L'œil d'Horus plane
Vous disposez de 5 tartes et de 7 enfants affamés. Chacun veut autant de tarte que ses 6 compagnons, et veut des parts de la même forme. Comment procéder au découpage ?
(On pourra par exemple couper chaque tarte en 7, et donner 5 morceaux à chacun, mais 35 parts, ça fait beaucoup trop de miettes...)
Les fractions des Égyptiens
En remontant 2 semaines en arrière sur ce blog, ou 4000 ans en arrière et en Égypte, on découvre de quelle manière atypique les égyptiens écrivaient les nombres : un bâton pour représenter 1, une anse pour représenter 10, un rouleau de papyrus pour représenter 100 etc.
Un nombre comme 21 s'écrit donc de la manière suivante : 
Mais les égyptiens ne connaissaient pas que les nombres entiers, il connaissaient également les fractions, grâce au symbole 
(Une bouche ouverte) signifiant "partie", et qui dans notre langage mathématique d'aujourd'hui signifierait "un divisé par".
Pour écrire une fraction, il suffit d'ajouter le symbole de la bouche au dessus du nombre. La fraction 1/21 s'écrit alors bêtement de la façon suivante :
Mais ce symbolisme ne permet d'écrire que des fractions "simples" possédant 1 pour numérateur. Comment peut-on faire pour écrire une fraction "compliquée" comme 2/21 ?
Les Égyptiens ont trouvé LA solution pas pratique du tout : toutes les fractions "compliquées" sont représentées comme somme de fractions "simples" toutes différentes. Ainsi, pour écrire la fraction 2/21, il faut d'abord remarquer que 2/21 = 1/11 + 1/231, et on pourra écrire :
Les scribes de l'époque avait donc du pain sur la planche quand il s'agissait de faire des divisions ou des multiplications avec des fractions... (Le papyrus de Rhind ci-joint donne quelques éléments sur la façon dont ils procédaient...).
Les scribes disposaient également de tables de fractions, (le papyrus d'Ahmès en dispose d'un exemplaire) qui leur donnait la façon d'écrire les fractions de type 2/n. On ne sait pas par quel moyen ces tables ont été écrites, mais ce que l'on a remarqué, c'est qu'il y avait des fautes de calcul !
Pour le bonheur des scribes, les fractions non unitaires les plus courantes ont leur écriture en hiéroglyphes : 2/3 s'écrit 
et 3/4 s'écrit 
.
Les fractions égyptiennes
Aujourd'hui, on a abandonné cette écriture des fractions à base de bâtons, papyrus et de bouches ouvertes au profit d'une notation avec une barre de fraction, un numérateur ("en haut") et un dénominateur ("en bas"), écriture avec laquelle on a été élevés, et finalement, on s'en accommode bien.
Les fractions "simples" de l'Égypte ancienne, ce sont finalement nos actuelles fractions unitaires (Avec un 1 comme numérateur), et une somme de fractions unitaires, ça donne les fractions égyptiennes !
C'est pour ça que aujourd'hui, on appelle fraction égyptienne la décomposition d'une fraction (un nombre rationnel positif, pour être précis) en somme de fractions unitaire (positives).
Toute fraction peut se décomposer en somme de fraction unitaire, et d'une façon très simple (exemple avec 5/7) :
Évidement, cette décomposition est beaucoup trop simple pour être honnête, c'est pourquoi il faut s'imposer dans la définition de nos fractions égyptiennes que toutes les fractions unitaires soient différentes (comme se l'imposaient déjà les Égyptiens).
On peut se demander si toutes les fractions sont décomposables de cette façon, et on trouvera rapidement la réponse grâce à une identité déjà connue en 1202 par Fibonacci :
Ainsi, à partir de la décomposition trop basique un peu plus haut, on peut développer chaque terme avec cette identité, et n'obtenir que des dénominateurs différents. Petit exemple, à partir de la fraction 4/13, on trouverait :
Bon, tout ça, c'est pour dire que toute fraction peut s'écrire comme une fraction égyptienne, mais cette méthode donne une décomposition un peu trop longue, on a quand même de plus beaux algorithme comme celui décrit en 1202 par Fibonacci (sans démonstration, mais Sylvester s'en chargera en 1808). Celui-ci est l'algorithme glouton, qui consiste à choisir toujours les plus grandes fractions unitaires possibles pour la décomposition. (Il ne fonctionne que pour les fractions inférieures à 1)
Petit exemple, avec la fraction 4/13
- 4/13 ≃ 0,3077, qui est bien plus petit que 1
- La plus grande fraction unitaire plus petite que 4/13 est 1/4 = 0,25
- On fait la soustraction : 4/13 - 1/4 = 3/52 ≃ 0.0577
- La plus grande fraction unitaire plus petite que 3/52 est 1/18 ≃ 0,0556
- On fait la soustraction : 3/52 - 1/18 = 1/468
- 1/468 est une fraction unitaire, l'algorithme s'arrête.
On a alors 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468
Cet algorithme fonctionne toujours (on obtient toujours un nombre fini de fraction), mais les résultats sont parfois aléatoires, comme par exemple avec la fraction 5/121 :
Alors qu'avec des algorithmes un peu plus perfectionnés, on peut trouver des décompositions avec moins de termes, et des dénominateurs plus petits :
Pour trouver ces décompositions, les algorithmes utilisés sont des algorithmes qui testent un à un tous les développements possibles, des algorithmes manquant quelque peu de finesse, donc. L'existence d'algorithmes polynomiaux (temps de calculs raisonnables) pour le problème d'un développement avec le moins de termes possibles, ou les plus petits termes possibles, restent des problèmes ouverts.
Erdös, Strauss, Sierpinski et les autres
Une autre question que l'on peut se poser est sur le nombre minimal de fractions unitaires entrant dans la décomposition d'une fraction égyptienne. Pour 5/121, ce nombre semble être 3, mais pour le cas général ? En 1962, Solomon W. Golomb nous dit que toute fraction irréductible p/q peut se décomposer en une somme d'au plus p fractions unitaires distinctes. (Si on ne s'impose pas que les fractions unitaires soient distinctes, le théorème serait tout à fait trivial)
* Pour p=2, q sera impair (fraction irréductible), et on pose q=ab (a et b deux entiers différents, l'un éventuellement égal à 1 si q est premier ou carré parfait ; a et b seront forcément impairs), et on applique la décomposition suivante :
Petit exemple, avec 2/21 :
* Pour p=3, on peut toujours écrire :
Si q est pair, la décomposition prendra deux fractions unitaires, si q est impair, on peut décomposer 2/q avec la méthode précédente.
* Pour p=4, le théorème de Golomb nous dit qu'il existe une décomposition en 4 fractions unitaires distinctes, mais 1950, Erdös et Strauss conjecturent que la fraction 4/q peut se décomposer en au plus 3 fractions unitaires (non nécessairement distincts). Autrement dit, pour tout n, on peut trouver x, y et z tels que :
Si n est pair, on a n=2k, et on peut prendre la décomposition 4/2k = 1/k + 1/2k + 1/2k
Si n est impair, on a n=4k+1 ou n=4k+3. Le cas n=4k+3 peut se résoudre de la façon suivante :
Pour le cas n=4k+1, on a n=8k+1 ou n=8k+5. Le cas 8k+5 peut se résoudre de la façon suivante :
Et ainsi de suite, on n'arrive jamais à trouver de formule fonctionnant pour n'importe quel n.
Jusqu'ici, la conjecture a été prouvée pour tout n < 1014, mais on est pas à l'abri d'un n premier pour lequel il n'existe aucune décomposition en somme de 3 fractions unitaire. Du moins, tant que la conjecture n'aura pas été prouvée.
* Pour n=5, c'est la conjecture de Sierpinski, non démontrée également, qui prend le relai. Celle-ci prétend que pour tout n, il existe x, y et z tels que :
Si n est multiple de 2, de 3 ou de 5, la solution est simple, les autres cas ne sont toujours pas élucidés...
* Bien que ces derniers résultats ne sont toujours pas démontrés, il reste des résultats démontrés tout à fait étonnant, comme le résultat de Graham (1964) qui nous informe qu'un nombre rationnel k peut être décomposé en somme de fractions unitaires avec des dénominateurs carrés si et seulement si k est dans l'ensemble 
Ce n'est jamais ce qui est le plus simple à énoncer qui est le plus simple à démontrer...
Et pour revenir à notre partage de tarte, il faut évidement utiliser le développement en fraction égyptienne de 5/7. Puisque l'on a 5/7=1/2 + 1/7 + 1/14, chaque enfant aura trois parts, de taille 1/2, 1/7 et 1/14, ce qui donne une coupe des 5 tartes en 21 parts.
Sources :
Un peu de cours d'histoire des sciences, un peu de wikipédia
Solutions de la conjecture de Erdös-Straus pour certaines suites arithmétiques (pdf)
Script cherchant les décompositions en fraction égyptienne