13 décembre 2006
[#] Démonstration du bois
Dans la série "j'aurais aimé avoir écrit ça", voici un petit texte trouvé au hasard de balades sur le web, qui répertorie les différentes méthodes de preuves couramment employées dans les démonstrations...
- Démonstration par l'évidence : "La démonstration est triviale" ; "Immédiat à partir des définitions" ; "On obtient sans peine que..." ; "On voit que..."
- Démonstration par la confiance : "Vous n'avez qu'à essayer, vous verrez, ça marche". Variante : "Je l'ai démontré hier chez moi, aucune difficulté."
- Démonstration par consensus : "Tous ceux qui sont d'accord lèvent la main". Variante encore plus efficace : "Tous ceux qui ne sont pas d'accord lèvent la main."
- Démonstration par commodité dénommée "nos désirs sont des réalités" : "Ce serait si beau si c'était vrai, donc..." (Redoutablement dangereuse.)
- Démonstration par nécessité : "Ça doit être vrai, sinon toutes les mathématiques s'effondreraient." Variante : "Le cas contraire contredirait un résultat bien connu qui ne peut pas être faux." (Peu de travail est nécessaire pour en tirer une bonne vieille preuve par l'absurde.)
- Démonstration par plausibilité : "Ça a l'air bon, donc ça doit être vrai." (Très utilisé pour évaluer le résultat d'un long calcul ; ne pas en abuser.)
- Démonstration par intimidation : "Ne soyez pas stupide! Bien sûr que c'est vrai." Variantes du débutant : "Même un débutant sait ça" ; "Vous l'avez vu en sixième"." Variante du devoir pour demain : "Ceux qui en doutent feront la démonstration pour demain sur une feuille qu'ils me rendront." Variante du tableau : "Si quelqu'un a des doutes, il passe au tableau le démontrer."
- Démonstration par manque de temps : "Il ne me reste pas assez de temps, vous ferez la démonstration vous-même."
- Démonstration par complexité : "La démonstration est trop compliquée pour être donnée ici." Variantes : "Je ne peux pas vous le faire, car ça fait partie du programme de l'année prochaine." "J'ai fait le calcul en 1985, c'est assez pénible, je n'ai pas envie de le refaire."
- Démonstration par accident : "Tiens, tiens, qu'avons-nous là..." (En fait, tout était calculé par avance pour obtenir le résultat prétendument inattendu.)
- Démonstration par la définition dite méthode du postulat d'Euclide : "On le définit comme vrai." (En abuser risque de diminuer l'intérêt de votre cours.)
- Démonstration par la tautologie : "C'est vrai, parce que c'est vrai." (Risque de vous faire perdre du crédit, mieux vaut utiliser une des autres méthodes.)
- Démonstration par référence : "Comme c'est établi à la page 289 du ..." (Là encore, si vous en abusez, vous viderez votre cours de sa substance.)
- Démonstration par perte de référence : "Je sais que j'ai vu la démonstration quelque part." (Même si c'est du bluff, préférez la méthode précédente.)
- Démonstration par manque d'intérêt : "Y a-t-il quelqu'un qui souhaite vraiment voir la démonstration?" Variante en combinant avec la démonstration par complexité : "La démonstration est longue et pénible. Est-ce que je la fais?" Variante dite du calcul merdique : "En général, quand je me lance dans ce calcul, je me plante. On y va?"
- Démonstration par obstination : "Vous pouvez croire ce que vous voulez, moi je vous dis que c'est vrai." Variante du contre-exemple : "Trouvez-moi un contre-exemple, en attendant je considère que c'est vrai." (Contraire à la déontologie la charge de la preuve ne serait pas à celui qui affirme.)
- Démonstration par analogie : "C'est la même chose que..." ; "Il suffit de s'inspirer de..." "On procède comme pour..." (Moyen efficace d'obtenir des résultats faux : le procédé a coûté cher à de nombreux mathématiciens.)
- Démonstration par autorité : "Borsnbuch l'a dit." Variante dite de l'ascenseur : "J'ai rencontré Borsnbuch dans l'ascenseur, et il est d'accord."
- Démonstration par renvoi multiple : "On conclut en combinant les lemmes 1, 3, 8 et 15 avec le théorème 12, puis en utilisant les propositions 7, 9 et 21."
- Démonstration par appel à l'opinion publique : "Si c'était vrai ça se saurait, donc c'est faux..." (Contrairement aux apparences, ce procédé marche bien, car les résultats simples qui n'ont pas été démontrés sont généralement faux.)
(C'est pas mon vrai blog, il n'y a pas de raisons que je ne fasse pas de simple copié collé...)
09 décembre 2006
[#] Professeurs tournesols
"La question, à présent, c'est "Mais pourquoi ?". Et la réponse que je donne pour l'instant, c'est "Je sais pas, laissez-moi faire des recherches, vous saurez tout dans une prochaine note !"." [El Jj, 25/11/06]
Voici enfin venu le temps, non pas des rires et des champs, mais d'apprendre la vérité : pourquoi trouve t'on donc la suite de Fibonacci dans tous nos végétaux familiers (exepté le radis et certains autres fruits et légumes pas très rigolos).
(À noter après relecture survolage que cette note est bien longue pour en arriver là où il fallait arriver...)
Allez, rentrons directement dans le sujet, et interressons nous à la manière dont les fleurs poussent. Enfin, surtout au niveau des graines qui nous intéressent. Bref, la fleur pousse, et donc, de nouvelles graines apparaissent, et pour être un peu plus précis dans les termes, elles apparaissent au milieu de la fleur, autour du petit disque central répondant au nom de "apex". La fleur grandissant, de nouvelles graines apparaissent autour de l'apex, poussant les autres vers l'extérieur, faisant naître une radieuse fleur.
Petit détail important : les nouvelles graines apparaissent en formant par rapport à la graine qui l'a précédé un angle de environ 222,4922°. Pourquoi cet angle ? Chaque chose en son temps, vous le saurez (ou pas) en bas de cette note.
Pour l'instant, nous savons à peu près ça sur la pousse des graines des fleurs. Le schéma est suffisemment clair pour que je n'ai pas besoin de le commenter (et sur le coup, ça m'arrange).
Revenons en à notre angle, 222,4922°, aussi appelé angle d'or (
, soit 360×1/
). Imaginons maintenant un autre monde, où cet angle était un nombre rationnel, c'est à dire, un nombre de la forme p/q×360° (avec p et q entiers). Par exemple, un angle de 5/7×360°, soit un angle faisant les 5/7 d'un cercle. Après la pousse, les graines seraient disposées comme ça :
On le remarque tout de suite : les graines sont alignées. Forcément, avec un angle de 4/7×360°, au bout de 7 tours, on obtient un angle de 4×360° : on est revenu dans la direction originale. Avec un angle de p/q×360°, on arrivera toujours au bout de q tours au point de départ, ce qui perd un peu en jolieté (j'invente les mots dont j'ai besoin).
Avec un nombre irrationnel (qui ne puisse pas s'écrire sous la forme p/q), les choses sont bien différentes, puisque les graines ne se retrouveront jamais alignées. Prenons par exemple 
×360°. Cela donne quelque chose comme ça :
Et voilà c'est y pas qui apparait donc ! Des parastiches spirales ! 4 dans un sens et 11 dans l'autres (moins visibles, certes). Tout ceci est très joli, mais quid des suites de Fibonacci ? Venons-on donc à un angle de 360*1/. Cela va donc donner ceci :
En vert, on a bien 13 parastiches (ex : 0 - 13 - 26 - 39), et en rouge, on en a 21 (ex : 0 - 21 -42).
Pour compter le nombre de paratiches avec un angle irrationnel, il suffit juste de regarder le numéro des points les plus proches de 0. Dans l'exemple avec l'angle d'or, on a bien le point 13 et le point 21. Dans l'exemple de ×360°, on a les points 11 et 4 les plus proches du point 0. Cette règle est générale à tous les exemples d'angles irrationnels . Pourquoi ? Dans l'exemple de l'angle d'or, on a 13 premiers points sommets d'une parastiche vert, le 14 (n°13) se retrouve dans le paratiche du premier point (n°0), le 15 eme est dans la suite du deuxième, et ainsi de suite.
Certes, mais celane dit pas pourquoi les nombres de Fibonacci dans le cas de l'angle d'or... Patience, j'y viens. Rappelons nous les angles rationnels, avec un angle p/q. Le q-ième point est aligné avec le point initial, et c'est le plus proche de ce premier point. Avec un angle irrationnel comme l'angle d'or, à présent : imaginons maintenant qu'il existe p et q tel que p/q s'approche de cet angle. Dans ce cas là, le q-ième point sera presque aligné avec le point initial, mais pas exactement. Le décalage forme alors le parastiche.
Mais combien vaut l'angle d'or, déjà ? 360*1/ ! On cherche donc p et q tels que p/q = 1/, et ces nombres, on les connais, puique je l'ai expliqué dans la dernière note : ce sont des nombres de la suite de Fibonacci ! (2,3), (3, 5), (5, 8) ou (8, 13)... Évidemment, c'est un modèle, qui diffère suivant la vitesse de croissance de nos amies les plantes et d'autres traits de caractères inhérents à la vie de toute plante.
CQFDJC ! (Ce qu'il fallait démontrer, je crois)
Bon, tout ça explique beaucoup de chose, mais pourquoi donc l'angle d'or, alors que n'importe lequel aurait tout à fait fait l'affaire ? Et bien, celà s'explique très bien, mais ça rentre dans un domaine encore plus biologique, une sombre histoire de lumière disponible et de croissance de primordia au niveau de l'apex... Quelques informations ici pour les fans de bio-mathématiques !
Et sinon, la grande majorité des illustrations a été piquée ici (Sur ce lien, vous pourrez découvrir comment enseigner ceci à des primaires, avec expériences à l'appui, exercice fort amusant)
Ffiou, trois notes pour en arriver là !...
02 décembre 2006
[#] Réveillons le nombre d'or
"Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,
comme elle est toute entière relativement au plus grand segment,
ainsi est le plus grand relativement au plus petit." [Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition]
Ainsi parla Euclide, et déjà, à l'époque, personne n'avait vraiment compris ce qu'il avait voulu dire. Depuis, de nombreux mathématiciens se sont penchés sur le sujet, et finalement, il parlait de ça :
Un segment ayant ses proportions a/b et c/a égales.
Après mise en équation, en prenant c=a+b, on en arrive à l'équation : 
, que l'on peut aussi écrire 
Bref, ça donne quelque chose comme X²-X-1=0 (avec X=a/b), simple équation du second degré, dont la solution est : 
=
, appellé "le nombre d'or". Le nom vient de Adolf Zeising, docteur en philosophie du XIXe siècle, qui s'était bien mis en tête de le chercher partout. On le note (phi) en référence à Phidias, sculpteur grec, qui a décoré le Parthénon. Il vaut environ
1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041 (de mémoire...)
Reste cette question que l'on peut se poser : à quoi ça sert ? Pourquoi est-ce que je parle de ça ?
Et bien, ce rapport est joli. Enfin, c'est ce que pensent certains architectes, comme par exemple cet architecte moderne, qui a réalisé un temple suivant ces proportions :
(Le Parthénon)
A l'époque de Leonardo Di Caprio De Vinci, c'était plutôt ce que l'on appellait "la divine proportion" :
Un corps parfait semblerait posséder une certaine harmonie par rapport à .
Mais ce n'est pas tout, la nature n'est pas en reste, voici un exemple, avec la spirale d'or, spirale inscrite dans un rectangle d'or (ses proportions sont égales au nombre d'or), et un reste de nautile.
L'existence dans la nature de ce rapport est indubitable, celui de son existence dans l'art, par contre, est un peu plus discutable, mais on ne va pas renier le boulot de Zeising qui a passé sa vie à chercher ce nombre partout (forcément, quand on cherche, on trouve). Pour ce qui est de comme critère de beauté, c'est, si je puis dire, un léger foutage de gueule...
Revenons-en alors à ses propriétés mathématiques. Vous vous rappellez sûrement de la suite de Fibonacci (Relisez la dernière note si vous ne vous en souvenez plus)
La suite, c'est quelque chose comme 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
Vous allez sûrement être épatés (encore plus si vous ne le saviez pas déjà), mais plus les nombres de cette suite sont grands, plus le rapport de deux nombres consécutifs se rapprochent du nombre d'or !
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.6667
8/5 = 1.6
13/18 = 1.625
21/13 = 1.6154
34/21 = 1.6190
...=
1,6180
Épatant, non ?!
(En fait, si je vous ai parlé du nombre d'or, c'était juste pour en arriver à ce résultat, afin d'expliquer dans la prochaine note le pourquoi des nombres Fibonacci dans les tournesols, les ananas ou les callistemons)
Allez, et en cadeau bonus, quelques jolies égalités avec :
Documentation :
http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm
http://pros.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/rectangle_dor.htm
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or
25 novembre 2006
[#] Pomme de pin, ananas, tournesol, marguerite, cactus...
(A noter que cette note serait bien plus agréable à lire en printemps, il va falloir faire un petit effort d'imagination)
Allez, courez tout de suite dans votre jardin, et ramenez-moi une jolie fleur (marguerite, tournesol ou quelque chose comme ça). Si vous avez des pommes de pin ou des cactus, c'est pas mal aussi. Si vous n'avez pas de fleur, ou pas de jardin, allez chercher un ananas. Si vous n'avez rien, regardez simplement les photo ci-dessous :
Un dahlia (photo pas de moi)
Un tournesol (Photo toujours pas de moi)
Des callistemons (Photo de moi... Nan, je plaisante)
Un (ou une ?) zantedeshia (Si la photo était de moi, j'aurais au moins su si c'était un ou une)
Bon, maintenant qu'on a bien regardez, on va compter ! (Vous êtes quand même sur un blog sur les maths, vous ne croyiez tout de même pas qu'on allait se limiter à regarder des fleurs !). Il va donc falloir compter le nombre de spirales de chaque sens sur chacun des végétaux pré cités. Par exemple, prenons ce tournesol :
D'un côté, vous avez 21 spirales, et de l'autre, 34 spirales. Sur l'ananas que vous avez pris tout à l'heure, il y a 8 spirales dans un sens, et 13 dans l'autre (si si, vérifiez !). Sur la photo de tournesol un peu plus haut, il y en a beaucoup dans un sens, et beaucoup dans l'autre (en fait, c'est 34 et 55). Si vous n'avez pas le courage de compter le tournesol, comptez alors les callistemons, ça donne 3 d'un côté et 5 de l'autre.
Bon, et maintenant, si je vous parle de la suite de Fibonacci, c'est à dire la suite définie ainsi :
(Pour les non matheux, c'est la suite de nombres telle que chaque nombre est la somme des deux précédents : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...)
On l'appelle suite de Fibonacci, du surnom du mathématicien qui a étudié la copulation des lapins. *
Et c'est là que tout le monde est épaté (enfin, moi, en tout cas...) comme un criquet : tous les nombres cités en gras tout à l'heure appartiennent à cette suite ! Vous pouvez vérifier à présent avec n'importe quel végétal qui présente des spirales, et vous retrouverez des nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
La question, à présent, c'est "Mais pourquoi ?". Et la réponse que je donne pour l'instant, c'est "Je sais pas, laissez-moi faire des recherches, vous saurez tout dans une prochaine note !".
* (Si si, je vous assure, même que l'énoncé du problème, c'est « Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? » (La réponse, c'est 233))
20 novembre 2006
[#] Brénom d'une pipe !
"Qu'est ce qu'un brénom ? Et bien, ça n'a aucun rapport avec le prénom d'une personne enrhummée" [El Jj, 30 avril 2005]
Quoi de plus banal qu'un nombre ? 14 564, 12, 631 ou 12.8... Finalement, un nombre, c'est qu'une simple suite de chiffre ordonnée. Il nous arrive même d'écrire des suites infinies, et on en arrive à des choses comme 0.333333... pour parler de 1/3 ou 3,1415926535... pour celle de pi. Ce ne sont pas des choses qui nous dérangent tellement, à vrai dire. On peut faire donc des suites infinies à droite, mais pourquoi pas en faire à gauche ? Par exemple, ...888 888 888, qui serait un nombre constitué d'une infinité de 8... Et hop, figurez-vous que je viens à l'instant de fabriquer un brénom ! Par commodité évidente, je n'écrirais pas par la suite le développement infini des chiffres des brénoms, parce que j'ai prévu des choses d'ici 10 ans.
Un brénom, c'est donc ça : une succession illimité de chiffres écrits de droite à gauche. Tous les entiers que nous connaissons sont des brénoms, puisqu'il suffit d'ajouter une suite illimité de 0 avant pour en faire un brénom :
...000 118 218, pour l'entier 118 218
...001 000 000, pour l'entier 1 000 000
Bref, revenons en à nos chouettes brénoms, et amusons nous à faire un petit calcul : ...999999 + 1. Bon, c'est pas forcément évident, donc on va le poser, comme nos amis de primaire :
...999 999 999
+ 000 000 001
____________
...000 000 000
Et le résultat est édifiant, puisque ...999 999 999 + 1 = 0 ! En effet, en posant l'addition, on remarque bien qu'il y a toujours une retenu, ce qui a le mauvais goût (ou le chouette goût, suivant les différents points de vue) de faire 0 !
On a donc une nouvelle solution à l'équation x+1=0, à savoir x=...999999 (et de la à déduire que ...999999=-1, il n'y a qu'un petit pas)
Continuons ce petit jeu, et posons cette fois ci une soustraction (Faut rappeller ses souvenirs de primaires pour poser la soustraction avec les retenues)
... 321
- ...522
______
... 799
Puisqu'il y a une infinité de chiffres à gauche, on peut continuer indéfiniement la soustraction, pas de plus grands ou plus petit ! Une espèce de société utopiste à porté de stylo plume !
Bref, pas besoin de brénoms négatifs, puisqu'il y a toujours moyen de trouver un brénom qui additionné à un autre fait 0.
Allez, faisons encore plus fort, et posons cette fois ci une multiplication ! (Je sais, je suis un ouf). Par exemple, ...666 667 × 3 (Avec une infinité de 6 à gauche). Là encore, il faut se rappeller de ses souvenirs de primaires pour poser la multiplication.
...666 666 667
× 3
____________
...000 000 001
On a alors ...666 667 × 3 = 1. , et j'irai même jusqu'à dire que ...666 667 = 1/3 !
Passons maintenant aux divisions !... Nan, en fait, c'est trop compliqué pour le moment... Pour la prochaine note, peut-être... À moins que je vous montre quelles sont les solutions de l'équation x²=x dans les brénoms...
(Ah, et sinon, en maths, les brénoms, on les utilise dans d'autres bases que 10, et ça s'appelle des nombres p-adiques, notemment utilisés pour faire des codages)
17 novembre 2006
[#] Et 2+5=0
Dans la série des égalités, voici une très belle démonstration de 2+5=0, mais pour celà, il va falloir fabriquer une toute nouvelle théorie mathématiques.
Voici donc la théorie de l'introinspectromorphisme (nom que je viens d'inventer à l'instant, je crois que ça se voit). Dans cette toute nouvelle théorie, je décide que 2 et 5 sont tous les deux égaux à 0 (Il n'y a pas à discuter de ça, je le décide comme ça). Dans cette même thoérie, je décide que 0+0=0 (Surement plus facile à admettre).
Dans cette théorie, on a bien 2+5=0...
Bon, maintenant, il ne me reste plus qu'à trouver des adeptes de l'introinpectromie, si vous êtes intéressés, envoyez-moi vos dons par e-mail !
16 novembre 2006
[#] 3+3 = 1 (Initiation à l'arithmétique modulaire)
3+3 = 1
Et je peux le prouver sans faire une démonstration fausse !
Combien y a t'il d'entiers, à peu près ? Au bas mot, disons qu'il y en a a peu près un nombre infini. Et l'infini, c'est grand (en, réalité, c'est encore plus).
Que penseriez-vous d'en avoir que 5, ça serait plus simple, non ? 0, 1, 2, 3 et 4, de quoi pouvoir compter sans grandes difficultés sur une seule main. (Si vous avez 6 doigts par mains, ne lisez pas cette note, vous ne comprendrez pas. Si vous avez une infinité de doigts, vous pouvez toujours la lire, mais vous m'enverrez un e-mail, j'adorerais savoir ce que cela fait de vivre avec une infinité de doigts)
Bon, avec seulement 5 nombres, ça va surement être plus difficile d'additionner (+) ou de multiplier (*) les choses... On va alors les définir de manière précise :
Maintenant que c'est précisé, tout le monde est d'accord : dans l'ensemble des entiers modulo 5 (C'est son petit nom, que les matheux aiment à appeler Z/5Z), on a bien 3+3=1. On a même 4×4=1. J'irai même jusqu'à dire que l'on a 4×4=3+3, mais je m'avance sûrement un petit peu...
Et demain, je vous dirais pourquoi 5+2 = 0 (Et pas dans l'ensemble des entiers modulo 7)
15 novembre 2006
[#] Les chaussettes de Zidane
" Les deux font la paire. Pour peut qu'ils soient ordonnées, ils forment un couple " (D'à peu près quelque qui a dit ça, un jour)
Un couple, une paire... Quelle différence ? La question ne vous avait peut-être pas encore traversé l'esprit, et pourtant... Les deux sont des ensembles de deux éléments, mais la différence réside dans le fait qu'une paire est ordonnée.
Quelques petits exemples :
- Une paire de jumelles : Prenons une paire de jumelle, et regardons à travers. On voit loin. Mettons les à présent dans l'autre sens. On voit tout près. Cette expérience ne sert à rien, mais c'était rigolo à faire. L'important avec les jumelles, c'est de voir que l'on peut regarder d'abord dans celle de droite, puis après dans celle de gauche, on aura l'ai aussi con par rapport à quelqu'un qui regarde normalement dans ses jumelles que si on le fait dans l'autre sens. En effet, il n'y a pas d'ordre pour regarder dans des jumelles, il faut donc bien dire "une paire de jumelles".
- Une paire de familles : En théorie des ensemble, une famille est un ensemble ordonné d'ensembles, la notion de couple adapté à une plus grande famille. Il est donc tout à fait possible de considérer une paire de familles. On peut évidemment considérer une paire de familles comme étant un mauvais jeu de mot, et passer outre sa définition mathématique.
- Une paire de jumeaux : Doit-on dire un couple de jumeaux ou une paire de jumeaux ? Faut-il dire "Igor et Grishka" ou, peut-on dire indépendamment "Igor et Grishka" de "Grishka et Igor" ? Et bien, c'est un couple, puisque on a beau dire, on a beau faire, "Grishka et Igor", "Olivier et Kad", "Phillip et Terrence" ou "Jerry et Tom", ça sonne mal à l'oreille, donc ce n'est plus la même chose... Il ne faut cependant pas dire "un couple de jumeaux", puisque des jumeaux sont déjà un couple :
-> (Igor ; Grishka) : des jumeaux
-> ((Igor ; Grishka) ; (Mary-Kate ; Ashley)) : un couple de jumeaux (Et accessoirement, un scoop pour Voici)
- Une paire de chaussures : Là encore, il n'y a aucune de préférer mettre la chaussure droite avant la chaussure gauche. Deux chaussures représentent donc bien une paire (même si elles sont de type, de marque ou de pointure différentes, mais là, je digresse) dans leur notion mathématique. Il existe cependant une exception : Zinédine Zidane. En effet, il commence toujours par la jambe gauche, chaussette, chaussure. (Puis la jambe droite, puis une gorgée de Volvic). On peut donc le dire, Zidane ne possède aucune paire de chaussure, seulement des couples...
[#] Axiome de fondation
Quitte à commencer quelque part ce blog, je me suis dit que débuter par la première note serait quelque chose de fort judicieux...
Vous y êtes !
Avant de débuter, veuillez laisser vos sacs sous vos sièges, éteindre vos portables, bien attacher les deux ceintures et porter les lunettes de protection adaptées. Le voyage débute dans quelques secondes, attendez seulement que je décide dans quelle base j'exprime cette unité de temps.