Pourquoi le poulet a traversé la route ?
Pourquoi le poulet a t'il traversé la rue ?
"Pour aller de l'autre côté" répond la sagesse populaire... Il y a quand même matière à réflexion, tout ne peut pas être aussi simple...
Premier point sujet à réflexion : si le poulet a vraiment traversé la rue pour aller de l'autre côté, c'est qu'il y a effectivement un autre côté.
Deuxième point sujet à réflexion : si le poulet a traversé la rue, c'est qu'il n'y avait aucun moyen pour lui de le contourner (sinon, il aurait fait le tour, c'est peut-être un poulet, mais il est pas complètement crétin !)
Répondons donc à cette question : pourquoi le poulet a t'il traversé la rue ?
Genre 0
On se place dans un monde plausible, où les routes n'ont pas une longueur infinie. Si le poulet a traversé la route, c'est qu'il ne pouvait pas en faire le tour (on comprend bien qu'un poulet n'a pas intéret à prendre de risques insensés quand il peut faire tranquillement le tour). La route que le poulet a traversé peut donc être apparentée à une courbe fermée.
On peut schématiser le problème ainsi : le poulet est d'un côté de la route, sa destination de l'autre côté : le poulet va devoir traverser la route :
Poulet habitant un enclos carré
Mais où vit exactement notre poulet ? A la vue du schéma ci-dessus, on peut supposer qu'il habite soit un enclos carré soit un plan euclidien, plat comme l'écran (cela revenant finalement au même).
Mais depuis pas mal de temps maintenant, on sait que la Terre n'est ni plate, ni infinie : c'est une sphère (ou presque, une patatoïde) !
Mais voilà, même si le poulet habite sur la Terre, il a toujours le même problème : si la route forme une courbe fermée, il y aura toujours un intérieur et un extérieur, et le poulet n'aura pas d'autre choix que de traverser la route pour aller de l'autre côté.
Poulet habitant de la Sphère
Et si notre poulet était un poulet d'élevage de miss Pacman ?
Le monde selon Miss Pacman
Miss Pacman habite une étrange pays : quand elle part du côté gauche, elle réapparaît du côté droit ! C'est de ce constat qu'on peut identifier le monde de miss Pac Man à un ruban simple (en voyant le monde comme un bout de papier rectangulaire où il faut coller ensemble deux côtés opposés, formant un ruban). Que la route fasse le tour du ruban (comme sur le dessin ci-dessous) ou non, la route aura toujours deux côtés distincts : le poulet traverse la route pour aller de l'autre côté !
Poulet habitant du ruban
A ce titre, on peut voir que le plan euclidien, l'enclos carré, la sphère, la patatoïde et le ruban simple ont un point commun : quand on y dessine une courbe fermée (la route), il y a un intérieur et un extérieur, et la poule devra traverser la route pour aller de l'autre côté. On dit de ces surfaces qu'elles sont de genre 0.
Genre 1
Mais tout n'est pas forcément si simple, le poulet habite peut-être encore ailleurs, comme sur la planète Klinker-Surprise. Cette planète se présente comme un carré ; mais quand on sort par le côté gauche, on se retrouve sur le côté droit (comme dans le monde de Miss pac Man), et quand on sort vers le haut, on se retrouve en bas.
On peut en fait apparenter cette planète à un tore (le donut's mathématique) : on commence par recoller deux côtés opposés (formant un ruban), puis on colle ensemble les deux bords du ruban
A gauche, le tore, à droite, sa représentation carrée : on peut l'obtenir en identifiant les côtés opposés.
Et le poulet, dans tout ça ? Suivant la configuration de la route, il est possible que le poulet n'ait plus besoin de traverser la route ! Et si le poulet traverse quand même la route, ça sera simplement par esprit de contradiction, et non pour aller de l'autre côté, puisque la route n'a pas de côté !
Poulet habitant du tore
Et on peut faire la même observation sur le ruban de Möbius, obtenu en recollant l'un sur l'autre les côtés opposés d'un rectangle de papier en inversant le sens. Sur cette planète, il peut arriver que le poulet n'ait pas à traverser la route pour aller à sa destination, si la route est globalement parallèle au bord du ruban.
Poulet habitant du ruban de Möbius
Le ruban de Moëbius et le tore ont donc un point commun, celui d'être de genre 1 : on peut trouver une courbe fermée qui ne séparera pas la surface.
Cela se traduit par le fait qu'on peut couper un donut's sans le couper en deux. De même avec le ruban de Moëbius : en le coupant au milieu, on gardera un objet d'un seul tenant (connexe).
Genre 2
Mais on peut faire plus fort : imaginons que le poulet habite la bouteille de Klein (l'objet que l'on obtient en suivant le plan de construction ci-dessous - voir là-bas pour une jolie construction).
La bouteille de Klein, sa représentation carrée
Même avec deux routes ne se croisant pas, et peu importe sa destination, le poulet n'aura aucune raison de traverser la route :
Poulet habitant de la bouteille de Klein
La bouteille de Klein est une surface de genre 2 : on peut y dessiner deux courbes fermées ne se croisant pas telles que, après découpage, la surface reste toujours d'un seul tenant. Un autre exemple de surface de genre 2, bien plus simple, est celle du double tore :
le double tore
Finalement, on peut ranger les "formes" de planètes suivant leur genre, et ça, notre poulet l'a parfaitement compris !
résumé (Un petit bonjour au plan projectif, de genre 1, qui s'était fait oublier)
Bref, si le poulet a traversé la rue, c'est parce qu'habitant d'une surface de genre 0, il n'avait aucune autre possibilité de traverser la courbe fermée qu'est la route !