Hexahexaflexagones et cie
Dans sa dernière vidéo, l'excellente Vi Hart présente une merveille des mathématiques récréatives : les (hexa)flexagones. Obtenu à partir d'une simple bande de papier, le flexagone est plus qu'un bout de papier plié mais un objet artistico-topologique défiant l'entendement. Le mieux, c'est d'essayer.
"J'aime le passage où elle parle vite"
Trihexaflexagones
Avant toute chose, sortez papier, ciseaux et scotch: aujourd'hui, c'est travaux manuels !
Commençons avec le flexagone de base, le "trihexaflexagone" ("tri" pour ses trois faces, "hexa" pour sa forme hexagonale et "flexagone" parce que c'est un flexagone). Pour cela, on part d'une bande de papier composée de 9 triangles équilatéraux (on peut ajouter un dixième triangle à la place du bout de Scotch qui sera recollé au premier). Pour les fâchés du compas, on peut obtenir ces triangles par origami (cf la vidéo de Vi Hart).
Recto et verso de la bande.
Les triangles d'une même face du flexagone sont marqués de la même couleur,
Le bout de scotch représenté de part et d'autre est le même.
Après un astucieux pliage (topologiquement, le résultat est un ruban de Möbius), on obtient le flexagone hexagonal :
Première étape : replier les trois derniers triangle devant la bande (vert sur vert)
Deuxième étape : replier les trois premiers derrière la bande, le premier triangle recouvrira le dernier (vert sur vert).
On obtient alors un hexagone bleu, le recto étant rouge.
Ce flexagone se transforme par "pin flex" : pour changer la face du flexagone, on doit replier vers l'extérieur les marques de pliage (en pointillé), et vers l'intérieur les marques de chevauchement (en trait pleins). En répétant la même opération, on peut obtenir chacune des trois faces.
Un seul hexagone, trois faces : là est la merveille des flexagones !
Ce premier modèle a été découvert par hasard en 1939 par Arthur Stone (celui qui résoudra un an plus tard la quadrature du carré), alors étudiant à l'Université de Princeton. S'amusant à plier dans tous les sens des bandes de papier, il est intrigué par l'hexagone qu'il vient de fabriquer. Devant la somptuosité de ce qu'il vient de créer, il fonde avec ses collègues le comité des flexagones de Princeton. Parmi ces collègues figure Bryant Tuckerman, qui étudiera le problème sous toutes ses coutures. Ces pliages seront popularisés en décembre 1956 par Martin Gardner dans le premier article qu'il écrit dans le Scientific American.
Tétrahexaflexagones
Trois faces impliquent 18 triangles équilatéraux, soit 9 par faces sur la bande de papier originale. Et avec 12 triangles, peut-on obtenir un hexaflexagone à quatre faces... Oui ! Et on l'appelle "tétrahexaflexagone". De manière générale, un hexaflexagone à n faces s'obtient avec 3n triangles.
Première subtilité, il ne se construit pas à partir d'une bande de papier rectiligne :
Plan de l'hexaflexagone à 4 faces (pour le montage, commencez par replier l'une sur l'autre les faces bleues)
Deuxième subtilité : à partir de la position Vert/Jaune (Recto/verso), on peut atteindre, suivant la façon dont on plie, la position Jaune/Bleue ou la position Jaune/Rouge.
Diagramme (de Tuckerman) des différentes positions possibles.
Hexahexaflexagones
De la même façon, il existe des pentahexagones, des hexahexaflexagones ou des dotetracontahexaflexagones...
Plan de l'hexaflexagone à 5 faces.
Pour plier ce flexagone, on commence par replier l'une sur l'autre les faces cyans, ce qui ramène au cas du tétrahexaflexagone.
A partir de six faces, trois modèles existent : la bande droite, l'hexagone et le trèfle, menant à des flexagones bien différents (au sens topologique du terme : on ne peut passer de l'un à l'autre par rotation ou pliage. En particulier, leur diagramme n'est pas équivalent.).
Les trois modèles d'hexahexaflexagones
(pour les construire, on commence par se ramener au pentahexagone en pliant intelligement)
Des modèles supérieurs peuvent également être construit, grâce à l'opération de "reflecto-cloning", qui consiste à ajouter une nouvelle face au flexagone précédent en le déconstruisant intelligement. Cette opération est en fait le contraire de ce que l'on fait lorsque l'on monte le flexagone (plier le n-ième flexagone pour arriver au (n-1)-ième flexagone).
On découvre alors qu'il existe 4 heptahexaflexagones, 12 octahexaflexagones ou 27 énnéhexaflexagones (OEIS:A000207), ce qui correspond au nombre de façons de trianguler un polygone régulier à n côtés.
Tétratétraflexagones
Mais les flexagones, ce ne sont pas que des hexagones, il en existe aussi des versions carrées : les tétraflexagones. Encore une fois, il en existe à 3 faces, à 4 faces, à 6 faces ou même à 7 faces)...
Plans des tétraflexagones à 3 faces et 4 faces.
Hexaénnéaflexagones
Et les autres polygones ?... Oui oui, c'est possible ! On peut réaliser des flexagones dont chaque face est un polygone régulier à n côtés, composés de n triangles isocèles. Avec 9 côtés par exemple, l'énnéaflexagone est composé de 9 triangles (70°+70°+40°). En lui imposant six faces, le résultat est... ultra claaasse !
Sources :
[1] Flexagons, de Scott Sherman, avec un bestiaire hallucinant de flexagones exotiques (En particulier, retrouvez la construction de l'énnéaflexagone)
[2] Flexagon.net, un peu moins complet, mais avec beaucoup de flexagones à imprimer.
[3] Flexagon theory, pour constuire un hexaflexagone d'ordre n, entre autres.