2024+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 16)
Bonjour à tous. Au matin de cette nouvelle année, je remets les pieds sur ce blog qui tombe en ruine pour dépoussiérer rapidement l'entrée, et répondre à cette question nous tord les entrailles : sous quels signes seront placés les 366 jours qui arrivent ? La méthodologie est toujours la même : fouiller l'OEIS à la recherche de la pépite. Et cette année sera...
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Une année incroyable !
Avec ses 842 propriétés recensées sur l'OEIS, on avait jamais vu une aussi riche depuis bien longtemps ! Bon, la plupart des propriétés sont des variations de "2025 est un nombre carré qui (...)", mais il ne faut pas non plus bouder son plaisir. Creusons donc un peu plus.
2025 est un carré parfait [A000290]
Le 6 mai 1949, l'EDSAC, le premier ordinateur digne de porter ce nom (électrique et capable de lire des programmes enregistrés) produit une liste de nombres : 1, 4, 9, 16, ... . Cette suite bien connue devient donc la première suite à avoir été calculée par un ordinateur : la suite des nombres carrés.
On prend un nombre, on le multiplie par lui-même, et on obtient son carré. Et si ça s'appelle un carré, c'est parce qu'on peut représenter le nombre sous la forme d'un carré. Et si on calcule le carré de 45, on trouve donc 45²=2025.
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Un grand carré formé par 2025 petits carrés.
Dans les propriétés intéressantes des carrés, on peut rappeler que tout carré est égal à la somme partielle des nombres impairs successifs. Si on représente chaque nombre impair par une figure en L (un "gnomon"), on peut visualiser cette somme partielle en représentant le carré comme un ensemble de gnomons imbriqués. Ainsi, la somme partielle de tous les nombres impairs de 1 jusqu'à 89 sera égal à 45², c'est-à-dire, 2025.
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1+3+5+7+... + 89 = 2025
Cette propriété permet alors de calculer facilement que la prochaine année carrée sera dans 91 ans, c'est-à-dire, en 2116 (=46²).
Le nombre de triangles équilatéraux unités nécessaires pour paver un triangle équilatéral de côté N sera aussi égal à N². Un triangle de côté 45 peut donc être pavé par 2025 triangles:
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Pavage par des triangles d'un triangle 45 fois plus grand
2025 est un nombre octogonal concentrique [A016754]
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2025 points qui forment 21 octogones concentriques
Pour visualiser pourquoi le carré d'un nombre impair est un nombre octogonal, on peut là aussi raisonner par découpage. Pour cela, on peut commencer par voir qu'un nombre octogonal, c'est en fait 8 nombres triangulaires (c'est-à-dire, un nombre de la forme T(N) = 1 + 2 + ... + N) auquel on ajoute une unité au milieu.
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En prenant deux par deux chaque partie triangulaire, on peut former des rectangles, qui, une fois rassemblés, forment un carré auquel il ne manque que l'unité du milieu.
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En notant T(N) le N-ième nombre triangulaire, on :
8 T(N) + 1 = (2N+1)²
2025 est la somme de nombres cubiques consécutifs [A000537]
Mais 2025 est encore plus qu'un simple carré de nombre impair. C'est le carré d'un nombre impair triangulaire. Et comme tout carré de nombre triangulaire, il est égal à une somme partielle des nombres cubiques :
2025 = (1+2+3+...+9)² = 1³+ 2³ + 3³ + ... + 9³
C'est ce que l'on appelle le théorème de Nicomaque, et j'en ai fait une petite vidéo pour le visualiser :
Pour retrouver une année qui vérifiera à nouveau cette propriété, il faudra donc attendre pas moins de 10³ années, soit, un millénaire.
2025 est un nombre refactorisable impair [A036896]
On dit qu'un nombre est refactorisable lorsqu'il est divisible par son nombre de diviseurs. Par exemple, 18 est un nombre refactorisable, puisqu'il possède 6 diviseurs (1, 2, 3, 6, 9, 18). Le nombre 2025, avec ses 15 diviseurs (1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025) est lui aussi refactorisable.
On peut facilement construire des nombres refactorisables. En effet, si on décompose un nombre N sous la forme de son produit de nombres premiers
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alors on peut montrer grâce à un peu de dénombrement qu'il possède (n₁+1)(n₂+1)...(nₖ+1) diviseurs. Si on choisit un nombre premier p, le nombre
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est donc nécessairement refactorisable, puisqu'il possèdera p diviseurs. Il existe donc une infinité de nombres refactorisables.
Les premiers nombres refactorisables sont :
1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96, 104,
108, 128, 132, 136, 152, 156, 180, 184, 204, 225, 228, ...
Les nombres refactorisables sont donc plutôt rares, et ils se raréfient à mesure que l'on progresse dans les entiers. Ils se comportent donc un peu comme les nombres premiers, si bien que l'on conjecture que le nombre de nombres refactorisables (<N) est au moins égal à la moitié du nombre de nombres premiers (<N). Les nombres refactorisables impairs comme 2025 sont quand à eux de plus en plus rares parmi les nombres refactorisables.
| N | Nombre de nombres refactorisables < N |
% | Nombre de nombres impairs refactorisables < N |
% |
| 10 | 4 | 40.0 % | 2 | 50.0 % |
| 100 | 16 | 16.0 % | 2 | 12.5 % |
| 1000 | 92 | 9.2 % | 5 | 5.4 % |
| 104 | 665 | 6.7 % | 15 | 2.3 % |
| 105 | 5257 | 5.3 % | 34 | 0.6 % |
| 106 | 44705 | 4.5 % | 87 | 0.2 % |
À propos de nombres refactorisables impairs, on peut là aussi facilement démontrer qu'il sont forcément des nombres carrés. En effet, prenons un nombre impair refactorisable N. Puisqu'il est impair, sa décomposition en produit de facteurs premiers ne fait apparaitre aucun pⱼ = 2. Donc N possède (n₁+1)(n₂+1)...(nₖ+1) diviseurs. Puisque ce nombre divise N (impair), chaque (nⱼ+1) sera donc nécéssairement impair, et donc, chaque nⱼ sera pair. N est donc un carré parfait.
La rareté des nombres refactorisables impairs rendent très rares les nombres refactorisables consécutifs. Existe-t-il des paires ou des triplets de nombres refactorisables ? Pour la première question, la réponse est oui : les premières paires sont (1,2), (8,9), (1520, 1521), (50624 50625), ... En existe-t-il une infinité ? La question est ouverte à ce jour. Pour ce qui est des triplets de nombres refactorisables, rien ne semble a priori empêcher leur existence, mais à ce jour, aucun n'est connu. Il n'a cependant pas encore été prouvé qu'il n'en existe pas.
Mais aussi...
- 2025 = (0²+3²)×(1²+2²)×(2²+1²)×(3²+0²) [A323540]
- 2025 est un carré qui reste carré quand on remplace chacun de ses chiffres par le suivant : 3136 est un carré [A117755]
- 2025 est un nombre ennéagonal (=9 côtés) concentrique (mais j'ai déjà dessiné 2025 comme un carré et comme un nombre octogonal, il ne faut pas abuser des bonnes choses) [A195042]
- 2025 est le plus petit carré qui possède huit 1 dans son écriture binaire : 11111101001 [A089998]
- 45 est un nombre de Kaprekar car 45² = 2025 et 20+25 = 45 [A238237]
Et la santé !