstrass présente devant une foule médusée non pas une, toute une famille entière de fonctions continues dérivables nulle part ! Il en existait bien deux autres alors, mais n'étaient pas publiées (celle de Bolzano et celle de Cellérier, qui est un cas particulier de celle de Weierstrass).
Les courbes de Weierstrass sont données par la formule suivante :
Pour 0<a<1 et b impair donnés tels que ab>5,72 (On a prouvé bien plus tard que ab>1 suffit)
Prenons par exemple a=1/3 et b=5. On a alors :
W(x) = cos(πx) + cos(5πx)/3 + cos(25πx)/9 + ...
Autrement dit, une somme de fonctions cosinus (toutes aussi continues et dérivables les unes que les autres, mais de plus en plus sinueuses et tassées), ce qui donne :
Fonction de Weierstrass
En gris les sinusoïdes à sommer pour obtenir la fonction
Bref : dérivable + dérivable + dérivable +... = non dérivable !
La courbe du blanc-manger
Une petite dernière, datant de 1903 : la courbe de Tagaki, alias courbe du blanc-manger (parce qu'elle ressemblerait au blanc-manger, un pouding au lait d'amande. On y ajoute de la noix de coco, de l'abricot ou des fruits rouges, selon les préférences culinaires).
Elle est bâtie sur le même principe que la courbe de Weierstrass : une somme de fonctions de plus en plus oscillantes (mais non dérivables pour cette fois). Sa formule est la suivante :
Elle consiste donc en la somme de fonctions en montagnes. En rouge, pour k=1, en jaune, pour k=2 etc.
Courbes à sommer pour obtenir la courbe de blanc-manger :
La courbe de Tagaki
L'année suivante, Koch construisait son célèbre flocon, lui aussi continu partout et dérivable nulle part... On a dernièrement découvert une famille de fonctions à base de produits infinis (Les fonctions de Wen, en 2002) !
Fonction de Wen
Continuous Nowhere Differentiable Functions - Thèse de Johan This
Recette du blanc-manger
10 mai 2009
A mi-chemin entre le triangle et le cercle
- Question mathématique, vous laissez ou prenez la main ?...
- Je prend la main !
- L'indice s'affiche en bas de votre écran....
Il ne tourne pas rond !
- Je suis... top !
Je suis une courbe découverte par un ingénieur allemand du début du XIXe siècle, dont l'une des propriétés est d'être de largeur constante, c'est à dire, dont tous les diamètres sont les mêmes. J'ai permis aux étudiants de l'Institut Royale de Berlin de comprendre qu'un cylindre donnant toujours la même mesure avec un pied à coulisse n'est pas forcément cylindrique...
- Le cercle ?
A gauche, un cercle, dont tous les diamètres sont constants
A droite, un pentagone, avec deux diamètres différents
Le cercle n'est pas la seule courbe à posséder un diamètre constant !
- Non... La main passe... top !
Parmi toute les courbes possédant cette propriété de largeur constante, je suis, selon le théorème de Lebesgue-Blaschke, celle qui minimise l'aire. Ainsi, ma forme permet d'obtenir une forme de plaque d'égout non seulement économique, mais en plus originale, comme à San Francisco...
- Le cercle ?
Plaque d'égouts à San Francisco
La forme habituellement circulaire des plaque d'égout leur permet de ne pas tomber accidentellement, grâce à leur diamètre constan.
- Mais non, un cercle, ce n'est pas très original !... top !
Je suis un polygone curviligne, mais possède moins de côté que ma grande sœur qui a donné sa forme aux pièces britanniques de 20 et 50 pence, ce qui leur permettent d'entrer dans n'importe quel distributeur automatique...
- Le cercle !
Pièces de 50 et 20 pence
Ces pièces ne sont pas circulaires, mais basés sur des heptagones (polygone à 7 côtés). Elles ont cependant un diamètre constant, et peuvent rentrer dans les distributeurs automatiques.
- Mais non, un cercle, ce n'est pas original... top !
Ma forme particulière a permis en 1930 à l'ingénieur britannique Harry Watts de fabriquer une fraiseuse pouvant forer des trous carrés...
- Le cercle ?
Comment forer des trous carrés !
- Mais non, c'est pas le cercle !... top !
Également appelée orbiforme équilatérale, je suis construit à partir d'un triangle équilatéral et de trois arcs de cercles. Je tiens mon nom de mon inventeur, Franz Reuleaux... Je suis... Je suis ...
- Le triangle de Reuleaux !
- Oui ! ! !
Le triangle de Reuleaux, dans toute sa splendeur
Sources :
Des trous carrés
Wikipédia, toujours.
01 mars 2009
La quadrature du carré
La quadrature du cercle : à partir d'un cercle donné, construire à la règle et au compas un carré d'aire égale à celle du cercle. Posé dans l'antiquité, la réponse est donné en 1882 par Lindemann : impossible !
Et maintenant, on fait quoi ? La quadrature du carré ??!...
L'idée du problème date du Lady Isabel's Casket, puzzle de Dudeney, en 1903 : un puzzle où (presque) toutes les pièces sont des carrés, à assembler pour retrouver un carré :
Lady Isabel's Casket
La question de la quadrature du carré, c'est "Est-il possible de découper un carré en carrés plus petits ?".
La réponse est évidente : je peux découper un carré en 64 carrés plus petit, et ça s'appelle un échiquier !
Mais si on s'impose des carrés tous différents ?...
La quadrature du rectangle
Avant de s'attaquer à la quadrature du carré, on peut commencer par celle du du rectangle, avec la même question : un rectangle peut-il être découpé en carrés tous différents ?
Première bonne nouvelle, apportée par Dehn en 1902 : il n'y a aucune contre-indication à ce qu'un tel pavage puisse exister ! On sait même que si un tel pavage existe, on pourra avoir le rectangle et les carrés auront des côtés entiers.
Il faudra attendre 1925 et Zbigniew Moroń pour avoir des exemple de rectangle parfaitement quadrable : un rectangle 32×33 découpé en 9 carrés, et un rectangle 65×47 découpé en 10 carrés :
Les deux rectangles de Moroń
Du rectangle au carré, il n'y a qu'un pas, donné par Moroń. Si on connaît deux pavages différents d'un même rectangle (utilisant des pavés tous différents), on peut retrouver rapidement un carré. En effet, avec deux rectangles p×q (pavés différemment), un carré p² et un carré q², on retrouve un carré (p+q)² :
La quadrature du carré
A partir de cette observation de Moroń, Roland Percival Sprague a pu donner la première quadrature du carré, en 1939 : un carré de côté 4205, pavé par 55 carrés !
Mais en éternel insatisfait, on peut se dire que ce découpage n'est pas totalement convaincant, puisqu'on peut y retrouver des rectangles (par construction)...
Ce qui serait parfait, ça serait un carré pavé par des carrés tous différents plus petits, et sans aucun sous-rectangle... On va appeler ça une quadrature "simple" (le nom va de soit, puisqu'elles sont difficiles à trouver...)
C'est en 1940 que le gang des 4 (Brooks, Smith, Stone et Tutte) découvre la première quadrature simple ! Un carré découpé en 69 sous-carrés, et de côté... 7 919 535 !
Carré d'ordre 69
Un tel carré ne se trouve évidement pas par hasard, surtout à une époque où l'informatique n'est d'aucune aide pour ce genre de question. Pour trouver cette quadrature, ils sont passé par le terrain de... l'électronique, et de la loi de Kirchhoff (loi qui me rappelle très vaguement des cours que j'ai pu avoir en première année de licence..)
En associant aux rectangles quadrés un circuit électrique. Ils découvrirent alors un rectangle quadré par 13 pavés, et pavable par ces carrés de deux façons différentes (l'anecdote dit que c'est la mère de Brooks qui découvrit une deuxième quadrature du rectangle en cherchant à reconstituer le premier). A partir des circuits électriques correspondants et en réalisant des court-circuits, le club des 4 réussit à découvrir le premier carré quadré simplement !
Brooks découvrit un peu plus tard un carré pavable par 39 carrés au lieu de 69.
S'en suivit tout un tas de résultat à propos de quadratures de carrés et de rectangles :
- Christoffel Jacob Bouwkamp, dans les années 50, recherche tous les rectangles pavables par moins de 15 carrés... Il y en a 3663 !
- En 1962, Adrianus Johannes Wilhelmus Duijvestijn montre que tout carré simplement quadrable contient au moins 21 carrés.
- En 1978, il trouva un carré fait de 21 carrés : c'est le seul !
- En 1992, Bouwkamp et Duivestijn font la liste des 207 carrés quadrables avec moins de 25 pavés !
Le -seul- carré quadré par 21 carrés !
La quadrature du reste
Avec tout ça, on peut se dire que le problème de la quadrature du carré est complètement résolue... Mais on peut trouver à généraliser, avec la question de la quadrature du plan : peut-on paver entièrement le plan avec des carrés tous différents ? (et, si possible, que l'ensemble des entiers naturels soit utilisé...). La question est encore ouverte à l'heure qu'il est !
On peut aussi être tenté de voir ailleurs, avec toutes les inventions des topologistes : cylindre, ruban de Möbius, tore, bouteille de Klein, plan projectif... Sans doutes plus d'info sur le propos la semaine prochaine !
Sources :
La quadrature du carré - Ian Stewart - Pour la science n°240 - Octobre 1997
Squaring.net - d'où viennent la plupart des illustrations de l'article
On y retrouve notamment l'historique ainsi que toutes les quadratures recensées
24 janvier 2009
J'ai toujours rêvé d'être carreleur
Il y a exactement 2 semaines, ici même, c'était la fête aux frises : ça parlait d'isométries et de groupes cristallographiques d'une bande de papier !
Mais dans une bande de papier, on se sent rapidement à l'étroit, il nous manque une dimension pour que l'on se sente vraiment à l'aise. Passons donc au plan, arrêtons de faire des frises, et faisons plutôt aux pavages, comme les arabes ont pu le faire pour décorer l'Alhambra.
Un pavage, c'est comme une frise, mais en 2 dimensions : la répétition d'un motif (borné) de base selon des translations. Et comme pour les frises, on s'aperçoit qu'il existe différents types de pavages suivant les différentes isométries que l'on retrouve à l'intérieur.
Les 17 types de pavages
La discussion qui permettait d'aboutir à l'existence des 7 types de frises était pénible... Celle qui permet d'aboutir à l'existence de exactement 17 types de pavages est encore pire ! (Et c'est essentiellement pour ça que je ne vais pas en parler !)
Mais comme il faut quand même donner des exemples de pavages quand on fait un article qui en parle, en voici quelques exemples (Actualisez la page si vous en voulez d'autres !)
- Les droites pleines représentent les axes de symétrie
- Les droites en pointillés représentent les axes de symétrie glissées
- Les points jaune représentent les centres de symétries centrales
- Les points bleus représentent les centres de rotation d'angle π/2 (90°)
- Les points rouges représentent les centres de rotation d'angle 2π/3 (120°)
- Les points verts représentent les centres de rotation d'angle 2π/6 (60°)
(Et si vous aimez vraiment, cliquez ici pour afficher les 17 pavages)
Le domaine fondamental de Dirichlet
C'est chouette de connaitre tous ces types de pavages, mais ce qui le serait encore plus, ça serait de dessiner soit même un pavage du plan euclidien, pour décorer sa chambre, sa chemise ou faire de l'art islamique !
Pour un type de pavage donné, il nous faudrait connaître la façon dont il faut découper un motif de base., qu'il suffira de reporter pour obtenir le pavage entier. Ce motif de base s'appelle le domaine fondamental du pavage, et on va tout de suite découvrir la recette pour se le fabriquer, donnée par Dirichlet.
Pour la suite, nous allons considérer que vous êtes fan n°1 des pavages carrés 4-rotatif (Une seule direction d'axe de symétries sans glissages) et, ensemble, nous allons construire le domaine de Dirichlet !
Pour commencer, on dessine le groupe cristallographique du pavage qui nous intéresse (On trace les axes de symétries, les centres de rotations et les vecteurs de translation) puis on choisit un point O au hasard (en dehors des axes et des centres déjà dessinés).
On dessine ensuite les images du point O par les différentes isométries du groupe cristallographique. Le domaine fondamental, ça sera l'ensemble des points plus proches de O que de ses images (Pour trouver ces points, on trace les médiatrices entre O et ses images, et on prend les points à l'intérieur).
Exemple du pavage p4
Dans l'exemple suivant, le groupe cristallographique de p4 est représenté par les centres de symétrie centrale et de rotations d'angle 90°, et les deux vecteurs de translation. On prend un point O quelconque, (ici, en violet) et on dessine ses images (ici en noir) : après avoir dessiné les médiatrices entre O et les points les plus proches (ici, en pointillés oranges), on trouve le domaine fondamental de Dirichlet du point O.
fig1 : domaine fondamental de Dirichlet du pavage p4
On pourrait maintenant prendre ce polygone, et paver entièrement le plan avec. Mais ce polygone n'est pas assez tordu, on ne va donc pas s'arrêter là !
Puisqu'en bleu et en jaune, nous avons des centres de rotations, on peut voir que certains les côtés du domaine fondamental correspondent deux à deux, de part et d'autre de ces centres. On peut alors redessiner les côtés, tout en gardant la correspondance.
Celà permet d'obtenir un motif fondamental, avec lequel on peut parfaitement paver l'espace !
Exemple du pavage p31m
Allez, un autre exemple !
Le pavage p31m (Hexagonal 3-rotatif symétrique) est composé de rotations d'angle 120° et de 3 directions de symétries axiales. Construisons un domaine de Dirichlet :
Comme précédemment, on peut identifier des côtés, pour obtenir un joli résultat :
27 décembre 2008
Emballé, c'est pesé
(Pour un évident respect de l'imaginaire des plus jeunes qui lisent ce blog, nous conviendront que c'est bien le Père Noël qui emballe les cadeaux, et non on ne sait quel parent proche.)
Pour tous les 25 décembre, le père Noël (aidé de ses amis les lutins) doit emballer un bon milliards de cadeaux, de tous genres. Des ballons (de foot, de rugby) pour les sportifs, des livres de philosophie, des rouleaux de sopalins, des selles de cheval, des chapeaux chinois des tours de refroidissements de centrales nucléaires... Et toujours le même problème : comment emballer tous ces cadeaux sans froisser le papier ?...
Puisque l'on a tous déjà emballé des cadeaux, on peut ranger les objets en deux catégories : celle que l'on emballera sans s'énerver, et celle ou on trouvera qu'on plie un peu trop le papier cadeau.
Le père Noël adorerait n'avoir à livrer que des enfants sages qui ne s'intéressent qu'aux livres de philosophie, c'est à dire, un simple polyèdre où toutes les surfaces sont plates, donc faciles à emballer. Mais tout n'est pas si simple !
Par exemple, le rouleau de sopalin, de forme cylindrique (en forme de cylindre de révolution, pour être plus précis) reste pratique à emballer, puisqu'on fait facilement le tour avec le papier cadeau sans le froisser.
Facile à emballer également, le chapeau chinois, de forme conique (soyons précis : un cône de révolution). On le pose sur le papier cadeau, puis on fait tourner !
Mais le monde est rempli de footballeurs en puissance : comment emballer un ballon de foot sans multiplier les plis ? On sait bien que c'est impossible, ce qui rend difficile de faire des cartographies du globe terrestre.
Surfaces développables
Plans, cylindres, cônes... Toutes ces surfaces ont un point commun : elles sont facile à envelopper ! Enfin, on dira plutôt qu'elles sont développables ! On dit qu'une surface est développable si on peut l'obtenir à partir d'une feuille de papier sans la froisser. D'un autre point de vue, on peut dire que les surfaces développables sont celles que l'on peut faire rouler sans glisser.
Et les exemples de manquent pas ! Faisons un petit tour des surfaces développables les plus simples du bestiaire mathématiques !
- Les cylindres -
Tout le monde sait ce qu'est un cylindre : c'est la surface que l'on obtient en faisant tourner autour d'un axe une droite parallèle à cet axe :
Eh non ! En fait, c'est bien un cylindre, mais un cylindre de révolution. Un cylindre quelconque, l'ensemble des droites passant par une courbe donnée et parallèle à un axe donné. En prenant par exemple comme courbe de base un trèfle à 3 feuilles (Un trifolium), on obtient le cylindre suivant :
- Les cônes -
Le cône, c'est ce que l'on obtient en faisant tourner autour d'un axe une droite qui coupe cet axe...
Oui, si on parle d'un cône de révolution ! Dans le cas général, on parle de cône pour l'ensemble des droites passant par une courbe et un point donné. Le cône de révolution s'obtient avec un cercle pour courbe de base. En partant d'un trifolium, on obtient le cône suivant :
(Bon, évidement, j'ai un peu dévié de mon sujet initial : emballer un cône de trifolium, ce n'est pas du tout évident !)
- La surface de Möbius -
Prenez une bande de papier, puis collez une extrémité à une autre en lui faisant faire un demi-tour : vous obtenez un ruban de Möbius. En prolongeant un ruban de Möbius, on trouve la surface de Möbius (C'est que que l'on obtiendrait si, au lieu de prendre un ruban, on prendrait la feuille toute entière, ce qui n'est pas faisable dans la pratique, puisque la feuille devrait s'auto traverser)
Surfaces réglées
Toutes ces surfaces développables ont un point commun : ce sont des surfaces réglées ! Une surface est réglée quand, par n'importe quel point, passe une droite. On peut aussi dire qu'une surface est réglée quand elle est engendrée par une droite qui bouge.
Pour le cône, par exemple : en prenant n'importe quel point sur le cone, la droite passant par ce point et le sommet sera contenue dans le cône (par définition du cône). Le cône est bien une surface réglée. De même pour le cylindre ou la surface de Möbius (qui, par leur définition, sont générées par une droite).
Toutes les surface développables sont réglées (Car on les obtient en déformant une feuille de papier - évidement réglée - sans faire de pli), mais les surfaces réglées sont elles toutes développable ?
Évidemment, la réponse est non (Parce que, sinon, il n'y aurait pas lieu de donner deux noms différents), mais pour s'en convaincre, le mieux est de faire une petite expérience !
- L'hyperboloïde -
Prenez deux cercles de carton, que vous percez de trous sur le pourtour régulièrement espacés. A l'aide de fil, cousez les deux disques. En le tirant, vous devriez obtenir le squelette d'un cylindre de révolution. (a) Les fils étant tendus, le cylindre est bien une surface réglé. En tournant les disques de carton, vous devriez obtenir un cône de révolution (c), et entre les deux, vous aurez une hyperboloïde (b) ! L'hyperboloïde (à une nappe, il existe une variante en deux morceaux) est une surface réglée (l'expérience le prouve), mais n'est pas développable (Vous pouvez toujours tenter de l'emballer sans plis...) !
La surface obtenue, l'hyperboloïde, se retrouve dans l'architecture, notamment dans les cheminées de centrales ou dans les châteaux d'eau :
- Paraboloïde hyperbolique -
L'autre exemple le plus simple de surface réglée est l'hyperboloïde hyperbolique - Ou plus simplement, "selle de cheval", qui est la forme de la chips :
Tout ça pour dire aux enfants que, si vous aimez vraiment le père noël, demandez-lui seulement des bouquins de philosophies, c'est beaucoup plus pratique à emballer...
Sources :
La plupart des images proviennent du site mathcurves.
Les images de l'expérience viennent de Sciences & Vie Junior (n°231, décembre 2008)
14 septembre 2008
Les fractales de Lyapunov
" Koch et Mandelbrot c'est vraiment surfait.
Alors que Lyapunov, c'est vraiment la classe ;) " [keru]
Est-ce possible de faire sur ce blog un article de vulgarisation à propos des fractales de Lyapunov ? Tentons l'expérience !
Fractale de Lyapunov, de racine AABAB
La suite logistique
Si vous n'étiez pas sur ce blog la semaine dernière, faisons un petit rappel : la suite logistique, c'est la suite (de paramètre µ) définie comme ça :
Pn+1 = fµ(Pn) avec fµ(x)= µ.x.(1-x)
P0 ∈ ]0;1[
Et suivant le paramètre µ, cette suite peut se comporter de 3 manières différentes :
- Elle peut converger (Pour µ entre 0 et 3) (Et c'est pas très intéressant)
- Elle peut osciller entre plusieurs valeurs (pour µ entre 3 et 3,57)
- Elle peut faire n'importe quoi (pour µ entre 3,57 et 4)
- Elle peut diverger (Pour µ>4) (Et c'est encore moins intéressant)
Faire n'importe quoi, ici, c'est être chaotique, c'est à dire, sensible à son terme initial P0. En changeant, même très peu, le premier terme P0, la suite que l'on obtiendra sera complètement différente.
On résume le comportement de cette suite "logistique" par le diagramme suivant, qui représente les points vers laquelle la suite converge (ou oscille) suivant la valeur de µ (bizarrement appelée r sur le graphique). La zone la plus sombre, c'est la zone où la suite a un comportement chaotique.
L'exposant de Lyapunov
Et le comportement chaotique (c'est à dire, sa sensibilité à son terme initial) est quelque chose de mesurable, grâce à l'exposant de Lyapunov (Nom donné en l'honneur du mathématicien russe Александр Михайлович
Ляпунов - Ou Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, si vous lisez pas bien le
cyrillique), nombre donné par la formule suivante :
Exposant de Lyapunov de la suite définie par Pn+1=f(Pn) :
E = 
Dans notre cas, on prend ici la fonction fµ = µ.x.(1-x)
Je ne vais pas développer le pourquoi de cette formule, ce n'est pas vraiment la question (Tous les détails ici). Toujours est-il que l'exposant de Lyapunov permet de savoir à quel point la suite définie par Pn+1=f(Pn) est chaotique.
Cet exposant peut prendre des valeurs positives ou négatives :
- Si l'exposant est négatif, c'est que la suite n'a rien de chaotique...
- Si l'exposant est positif, la suite est chaotique. Une légère modification du terme initial P0 aura des grandes répercussions sur l'allure de la suite après un grand nombre d'étapes. Plus l'exposant est grand, plus les répercussions d'une petite modification de P0 se feront sentir rapidement.
Bref, plus ce nombre est grand, plus c'est chaotique !
En vert, on retrouve le diagramme de bifurcation
En bleu, l'exposant de Lyapunov associé aux suites logistiques de différent paramètres; on voit qu'il devient positif pour µ>3.54, quand on obtient des suites chaotiques.
Les fractales de Lyapunov
Il faut donc maintenant compliquer les choses ! Pourquoi garder le paramètre µ constant ? Pourquoi ne pas, par exemple, alterner entre un paramètre a et un paramètre b ?
C'est le principe des fractales de Lyapunov !
On s'intéresse donc aux suites définies de la façon suivante :
Pn+1 = a.Pn.(1-Pn) (Si n est pair)
Pn+1 = b.Pn.(1-Pn) (Si n est impair)
P0 ∈ ]0;1[ , P1 ∈ ]0;1[
Suivant les paramètres (a,b) choisis, la suite pourra se comporter de différentes façons, notamment être chaotique - et donc avoir un exposant de Lyapunov positif !
Reste plus qu'à mettre ça en image ! On se choisit un code couleur : blanc pour E =-∞, noir pour E=1, en passant par différents bleus. Le résultat en image :
Fractale de Lyapunov, de racine AB
On peut modifier le cycle de paramètre pour obtenir d'autre fractales de même genre. Au lieu de faire l'alternance a-b-a-b-a-b-... (on parle de racine AB), on peut faire par exemple a-a-b-a-b-a-a-b-a-b-... (De racine AABAB), ce qui donnera la fractale du début de l'article.
Fractale de racine AABB
Fractale de racine AABBBBA
Sources :
Wikipédia et ici (Où j'ai récupéré les différentes illustrations)
30 août 2008
Toute la force de Newton
Toujours dans les fractales, un peu plus éloigné de Mandelbrot, mais tellement joli : les fractales de Newton ! Le nom de cette fractale vient de la méthode de Newton, inventée par Isaac Newton, le même qui a trouvé les lois de la gravitation dans une pomme.
Fractale de Newton associé au polynôme X³-1
La méthode de Newton
Un pan des mathématiques consiste à faire des calculs exacts, l'autre pan à faire des calculs approchés. Ce deuxième pan, ce sont les méthodes numériques, dans lesquelles on s'amuse généralement à trouver les meilleurs moyen de calculer un tas de décimales de pi ou de
.
Prenons le cas de, qui vaut approximativement 1,4142135... Comment a t-on trouvé cette valeur ? Une façon de retrouver ces décimales est la méthode de Newton.
Pour une fonction f donnée (un polynôme, par exemple), la méthode de Newton permet de retrouver ses racines (les x tels que f(x)=0). Le principe de cette méthode est d'approcher la fonction par ses tangentes.
Prenons par exemple la fonction f:x->x²-2.
On connait ses racines, c'est (le point A) et - (le point A'). On va alors approcher l'un de ses deux points, de manière à avoir toujours plus de décimales.
On va alors prendre un point quelconque x0 et tracer la tangente à la courbe au point (x0,f(x0)). On peut alors trouver l'abscisse du point x1, croisement entre la tangente et l'axe horizontal. En recommençant avec le point x1, on se rapproche du point A, que l'on recherche.
La suite des points xn se rapproche du point A que l'on cherche, cette suite est donnée par la formule (que l'on trouve par calculs) :
Avec la fonction f:x²-2 et en partant de x0 = 2, la formule devient 
.
x0 = 2
x1 = 1,5
x2 = 1,416666667
x3 = 1,414215686
x4 = 1,414213562
En 4 itérations, on a déjà au moins 9 décimales correctes !
Choix des termes initiaux
En partant de n'importe quel valeur x0 positive, on aboutit après plus ou moins d'itérations à ; si on avait choisit une valeur de départ x0 négative, on aurait aboutit à -.
On peut séparer les valeurs possibles de x0 en 3 catégories : celles qui aboutissent à , celles qui aboutissent à - et celles qui n'aboutissent nulle part (ici, il n'y a que x0=0).
Prenons à présent la fonction f:x->x³-3x²+2x. Ce polynôme admet 3 racines : 0, 1 et 2.
Que se passe t'il lorsque l'on applique la méthode de newton en partant de x0 = 0,4 ? En partant de x0 = 0,5 ? En partant de x0 = 0,6 ? De x0 = 0,5527 ? De x0 = 0,55275 ? De x0 = 0,5528 ?
Solutions :
x0 = 0,4 -> 0
x0 = 0,5 -> 2
x0 = 0,6 -> 1
x0 = 0,5527 -> 0
x0 = 0,55275 -> 2
x0 = 0,5528 -> 1
En choisissant une couleur par limite possible (0:jaune, 1:vert et 2:bleu), on retrouve quelque chose de fractal !
Les fractales de Newton
Il est temps de passer aux nombres complexes !
Prenons à présent la fonction f:x->x³-1. Il ne possède qu'une racine réelle (x=1), donc peu importe le choix de x0 (réel), utiliser la méthode de Newton amènera vers 1.
Mais la méthode de Newton marche également dans le plan complexe, avec des termes initiaux complexes ! Et notre polynôme possède également deux racines complexes : j = -0.5 + i.0.866 et j = -0.5 - i.0.866.
Pour quels x0 la méthode de Newton nous mènera à x ? Quelles valeurs mènent à j ? Et à j ?
La solution, en image :
On peut également faire la même chose pour d'autres fonctions :
f:x-> x8 + 15x4 − 16
f:x->z5 − 3iz3 − (5 + 2i)z2 + 3z + 1
Sources :
Images produites par Xaos (Pas très efficace sur les fractales de type Newton), et empruntées sur Wikipédia.
23 août 2008
Mandelbrot et ses potes
... suite de l'article précédent...
Changement de formule
L'ensemble de Mandelbrot est donné par la formule zn+1 = zn² + c . Et si on change cette formule, qu'est ce qu'il se passe ?
Petite galerie de portrait des cousins proches de Mandelbrot !
Dans la famille Multibrot
Le plus simple des changements à effectuer dans la formule, c'est remplacer 2 par un autre nombre. Avec des entiers supérieurs à 2, on obtient les ensembles de Multibrot.
zn+1=zn3+c
zn+1=zn4+c
zn+1=zn5+c
zn+1=zn17+c
Dans la famille puissance négative
Les puissances positives, c'est bien, les puissances négatives, c'est mieux ! (A condition de ne pas commencer la suite des zn par 0 mais par c)
zn+1=zn-2+c
zn+1=zn-3+c
zn+1=zn-7+c
Dans la famille Mandelbar
Cette fois, on va faire intervenir dans nos calculs le conjugaison d'un nombre complexe. Si z=a+ib, on note z le conjugué de z, et on a z=a-ib. On remplaçant z par z dans la formule donnant l'ensemble de Mandelbrot, on retrouve le tricorne, alias ensemble de Mandelbar.
Le tricorne : zn+1=zn2+c
zn+1=zn3+c
Dans la famille Burning ship
Si notre nombre complexe est de la forme z=a+ib, on note Re(z) la partie réelle de z (Re(z)=a) et Im(z) sa partie imaginaire (Im(z)=b). Si x est un réel, on note |x| sa valeur absolue, qui vaut x si x>0 et -x si x<0. A partir de ces 3 fonctions, on trouve une variante (tordue dans sa définition) beaucoup plus éloigné du Mandelbrot d'origine : la fractale du navire brûlant (Je me permet de baptiser en français cette fractale pour l'occasion !)
Burning Ship fractal : zn+1 = [|Re(zn)| + i.|Im(zn)|]² + c
Zoom sur la fractale (en bas, à gauche)
Dans la famille "Dessinons des bonshommes avec des formules bizarres"
En mélangeant un peu tout ça, et avec un logiciel comme XaoS, on peut tester tout un tas de formule, et avancer encore un peu plus dans la quête ultime de tout enfant de 5 ans : dessiner un bonhomme !
A gauche, nous avons madame zn+1 = [|Re(zn)| - i.Im(zn)]3 - i.c
A droite, nous avons monsieur zn+1 = [|Re(zn)| - i.Im(zn)]5 - i.c
17 août 2008
Mandelbrot et ses Julias
L'ensemble de Mandelbrot trône en roi sur le monde des fractales : une définition simple comparée à la complexité du résultat. Mais les prétendants sont en nombre, et guettent le siège. Petite présentation de l'entourage très proche de l'ensemble de Mandelbrot !
Petit rappel, en quelques mots : l'ensemble de Mandelbrot, c'est
* l'ensemble des points c du plan complexe
* telle que la suite zn+1 = zn² + c ne diverge pas
* avec z0=0
Changement de terme initial
Pour chaque c, on considère une suite commençant par z0=0. Comme n'importe quel choix arbitraire, on peut le changer !
z0=1
z0=0.5
z0=0.5i
z0=i
Les ensembles de Julia
Mandelbrot, c'est : pour un z0 donné, on s'intéresse aux c qui ne divergent pas.
Et si on faisait l'inverse ? Pour un c donné, on regarde tous les z0 qui ne divergent pas .
C'est ainsi que les ensembles de Julia (du mathématicien français Gaston Julia) se définissent :
* on choisit un point c (dans l'ensemble de Mandelbrot, ou en dehors, suivant le résultat que l'on souhaite)
* pour chaque point z0 du plan complexe, on calcule la suite (zn) définie par zn+1=zn²+c
* si la suite (zn) ne diverge pas, c'est que le point z0 appartient à l'ensemble de Julia de paramètre c.
L'ensemble de Mandelbrot est devient une sorte de carte des ensembles de Julia : si le paramètre c choisit est dans l'ensemble de Mandelbrot (cas 1, 2, 3 et 4), le point (0,0) sera dans l'ensemble de Julia, ce qui entrainera un ensemble de Julia connexe ("en un seul morceau"). si le paramètre c est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot (cas 5), l'ensemble de Julia sera un ensemble de points isolés (de type poussières de Cantor)
De la même façon que pour les ensembles de Mandelbrot, on peut associer une coloration aux nombre d'itérations nécessaires de la suite pour atteindre une valeur d'échappement.
1 : c = 0.25
2 : c = -1
3 : c = -0.15 + 0.75 i
4 : c = -0.62 + 0.43 i
5 : c = -0.75 + 0.145 i
(On ne devrait théoriquement pas observer de si grosses zones noires, mais simplement des points noirs isolés - cela vient du trop petit nombre d'itérations de l'algorithme utilisé)
Sources :
Toutes les images ont été faite avec le logiciel XaoS