Top 10 des maths autour du monde
La blogomode du moment est au calendrier de l'avent : tous les jours, un petit quelque chose pour nous faire saliver avant l'arrivée des cadeaux. Seulement, le rythme hebdomadaire du blog empêche ce genre d'initiatives.... Tant pis.
A la place, le blog accueillera jusqu'à l'arrivée du petit Jésus une série de Top 10 de culture générale mathématique !
Puisque les matheux n'ont de cesse de s'intéresser à ce qui se passe ailleurs, voici aujourd'hui un top 10 consacré aux mathématiques des baroudeurs. Attachez vos ceintures, le tour du monde commence maintenant !
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N° 10 : Le théorème du cercle arctique
(Et celui du diamant aztèque)
Un pavage du diamant aztèque d'ordre 100
Prenez un diamant aztèque (un échiquier renversé à 45° qui ressemble à un diamant: celui à gauche est d'ordre 5), et tentez de le recouvrir par des dominos 1x2. Vous devriez réussir : pour un diamant aztèque d'ordre n, il y a 2n(n+1)/2 pavages possibles (le théorème du diamant aztèque). En choisissant au hasard l'un de ces pavages, et en coloriant en rouge/jaune les dominos verticaux et en bleu/cyan les dominos horizontaux, on s'aperçoit que lorsque le diamant est grand, les dominos des coins du diamant sont figés dans leur direction (alors que ceux proches du centre ont une orientation bien plus chaotique). Ce phénomène, c'est le phénomène du cercle arctique, inexistant lorsque l'on pave un échiquier carré.
Quel rapport avec le parallèle de 66° 33' 39" de latitude nord ? Eh bien, parce qu'au delà de ce cercle, tout est gelé !
Pavage du diamant d'ordre 5 par des dominos colorés suivant leur orientation. Le cercle arctique apparaît progressivement.
N° 9 : Les tours de Hanoï
Les trois tours de Hanoï
Un célèbre casse-tête plus ou moins mathématique : en ne déplaçant qu'un seul disque à la fois, il faut déplacer la pile du premier au troisième pilier, sans jamais déposer un disque sur un disque plus petit. Mathématiquement, ces tours permettent d'appréhender les démonstrations par récurrence, et démontrer que pour déplacer au plus vite n disques, on aura besoin de 2n coups.
Quel rapport avec la capitale de Viêt-Nâm ? Eh bien, parce que Edouard Lucas, l'inventeur de ce casse-tête, avait une imagination débordante dès qu'il s'agissait de mettre en scène ses problèmes...
N° 8 : Les nombres brésiliens
Les 24 premiers nombres brésiliens.
Un nombre brésilien est un nombre qui peut s'écrire avec un seul chiffre répété dans une base donnée. On a des exemples simples en base 10, comme 22, 33, 555555. Mais on peut aussi montrer que 31 est brésilien, puisqu'il s'écrit 11111 en base 2, ou que 17316 est brésilien, puisqu'il s'écrit (12,12,12) en base 37. Par contre, 1993 n'est brésilien dans aucune base (inférieure à 1991).
Quel rapport avec le plus grand pays d'Amérique du Sud ? Eh bien, parce que les Olympiades de mathématiques de 1994 se déroulaient au Brésil, concours durant lequel les Mexicains ont fait sensation en apportant cet étonnant problème d'arithmétique.
Numeros dou Brazil, qui parle aussi de nombres colombiens et de nombres parfaits Canada.
N° 7 : La distance de Manhattan
La distance (euclidienne, en rouge) entre A et B est de 10 unités. La distance de Manhattan (en bleu) entre A à B est de 14 unités.
A droite, les points bleus sont sur un cercle (de Manhattan) de rayon 3
Quand on est un géomètre standard, on utilise la distance euclidienne pour mesurer des longueurs, avec la formule d(A,B) = √[(xB-xA)2+(yB-yA)2]. Mais quand on est un géomètre qui veut briser les barrières, on peut utiliser d'autres formules, notamment celle de la distance de Manhattan (alias "1-distance"), qui est d(A,B) = |xB-xA|+|yB-yA|. Géométriquement, cela revient à mesurer la distance de A à B en prenant un chemin en escalier.
Quel rapport avec le borough le plus touristique de Big Apple ? Eh bien, puisque les rues de ce quartier sont toutes perpendiculaires les unes aux autres, on ne peut plus vraiment mesurer les distances à vol d'oiseau, mais seulement à vol de taxi. La formule qu'il faut utiliser est alors celle de la distance de Manhattan.
De la ronditude du cercle, qui parle aussi de distance du chemin de fer français.
N° 6 : Les fractions égyptiennes
Un développement en fractions égyptiennes de 4/13
Dans une fraction, on distingue deux parties : le numérateur, qui est le nombre du dessus, et le dénominateur, qui est celui du dessous. Quand une fraction a un numérateur égal à 1, on dit que c'est une fraction égyptienne. On sait depuis bien longtemps qu'une fraction non égyptienne peut toujours être écrite sous la forme d'une somme de fractions égyptiennes distinctes, même si la somme comprend beaucoup de termes. Le grand défi est donc de trouver comment exprimer une fraction avec le minimum de fractions égyptiennes. La fraction 4/13, par exemple, peut s'écrire de manière plus économique sous la forme 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468.
Des conjectures, toujours non résolues, prétendent qu'une fraction de la forme 4/n ou 5/n peut toujours s'écrire sous la forme d'une somme de 3 fractions égyptiennes (les conjectures de Erdös-Strauss et de Sierpinski).
Quel rapport avec le pays de Nagui ? Eh bien, parce que les Égyptiens des années -2000 avaient inventé leur propre notion de fraction, mais qui ne possédait pas de numérateur. Pour exprimer les fractions compliquées, il devaient les découper en somme de fractions de numérateur 1.
N° 5 : Le théorème japonais
La somme des rayons des cercles inscrits ne dépendent pas de la triangulation
Prenez un cercle, et dessinez-y un polygone. Ce polygone peut être découpé en triangles, de plusieurs façons, mais quelque soit la triangulation choisie, la somme des rayons des cercles inscrits est toujours la même. C'est ça, le théorème japonais !
De manière plus générale, les théorèmes qui portent sur les cercles inscrits de polygones cycliques portent le nom de "théorème japonais".
Quel rapport avec le pays de Shigeru Miyamoto ? Eh bien, parce qu'au XVIIe siècle, le Japon était coupé du reste du monde, et a développé ses propres mathématiques sans l'influence du reste du monde. Les San Gaku, des problèmes géométriques gravées dans des tablettes de bois, sont nés de cette période. Ces problèmes faisaient entre autres intervenir des histoires de tangence ou de cercles inscrits...
N° 4 : Le théorème des restes chinois
Nom étonnant pour l'un des principaux théorèmes en algèbre
En arithmétique, on ne cesse de se poser des questions sur le reste des divisions. Une question qui revient souvent est celui des systèmes de congruence :"quand je divise mon nombre par ça, il reste cela, et quand je divise par ci, il reste ceci. Quel est mon nombre ?". Pour trouver la solution, il faut passer par le théorème bien nommé théorème des restes chinois. On tombe sur ce théorème quand on se pose des questions sur les calendriers, sur les calculs d'astronomie ou le partage des Skittles.
Quel rapport avec le dernier pays organisateur des Jeux Olympiques ? Eh bien, parce que le théorème trouve ses origines au IIIe siècle sous la plume de Sun zi, qui posait le problème suivant : Soit des objets dont on ignore le nombre. En les comptant 3 par 3 il en reste 2; en les comptant 5 par 5, il en reste 3 et en les comptant 7 par 7, il en reste 2. Combien y a-t-il d'objets? La résolution du problème passe par le théorème des restes...
N° 3 : Les méthodes de Monte-Carlo
Sur les 50 fléchettes, 39 sont tombées à l'intérieur, et 11 à l'extérieur. On en déduit une valeur approximative de pi/4 = 50/39, soit pi = 3.12
Comment trouver une valeur approximative de pi ? Des tas de méthodes existent, mais la plus originale d'entre elles est la méthode de Monte-Carlo. Pour cela, on dessine un carré, et on y dessine un quart de cercle. L'aire du carré vaut 1, celle du disque vaut π/4 (et donc, la proportion de disque dans le carré est de π/4 (78%)). Maintenant, lançons aléatoirement n fléchettes. Si en en croit la loi des grands nombres, plus on en lance, plus la proportion de fléchettes qui tombent dans le quart de disque s'approchera de π/4 !
Dans la pratique, il faut avouer que cette méthode est plutôt décevante : pour espérer obtenir 3 décimales exactes de pi avec une petite marge d'erreur, il faudrait théoriquement lancer 1 000 000 fléchettes...
De manière plus générale, une méthode de Monte-Carlo est une méthode numérique qui utilise les probabilités. De la même façon que l'on calcule pi, on peut facilement faire des calculs d'intégrales. Bien sûr, il y a des méthodes numériques infiniment plus précises, mais les méthodes de Monte-Carlo ont l'avantage d'être très générales et de garder la même précision (en √n) en toute dimension.
Quel rapport avec le quartier Monégasque ? Eh bien, pour ses casinos, ses machines à sous, son poker, son blackjack... Le royaume des probas, tout simplement !
Les méthodes de Monte-Carlo ont des petits frères : les algorithmes de Las Vegas. Ce sont les algorithmes qui utilisent l'aléatoire, mais qui renvoient un résultat sans aucune imprécision.
N° 2 : La conjecture de Syracuse
Prenez un entier supérieur à 1. S'il est pair, divisez le par 2, et s'il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Réitérez ensuite les deux précédentes étapes. Quel que soit l'entier n choisi au départ, la suite finira par retomber à 1... Et personne ne sait pourquoi ! C'est la célèbre conjecture de Syracuse, d'apparence très simple, mais finalement insaisissable.
Quel rapport avec la ville sicilienne ? Eh bien, absolument aucun ! En fait, le problème a connu son heure de gloire dans les années 50, quand Helmut Hasse a fait une conférence sur le sujet à l'université de Syracuse... à New York !
J'aimerai tant revoir Syracuse
N° 1 : Les ponts de Königsberg
La ville de Königsberg, traversée par le Pregel, possède deux îles intérieures, reliées par sept ponts. Quel itinéraire faut-il suivre à travers la ville pour emprunter une et une seule fois chacun des sept ponts ? Le problème se traduit dans la théorie des graphes, sous la question "trouvez un chemin eulérien dans le graphe à gauche" (alias, "dessinez le dessin sans lever le crayon"). On s'aperçoit très vite que c'est impossible, trop de sommets de degré impair...
Quel rapport avec l'ancien Kaliningrad ? Eh bien, parce que quand Leonhard Euler apprend que les Königsbergeois passent leur dimanche après-midi à se balader dans la ville en essayant de passer par les 7 ponts, il résout le problème par la négative en fondant au passage la théorie des graphes et la topologie...
Sources :
#10 : Pavages aléatoires par touillage de dominos, sur Images des mathématiques. L'illustration du diamant aztèque d'ordre 100 vient de là-bas
#1 : Wikipédia, où j'ai piqué les images