Ma cardioïde te dit je t'aime
Si tu étais une fonction holomorphe, tu serais le sinus au carré. Je serais le cosinus carré, et nous ne formerions qu'un.
Si tu étais un nombre pair, tu serais 28, car tu es parfaite.
Mais si tu étais un nombre impair, tu serais aussi un nombre parfait, mais je serais le seul à garder le secret de ton existence.
Si tu étais une épicycloïde, tu serais une cardioïde. Si tu étais une hypocycloïde, tu serais quand même une cardioïde. Ou alors, une astroïde, parce que quand même, c'est joli.
Si tu étais une détermination du logarithme, tu serais...
Ah, la Saint-Valentin, la fête des amoureux... Pour la cinquième année consécutive, il me faut encore trouver quelque chose d'intéressant à l'intersection de la fête des bisous dans le cou et des mathématiques fondamentales... Eh bien, j'ai trouvé une bonne idée : refaire comme les années précédentes, mais en faisant croire que c'est la première fois !
Qu'y a t-il de plus romantique que d'offrir à son Valentin ou sa Valentine un petit bouquet d'épicycloïdes ? La réponse est simple : un bouquet d'épicycloïdes interactif ! C'est le cadeau à la mode cette année !
Là-haut sur la colline...
La symbolique de l'amour, c'est le cœur... Il existe plein de façons de tracer des courbes qui ressemblent peu ou prou à des cœurs, mais pour le mathématicien, la courbe qui s'approche le plus du cœur, c'est la cardioïde ! La cardioïde, c'est ce qui apparaît au fond de votre bol de lait éclairé depuis le bord (même qu'on la confond toujours avec la néphroïde). La cardioïde, c'est ce qui apparaît quand on étudie la dynamique complexe de zn+1 = zn2 + c (aka ensemble de Mandelbrot). Mais la cardioïde, c'est aussi ce qui peut apparaître lorsqu'on fait tourner un disque autour d'un autre disque !
Construction d'une cardioïde
Quand on suit la trajectoire du point d'un disque qui tourne autour d'un autre disque, on obtient ce que l'on appelle une épicycloïde (du grec epi (sur), kuklos (cercle) et eidos (« semblable à »)). C'est à Aristote que l'on doit la découverte de ces courbes, qui s'invitent dès que l'on commence à s'intéresser aux trajectoires des astres. Les épicycloïdes seront redécouvertes (et baptisées) par Ole Rømer, au XVIIe siècle : il prouve qu'elles fournissent une forme parfaite pour fabriquer des engrenages (les trains épicycloïdaux).
Oui, mais à quoi ça ressemble vraiment, une épicycloïde ? Nous sommes en 2011, nous sommes donc dans le futur. Pour la première fois sur ce blog, et spécialement pour ma Valentine, voici donc des épicycloïdes interactives !
En faisant varier k, on fait varier la taille du cercle roulant : si k est entier, on obtient une simple épicycloïde à k arches toutes identiques et k points de rebroussement. Si k=p/q est rationnel, on dessine une épicycloïde un peu plus évoluée, avec p arches. Si k est irrationnel, il ne vaut mieux pas en parler. Dans le cas k = 1, on parle donc de cardioïde (la courbe que l'on retrouve dans son café le matin), et dans le cas k=2, on parle de néphroïde (la courbe que l'on retrouve dans son bol de lait le matin). Les autres k n'ont pas encore de nom de baptême officiel.
Le paramètre d permet de faire varier la distance entre le centre du cercle roulant et du point traceur. Dans le cas d=1, le point traceur est sur le bord du disque, et on a une épicycloïde. Sinon, on parle d'épitrochoïde.
Histoire d'être complet, on parle de limaçon de Pascal dans le cas k=1, avec d quelconque.
Là-bas sous la colline...
Les épicycloïdes, c'est beau, mais il y a encore mieux : les hypocycloïde ! C'est comme une épicycloïde, sauf que le cercle roule à l'intérieur de l'autre cercle. Dans notre jeunesse, on parlait plutôt de spirographe...
Une fois de plus, il y a des choses à faire varier. Le coefficient k, déjà, qui permet de choisir le nombre de points de rebroussement. Quand k est entier, l'hypocycloïde (simple) ressemble à un polygone régulier à k côtés. Si k=p/q est rationnel, il ressemblera au polygone croisé régulier de symboles de Schläfli {p/q}. Quelques courbes ont un nom particulier :
k=3 : deltoïde
k=4 : astroïde
k=2 : droite de La Hire
k=1 : cardioïde
Dans un soucis de spirographisme, on peut aussi modifier la distance au centre du point traceur, et obtenir alors des hypotrochoïde...
Sierpinski Valentine, par xkcd
Et n'oubliez pas que si votre bien-aimé(e) accepte que vous lui parliez d'épicycloïde le jour de la Saint-Valentin, c'est qu'il (elle) vous aime très fort !...