2025+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 17)
Pour la 17e année consécutive, il est temps de se pencher sur la question qui brule les lèvres des 3 internautes qui lisent encore régulièrement ce blog plein de pub (désolé...) : qu'est-il possible d'expliciter de de mathématiquement intéressant sur l'année qui vient ? La méthodologie reste la même : je fouille l'OEIS, je compte le nombre de propriétés recensées et je vous présente ce que j'y ai trouvé de sympa. Cette année 2026 sera donc...
Globalement inintéressante !
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Avec à peine 223 propriétés recensées, le nombre 2026 est dans la moyenne basse de ces dernières années, surtout quand on le compare aux 882 propriétés de 2025. Il faut dire qu'au contraire de 2025 qui était un carré, ou que 2027 qui sera un nombre premier, la première des propriétés de 2026, c'est celle d'être un nombre pair : 2026 = 2 × 1013. Mais on peut quand même trouver quelques propriétés digne d'être évoquées.
2025 est un nombre eulérien de seconde espèce : A005803
Prenez trois paires de parenthèses de différentes tailles. On a une petite paire de parenthèses (notée '00'), une moyenne ('11') et une grande ('22') :
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Question : combien existe-t-il de façons de disposer ces six parenthèses de façon à former des expressions acceptables c'est-à-dire, parfaitement balancées et dans lesquelles une paire de parenthèses n’englobe jamais de paire plus grande qu’elle ?
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- La configuration A n'est pas acceptable, car le parenthésage n’est pas valide.
- La configuration B non plus, les petites parenthèses encadrent des parenthèses plus grandes.
- La configuration C est valide, toutes les parenthèses ouvertes sont bien refermées, et les tailles sont respectées. On notera une configuration acceptable en listant la taille des parenthèse. La configuration C se note donc '20021'.
Combien existe-t-il alors d’expressions valides ? On peut faire le raisonnement suivant : on a six parenthèses à placer, donc six emplacements à remplir.
'☐☐☐☐☐☐'
- On commence par placer '00', la plus petite paire. Celle-ci ne peut rien renfermer, les deux parenthèses sont donc nécessairement collées, ce qui ne laisse que 5 possibilités pour les placer :
'00☐☐☐☐', '☐00☐☐☐', '☐☐00☐☐', '☐☐☐00☐' ou '☐☐☐☐00'
- Prenons '☐☐☐00☐'. On prend alors la paire suivante '11', qui peut soit rester collée, soit entourer les plus petites parenthèses. Puisqu’il reste 4 emplacements libres, cela donne 3 possibilités.
'11☐00☐', '☐1100☐' ou '☐☐1001'
- Il ne reste alors qu'une seule paire d'emplacements, où l’on glissera les deux dernières parenthèses.
Il y a donc au total 5×3×1 = 15 combinaisons différentes :
'001122', '002112', '002211', '100122', '200112', '200211', '110022', '210012', '220011', '112002', '211002', '221001', '112200', '211200' et '221100'
On peut généraliser le raisonnement : avec, par exemple, 10 paires de parenthèses, cela donnera 19×17×15×...×3×1, soit plus de 650 millions de combinaisons différentes.
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Ajoutons une restriction supplémentaire, en imposant le nombre de montées, c'est-à-dire, le nombre de fois où une parenthèse est à droite d’une parenthèse strictement plus petite. La configuration '866552211•833•9774400' ci-dessus a donc k=2 montées (que je vais noter avec '•')
Pour trois paires de parenthèses par exemple, on peut vérifier qu'il y a 6 parenthésages avec 2 montées :
'00•11•22', '00•211•2', '100•1•22', '200•11•2', '2100•1•2' et '11•200•2'
On appelle alors nombre eulérien de seconde espèce ⟨⟨n,k⟩⟩ le nombre de parenthésages de longueur 2n (avec n paire de parenthèses) et k montées. On vient donc de compter que ⟨⟨3,2⟩⟩=6.
On peut alors démontrer la formule de récurrence suivante :
⟨⟨n+1,k⟩⟩ = (2n-k+1) ⟨⟨n,k-1⟩⟩ + (k+1) ⟨⟨n,k⟩⟩
avec ⟨⟨0,0⟩⟩ = 1 et ⟨⟨0,k⟩⟩ = 0 pour tout k>0
En effet, on peut construire les ⟨⟨n+1,k⟩⟩ configurations acceptables de longueur 2(n+1) à k montées à partir des configurations de longueur 2n, en y introduisant une nouvelle paire de parenthèse plus petite que les autres (que je vais noter 'xx') dans l'un des 2n+1 emplacements possibles.
- soit on part d'une des ⟨⟨n,k⟩⟩ configurations à k montées, et on ne crée pas de nouvelle montée. Pour cela, il est possible d'introduire la paire 'xx' au niveau de l'une des k montées, ou bien le placer en dernière position. Il y a donc k+1 possibilités.
- Soit on part d'une des ⟨⟨n,k-1⟩⟩ configurations à k-1 montée, et on crée une nouvelle montée, en introduisant la paire 'xx' à un emplacement où il n'y a pas de montée (sauf la dernière position). Puisqu'il y a 2n+1 emplacements possibles et k montées, il en reste (2n+1)-(k-1)-1 = 2n-k+1.
Par exemple, si l'on part de la configuration '433•4•520011•2•5' à 4 montées et 6 paires de parenthèses :
- on peut construire (4+1) configurations à 4 montées et 7 paires de parenthèses, en remplaçant l'un des 4 '•' par 'xx•' (comme par exemple '433•4•520011xx•2•5') ou en plaçant 'xx' en position finale ;
- on peut construire 8 configurations à 5 montées et 7 paires de parenthèses, en plaçant 'xx•' entre deux chiffres qui ne sont pas en montée (par exemple '433•4•5xx•20011•2•5').
On peut alors utiliser l'expression de récurrence pour calculer le nombre de configurations à 10 paires de parenthèses et 1 montée : il y en a très exactement 2026.
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On peut généraliser cette construction à N mouvements, en plaçant les N carrés de façon à ce qu'ils aient le même centre, et en les décalant entre chaque découpage selon un angle de 90°/N. Pour N=23 découpes, on peut alors former très exactement 2026 morceaux.
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Pourquoi 2026 ? Ce qu'il faut observer, ce que lorsque l'ajoute un nouveau carré sur un tas qui en compte déjà N, on va créer 8N nouvelles zones.
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En notant u(N) le nombre de zones délimités par N carrés, on a alors u(1) = 2, et u(N+1) = u(N) + 8N. On peut alors calculer :
u(N) = 2 + 8 + 8×2 + 8×3 + ... + 8×N
= 2 + 8 × (1 + 2 + 3 + ... + N)
= 2 + 8 × N (N - 1)/2
= 2 + 4 N (N - 1)
Pour N = 23, on a donc u(23) = 2 + 4 × 23 × 22 = 2026 zones délimitées. Avec 23 emportepiéçages, on peut donc faire 2026 biscuits !
Mais aussi...
- Le nombre 12 a 2026 décompositions en somme de nombres entiers qui ne sont pas en progression arithmétique [A389741]
- Il y a 2026 façons différentes de placer deux carrés de taille 8×8 qui ne se recouvrent pas sur un échiquier de taille 23×23 [A236915]
- Il existe 2026 ensembles différents formés de 10 mots à 10 lettres sur l'alphabet {a,b} où la lettre 'a' apparait 10 fois. [A154323]
Et la santé !