Construction des ensembles

Résumé des épisodes précédents :Moi je suis Dedekindien ! J'aime beaucoup l'idée d'avoir beaucoup de trous de ℚ !Pollux, 11 octobre 2009 à 18:25Et les infinis, c'est pas des nombres ? quentin, 13 décembre 2009 à 21:04 Toujours plus de nombres Aujourd'hui, place au dernier épisode de la saga des nombres : les nombres surréels ! Le grand débat... 1 :Preums !Posté par Steph, 20 décembre 2009 à 00:01 2:Un nombre, ça sert à compter ! Un, deux, trois, quatre... Ca, c'est des nombres ! Posté par Firmin, 20 décembre 2009 à 12:25 ... [Lire la suite]

Résumé des épisodes précédents : bla bla... corps des complexes... bla bla... polynôme irréductible... bla bla... nombre algébrique... bla bla... nombres algébriques... bla bla... extension de corps... bla bla... passage au quotient... bla bla bla...corps de rupture... bla bla... Complétons ce diagramme ! Ce qu'est un nombre, les mathématiciens ne le savent pas vraiment, mais cela n'empêche pas de travailler avec ! Pour la dixième fois consécutive, découvrons aujourd'hui de nouveaux nombres, avec ces nombres qui font le plaisir de... [Lire la suite]

Ici, dans un éclair de génie, Hamilton découvrit la formule fondamentale des quaternions... La semaine précédant la semaine dernière, après avoir réinventé les nombres entiers naturels et relatifs, les rationnels, les p-adiques et les réels nous nous étions arrêté au corps des nombres complexes (comme les réels, mais à deux dimensions). Après tout ce travail, on a envie de faire comme Hamilton, et généraliser encore les nombres complexes : des nombres à 3, 4 voire plus de dimensions ?! Histoire de revoir toutes les définitions... [Lire la suite]

Parce que la vie est complexe, les mathématiciens du XVIe ont dû inventer les nombres complexes : un corps de nombre bien plus fort que les réels et capable de résoudre toutes les équations qui se posaient alors.Avec le temps, les applications des nombres complexes se sont multipliées. Outre les problèmes d'équations polynomiales, les complexes sont largement utilisés en géométrie (quoi de mieux qu'un complexe pour représenter une rotation ?), mais surtout en physique (puisqu'une onde peut se représenter par une amplitude et une... [Lire la suite]

Si on résume un peu le cours des choses, il y a d'abord eu le Big Bang, puis la Terre s'est formée, les micro-organismes se sont transformés en bêbêtes, puis en singe, puis en homme. Ces derniers ont commencé à chasser, puis se sont mis à l'élevage, puis se sont mis à écrire. C'est alors qu'ils ont commencé à faire des maths. Pas encore des problèmes de topologie p-adiques, mais plutôt des problèmes comme "le septième du carré d'un nombre est égal à six fois ce nombre.. Quel est ce nombre ?". Ce genre de problème est dit "du second... [Lire la suite]

Où en étions-nous, déjà ? J'ai parlé des entiers naturels, des relatifs, des rationnels... Ah oui : les réels... Tout le monde s'attend donc aujourd'hui à ce que je parle des complexes, et c'est pourquoi je ne le ferai pas... Aujourd'hui, place aux brenoms ! L'anneau des 10-adiquesJusqu'à maintenant, les nombres, dans leur grande majorité, possèdent une infinité de chiffres après la virgule. Et si on s'autorisait maintenant à mettre une infinité de chiffres avant la virgule ? Par exemple, ...172172172. N'y cherchons pas trop de sens,... [Lire la suite]

Étant donné un carré de côté 1, exprimez sa diagonale sous la forme d'une fraction.Voilà sans nul doute l'exercice qui a fait basculer toute la philosophie Pythagoricienne, et qui a ébranlé l'intelligentsia grecque, au moins jusqu'au XVIIIe siècle.D'après le théorème de Pythagore, la diagonale aurait une longueur de √2 ("le nombre dont le carré vaut 2"). Si on voulait exprimer ce nombre sous la forme a/b irréductible (insimplifiable), on se retrouverait quant même à devoir la simplifier, qu'on le veuille ou non. Le nombre √2... [Lire la suite]

Pour un bon disciple de Pythagore, tout est nombre : les nombres sont le principe des choses, et donne au monde une harmonie universelle. Sauf évidemment 0 (puisque c'est vide), 1 (puisque c'est l'unité), √2 et autres irrationnels (qui n'existent pas), les nombres négatifs (n'importe quoi...) , les nombres complexes (ils n'y avaient pas pensé) ou tous les autres concepts inventés bien trop récemment. Par contre, si il y a bien un concept mathématique qui était parfaitement compris, c'est celui des nombres rationnels, qui régissent les... [Lire la suite]

La grande saga des nombres, chapitre II : les entiers relatifs ![A noter que cette saga ne respecte absolument pas l'Histoire, les entiers relatifs ayant été admis bien après les rationnels...] La semaine dernière (ou presque), Peano, Von Neumann et leurs amis ont construit de toutes pièces l'ensemble des entiers naturels, qui ressemble à peu de chose près à {0,1,2,3,4,5,6,7,...}. En ajoutant un peu de symétrie dans tout ça, Dedekind a construit l'ensemble des entiers relatifs, qui ressemble à {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Comment... [Lire la suite]

"Dieu fit les nombres naturels ; tout autre est l'œuvre de l'homme" [Leopold Kronecker] Par pure provocation iconoclaste, j'affirme plutôt qu'en mathématiques, Dieu a créé rien, et que les entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, ...) sont l'œuvre de l'homme ! Pour commencer ma grande saga des nombres (qui j'espère me fournira des sujets pour un grand nombre d'articles à venir), commençons par le commencement, avec les nombres entiers naturels, amoureusement notés ℕ, et les différentes façon de les fabriquer à partir de rien. Les entiers... [Lire la suite]