Où est le centre de ce triangle ?
On pourrait proposer le centre de gravité, l'orthocentre, le centre du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit...Aucune autre proposition ? Pourtant, ce n'est vraiment pas ce qui manque ! Allez, il est temps de pallier à ce manque flagrant de culture dans le domaine des centres du triangle !
Le centre du cercle inscrit
C'est le point de concours des bissectrices (droite qui coupe un angle en deux parties égales) du triangle, et c'est le centre du cercle tangent aux trois côtés du triangle.
[En bleu]
Le centre du cercle circonscrit
C'est le point de concours des 3 médiatrices (droite perpendiculaire au milieu des côtés) du triangle, et c'est le centre du cercle qui passe par les 3 points du cercle.
[En rouge]
Le centre de gravité
C'est le point de concours des 3 médianes (droite passant par un point et par le milieu du côté opposé) du triangle. (A noter que ce point est situé au tiers de chaque médiane)
[En vert]
L'orthocentre
C'est le point de concours des 3 hauteurs (droite passant par un point et perpendiculaire au côté opposé).
[En jaune]
Le point de Gergonne
C'est le centre du cercle passant par les 3 points d'intersection coté/bissectrice.
[En violet]
Le point de Fermat/ le point de Napoléon
On construit les 3 triangles équilatéraux extérieurs au triangle. En reliant les sommet du triangle au sommet du triangle équilatéral opposé, on trouve le point de Fermat à l'intersection [En bleu ciel] ; en reliant les sommets du triangle au centre du triangle équilatéral opposé, on trouve le point de Napoléon [En bleu foncé].
Le point de Vecten
Dans le même style que le point de Fermat : On construit les 3 carrés extérieurs au triangle. En reliant les point sommet-centre du carré opoosé, on trouve le point de Vecten.
[En vert clair]
Le centre du cercle d'Euler
Les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments sommets-orthocentre sont situés sur un même cercle : le cercle d'Euler (ou cercle des 9 points[rouge]). Son centre, ben c'est le centre du cercle d'Euler.
[En rose]
Point de Bevan
C'est le centre du cercle passant par les 3 centres des cercles exinscrits au triangle (cercles extérieurs et tangent aux trois côtés du triangle). C'est également le point de concours des droites reliant le centre des cercles exinscrits aux points de tangence avec le triangle.
[En vert foncé]
Point de Nagel
Dans le même ordre d'idée que le point de Bevan : le point de Nagel est le point de concours des droites reliant les sommet au point de contact triangle/cercle exinscrit opposé.
[En orange]
Point d'Apollonius
Une fois les cercles exinscrits dessinés, on construit le cercle extérieur tangent à ces 3 cercles (Le cercle d'Apollonius). Son centre est le point d'Apolonius. [En marron]
Et il y en a tout un tas que je n'ai pas cité... On en recence au moins 3500, en fait... Plus d'informations sur le sujet la semaine prochaine sur ce blog ! (Ou, dès maintenant, sur le reste du web)
Bref, où est le centre du triangle ?...
