Le sac froid de Goldbach
(Ne cherchez pas trop de sens à ce titre)
Restons dans les nombres premiers, et aujourd'hui, résolvons une bonne fois pour toutes la conjecture de Goldbach ! Ce problème date de 1742, et attends toujours d'être résolu. Son énoncé de base était :
Tout entier supérieur à 5 est la somme de trois nombres premiers
C'est ainsi que Christian Goldbach a énoncé la conjecture dans une lettre adressée à Euler. Ce dernier, intéressé par le problème, en a donné une reformulation :
Tout entier pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers
(Ou, d'une façon équivalente, "tout entier supérieur à 2 est la moyenne de deux nombres premiers")
Et cela fait aujourd'hui 266 ans que des mathématiciens de tous pays cherchent à démontrer cet énoncé !
On peut déjà commencer par vérifier la validité de la conjecture sur les premiers nombres pairs :
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11
16 = 3 + 13
18 = 5 + 13
20 = 3 + 17
22 = 3 + 19
...
1050 = 11 + 1039
1052 = 3 + 1049
...
Aux dernières nouvelles (février 2008), la conjecture a été vérifiée par l'informatique jusqu'à n=1.1×1018.
En fait, on a de très nombreuses raisons de penser que cette conjecture est vraie, à partir d'arguments probabilistes : plus le nombre est grand, plus il y a de façon de le décomposer en la somme de deux nombres (impairs), donc plus il y a de chance que ces deux nombres soient premiers tous les deux.
La théorie des nombres premiers nous apprend qu'un nombre m pris au hasard a une probabilité de 1/ln(m) (Une chance sur ln(m)) d'être premier.
Pour un entier pair n, et un entier m entre 3 et n/2, on a alors la décomposition n = m + (n-m). La probabilité que m et n-m soient à la fois premier est 
. Pour un n pair donné, on a n/2-2 choix de m possibles. Parmi tous ces choix de m possibles, il doit bien en avoir un qui fonctionne, peut-être même plus d'ailleurs. En fait, on peut s'attendre à ce que le nombre moyen de décomposition en deux nombres premiers de n soit P(n,3)+P(n,4)+...+P(n,n/2) = 
(qui tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞)
Plus concrètement, cela veut dire que plus n est grand, plus l'on doit s'attendre à ce qu'un grand nombre de décompositions en deux nombres premiers existent. Et donc, plus n est grand, moins il faut espérer trouver de contre-exemple à la conjecture de Goldbach... Quand on sait qu'elle a été vérifiée jusqu'à n=1.1×1018...
Ce diagramme montre pour tous les nombres pairs entre 2 et 1 000 000 le nombre de décompositions possibles en somme de deux nombres premiers... Il y a toujours au moins 2000 décompositions pour les nombres plus grands que 500 000, on a du mal à concevoir qu'il puisse subitement en avoir un en dessous, encore moins à 0.
Autre fait intéressant : pour tous les nombres plus petit que 1 000 000, le plus petit des nombres de la décomposition ne dépasse jamais 5569 (dans la décomposition 389965026819938 = 5569 + 389965026814369)
Bon, en fait, ce raisonnement n'a rien d'une démonstration ! Déjà, la probabilité que m et n-m soient tous les deux premiers en même temps n'est pas juste, puisque le fait que l'un soit premier peut influencer l'autre. Et surtout, ce n'est qu'une histoire de probabilité, même si les probabilités sont plus qu'infimes, elles ne sont pas encore nulles.
Malgré tout ça, il y a certaines choses dont on est sûr.
D'après les travaux de Vinogradov, on sait que tout nombre pair est la somme de au plus 4 nombres premiers (On s'approche de 2...). On sait aussi que presque tous les nombres pairs peuvent s'écrire comme la somme de 2 nombres premiers (Malgré ses apparences, "presque tous" est une notion mathématique - cela signifie que la proportion des nombres qui ne vérifier pas la conjecture de Goldbach tend vers 0 - reste à montrer qu'elle est tout le temps égale à 0). Un autre résultat montre que tout nombre pair suffisament grand est la somme de deux nombres premiers et d'exactement 13 puissances de 2 !
Des variantes de ce problème existent :
- Ceux qui trouvent cette conjecture trop difficile peuvent s'attaquer à la conjecture faible de Goldbach : tout nombre impair supérieur à 7 est la somme de trois nombres premiers impairs. (Toujours à l'état de conjecture, mais les recherches avancent plus rapidement sur la conjecture faible que sur la forte)
- Ceux qui trouvent par contre cette conjecture trop facile à démontrer peuvent s'attaquer à la conjecture de Dubner : tout nombre pair supérieur à 4208 est la somme de deux nombres premiers p-jumeaux. (Un nombre premier n est dit "p-jumeau" s'il a un jumeau, càd, si n+2 est premier ou n-2 est premier - A ce jour, on ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, et cette conjecture est jugée aussi difficile que la conjecture de Goldbach)
- Ceux qui trouvent ça encore trop facile peuvent s'attaquer à une conjecture dérivée de celle de Dubner : tout nombre pair suffisament grand est la somme de deux nombres premier min-jumeaux (Un nombre premier n est "min-jumeau" si n+2 est premier).
Résoudre la conjecture de Dubner permettrait à la fois de démontrer la conjecture de Goldbach est la conjecture sur l'infinité des nombres premiers jumeaux, et ça, ça serait beau !
Reste plus qu'à le démontrer.
Pour avoir la moyenne, il vous faudra au moins démontrer la conjecture de Goldbach.
Pour espérer avoir une bonne note, il vous faudra résoudre celle de Dubner.
Vous avez 3 heures.
Sources :
Wikipédia (et toutes les sources en bas de page de wikipédia)
Wims, pour tester en ligne la conjecture de Goldbach