Un peu de pizza ?
Samedi soir, vous et votre bien aimé(e) avez opté pour une bonne soirée pizza-série TV. Après avoir appelé Domino's pour vous faire livrer une délicieuse Double Steak & Cheese chez Domino's, vous lancez ce tant attendu premier épisode de la dernière saison de Lost.
Alors que vous découvrez avec stupeur que le coup de la Bombe H a marché, et que l'avion ne s'est jamais écrasé sur l'île, le livreur sonne à la porte. Alors vidé de votre porte-monnaie, vous découvrez une nouvelle fois ce grand mal qui frappe le monde de la pizza à emporter pré-découpée : les lignes de coupe ne passent pas par le centre...
Comment partager équitablement les parts quand les pizzaioli s'obstinent à ne pas utiliser Gauss-Wantzel ou la trigonométrie, et donc à décentrer les lignes de coupe ? C'est là que le théorème de la pizza au fromage intervient, démontré très récemment (mai 2009) par Rick Mabry et Paul Deiermann, après 11 ans à plancher sur la question.
Une pizza découpée en 2N parts (ici, N=5), partagée entre Bleu et Rose, Bleu récupère l'olive posée au centre de la pizza. Qui de Bleu ou de Rose mangera le plus de pizza ?
L'énoncé du théorème de la pizza au fromage est le suivant : étant donné une pizza prédécoupée de manière excentrée en 2N parts de même angle (avec N lignes de coupe), on effectue le partage entre Bleu et Rose en alternant les parts pour chacun. On suppose que Bleu récupère la part qui contient le centre de la pizza. Alors :
- Si l'une des lignes de coupe passe par le centre de la pizza, alors Bleu aura autant de pizza que Rose. Dans le cas contraire :
- Si N=0, N=1 ou N=2, Bleu aura plus de pizza que Rose
- Si N≥4 et N est pair (N=4, 6, 8, 10, 42...) alors Bleu aura autant de pizza que Rose
- Si N est impair et peut s'écrire N=4k+3 (N=3, 7, 11, 15, ...), alors Bleu aura plus de pizza que Rose
- Si N≥5, N est impair et peut s'écrire N=4k+1 (N=5, 9, 13, 17, ...), alors Bleu aura moins de pizza que Rose
Petit panorama des différents cas envisageables
Si une ligne de coupe passe par le milieu
L'une des lignes de coupe passe par le centre de la pizza : autant de pizza pour Bleu que pour Rose
Aucun problème ne se pose : les parts sont symétriques (par rapport à la ligne de coupe passant par le centre), Bleu et Rose savoureront donc la même quantité de pizza.
Cas N=0, N=1
Ces deux cas sont totalement inintéressant, ce paragraphe existe seulement dans un soucis d'exhaustivité...
Cas N=2
Avec le dessin, c'est évident que Bleu mangera plus que Rose, mais on peut s'en convaincre en montrant que la différence entre le bleu et le rose vaut quatre fois le rectangle du centre :
Preuve sans mot montrant que "bleu - rose = 4 rectangle bleu". On commence par bouger les signes verticalement, puis on termine par les bouger horizontalement.
Cas N≥4 pair
Cas N=4 : en alternant ainsi les parts, Bleu aura autant de pizza que Rose
Le problème ayant amené au théorème de la pizza au fromage a débuté sous la forme d'un problème dans les pages du Mathematics Magazine de mai-juin 1968. L.J. Upton mettaient au défi les lecteurs d'apporter la preuve que le partage de la pizza coupée en 8 parts était équitable.
Démonstration de l'égalité par découpage
La preuve du cas général, pour N≥4 pair, apparait un an plus tard, dans les pages du même magazine. La démonstration de Goldberg consiste à calculer algébriquement l'aire des secteurs mis en jeu.
Le problème refait surface en octobre 1994, avec la démonstrations de Carter & Wagon par découpage du cas N=4.
Cas N>3 impair
Cas N=3 (et plus généralement, N=7, 11, 15, 19, ...) : Bleu a plus de pizza que Rose
Cas N=5 (et plus généralement, N=9, 13, 17, 21 , ...) : Bleu a moins de pizza que Rose
Le cas du nombre impair de coups de coupe-pizza reste alors incertain. On ne sait qu'une chose : Bleu et Rose n'aura pas autant de pizza, mais impossible de savoir qui en aura le plus. L'argument, relaté par Carter & Smith, vient de Coppersmith : s'il y avait égalité, alors pi ne serait pas transcendant.
C'est en lisant l'article de Carter & Wagon que Mabry & Deiermann décident de se pencher sur le problème, et c'est là que les choses se corsent.
Le cas N=3 est résolu assez vite par Deiermann, le cas N=5 suit rapidement lui aussi. Le cas N=7 ressemble alors beaucoup au cas N=3 : la conjecture est posée.
C'est dans la généralisation que les deux compères ont sué : 11 ans pour aboutir ! La démonstration reprend le principe du cas N=2, en faisant apparaître des rectangles par ajout de droites passant par le centre parallèles aux lignes de coupes.
Le théorème de la calzone
L'article de M&D propose son petit lot de corollaires, notamment le théorème de la calzone. Une calzone, c'est ce qu'on obtient d'une pizza après l'avoir pliée en 2.
Pour des besoins de modélisation, on va supposer que les calzone qui nous intéressent sont composés d'une base circulaire et d'une surface symétrique. Pour que le problème devienne intéressant, on peut supposer que la calzone est complètement remplie de fromage.
Calzone demi-sphérique et calzone conique, illustrations provenant de l'article original de M&D
En gardant les même principe de N (impair) coupes et d'un partage alternatif entre Bleu et Rose, on peut se demander qui de Bleu (qui prendra la part du milieu) ou de Rose aura le plus de fromage !
La calzone parabolique
Calzone parabolique... Je maitrise pas assez Maple pour en faire une version colorée...
Pour N=7, 11, 15, 19, ..., Bleu aura moins de calzone que Rose, mais le contraire se produit quand N=5, 9, 13, ... La calzone parabolique se comporte exactement pas comme la pizza !
La calzone demi-sphérique
Pour N=3, Bleu remportera plus de pizza que Rose. Pour n'importe quel autre nombre impair de coupes, Rose et Bleu auront autant de pizza chacun. Heureusement, dans tous les cas, les deux protagonistes partiront avec autant de croûte...
Notons tout de même que la pizza est l'un des outils principaux des mathématiques d'aujourd'hui :
- Le théorème des deux pizzas, en économie, indique que l'équipe de développement d'une innovations doit pouvoir être nourrie par deux pizzas (donc, pas plus de 10 personnes). (D'après un blog - info pas spécialement fiable...)
- La formule de la pizza : quelle est la formule donnant le volume d'une pizza de rayon z et d'épaisseur a ? (Répondre en commentaire)
Sources :
L'article du New Scientist relatant la découverte, et sa traduction en français dans Courrier International.
Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results - L'article original de Mabry & Deiermann