Zéro puissance zéro égalent ?...

- Ca fait combien, zéro divisé par zéro ?
- Ca fait zéro puissance zéro...

Ainsi se terminait un article posté sur ce blog du temps où DSK n'était même pas encore président du FMI (là-bas). Rétrospectivement, l'article en question brille plus par ses commentaires d'illuminés que par son fond.

Du coup, la question reste encore en suspens : ça fait combien, zéro puissance zéro ? (Des voix s'élèvent et disent "Ca fait 1, crétin ! C'est une convention !". Qu'elle se rassoient  : c'est pas toujours une convention, et c'est pas toujours 1 !). Oui, mais... combien ça fait ?

Par convention, 0⁰=1
C'est quoi, déjà, élever un nombre x (>0) à la puissance n (entière non nulle) ? Ah oui : multiplier n fois le nombre x par lui-même : xⁿ = x × ... × x (n fois).

Grâce à cette formidable définition, on peut démontrer que, pour deux entiers n,m (avec n+m>0), on a la formule xⁿ⁺ⁿ = xⁿ×x^m. Pour que la formule fonctionne encore quand m=0, il n'y a pas d'autre choix que de dire que x⁰ = 1. (Ca, c'est pas une convention, c'est un fait démontré). Pour pouvoir dire que x⁰ = 1 tout le temps, il est a peu près légitime de déclarer que 0⁰=1.

Oui, mais revenons quand même à la définition première : 0 puissance n (>0), c'est multiplier 0 par lui-même n fois de suite... mais quand on multiplie zéro par lui-même plein de fois de suite, ça donne toujours 0. Du coup, 0ⁿ = 0, et pour uniformiser la formule, il faudrait déclarer que 0⁰=0.

Comme on aime pas les statu quo, il faut se décider : ça fait 0 ou ça fait 1 ? Mathématiquement, rien ne permet de choisir entre l'un ou l'autre, mais dans les faits, la convention 0⁰ = 1 est la forme la plus économique en papier. On aura toujours tendance à préférer écrire

plutôt que

 

(La formule du binôme de Newton aurait aussi fait bonne figure dans cette liste)

La convention 0⁰=1, c'est surtout pour éviter de s'embêter avec les cas particuliers...

Par démonstration, 0⁰=1
Mais pas que ! Il y a aussi des cas où 0⁰=1 n'est pas une convention, mais un fait mathématique démontré ! Ce domaine magique n'est autre que la douce théorie des ensembles...

Pour ça, il nous faut deux ensembles. Appelons les N et M. Le premier possède n éléments, le deuxième en possède m (|N|=n et |M|=m).

En bossant un peu ses cours de dénombrement, on retrouve une correspondance entre les opérations arithmétiques de base (addition, multiplication, exponentiation) et les opérations ensemblistes de base (union, produit cartésien, puissance cartésienne). En l’occurrence, on trouve que le nombre d'applications allant de l'ensemble N à l'ensemble M est précisément n^m. (Ou, pour aller dans le sens inverse, on peut définir n^m comme le nombre d'applications allant d'un ensemble à n éléments vers un ensemble à m éléments)

On rappelle qu'une application, c'est un ensemble de départ (N), un ensemble d'arrivée (M) et n relations (des couples (x,y) avec x∈N et y∈M).

Du coup, on peut regarder les cas particuliers :
* n=0, m>0 : une seule application correspond, mais c'est l'application vide (son ensemble de définition est vide). Du coup, n⁰=1
* n>0, m=0 : ce cas est impossible : il n'y a pas d'applications partant de quelque part et allant nulle part. Du coup, 0^m=0
* n=0, m=0 : encore une fois, une seule application possible, l'application vide, qui va de l'ensemble vide vers lui-même.

Conclusion : 0⁰=1.

CQFD

Dès lors, il n'y a plus aucun doute sur 0⁰ dès lors que l'on remplace la définition arithmétique de l'exponentiation par sa définition ensembliste.

Par esprit de contradiction, 0⁰=42
Mais une définition comme ça, c'est bon que sur les entiers. Quand on est un bon analyste, on préfère dire que x^y=exp(y.ln(x)) (au moins pour x>0, sinon, on doit rentrer dans des considérations tordues d'analyse complexe). Du coup, il faut s’atteler topologiquement au problème : après tout, ce n'est qu'une affaire de calculs de limites.

Ça donne une fonction a deux variables f(x,y)=x^y, et la seule façon de trouver une bonne valeur pour 0^0, c'est de chercher la limite de f quand x et y tendent vers 0...

Trouver la limite d'une fonction à une variable, c'est parfois compliqué, mais quand il s'agit de fonctions à plusieurs variables, les choses peuvent s'avérer bien plus sibyllines : la limite dépend de la façon dont on fait tendre x et y vers 0 (indépendamment l'un de l'autre, ou simultanément).

- on peut faire tendre x vers 0 puis y vers 0 : on doit trouver la limite en 0 de y↦0^y (ce qui donne 0⁰=0 [au moins dans le cas y>0])
- on peut faire tendre y vers 0 puis x vers 0 : trouver la limite en 0 de x↦x⁰ (ie, 0⁰=1)
- on peut faire tendre x vers 0 et y vers 0 en même temps : trouver la limite en 0 de x↦x^x (ie, 0⁰=1)

Mais on peut faire tendre x et y simultanément vers 0 de bien d'autres façons. Par exemple, en considérant la fonction :

quand x tend vers 0, l'exposant 1/ln(x) tend aussi vers 0. Mais la limite de cette fonction en x=0, c'est e ('suffit de remplacer dans x^y=e^y.ln(x))... Finalement: 0⁰=e

Et pourquoi pas ça :

 

Formellement, ça donne 0⁰=1/e

On peut aussi prendre ça :

Ce qui donne 0⁰=+∞

En fait, ces raisonnements analystes prouvent une chose : la fonction f(x,y)=x^y n'est pas continue en (0,0), il est donc impossible de lui donner une valeur logique (obtenue par prolongement par continuité) en ce point. La seule façon de régler ce problème est de donner une valeur arbitraire à l'image de (0,0) par cette fonction, on y prendra la convention 0⁰=1. La fonction n'y est toujours pas continue. Tant pis.

Bref :
- Ca fait combien, zéro puissance zéro ?
- Ca fait exponentielle de zéro divisé par zéro...

Comments

[Moi]

Et pourquoi pas lim(exp(-x))^0 quand x tend vers plus l'infini, on a donc 0^0=1

[raptor66]

mais si l'on fait entrer les nombres irréels ou suite de nombres pour le calcul quantique on peut arriver à 1 résultat de calcul imaginaire pur

[MisterM]

Intéressant, et qui montre bien les limites (sans jeu de mot) de ne pas préciser le domaine sur lequel on travaille... ;-)

Juste quelques idées:
1) n^m pour n et m entiers > 0, défini comme le résultat du produit de n par lui même m fois est une fonction entière, avec un résultat entier. Problème: comment définir 0^0 alors que ce n'est qu'une limite de la fonction sur le domaine? Pour cela, il faudrait une notion de continuité sur les fonctions entières... A défaut, une notion de cohérence par rapport à des formules ou interprétations "classiques" peut faire l'affaire... d'où la notion de "convention" (en considérant n^0=1 d'un point de vu ensembliste par exemple).
Accessoirement, cela signifie aussi, comme toute "convention" ou extension, que lorsque l'on tombe sur cette situation, on se doit de prendre un peu de recul pour éviter de démontrer n'importe quoi

2) l'utilisation d'une définition réelle x^y=exp(y.ln(x)) permet certes d'obtenir une fonction continue sur un domaine réel mais n'est qu'une EXTENSION de la fonction n^m. Ce n'est PAS la même fonction!!!! Déduire d'une limite de cette extension une limite sur la fonction entière me parait nécessiter une démonstration très solide...

3) est-ce que f(x,y)=exp(y.ln(x)) pour x,y réels>0 est l'unique extension de g(n,m)=n^m pour n,m entiers>0 ? Pour affirmer cela, il faut montrer que c'est une extension, donc que
- f(n,m)=g(n,m) avec n,m entiers > 0
- f(x,y)*f(x,y')=f(x,y+y')
- f(x,y)*f(x',y)=f(x*x',y)
- f(f(x,y),z)=f(x,y*z)
- x*f(x,y)=f(x,y+1)
(a minima... mais il y a peut être d'autres propriétés...)
MAIS AUSSI que c'est LA SEULE extension qui vérifie cela!!!
Car s'il y a d'autres fonctions qui vérifient les mêmes propriétés, le raisonnement analytique devient plus léger... Mes études de math sont un peu lointaines donc tout cela est peut être déjà acquis

4) enfin, généralement, lorsqu'une fonction f(x) a des limites différentes pour une unique valeur suivant qu'on l'aborde par un coté ou par l'autre (genre 1/x), on a tendance à considérer que cette fonction n'est simplement pas continue à cet endroit... et donc que la fonction n'a pas de valeur en ce point. J'imagine que c'est la meme chose pour f(x,y)=exp(y.ln(x)) : s'il y a plusieurs limites possibles lorsque x et y tendent vers 0, c'est que la valeur n'est pas définissable...

Bon, ce sont juste quelques idées... ;-)

[RuBisCO]

Vivement la suite !

[ArnaudGalois]

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