Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

20 mai 2007

[#] Si c'est rond, c'est Poincaré

Rappelez-vous, c'était il y a une semaine...
Vous appreniez (sans doute avec effroi) que l'on pouvait concevoir que par un point extérieur à une droite ne passe aucune droite parallèle (géométrie elliptique) ou alors, une infinité (géométrie hyperbolique).
A propos de la géométrie hyperbolique, j'en était resté à un simple "Il y en a tout un tas, et n'en comprenant aucune d'entre elle, je ne peux pas en dire tellement plus".

Et bien, votre humble serviteur s'est renseigné sur le sujet (en fait, il est tombé sur l'article par hasard), et finalement, un monde dans lequel les carrés n'ont pas d'angles droits mérite pleinement sa place dans ce blog... Petite visite guidée au pays de la géométrie hyperbolique selon Poincaré.

Imaginons un disque. Un simple disque. Pour compliquer, appelons le "plan hyperbolique de Poincaré".
Pour avoir une bonne géométrie, il faut des droites et des points. Un "point" sera simplement un point appartenant au plan de Poincaré. Pour la notion de "droite", on prendra les diamètres du cercle et les arcs de cercle orthogonaux au pourtour du disque.
Les choses ressembleront alors à quelque chose comme ça :
poincare

H est le plan hyperbolique de Poincaré

Plusieurs droites y sont représentées. On peut voir que les 4 premiers axiomes d'Euclide sont bien conservés, notamment celui selon lequel il n'existe qu'une unique droite passant par deux points distincts.

Et l'axiome des parallèles ? On voit qu'il n'est pas respecté : il existe plusieurs droites passant par le point M qui ne coupent pas la droite D (T1, T2).






Maintenant, faisons attention à ne pas tout mélanger, surtout en matière de mesure des longueurs ! Le schéma ci-dessus n'est qu'une représentation. Plus on s'approche du bord du cercle, plus deux points proches en apparence seront éloignés. Un être vivant qui se déplacerait sur le plan de Poincaré ne pourrait jamais en atteindre les bords. Et nous, simple observateurs de cet être, le verrions rapetisser au fur et à mesure qu'il avance. Les angles, cependant, restent identiques pour tout le monde.


carrehyp
Ceci est un carré... Si si ! Les quatre angles sont égaux, les quatre côtés aussi

Dans le monde hyperbolique de Poincaré, la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180° (pi radians). Et ce qui est épatant la dedans, c'est que la différence avec pi donne la mesure de l'aire de ce triangle ! C'est peut-être un détail pour vous, mais quand même, c'est fou !
Et en conséquence, il n'existe pas de carrés à proprement parler, la somme des angles d'un quadrilatère étant toujours inférieure 360° (2pi radians). Il existe bien des "carrés", mais ils ne possèdent pas d'angles droits.

Autant il n'y a pas de quadrilatère avec quatre angles droits, autant il existe des pentagones droits avec 5 angles droits, des hexagones droits, et ainsi de suite... (heptagone, octogone, nonagone, triacontakaiheptagone...)

pentag
Un magnifique pavage du pan hyperbolique par des pentagones réguliers droits (en blanc)


Et encore plus fort : il existe un infinigone régulier ! C'est un polygone régulier, avec tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux (à 120°). Et le plus fort, c'est que l'on peut paver le plan avec !

infinigone
(Plan pavé d'infinigones réguliers)

Mais tout n'est pas si compliqué dans cette vision de la géométrie, puisqu'on peut y faire beaucoup de choses impossibles à faire dans le plan euclidien. On peut, par exemple, y réaliser la quadrature du cercle. Et, encore plus fort, la conjecture P=NP est vérifiée ! (Mais pour le millions de dollars, c'est dans le plan euclidien qu'il faut le démontrer).
Bon, les choses deviennent plus difficiles quand on commence à s'intéresser à un espace hyperbolique de dimension 5 ou supérieures, mais je crois que dans l'état actuel du blog, ce n'est pas très intéressant...

Escher1
Limite Circulaire I
(M.C. Escher)



Sources :

Pour la science, n°316 février 2004 (que l'on peut lire ici)
De jolies illustrations provenant de ici
Ici, un applet java sympathique

Posté par El Jj à 12:12 - Commentaires [6]
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18 mai 2007

[#] Le mystère du pentagone et du ruban...

Parce que ce blog aussi peut tomber à 9,81 m/s² dans l'inutilité, répondons aujourd'hui à cette question e-mail posée par Kaki (vous aussi, envoyez vos questions, peut-être elles seront tirées au sort pour y répondre) :

Pourquoi, quand on fait un nœud simple avec un ruban, on obtient un pentagone ?

ruban

En voilà une merveilleuse question qui nécessite que l'on s'y intéresse vraiment ! Pour comprendre ce phénomène, il faut remonter à l'origine du nœud, à la manière dont on le forme. Puisque un long discours vaut mieux que quelques images, et que j'ai pas le temps de discourir, voici quelques images :

Mode_d_emploi

Etape un : ...
Etape deux : ...
Etape trois : ...

Etape quatre : on tire des deux côtés. Les différents pliages vont alors s'agencer entre eux pour former un magnifique pentagone régulier.

 

Pour comprendre d'où il vient, il suffit simplement de s'intéresser aux pliages aboutissant au nœud terminé :

pliages

Etape un : On plie selon quelque chose qui ressemble à [ab]
Etape deux : On plie selon quelque chose qui ressemble à [cd]
Etape trois : On plie selon quelque chose qui ressemble à [ef]

 

Et à l'étape quatre, on tire des deux côtés, de manière à ce que toutes les longueurs soient minimales. Cela revient à avoir effectué les pliages de manière à ce que [ac] et [df] correspondent exactement à la largeur du ruban (donnant ainsi les points a', b', d' et f' : ac=a'c', df=d'f').


pentagone

Les pliages donnent tout un tas d'égalités entre les différentes longueurs, identifiées par leur couleurs dans le schéma ci-dessous.

pliages2

Et c'est là que cet exposé devient impossible à suivre !
soit x la mesure de l'angle ecd
(cd) étant la bissectrice de ecd, on a ecd=bcd
ecd et cdb sont alterne-interne : ecd=cdb
On a donc bcd=cdb, cbd est donc isocèle : cb=bd=de=ec=bd'=ec'

On peut alors trouver tout un tas de triangles semblables et d'angles alternes-internes, donc, plein d'angles égaux.

pliages3

On a alors (ec')//(cf)//(da)//(bd')
On se retrouve avec ec'fc et adbd' étant des losanges, et acfd un parallélogramme.
De quoi conclure que ef=cd=ab et ac=fd. De la à conclure que tout est égal, il n'y a qu'un pas, que je n'hésite pas à franchir (il suffit d'ajouter le segment [a'f] pour voir apparaitre tout un tas de triangles semblables isocèles).

On a alors ac=cd=de=eb=ba : abcde est un pentagone régulier !

(Il y a peut être (et très sûrement) plus rapide, mais j'ai jamais été très fan de ce type de géométrie...)

 

Message personnel : Maintenant, Kaki, c'est à toi de jouer !

Posté par El Jj à 21:32 - Commentaires [3]
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12 mai 2007

[#] Puisque le Petit Prince l'a dit

C'est bien joli de parler de maths, mais pourquoi ne pas parler un peu de littérature ?!...
Je me sens d'humeur à parler d'Antoine de Saint Exupéry, du Petit Prince... Pourquoi ne pas faire une petite analyse de la portée philosophique de l'œuvre ? En effet, ça... Nan, parlons plutôt de maths, je suis là pour ça !

 

On prête à Antoine de Saint Exupéry un dialogue entre lui et le Petit Prince, conversation durant laquelle le Petit Prince affirme sans sourciller son théorème (Le théorème du Petit Prince) : "Si un triangle a trois angles droits, alors il est équilatéral".

 

Ce à quoi vous aimeriez bien lui répondre  : "Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier d'alu. C'est pas possible d'avoir trois angle droits dans un triangle ! Rho le nul !".
Ce à quoi le Petit Prince vous répondrait, sûrement avec dédain, que vous avez tort, et commencerait à vous faire la morale. Et pour vous enfoncer encore plus, il vous dessinerait ce fameux triangle :


3anglesdroits

Le triangle ABC est bien un triangle équilatéral qui possède trois angle droits...

Et toutes ces histoires comme quoi la somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à 180° ?... Eh oui, on vous a toujours menti, mais rassurez-vous, c'était pour votre bien...


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Il est donc l'heure de découvrir la vérité : tout ce que l'on apprend en géométrie depuis la maternelle, ce n'est qu'une vision euclidienne du domaine... Petit cours approximatif de l'histoire des mathématiques.

Avant Euclide, on faisait de l'arithmétique et de la géométrie, sans trop se poser de questions philosophiques comme "qu'est ce qu'un point ?" ou "qu'est ce qu'une droite". Vers 300 avant JC, Euclide en avait marre de tout ça, mit les pieds dans le plat et donna tout un tas de définitions sur ces concepts (Ndlr : totalement indigestes).
A partir de toutes ces définitions, il donna 5 postulats (des propriétés que l'on décide vraies et sur lesquelles on fonde toute une théorie mathématiques - au contraire d'un axiome, on ne s'interdit pas de chercher la démonstration d'un postulat) :
1 - Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
2 - Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
3 - Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
4 - Tous les angles droits sont congruents (Celle là, je la comprends pas bien...)
5 - Par un point extérieur à une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite.
(A noter que Hilbert passe derrière en 1899, et propose 21 postulats comme base de la géométrie euclidienne... En fait, il y en avait un en trop dedans, mais c'est un détail)

Et pendant de très nombreuses années, les mathématiciens se sont toujours accordés à accepter les quatre premiers postulats (devenant, de fait, un axiome), mais pour le cinquième, ça bloquait... Ils étaient intimement persuadés qu'il était démontrable à partir des quatre premiers.
Et lors de nombreuses recherches infructueuses, ils tentèrent de voir ce que cela donnerait si ce cinquième postulat était faux.

Et si, par un point extérieur à une droite donnée, ne passait aucune droite parallèle ?

Créé par Riemann, cela donne une géométrie elliptique. Au lieu du plan, on évolue sur une sphère, et les droites, ce sont les cercles possédant le même centre que celui de la sphère. Là-dedans, les triangles peuvent (entre autres) avoir trois angles droits...

Para_riemann
Par M ne passe aucune droite parallèle à D.

Et si, par un point extérieur à une droite donnée, passent une infinité de parallèles ?

On se retrouve avec une géométrie hyperbolique, crées par Lobatchevsky, Klein ou Poincaré (à des époques différentes). Tout un tas de modèles équivalent existe, mais j'en parlerait surement une autre fois sur le blog. En gros, ça donne quelque chose comme ça :

Para_lobatchevski
Géométrie hyperbolique de Lobatchevsky : par M passent une infinité de parallèles à D.

Maintenant, vous savez... Ne nous laissons pas dicter la géométrie par Euclide ! Il ne faut pas se laisser faire !

(Surtout qu'aujourd'hui, avec tout les concepts qu'on a inventés depuis, la géométrie euclidienne a laissé sa place à des choses encore plus alambiquées : dimensions infinies, distances négatives ou géométrie fractale).


Vous pouvez lire ce passage du Petit Prince ici. A noter que la discussion entre Antoine et Le Petit Prince n'est en réalité pas dans le bouquin du même nom, c'est simplement un hommage par un mathématicien au Petit Prince.
(Et pour les sources, c'est encore Wikipedia, d'où proviennent les deux dernières images).

Posté par El Jj à 22:13 - Commentaires [6]
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05 mai 2007

[#] Un millions de dollars pour un sudoku

(Je ne cherche pas à rentrer dans tous les rouages de la question, juste une visite guidée de détails plus ou moins intéressants)

Rappelez-vous, c'était il y a une semaine : vous avez découvert ce qu'était un problème NP-complet, comme celui de la faisabilité du sudoku (et plein d'autres, j'ai donné plein d'exemples), et ce qu'était un problème de classe P...

Le grand problème du problème NP-complet, c'est que dans l'état actuel des choses, un ordinateur met généralement beaucoup de temps pour en venir à bout. Savoir si un sudoku de 10 000 cases est faisable est pour un ordinateur quelque chose d'inenvisageable (avec le manque de chance, la réponse nécessiterait dans les 10^20000 calculs... )...

Inenviseageable ?... Là est la véritable question... Cette question porte un nom : "A-t-on P=NP ?"
Peut-être il existe quelque part, bien caché, un algorithme capable de déterminer si ce sudoku est faisable en un temps admissible, polynomial...
Pendant ce temps là, les mathématiciens cherchent...

Et pour cause : un millions de dollars est prévu pour la personne qui arrivera à démontrer que P=NP, ou arrivera à démontrer son contraire.
Et pourtant, c'est facile de le démontrer : il suffit simplement de trouver un algorithme polynomial qui résolve un problème Np-complet (Ou alors montrer que pour un problème NP-complet précis, il est impossible de trouver un algorithme polynomiale qui réponde à la question).
Ce qui est bien avec les problèmes NP-complets, c'est qu'il sont tous plus ou moins pareils : en résoudre un, c'est la même chose que tous les résoudre. Montrer que un seul est polynomial, c'est montrer qu'ils le sont tous... Idem pour l'inverse.
Bon, c'est pas forcément évident, à vrai dire, mais c'est faisable, avis aux amateurs...
(Enfin, c'est en théorie à la portée des amateurs en cherchant une démonstration du type évoqué ci-dessus, mais tout porte à croire que si la démonstration existe, elle porterait plutôt sur les définitions précises des diverses classes)

Et en attendant d'avoir une démonstrations, qu'en pensent les mathématiciens ?... Un sondage (encore un...) a été réalisé en 2002 sur la question :
45 % pensent que la question sera résolue avant 2050
27 % pensent qu'elle sera résolue après
5% pensent qu'on ne trouvera jamais, que ça sert à rien de chercher et qu'il vaudrait mieux chercher autre chose
(Et les autres ne pensent rien sur la question)

Mais ce qui est encore plus intéressant, c'est la deuxième question posée dans le sondage : "Est-ce que P=NP ?". A ça, on a :
61% pensent que P≠NP
9% pensent que P=NP
Et les 30% qui restent... pensent que c'est ni l'un, ni l'autre...

Et si la véritable réponse était là... Et si la question P=NP était indémontrable ?...
C'est tout à fait possible, Gödel a démontré 1931 qu'en mathématiques, tout n'est pas démontrable. Un théorème indémontrable (dans un système de démonstration donné) est appelé "indécidable".
Heureusement, c'est possible de démontrer que quelque chose n'est pas démontrable (c'est ça qu'est beau, en mathématiques !)...

Et que se passe-t-il si on montre que "P=NP ?" est indécidable ?... Et bien, on ne sera pas plus avancés : les ordinateurs rameront toujours autant pour trouver la réponse d'un problème compliqué, mais on pourra admettre que P≠NP, et démontrer de nouvelles choses à partir de ça...

Et pour résoudre le sudoku, on gardera le papier et le crayon. Ou alors, on peut lire un bon bouquin, les sudoku, en fait, c'est nul...


Sources :
Pour la science - n°334, août 2005

26 avril 2007

[#] Norbert Petiot, voyageur de commerce

(En lisant entièrement cette note, vous pourrez peut-être gagner un millions de dollars)

Voyageur de commerce, quel beau métier ! Se balader de maisons en maisons pour vendre de chouettes encyclopédies !... Mais comment peut-on aujourd'hui songer à faire ce métier quand on sait qu'il va falloir passer son temps à marcher entre toutes les maisons...
"Et si, avec mes compétences d'informatiques, j'écrivais un algorithme qui me chercherait le moyen le plus court de relier toute les maisons ! Avec ça, je pourrais minimiser mon temps à marcher, et passer plus de temps à vendre ma camelote !". Après cette réflexion, Norbert Petiot se mit à programmer, il trouva se qu'il chercha : un algorithme qui trouve le plus court chemin entre n points. Il fait un petit test simple, avec 4 points. Le programme teste alors les 12 chemins possible et retourne en un centième de seconde le meilleur chemin.

commerce

Parfait, se dit-il, devant ce jeu d'essai. Il décide alors de rentrer ses données, les 15 maisons qu'il veut visiter et les 105 distances qui séparent chaque maison 2 à 2... Cette histoire a plus de 17 ans... On dit qu'il attend encore la réponse à son problème... (Plus que 96 jours à attendre, finalement)

Mais que s'est-il donc passé ? Pourquoi ce malheureux voyageurs de commerce est mort de faim devant son écran en se disant "plus que quelques secondes à attendre" ? A t-il mal réalisé son programme ?

Eh bien, il se trouve que Herbert s'est frotté à un problème NP-complet...

NP-complet ? Qu'est ce que c'est que cette bête là ?!
(Les histoires de théorie de la complexité étant plus compliquée qu'il n'y parait, il y aura un certain nombre de simplifications fort peu précises)
Pour résoudre un problème en informatique, on a tendance à utiliser des algorithmes. En théorie, on peut calculer n'importe quoi. En théorie seulement, puisque dans la pratique, on est toujours limités par la puissance des ordinateurs que l'on utilise. C'est pour cela que l'on peut catégoriser les différents problèmes par leur facilité à être résolus par des ordinateurs. Parmi ces différentes catégories, on parle surtout des classes P et des classes NP.

La classe P (polynomial)

"Voici une boîte d'allumettes avec n allumettes. Fonctionnent t-elles toutes ?". Pour le savoir, il va falloir essayer toutes les allumettes en les allumant. Si elles fonctionne toutes, on pourra répondre oui à la question. Le temps dont on aura besoin pour le savoir sera donc proportionnel au nombre d'allumettes.

"Y a-t-il un couple qui s'est formé pendant cette soirée comportant n personnes ?". Sachant que personne ne voudra vous répondre, il va donc falloir vérifier pour chaque couple s'il correspondent à l'idée qu'on se fait d'un couple. Le temps qui va falloir pour trouver la réponse sera donc proportionnel au nombre de couples que l'on peut former, et donc, proportionnel (à quelque chose près) à n².
On dit qu'on problème de décision (auquel on peut répondre oui ou non) est de classe P si on peut trouver un algorithme qui donnera une réponse certaine en un temps polynomial.

La classe NP (non-déterministe polynomial)

"Étant donné n villes, existe-t-il un chemin passant par tous ces villes de longueur inférieure à N ?". Avec un peu de chance, on va pouvoir répondre oui très rapidement, sinon, le temps d'attente sera proportionnel à n!
Pour simplifier de manière atroce, les problèmes NP sont les problèmes dont le temps d'exécution, si on manque de chance, ne sera pas polynomial.
Et les problèmes NP-complet (ou NP-difficile en simplifiant) dans cette histoire ? Et bien, c'est l'ensemble des problèmes qui ressemblent à notre problème du voyageur de commerce (qui est NP-complet), c'est à dire, les problèmes dont l'algorithme de résolution ressemble (même de loin) à celui du problème du voyageur de commerce.

Quelques exemples de problèmes NP-complets :

Problème du circuit hamiltonien
"Étant donné un graphe, y existe t-il un cycle hamiltonien ?"
Alias, étant donné un graphe, existe t-il un chemin passant une et unique fois par tous les points ?

hamilton1
Peut-on trouver un cycle hamiltonien dans ce graphe ?... Réponse...

Problème de la séparation équitable
"Étant donné une suite d'entiers données, y a t-il moyen de la séparer en deux paquets de même somme ?"

Exemple : 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5...
Réponse : Oui : 2+2+3+3=1+4+5

Problème du sudoku
"Ce sudoku n²×n² cases est-il faisable ?"

Sudoku
Exemple : ce sudoku est-il faisable ?... Réponse...

Problème des équations quadratiques diophantiennes
"L'équation ax²+by=c, avec a,b,c entiers donnés, admet-elle des solutions ?..."

Problème de Laurent Romejko
"Quel est le mot le plus long existant parmi ces n lettres" et "Avec des additions, soustractions, multiplications et divisions, peut-on obtenir une certaines sommes avec n chiffres donnés"...

Bref
Il existe énormément de problèmes NP-complet, et en résoudre un seul de manière déterministe (avec un algorithme polynomial) suffirait à empocher la somme de un millions de dollars...

Plus d'informations dans le prochaine article, parce cet article-là est déjà trop long.



22 avril 2007

[#] Königsberg et les parcours eulériens

Dans cette intéressante excursion au milieu de la théorie des graphes, nous allons aujourd'hui rejoindre la belle ville de Königsberg, aujourd'hui Kaliningrad, située dans l'enclave de Kaliningrad (le bout de la Russie perdu entre la Pologne et Lituanie)

Kalingrad_carte

Cette belle ville de Könisberg est une sorte de Mecque pour tous les mathématiciens, puisqu'elle a donné naissance au célèbre problème de la théorie des graphes, celui des "sept ponts de Könisberg".
Comme le nom du problème semble l'indiquer, Könisberg possède sept ponts. Une photographie de l'époque le montre bien :

Konigsberg

Le problème dans cette ville est celui de la visite touristique : comment passer par tous les ponts de la ville sans passer deux fois par le même (ou revenir en arrière sur un pont) et revenir au point de départ. Autant le dire tout de suite, ce n'est pas possible...

En termes plus mathématiques, il faut trouver un cycle eulérien dans le graphe représentant la ville. Le graphe de la ville est ci-dessous : les arrêtes (lignes) représentent les ponts et les sommets (les cercles) représentent les îlots ou le continent. Un cycle eulérien, c'est un chemin qui passe une unique fois par toutes les arrêtes et qui revient à son point de départ. (Une chaîne eulérienne, c'est comme un cycle, mais il n'y a pas besoin de retourner au point de départ)

graphe_konis

Tout le monde (j'espère) connait ce célèbre jeu qui consiste à tracer une sorte de maison (ou n'importe quel autre dessin) "sans lever le crayon". Il s'agit ni plus ni moins que de retrouver une chaîne eulérienne dans le graphe suivant...

maison

Et comme ce blog a une volonté tout à fait pédagogique, même sur des problèmes de "tracé de figures sans lever le crayon", il faut savoir qu'il y a un truc à connaitre : pour qu'un tracé soit faisable sans lever le crayon (pour qu'il existe une chaîne eulérienne dans un graphe), il faut que le nombre de sommets possédant un nombre impair d'arêtes soit de zéro ou de deux. Il faut également savoir que l'on commence toujours et termine toujours en ces sommets.
Si on veut trouver un cycle, il faut qu'il n'y ait que des sommets avec un nombre pair d'arêtes...

A ne pas confondre avec les chaînes hamiltoniens (cf dernière note) dans lesquels il s'agit de trouver un chemin passant par tous les sommets de manière unique.

Et tant qu'on parle des graphes, on va continuer la prochaine fois avec le métier qui terrifie les mathématiciens et informaticiens : les voyageurs de commerce.


Sources :
Un peu de wikipédia (pour les jolies illustrations, les moins jolies sont de mon cru)

Posté par El Jj à 10:00 - Commentaires [2]
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15 avril 2007

[#] Le cavalier d'Euler

En ce 300e anniversaire de la naissance d'Euler, le mathématicien qui a tout fait en mathématiques, j'aimerais jouer à un jeu... Ce jeu, c'est celui du cavalier d'Euler (alias "le problème du cavalier", "le cavalier polygraphe" ou "la polygraphie du cavalier"), étudié par Euler en 1759 (car, je le rappelle, il a tout étudié)

Pour jouer, il suffit d'un échiquier de 64 cases et d'un cavalier (vendu avec l'échiquier). Le principe est simple : avec le mouvement en L spécifique du cavalier, il faut parvenir à passer sur toutes les cases de l'échiquier de manière unique. Vous pouvez le tester derrière ce lien.

Vous avez trouvé une solution ?! Félicitations ! Mais ce n'est pas tout d'en avoir une seule, ça serait quand même plus rigolo de toutes les avoir, non... On peut donc légitimement se poser la question du nombrede parcours possibles.
En 1995, deux chercheurs allemands, Martin Löbbing et Ingo Wegener, font tourner 20 puissants ordinateurs pendant 4 mois, et arrivent au chiffre de 33 439 123 484 294 parcours possibles... Mais après une petite réflexion, ils remarquent qu'une erreur s'était glissée dans leur raisonnement, et que finalement, les quatre mois de calculs n'ont servi à rien du tout...
En 1997, Brendan McKay, chercheur australien de son état, fait un travail un peu plus sérieux, et trouve le chiffre de 13 267 364 410 532 circuits.
Mais ces chiffres, ce n'est que pour les circuits fermés, c'est à dire, ceux qui reviennent à la case départ...

Alors, combien de circuits possibles ?!

En 2001, le chiffre tombe : 1,22 millions de milliards de possibilités, c'est à dire 1 220 000 000 000 000 possibilités. Pour se donner une idée, si un ordinateur donnait un millions de solutions par secondes, il faudrait dans les 40 ans pour avoir toutes les solutions. Évidemment, ce chiffre ne tient pas compte des possibilités de symétries...

Après, on peut s'amuser à changer la taille ou la forme de l'échiquier, et c'est parti pour de nombreuses heures de fun en perspectives. Par contre, si vous voulez vraiment trouver des solutions excluez les échiquiers de moins de 6×6 cases. Si vous cherchez des solutions qui reviennent à la case départ, il faut un nombre pair de cases.

La première solution de ce sympathique jeu nous est donné par al-Adli ar-Rumi en l'année 840 :

Marche_du_cavalier_selon_al_Adli_ar_Rumi

Et reste la question : pourquoi je vous parle de tout ça ? Et bien, tout simplement pour commencer une série de notes sur la théorie des graphes, qui va peut-être nous amener à résoudre le problème P=NP (ou pas)...

En fait, ce problème revient à chercher un parcours hamiltonien au sein de ce graphe : (mais j'y reviendrais lors de prochaines notes, histoire d'expliquer ce que veut dire parcours hamiltonien).

graphe_cavalier



Sources :
Cet excellent article de procrastin
Et un peu wikipedia

Posté par El Jj à 16:14 - Commentaires [6]
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07 avril 2007

[#] Lacets coulants

S'il y a un domaine dans lequel les maths s'appliquent à un niveau énorme, c'est bien dans celui des chaussures... Si si, je vous assure ! Bon, peut-être pas à un point énorme, mais tout de même...

Le laçage des lacets ! Je ne parle pas des nœuds (qui est un véritable pan des mathématiques), mais le laçage des lacets sur la chaussure, qui donne de chouettes motifs le long de la chaussure. Si vous portez des chaussures à scratch, il est encore temps d'arrêter de lire cet article, puisqu'il ne va traiter que des chaussures à lacets... A noter que tout ce qui est contenu dans cette note se base sur de véritable travaux de recherches mathématiques commencés en 11992 par John Halton. Depuis, de nombreux progrès ont été effectués dans le domaine, mais je n'en dit pas plus...

Avant de commencer, définissons ce qu'est une chaussure mathématiques (d'ordre n). Il s'agit d'un ensemble de 2n points ressemblant à quelque chose comme ça (Avec h la hauteur entre deux points, et 1 la distance entre les deux côtés) :

cocci
Coccinelle Belle chaussure d'ordre n

Maintenant, on peut définir ce qu'est un laçage, et ou sera prêts à commencer l'étude. Un laçage, c'est un chemin composé de 2n segments qui passe une unique fois par tous les œillets de la chaussure, et qui revient à son point de départ. Comme un laçage est fait pour attacher sa chaussure, il faut que chaque œillet soit au moins relié à un œillet en face.

Maintenant que tous est clair, il faut savoir qu'il existe plusieurs types de laçages. Vous ne le saviez pas, mais vous portez peut-être aux pieds des laçages denses, simples, voire droits ou même super-droits (mais ils sont rares)

Les laçages denses
Un laçage dense est un laçage dans lequel chaque œillet est relié à deux œillets dans la série d'en face. Citons par exemple le laçage en croix, ou le laçage démoniaque.

croixCroix
Laçage en croix (alias, laçage américain, pour les amateurs de country)

demon
Laçage diabolique (Mais très joli)

Les laçages simples
Quand on suit le chemin parcouru par le lacet d'un laçage simple, on descendra la chaussure dans un premier temps, et on le remontera dans un second temps. Le laçage en crois est un laçage simple, tout comme le laçage en nœud papillon.

neupapneupap

Laçage en nœud papillon

Les laçages droits et super-droits
Un laçage est droit quand toutes les lignes horizontales sont présentes. Il est super-droit quand il n'y a plus un seul segment oblique. Citons par exemple le laçage zigzag, le laçage en zigsag ou celui en serpent.

zigzsag
A ne pas confondre...

serpentserpent
Laçage en serpent (super droit)

Phase un : définir les choses (ça, c'est fait)
Phase deux : se poser des questions, et si possible, y répondre...

Le laçage le plus court...
Quelle est la chose que l'on redoute le plus dans la vie ? Oui, vous l'avez deviné, il s'agit de cette question horrible : "vais-je avoir suffisamment de lacets pour pouvoir boucler mon laçage ?"
Oui, un lacet qui se casse, et c'est l'angoisse, la chaussure ne tient pas, il faut réagir en faisant un laçage plus court. oui, mais lequel ? Après 12 pages de démonstration, on aboutit à ce résultat stupéfiant : le laçage le plus court est le laçage en nœud papillon !

Oui, mais si je veux un joli laçage droit ? Pas de problème, on a aussi la réponse : le laçage droit le plus court est le laçage en serpent (si n est pair) et le laçage en zigsag (si n est impair).

Et si vous voulez des chaussures bien serrées avec un laçage dense ? Et bien, le plus court sera le laçage en croix !

Le laçage le plus long...
Autre hantise de l'européen moyen aujourd'hui : que doit-on faire quand, après avoir acheté un joli lacet doré dans une grande surface, on se retrouve avec un lacet long d'un mètre... Non, n'utilisez surtout pas vos ciseaux ! Il suffit simplement de connaitre le laçage le plus long !
Une chose à savoir : le laçage le plus long est le laçage diabolique ! (Si h<1. Avec h>1, il faut le laçage angélique, mais je n'ai pas trouvé d'illustration... Et en plus, c'est une conjecture...)
Si n'avez pas que ça à faire, de lacer vos chaussures, il vous faudra un laçage simple. Le laçage simple le plus long est le laçage en zigzag, mais vous y perdrez énormément en longueur de lacet...

Combien de laçages ?...
Autre grande hantise du monde moderne, tous autant que l'on est nous sommes déjà posé cette question "Mon Dieu, avec quel laçage vais-je sortir ?". Et vous en êtes arrivés à essayer tous les laçages possibles pour voir le meilleur... Malheureusement, vous n'avez pas pris la peine de vous renseigner sur leur nombre, grand mal vous y a pris !... Heureusement, les mathématiciens se sont posé sur la question, et en ont tiré des résultats à prendre en compte !...

Combien de laçages en tout ?
C'est donné par cette formule toute simple :

formgenerale
Ce qui donne :
n=4 : 1080
n=5 : 51840
n=6 : 3 758 400
n=7 : 382 838 400

En fait, ces résultats sont intéressant sur un certain point : il ne faut jamais essayer tous les laçages possibles avant de partir au boulot...

(Bon, évidemment, tout ça, ce ne sont que des résultats, je vous ai passé les étapes de réflexion... De toutes façons, vous auriez sauté les paragraphes...)

Toutes les questions n'ont pas encore été éludées, puisque l'on se base sur des chaussures simples : les trous sont également espacée, et les deux lignes de points sont bien verticales... Que se passe t'il si l'on permet à un lacet de passer plusieurs fois par un même trou ? Que se passe t'il si les trous ne sont pas également espacés ? Que se passe t'il si on place nos trous suivant une courbe plus amusante qu'une simple droite ? Nombre de questions qui n'ont pas encore leur réponses... Il ne faut pas croire, il y a encore beaucoup de thèmes de recherche en mathématiques...


Sources :
Pour la sciences (j'adore ce magazine) n°352 février 2007 (Sur lequel j'ai également pris quelques images)
Le reste des images sur ce site russe (Avec plein d'autres très jolies photos pour donner des idées de laçage)

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31 mars 2007

[#] De la nécéssité de ne plus inventer la pièce de 62 cts mais celles de 3 et 4 cts

Vous avez raté le début ?

Quatrième question : Comment je fais pour payer 2,98€ avec mon jeu de 1c, 6cts, 14cts, 62 cts, 99cts, et 1,40€ ?
Et voilà le gros problème de notre nouveau système : il ne suffit pas d'être doué en calcul mental, il faut aussi être un ordinateur capable de tester toutes les combinaisons donnant la somme voulue.
Comment feriez-vous pour payer cette somme de 2,98€ ? Et bien, vous utiliseriez l'algorithme glouton, c'est à dire, prendre la plus grande pièce possible, puis faire la soustraction :
298 = 140+140+14+1+1+1+1 : 7 pièces
Pourtant, on peut faire cette même somme avec 4 pièces :
298 = 99+99+99+1

Un exemple plus simple : payer 18€ avec des pièces de 1, 6 et 14€
L'algorithme glouton donne 5 pièces : 18=14+1+1+1+1
Alors qu'une simple réflexion donne 3 pièces : 18=6+6+6

Le jeu de pièce optimal calculé plus tôt est malheureusement basé sur le principe que les usagers doivent posséder un ordinateur interne pour rendre la monnaie avec le minimum de pièces...

Cinquième question : Quel est le meilleur jeu de pièces, alors ?
Pour celà, on va appeler effmoy_gl(298,[1,6,14,62,99,140]) le nombre de pièces à donner pour payer 298 cts avec le jeu de pièces [1,6,14,62,99,140], et effmoy_gl(500,[1,6,14,62,99,140]) le nombre moyen de pièces à payer pour payer une somme entre 1cts et 500cts avec le jeu de pièces  [1,6,14,62,99,140].
Bref, après un temps de calcul moins long, on trouve :
effmoygl(500,[1,6,14,62,99,140])=5,992 (Ce qui est quand même moins bon que les 4,67 pièces quand on cherche la décomposition optimale)

Le palmarès des meilleurs jeux de pièce, en considérant l'algorithme glouton, est donc celui-ci :
Pour les sommes entre 1 et 499 centimes :
* 4 pièces, les gagnants sont...
[1,5,23,109]* et [1,5,23,110]* (7,1 pièces en moyenne)
* 5 pièces, les gagnants sont...
[1,4,13,44,147], [1,4,13,44,150]*, [1,4,14,47,160]* et [1,4,14,48,160]* (5,8 pièces en moyenne)
* 6 pièces, les gagnants sont...
[1,3,8,26,64,202], [1,3,8,26,64,203], [1,3,8,26,64,204], [1,3,10,25,79,195], [1,3,10,25,79,196] et [1,3,10,25,79,197] (5,4 pièces en moyenne)

Notre actuel jeu de pièces [1,2,5,10,20,50,100,200]* donne 4,6 pièces en moyenne

(A noter que pour les jeux de pièces avec un *, l'algorithme glouton donne toujours la meilleure décomposition)

Sixième question : C'est quoi cette fonction effmoy_gl de $£¤µ% ?????
Je vous l'accord, cette fonction se base sur un très mauvais principe : celui que toutes les sommes payables sont réparties équitablement, ce qui n'est pas tout à fait vrai (pas du tout vrai, en fait)
Les gens suivant activement ce blog se rappelle très bien la loi de Benford, qui régit également les prix affichés dans les magasins (A une certaine échelle). Autre chose à prendre également en compte : l'euro a étrangement fait monter les prix, puisqu'ils terminent très souvent par des 0 ou des 5...
Beaucoup de choses à prendre en compte finalement... Et ma flemme m'empêche de le programmer...

Septième question : Ouais, mais bon...
Malgré toute la bonne volonté du monde, il y a peu de chances de voir un jour adapté en pièces ces jeux de pièces mathématiquement parfaits... Pourquoi ? Parce que le monde n'est pas prêt à faire tous les jours des calculs avec des soustractions à retenues...
Il y a un seul moyen de résoudre ce problème : que les calculs de rendus se fassent en procdédant chiffres par chiffre. D'abord les unités, puis les dizaines, puis les centaines...
Le problème se ramène donc à chercher le jeu de pièce le plus performant sur les sommes de 1 à 9 centimes, on prendra ensuite les pièces de dizaines et centaines correspondantes.
Avec une répartition équilibrée des sommes de 1 à 9 centimes, on trouve, pour notre jeu actuel :
effmoy(10,[1,2,5])=1.7 pièces par chiffres
Notre système est donc plutôt correct, mais le meilleur est le système [1,3,4], avec effmoy(10,[1,3,4])=1.6 pièces par chiffres.

(A noter que le système [1,2,5] est à égalité avec les sytsèmes [1,4,6], [1,4,5], [1,2,7], [1,2,6], [1,2,4], [1,3,8], [1,3,7], [1,3,6] et [1,3,5]. Le pire est évidemment [1,8,9])

S'il y a une réforme faisable, ça serait de changer notre jeu de pièces actuel contre [1,3,4,30,40,300,400,...] ! C'est la banque centrale qui serait contente, puisque cela voudrait dire moins de pièces à imprimer...

Et si on considère notre amie la loi de Benford, on découvre que le système [1,3,4] est meilleur que [1,2,5]...

Il y a évidemment une mise en garde, puisque notre faux-amis l'algorithme glouton n'aime pas trop ce système, à cause de 6.
Avec l'algorithme glouton, on a 6=4+1+1 (3 pièces)
Sans cet algorithme, on a 6=3+3 (2 pièces)
Mais pour un seul contre exemple plutôt facile à contourner, on ne va quand même pas cracher sur cette révolution monétaire, non !?

Huitième question : Ben alors, on change quand de monnaie ?
Je proposerai bien maintenant, mais il semble que Roland Yéléhada ait une petite réserve à émettre :
"C'est bien joli, tout ça, mais la loi de Benford, elle s'applique beaucoup plus aux phénomènes naturels qu'aux phénomènes humains ! En Europe, on aime bien les prix ronds, avec plein de 0 et de 5 !..."
Et ben en fait, il a part tord, l'ami Roland... [1,3,4] est meilleur pour les répartitions équiprobables et selon la loi de Benford des chiffres, mais se fait dépasser en efficacité quand on considère une grande probabilité de présence de 5 et de 0. Par "grande probabilité", on entend "que la présence de 5 ou de 0 ait une fréquence de plus de 33,33%".

Seulement, et juste pour contredire Roland, parlons de nos non-amis les publicitaires, qui se font un plaisir de vendre des choses à 9,99€. Et bien, le jeu de pièces [1,3,4,10,30,40,100,300,400, ...] serait quand même plus efficace...

Et pour ceux qui disent qu'il vaut mieux payer avec un billet de 10€ une somme de 9,99€, ils seront heureux d'apprendre qu'ils pourront toujours le faire facilement !

Pour moi, il n'y a qu'une seule chose à faire pour rendre l'Europe meilleure : votons les pièces de 3, 4, 30 et 40 centimes !

(Et pour ceux qui douteraient de la nécessité de tous ces calculs, il faut quand même savoir qu'ils ont une vraie utilité pour les banques émetrices, celle de décider le nombre pièces de chaque types à imprimer, selon leur fréquences relatives...)


Sources :
Toujours Pour la science, n°335, septembre 2005
et toujours mes petits programmes en Isetl

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24 mars 2007

[#] De la nécéssité d'inventer la pièce de 62 centimes

1, 2, 5, 10, 20 ou 50 centimes d'euros, un euro ou 2 euros... De belles pièces bien rondes...

Ceausescu, célèbre dictateur communiste, avait bien comprit que le système était quelque chose de bien trop capitaliste. C'est pour cela qu'il inventa la pièce de 3 lei... Notre ami dictateur n'a cependant pas été le seul à changer la formule des [1,2,5,10,20,50,100,200] unités, puisque les États-Unis ont fait leur pièce de 3 cents dans les années 1850 et les russes ont fait leur pièce de 3 kopecks...

3lei

Une pièce de 3 unités, c'est bien, mais pourquoi ne pas réformer tout le système ?...

Première question à se poser : pourquoi a-t-on plusieurs pièces différentes ?
Question un brin stupide (pas qu'un brin, d'ailleurs), je sais, mais imaginons un monde pas bien merveilleux où seule la pièce de un centime existerait... Certes, on aurait plus à chercher les bonnes pièces dans notre poche, mais pour payer les 87 centimes du carambar... Pour chaque somme à payer entre 1 et 100 unités, il va donc falloir en moyenne 50 pièces.

En face de ce monde pas bien merveilleux, un autre monde pas bein merveilleux où les gens ne savent pas compter. Ils ont donc autant de pièces que de sommes payables. Pour le caramabr à 89 centimes, pas de problème, la pièce de 89 centimes existe... C'est pour celà que les habitants de ce monde sont aussi baraqués, à force de porter toujours sur soi des porte-monnaies de 9 kilos... Pour chaque somme à payer entre 1 et 100 unités, il va donc falloir en moyenne 1 pièce.

Un jeu de pièce sera donc efficace si, en moyenne, le nombre de pièces nécessaires pour payer une somme est minimal, tout en limitant le nombre de pièces différentes.

Deuxième question : quel est maintenant le meilleur jeu de pièces ?
Le meilleur moyen de le savoir, finalement, c'est de faire des tests. Comme j'aime bien l'informatique aussi, je me suis permit de programmer toutes les fonctions  dont je vais vous parler. Si vous voulez faire vos propres tests, téléchargez vite ce petit logiciel (même pas besoin d'installation, il marche tout de suite).

Pour les besoins de compréhensions, et au lieu de faire des phrases trop longues, je vais appeler le nombre minimum de pièces pour payer 49 centimes avec des pièces de [1,2,5,10,20] centimes eff(49,[1,2,5,10,20])

Comment fait-on pour payer 49 centimes en faisant l'appoint avec notre actuel jeu de pièces ? Et bien, il faut 5 pièces : 49=20+20+5+2+2
Et avec d'autres systèmes, alors ?...
eff(49,[1,2,5,10,20]) = 5
eff(49,[1,3,6,10,20]) = 4
eff(49,[1,4,5,15,30]) = 3
eff(49,[1,2,3,4,49]) = 1

Évidemment, et ça se voit bien sur le dernier exemple, un seul exemple ne donne pas l'efficacité d'un jeu de pièce. Ce qui serait intéressant à connaitre, c'est le nombre moyen de pièces nécessaires pour payer des sommes entre 0 et 99 centimes, par exemple. Avec notre actuel jeu de pièces, notons effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) le nombre moyen de pièces nécessaires pour payer une somme entre 1 et 99 centimes. (effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) = (eff(0,[1,2,5,10,20,50]) + eff(1,[1,2,5,10,20,50]) + ... + eff(99,[1,2,5,10,20,50])) /100 )

La question que tout le monde attend à présent... Combien faut-il en moyenne de pièces pour payer une somme entre 0 et 99 centimes (en considérant que tous les prix son équiprobables) avec notre jeu d'euros basique ?

Et bien..........(temps de calcul long, c'est un problème NP, quand même)...........
effmoy(100,[1,2,5,10,20,50]) = 3,4
Et avec d'autres systèmes, alors ?...
effmoy(100,[1,3,4,10,30,40]) = 3,2 (Waw, c'est mieux, dites donc !)
effmoy(100,[1,4,6,21,30,37]) = 2,92

En fait, avec 6 pièces et X=100, le système [1,4,6,21,30,37] est le plus efficace (ex aequo avec [1,5,8,20,31,33])

Troisième question : et si on ajoute les pièces de 1 euro et 2 euros ?
Et bien, il y a juste à faire d'autres petits calculs :

effmoy(500,[1,2,5,10,20,50,100,200]) = 4,6
Une moyenne de 4,6 pièces aves un jeu de 8 pièces, c'est pas vraiment la panade...

Mais quels sont donc les meilleurs jeux de pièce, alors ?...
Ouvrez vos esgourdes, l'heure est grave...
Pour les sommes entre 1 et 99 centimes :
* 5 pièces, le gagnant est...
effmoy(100,[1,5,16,23,33]) = 3,92
* 6 pièces, les deux gagnants ex-aequo sont...
effmoy(100,[1,4,6,21,30,37]) = effmoy(100,[1,5,8,20,31,33]) = 2,92
* 7 pièces, le gagnant est...
effmoy(100,[1,4,9,11,26,38,44]) = 2,65

Pour les sommes entre 1 et 499 centimes :
* 4 pièces, le gagnant est...
effmoy(500,[1,7,57,80]) = 6,804
* 5 pièces, le gagnant est...
effmoy(500,[1,6,20,85,121]) = 5,44
* 6 pièces, les gagnants ex-aequo sont...
effmoy(500,[1,6,14,62,99,140]) = effmoy(500,[1,8,13,69,110,160]) = 4,67

La question sur le jeu de 7 et 8 pièces optimal est ouvert, si vous avez une idée...

Bref, avec seulement 6 pièces, on atteint le même nombre moyen de pièces qu'avec notre bon vieux système européens de pièces... Moins de pièces différentes, moins de pièces en moyenne... J'appelle tout de suite la banque centrale européenne, il y a une réforme à faire là !

Bref...
Votez pour les pièces de 62 centimes, 99 centimes et 1€40 !

Et dans la prochaine note, la suite...


Sources :
Pour la science, n°335, septembre 2005
Et puis, je remets là mes petits programmes

Posté par El Jj à 16:32 - Commentaires [10]
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