Top 10 des maths culinaires
Dernière ligne droite avant le réveillon, il est maintenant temps de passer aux choses sérieuses et de composer le menu que vous servirez à vos convives pour les festivités. Si vous souhaitez des préparations raffinées comme une terrine de foie gras de canard au Comté et noix grillées, vous vous êtes trompés de blog, parce que quand un matheux passe aux fourneaux, c'est plutôt de la junk food que du Masterchef...
Bref, voici aujourd'hui un top 10 des bonnes idées de plats à préparer pour passer les fêtes sous le signe des mathématiques.
(Et comme j'ai un peu galéré pour trouver 10 items, ils seront tous ex-æquo)
N° 1 decies: Donuts, bretzel et fougasse
Mmmmm ! Donut !
Quand un topologue vous parle de donuts (alias doughnut, la pâtisserie la plus grasse que les États-Unis nous ait offerte), c'est plus souvent pour dire que c'est la même chose qu'une tasse de café que pour disserter sur le meilleur glaçage. Bref, il parle du tore : une surface qui ne ressemble en rien à une sphère. L'un des grands principes en topologie est d'ailleurs d'inventer le maximum de concepts qui permettent de prouver qu'un tore et une sphère ne sont pas le même objet (genre, groupe fondamental, homologie, nombre d'Euler, nombre chromatique...).
Quand il en aura marre du donut, le topologue vous parlera bretzel ou fougasse, suivant sa région de prédilection. Il parlera en fait du tore à n trous, la version un peu plus trouée du classique tore...
Mmmmm ! Tore !
N° 1 novies : Les nombres de McNuggets
A droite, les nombres qui ne sont pas des nombres de McNuggets
A McDo, les Chicken McNuggets (Ou Poulet McCroquettes pour les Canadiens) sont vendus par portions de 6, 9 et 20. Il est donc impossible d'en avoir 3, 4 ou 5. Mais si on achète plusieurs portions, est-ce possible d'en avoir 38, 43 ou 307 ?
C'est possible a une seule condition : que ces nombres soient des nombres de Chicken McNuggets, autrement dit, des nombres qu'on peut écrire sous la forme 6.k1+9.k2+20.k3, où k1, k2 et k3 sont des entiers positifs. En fait, tous les entiers sont des nombres de McNuggets, sauf les 22 du début du paragraphe. On peut même montrer qu'il y a 2 façons d'avoir 38 McNuggets (20+6+6+6 ou 20+9+9), ou qu'il y a 42 façons d'en avoir 307.
Le nombre 43, le plus grand nombre qui ne soit pas de McNuggets, est le nombre de Frobenius de l'ensemble {6,9,20}. Trouver le nombre de Frobenius d'un ensemble de nombres (premiers entre eux) est connu sous le nom de "problème des pièces" (trouver la plus grande somme qui ne peut pas être payée en faisant l'appoint).
Fait intéressant supplémentaire : en fait, les McDo français ne proposent pas de portions de 20, mais proposent par contre des portions de 4. Le plus grand nombre qui ne soit pas de McNuggets est donc... 11 ! (C'est le nombre de Frobenius de l'ensemble {4,6,9})
N° 1 octies : La saucisse de Minkowski
La saucisse
Une fractale ! Variante du flocon de Koch, on l'obtient en transformant (un nombre infini de fois) les segments en zig-zag à angles droits... Plutôt que d'appeler ça saucisse de Minkowski (du nom du mathématicien russe Hermann Minkowski, qui a donné son nom à une des variantes de la notion de dimension utilisée dès que l'on parle fractales), ou peut appeler ça une "courbe de Koch quadratique de type 2", mais ça sonne moins bien. Fait intéressant supplémentaire : la dimension fractale de la saucisse de Minkowski est de 1.5, ce qui en fait un objet à mi-chemin exact entre la courbe et la surface !
Recette de la saucisse de Minkowski
Selon les sources, on peut aussi parler de la saucisse de Minkowski pour une autre fractale quadratique légèrement différente :
Variante de la saucisse de Minkowski , représenté à l'étape 4 et à l'étape 1
(Cette fractale n'a rien à voir avec l'autre, puisque sa dimension fractale est de 1.37...
N° 1 septies : Les nombres de Poulet et les super-nombres de Poulet
Les premiers nombres de Poulet et super-nombres de Poulet (en bleu)
Savoir si un nombre donné est premier ou pas (un nombre n>1 est premier s'il n'est divisible que par 1 et lui même) est pour un ordinateur quelque chose de fondamental (la cryptographie repose sur ça) et de très difficile. Tout un tas d'algorithmes, chacun ayant ses limites, existent pour répondre à cette question. Un algorithme simple utilise le petit théorème de Fermat : si un nombre p est premier, alors 2p-2 est divisible par p.
Si on prend un nombre au hasard (disons, 90751), on peut donc essayer de voir si 290751-2 est divisible par 90751 (ce qui se fait très rapidement et facilement avec les bons algorithmes). Si on trouve que non, alors le nombre en question est de manière certaine non premier. Si on trouve que oui (ce qui est le cas), alors il est probablement premier. "Probablement premier," puisque certains nombres sont des faux positifs : on appelle ces nombres les nombres de Poulet. 90751 en est un exemple, puisque 90751=151×601.
Bref, un nombre n composé est un nombre de Poulet si 2n-2 est divisible par n.
Mais il y a plus fort : les super-nombres de Poulet (ou, les nombres de super-Poulet) : ce sont les nombres de Poulet dont tous les diviseurs sont aussi des nombres de Poulet (ou des nombres premiers). Par exemple, 90751 est un super-nombre de Poulet, puisque ses trois diviseurs 151, 601 et 90751 sont des nombres de Poulet (bon, c'est pas difficile, puisque 151 et 601 sont des nombres premiers...). Par contre, le nombre de Poulet 561 n'est pas un super-Poulet : parmi ses diviseurs, il y a 33 qui n'est pas Poulet...
Deux questions se posent encore
- Y a t-il des nombres de Poulet pairs ? Oui ! Mais le plus petit d'entre eux est 161038...
- Quel rapport avec le poulet ? En fait, absolument aucun, c'est juste le nom de Paul Poulet, un mathématicien amateur belge du XXe siècle...
N°1 sexies : le tri spaghetti
Une hyperboloïde (à une nappe) en spaghettis
Trier des données... En informatique, on aime bien que les choses soient rangées, et pour ça, il faut commencer par les trier. Mais une base de données, ça ne se trie pas comme ça !
Imaginons, et tant pis pour l'originalité, que vous voulez ranger une liste de n nombres. La façon la plus naïve est de commencer par prendre un de ces nombres et de le poser devant vous. Ensuite, pour chaque autre nombre, vous cherchez où est sa place dans la suite déjà rangée. C'est la méthode du tri par insertion, qui demande un temps proportionnel à n². C'est bien, mais on peut faire mieux. Les algorithmes les plus efficaces prennent un temps proportionnel en moyenne à n.log(n) (Et on peut montrer qu'il n'y en a pas de meilleurs sans plus d'hypothèses)
En fait, si, il y en a un meilleur, mais il faut abandonner l'informatique, et passer par les spaghettis ! Pour commencer, prenez n spaghettis, taillez les proportionnellement aux nombres à trier (soit n opérations), puis posez les verticalement (soit 1 opération). Le spaghetti le plus grand (qui correspond au nombre le plus grand, donc) dépasse. Retirez-le, rangez-le, puis recommencez. Après n opérations, l'ensemble des spaghettis sera trié par taille, et donc, l'ensemble des nombres sera rangé par ordre croissant ! Le tri prendra donc un temps proportionnel à n (2n+1 opérations, en fait), et peut difficilement faire mieux !
Avec un algorithme naïf, trier 1000 fois plus de données prendra 1 000 000 (de) fois plus de temps. Avec un algorithme performant, ça prendra 6000 fois plus de temps, et avec l'algorithme spaghetti, ça prendra juste 1000 fois plus de temps ! Bref, là où l'ordinateur atteint ses limites, un dispositif mécanique à base de spaghetti peut prendre le relai !
N°1 quinquies : Le jeu Mojette et la transformée Mojette
Une grille de Mojette, force 1 (jouable en ligne sur mojette.net)
Le jeu Mojette est un Sudoku bien de chez nous, puisque ses origines sont, comme la mojette, vendéennes. Le principe est de remplir la grille avec 3 chiffres différents de manière à obtenir par projection verticales ou diagonales les sommes indiquées.
Le jeu Mojette est la variante ludique de la transformée Mojette, qui trouve ses origines dans les scanners X. Les rayons X permettent d'obtenir des images planes de l'intérieur du corps, mais pas d'images 3D. Cependant, à partir de plusieurs images 2D prises sous différents angles, on peut réussir à reconstituer l'intérieur du corps en 3D. Le procédé mathématique derrière cette reconstitution est la projection de Radon, longtemps restée sans application avant son utilisation dans tous les problèmes d'imagerie (astronomie, médecine, sismologie, surveillance vidéo...).
Les travaux de Radon ont inspiré la transformée de Mojette, qui cherche aussi à répondre aux problèmes de reconstitution de données à partir de projections. Outre ses applications dans la résolution du jeu Mojette, cette transformée a des applications en imagerie, mais aussi en cryptographie.
Et le rapport avec le haricot blanc vendéen dans cette histoire ? C'est à cause de Jean-Pierre Guédon, chercheur à Nantes et inventeur de la transformée Mojette. Plus petit, il avait appris à compter, faire des additions et des soustractions avec des mojettes. Comme sa transformée n'utilise que les additions et les soustractions, le nom était tout trouvé...
N° 1 quater : Le théorème de la pizza
Bleu récupère l'olive au centre de la pizza
Cas N=3 (et plus généralement, N=7, 11, 15, 19, ...) : Bleu a plus de pizza que Rose
Cas N=5 (et plus généralement, N=9, 13, 17, 21 , ...) : Bleu a moins de pizza que Rose
Les pizzaiolos ont une sale manie : les pizzas sont toujours prédécoupées, mais les traits de coupe ne passent jamais par le centre de la pizza ! Comment faire pour la partager équitablement dans ces conditions ? C'est la réponse donnée par le théorème de la pizza, qui n'a son statut de théorème que depuis le début de l'année 2010.
L'énoncé du théorème de la pizza au fromage est le suivant : étant donné une pizza prédécoupée de manière excentrée en 2N parts de même angle (avec N lignes de coupe), on effectue le partage entre Bleu et Rose en alternant les parts pour chacun. On suppose que Bleu récupère la part qui contient le centre de la pizza. Alors :
- Si l'une des lignes de coupe passe par le centre de la pizza, alors Bleu aura autant de pizza que Rose. Dans le cas contraire :
- Si N=0, N=1 ou N=2, Bleu aura plus de pizza que Rose
- Si N≥4 et pair (N=4, 6, 8, 10, ...) alors Bleu aura autant de pizza que Rose
- Si N est impair et peut s'écrire N=4k+3 (N=3, 7, 11, 15, ...), alors Bleu aura plus de pizza que Rose
- Si N≥5, impair et peut s'écrire N=4k+1 (N=5, 9, 13, 17, ...), alors Bleu aura moins de pizza que Rose
Un peu de Pizza ?, avec aussi le théorème de la calzone
N°1 ter : La courbe du blanc-manger
Avant l'invention du terme fractale, les mathématiciens se prenaient la tête sur des fonctions "pathologiques" ou "monstres" : des fonctions qui sont continues partout, mais nulle part dérivables. Parmi ces courbes, on retient surtout les courbes de Bolzano, de Weierstrass et la courbe du Blanc-Manger, obtenue en sommant une infinité de fonctions en dents de scie.
Inventée par Tagaki, on la surnomme "courbe du blanc-manger" ou "courbe du pudding" pour sa ressemblance avec les desserts éponymes.
N° 1 bis : Le théorème du sandwich au jambon
Attention : au-delà de 2 ingrédients, le théorème du sandwich au jambon n'est plus vrai !
Trois objets de l'espace peuvent toujours être coupés simultanément par un même plan en deux parts de même volume, c'est l'énoncé (en dimension 3) du théorème du sandwich au jambon. D'après ce théorème qui date des années 40, un sandwich composé d'une tranche de jambon, d'une tranche de fromage et de deux tranches de pain beurrées peut donc toujours être partagée d'un coup de couteau de manière à ce que chaque part contienne exactement la même dose de jambon, de fromage et de pain !
Pour passer de la dimension 3 à la dimension n, il suffit de transformer chaque occurrence de "trois" par "n". En dimension 2, le théorème prend le nom de théorème du pancake.
Application du théorème du pancake : la droite partage simultanément l'objet bleu (qui a 2 composantes) et l'objet rouge (qui en a 8) en deux parties de même aire.
Dès qu'il s'agit d'encadrer ou de partager, les sandwich sont souvent à l'honneur dans les théorèmes. On a ainsi le théorème du sandwich (un autre nom du théorème d'encadrement, alias, "théorème des gendarmes"), qui prend en sandwich une suite entre deux autres suites. Il y a également le théorème du sandwich de Fermat, qui dit qu'un entier n'est jamais pris en sandwich entre un carré et un cube (sauf 26, puisque 52=25<26<27=33). Et enfin, il y a le théorème du sandwich de Lovász, qui donne une double inégalité sur des propriétés de graphes.
N° 1 : Le chou romanesco
Je ne peux pas terminer cette liste de mets mathématiques sans parler de l'emblème de ce blog, le chou romanesco ! LE légume allégorique des mathématiques au naturel pour sa phyllotaxie et son auto-similarité.
Phyllotaxie, d'abord : ses bourgeons s'organisent suivant des spirales (que l'on peut retrouver sur les pommes de pins, tournesols ou d'autres représentants du genre végétal), tournant dans les deux sens autour du chou. En se concentrant, on peut même les compter, et que trouve t-on ? Des nombres de Fibonacci ! (Et qui dit Fibonacci dit nombre d'or, que l'on retrouve donc dans ce brocoli).
Auto-similarité, ensuite : le chou romanesco est la fractale parmi les fractales ! Que l'on regarde le chou en plan large ou en gros plan, on a toujours devant nous le même chou romanesco. Ce phénomène d'auto-similarité, on le retrouve également... sur les boîtes de vache qui rit ?!
Ah, et n'oubliez pas que pour le repas du réveillon, les huîtres se commandent selon un vocabulaire très précis ! Joyeuses fêtes !
Sources :
Histoire de changer, la très grande majorité des illustrations qui ne sont ni du domaine publique ni personnelles viennent de Wikipédia (là, là, là, là, là, là, là et là)
