2023+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 15)
Une nouvelle année s'éveille, c'est donc le moment annuel d'exhumer cette relique du passé qu'est ce blog afin de le garnir d'un article tout neuf (avant de le ré-enterrer pour les 364 prochains jours). Le projet est toujours le même : savoir ce qu'il faut penser de l'année à venir en regardant uniquement ses propriétés mathématiques. L'outil de référence est toujours l'OIES, et on peut dire que...
L'année 2024 sera vraiment bonne !
Bien sûr, pas au niveau inégalable de 2016, mais on est sur une bonne année à venir.
Diagramme en barres automnal du nombre de propriétés référencée par l'OEIS pour chaque année depuis 2013 et 2023
Le grand nombre de propriétés de 2024 peut sembler étonnant au premier abord, puisque sa décomposition en facteurs premiers (2024 = 2×2×2×11×23) contient plein de petits facteurs premiers différents, ce qui limite les propriétés liées aux nombres premiers. Le secret de 2024, c'est que c'est (entre autres) un nombre qui apparait dans le triangle de Pascal, ce qui lui donne plein de propriétés différentes liées aux coefficients binomiaux. Bref. passons en revue quelques propriétés un peu intéressantes :
2024 est un nombre tétraédrique [A000292]
Commençons par la plus importante des propriétés du nombre 2024 : il peut se représenter sous la forme d'un tétraèdre à 22 étages !
2024 balles représentées sous la forme d'un tétraèdre (pyramide dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux)
Si on regarde cette pyramide de balles couche par couche, on peut voir qu'elle est formée de couches successives de balles disposées en triangles. Un nombre tétraédrique, c'est donc une somme de nombre triangulaires. Notons alors :
- t(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n le n-ième nombre triangulaire, et
- T(N) = 1 + 3 + 6 + ... + t(N) le N-ième nombre tétraédrique
On a donc :
Or, il est bien connu que t(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 (je vous renvoie à mon article sur 2016 si vous en voulez une petite démonstration), donc :
On réutilise alors la formule de la somme des entiers (Ʃn = N(N+1)/2) et celle, un peu moins connue, de la somme des carrés (Ʃn² = N(N+1)(2N+1)/6), d'où :
Et en simplifiant un peu, après factorisation :
Bref, on a une jolie formule pour le N-ième nombre tétraédrique, ce qui permet d'en déduire que le 22e est bien T(22) = 22×23×24/6 = 2024
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Une autre façon de visualiser les nombres tétraédrique, c'est d'observer un triangle de Pascal :
Le triangle de Pascal : on place un 1 dans la case la plus haute, et on complète le reste en utilisant sa propriété caractéristique :
chaque case est égal à la somme des deux cases juste au dessus.
Dans un triangle de Pascal, on observe facilement que la première diagonale (montante) est constituée uniquement de 1, et la deuxième est constitué par les entiers consécutifs.
Un peu moins évident, la troisième diagonale, en vert, donne la suite des nombres triangulaires. En effet, puisque chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus, le troisième nombre de la n-ième ligne est la somme du deuxième nombre de la ligne précédente (qui est n) et du troisième (qui est le nombre triangulaire précédent).
Avec le même raisonnement, on peut voir que la quatrième diagonale, en rouge, donne la suite des nombres tétraédriques, puisqu'on peut voir qu'elle correspond aux sommes des nombres triangulaires.
On peut alors en conclure que le N-ième nombre tétraédrique peut s'écrire à l'aide d'un coefficient binomial:
On en déduit alors que 2024, c'est 3 parmi 24. Il y a donc 2024 façons différentes de choisir 3 heures dans une journée.
Les diagrammes de Farey [A358882]
Prenez toutes les droites du plan dont l'équation cartésienne est de la forme ux + vy = w, avec u, v, w entiers tels que |u| ≤ N et |v| ≤ N.
Conservez de toutes ces droites uniquement les egments qui passent par le carré unité (=[0,1]²). Vous obtiendrez alors ce que l'on appelle le N-ième diagramme de Farey :
Les 4 premiers diagrammes de Farey, avec respectivement N=1, 2, 3 et 4.
Si vous êtes motivés à compter le nombre de zones, vous constaterez avec étonnement que le 4eme diagramme délimite 1568 triangles et 456 quadrilatères, soit un total de 2024 polygones.
Dans le même ordre d'idée, il y a aussi les figures obtenues en traçant toutes les droites passant par 4N points disposés régulièrement sur le périmètre d'un carré [A345459]. Pour N=4, on obtient la figure ci-dessous, qui délimite exactement 2024 polygones (1120 triangles, 824 quadrilatères et 80 pentagones)
Cliquez ici pour voir la même figure, mais en plus grand, en plus complet et en plus coloré.
Mais aussi...
- Il y a 2024 façons de décomposer le nombre 24 en sommes de carrés, en tenant compte de l'ordre (comme par exemple 24 = 1² + 2² + 3²+3²+1²). [A006456]
- Sur un échiquier 12×12, il y a 2024 façons différentes de déplacer un fou [A002492]
- 2024 est un nombre dodécaédrique, mais j'ai vraiment pas le courage de le dessiner maintenant [A006566]
- 2024 et 2295 sont des nombres "fiancés" (ou "quasi-amicaux"), car la somme de leurs diviseurs est dans les deux cas égale à 4320, ce qui est égal à 2024+2295+1 [A005276]
Et la santé !