04 juillet 2009

La nuit des courbes monstres

Courbe de Hilbert (7 itérations) Nous nous étions arrêtés la semaine dernière aux monstres du peuple des courbes, à savoir les courbes continues mais dérivables nulle part (Courbe de Weierstrass, de Bolzano, du blanc-manger, de Koch...). Mais ces courbes restent des monstres gentils, face aux démons réveillés par Peano. Il est temps de passer du côté obscur, avec les courbes de Peano-Hilbert, qui parviennent à visiter chaque point d'un carré unité.La courbe de Peano (1890) Courbe de Peano (4 itérations) L'histoire se déroule à la... [Lire la suite]
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28 juin 2009

Les courbes monstres

Elles sont apparues au XIXe siècle, et ont été loin de laisser indifférent : Poincaré les a qualifiées de "monstres" et Hermite de "plaies lamentables". On les appelle plus affectueusement "pathologiques"... Mettons-les pour une fois à l'honneur ! Une courbe continue : une courbe que l'on peut tracer sans lever le crayon.Si le mouvement de la main est soyeux et délicat (le crayon ne s'arrête pas, ne trace pas d'angles), on dit que la courbe est dérivable (enfin, on dit plutôt que la fonction est... [Lire la suite]
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14 septembre 2008

Les fractales de Lyapunov

" Koch et Mandelbrot c'est vraiment surfait.Alors que Lyapunov, c'est vraiment la classe ;) " [keru] Est-ce possible de faire sur ce blog un article de vulgarisation à propos des fractales de Lyapunov ? Tentons l'expérience ! Fractale de Lyapunov, de racine AABAB La suite logistiqueSi vous n'étiez pas sur ce blog la semaine dernière, faisons un petit rappel : la suite logistique, c'est la suite (de paramètre µ) définie comme ça : Pn+1 = fµ(Pn) avec fµ(x)= µ.x.(1-x)P0 ∈ ]0;1[ Et suivant le paramètre µ,... [Lire la suite]
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30 août 2008

Toute la force de Newton

Toujours dans les fractales, un peu plus éloigné de Mandelbrot, mais tellement joli : les fractales de Newton ! Le nom de cette fractale vient de la méthode de Newton, inventée par Isaac Newton, le même qui a trouvé les lois de la gravitation dans une pomme. Fractale de Newton associé au polynôme X³-1   La méthode de NewtonUn pan des mathématiques consiste à faire des calculs exacts, l'autre pan à faire des calculs approchés. Ce deuxième pan, ce sont les méthodes numériques, dans lesquelles on s'amuse... [Lire la suite]
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23 août 2008

Mandelbrot et ses potes

... suite de l'article précédent...   Changement de formuleL'ensemble de Mandelbrot est donné par la formule zn+1 = zn² + c . Et si on change cette formule, qu'est ce qu'il se passe ?Petite galerie de portrait des cousins proches de Mandelbrot !   Dans la famille MultibrotLe plus simple des changements à effectuer dans la formule, c'est remplacer 2 par un autre nombre. Avec des entiers supérieurs à 2, on obtient les ensembles de Multibrot. zn+1=zn3+c zn+1=zn4+c zn+1=zn5+c zn+1=zn17+c Dans la... [Lire la suite]
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17 août 2008

Mandelbrot et ses Julias

L'ensemble de Mandelbrot trône en roi sur le monde des fractales : une définition simple comparée à la complexité du résultat. Mais les prétendants sont en nombre, et guettent le siège. Petite présentation de l'entourage très proche de l'ensemble de Mandelbrot ! Petit rappel, en quelques mots : l'ensemble de Mandelbrot, c'est* l'ensemble des points c du plan complexe* telle que la suite zn+1 = zn² + c ne diverge pas* avec z0=0 Changement de terme initialPour chaque c, on considère une suite commençant par z0=0. Comme n'importe... [Lire la suite]
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09 août 2008

M le maudit

Aujourd'hui, place à la plus célèbre des fractales... L'ensemble de Mandelbrot ! Mais, l'ensemble de Mandelbrot, kessécé ?C'est "L'ensemble des points c du plan complexe tels que la suite définie par zn+1 = zn² + c, avec z0=0, ne diverge pas en module".Comme c'est pas super clair dit comme ça, détaillons un petit peu.Les nombres complexes(Normalement, bien connus à partir de la terminale)Un nombre complexe est un nombre z de la forme z=a+ib, avec i l'unité imaginaire (telle que i²=-1). Soit.Le plus grand... [Lire la suite]
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03 août 2008

Joint de culasse

A.k.a. "comment obtenir un triangle de Sierpiński en 8 méthodes" ! Le triangle de Wacław Sierpiński (étudié par le mathématicien polonais en 1915), dans toute sa splendeur ! Méthode n°1 : Le triangle de SierpinskiDessiner un triangle de Sierpiński, maintenant, j'espère que tout le monde sait faire : on prend un triangle, on évide sa partie centrale et on recommence avec les nouveaux triangles. Après une infinité d'itérations, on aboutit à un beau triangle fractale.Pour calculer sa... [Lire la suite]
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26 juillet 2008

Bienvenue dans la 1.26eme dimension !

1991 - Super Mario Island / 1996 - Super Mario 64 Quelle est la principale évolution entre ces deux épisodes de la série de jeux vidéo Super Mario ?... Le passage à la 3D !... D, comme dimension ! Mais qu'est ce qu'une dimension ? Un point, ça n'a pas de dimension.Une droite, ça n'a qu'une dimension.Un plan, ça a deux dimensions.L'espace possède 3 dimensions.(Et je passe l'espace-temps pour les 4 dimensions, ou les 26 dimensions de la théorie des cordes)   Mais c'est quoi, une dimension ? Pour résumer le... [Lire la suite]
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20 juillet 2008

Fractales ?

Concrètement, une fractale (ou, un "objet fractal", à l'origine, c'est un adjectif), c'est quoi ? ...   La courbe de Koch : on part d'un segment, on construit un triangle équilatéral sur le tiers central, et on répète indéfiniment le processus sur les nouveaux segments. ... Le mot fractal (du latin fractus, qui signifié brisé) a été inventé par Benoît Mandelbrot (Les Objets fractals : forme, hasard, et dimension, 1973.)... Le triangle de Sierpiński : on part d'un triangle (équilatéral) auquel on évide la partie centrale. On... [Lire la suite]
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