Le pont harmonique
Le pont du coin, enjambant une petite rivière d'une dizaine de mètres,s'est effondré, et c'est à vous que l'on demande les plans pour en construire un nouveau. Vous avez en stock tout un tas de planche de bois solide de longueur d'un mètre, et... et c'est tout, vous n'avez que ça en stock. Pas de colle, pas d'agrafes, même pas un rouleau de scotch. Comment allez-vous quand même fabriquer un pont enjambant cette tranquille petite rivière, avec un pont tenant parfaitement en équilibre ?
La solution...
Maintenant !
Prenons donc la première planche, longue d'un mètre, que l'on nommera planche n°1. Son centre de gravité L1 est en son milieu, on peut donc la poser à moitié sur la planche numéro 2.
Ensuite, il faut calculer le centre de gravité des deux planches réunies, isobarycentre des deux premiers centres de gravité L1 et L2 (On fait la moyenne des abscisses et des ordonnées des différents centres de gravités). On trouve alors le point G1, permettant de savoir comment poser cette paire de planche sur celle d'en dessous.
En considérant O (en haut à droite de la figure, caché par la mise en page du blog...) le point d'abscisse 0, on trouve pour abscisse des différents points (L est la longueur de la planche, 1 mètre):
L1 = L/2
L2 = L1 + L/2 = L
G1 = (L1 + L2) /2 = 3L/4
L3 = G1 + L/2 = 5L/4
G2 = (L1 + L2 + L3)/3 = 11L/12
L4 = G2 + L/2 = 17L/12
G3 = (L1+L2+L3+L4)/4 = 25L/24
L5 = G3+L/2 = 37L/24
Et ainsi de suite, on peut toujours rajouter de cette manière des planches sous les précédentes, avec un petit décalage. Ce petit décalage, c'est Li+1 - Li :
L2-L1 = L/2
L3-L2 = L/4
L4-L3 = L/6
L5-L4 = L/8
etc.
(Le pont, avec ses 40 premières planches)
On remarque que pour placer la (n+1)-ième planche, il faudra décaler la pile de L/2n (Ca se démontre pas trop difficilement avec une petite récurrence). La position de la n-ième planche est donnée par la somme de ces décalages, c'est à dire quelque chose de la forme :
Et on reconnait bien là la série harmonique (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n), qui a la bonne idée de diverger (Pourvu que l'on prenne assez de termes, on peut atteindre n'importe quel nombre, aussi grand que l'on veut) ! On peut donc aller, théoriquement, aussi loin que l'on veut avec notre construction, pourvu que l'on prenne le temps.
Pour enjamber notre rivière de départ qui mesure ses 10 mètres, il va falloir trouver le nombre n correspondant de planches, c'est à dire le nombre n tel que :
Et le nombre n correspondant est approximativement 300 000 000.
J'espère que vous avez assez de planches...
Et pas le vertige...