Comment représenter les nombres premiers ? En voilà une bonne question qui, entre les mains de mathématiciens qui s'ennuient, peut révéler des choses intéressantes !

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Les nombres premiers, rappelons-le tout de même, sont les nombres entiers qui admettent exactement 2 diviseurs.
L'idée la plus simple pour les représenter, ça serait par exemple écrire dans un tableau tous les nombres de 1 à 100, et de colorier d'une couler les nombres premiers, et d'une autre couleur les non premiers.
Ca pourrait donner ça :

Erat100

En prenant un peu plus que les 100 premiers nombres, les 10000 premiers par exemple, ça peut donner ça :

Erat10000

Ca a un petit côté Matrix, c'est joli... On voit surtout que certaines colonnes brillent par leur absence : les colonnes correspondant aux nombres pairs et nombre divisibles par 5. Il ne semble cependant pas y avoir plus de logique que ça.

Mais on peut trouver d'autre façon de ranger les nombres premiers. L'anecdote raconte qu'en 1963, le mathématicien Stanislaw Marcin Ulam fut contraint d'écouter un exposé très long et très ennuyeux. Il commença alors à écrire les entiers sous forme d'une spirale. Il entoura ensuite les nombres premiers...

spirale_Ulam

Au premier abord, il n'y a rien à voir, mais si on pousse le dessin plus loin, on trouve cette spirale d'Ulam (ou "horloge d'Ulam") (200×200) :

Ulam200_200

Et, chose étonnante, on peut voir se dessiner des lignes en diagonal de nombres premiers ! Les nombres premiers semblent avoir une organisation ! En semble, seulement. La présence de ces diagonales montre que l'on peut trouver des polynômes de degré 2 (a.n²+b.n+c) donnant un grand nombre de nombres premiers (les diagonales sur la spirale de base ont de tels polynômes pour équation) !


Ulam41Et quand on démarre par un autre nombre que 1 au centre de la spirale, on peut avoir de belles surprises ! En prenant pour nombre initial 41, on trouve la spirale d'Ulam représentée à gauche. On voit clairement une diagonale du carré se dessiner, diagonale correspondant au polynôme n²-n+41, bien connu par Euler au 18e siècle pour donner des nombres premiers lorsque n est compris entre 1 et 40.

Chose étonnante avec ce polynôme, c'est qu'il donne un nombre premier dans 47,5 % des cas, pour n inférieur à 10 000 000 (58% des cas pour n<1000).
Pour les polynômes de la forme n²-n+c, c'est lorsque c =41 que l'on trouve la meilleure densité de nombre premiers (au moins pour c<1000)

A noter que tout polynôme de degré 2 ne se traduit pas par une belle diagonale dans la spirale de Ulam. En marquant en rouge les nombres premiers de la forme n²-n+41, on voit se dessiner une sorte de spirale au milieu de la spirale de Ulam !

Ulam41bis

Et si, au lieu de prendre une spirale carrée, on prend une vraie spirale ? Une spirale d'Archimède, par exemple. En s'arrangeant pour que tous les carrés parfait soient alignés, et en mettant le 0 au milieu, on trouve la spirale de Sacks (1994), qui ressemble à ceci :

Sacks

Et ce sont des courbes qui se dessinent parmi les nombres premiers ! Celle se terminant en bas légèrement à gauche n'est autre que n²-n+41 ! D'autres brillent toujours par leur absence : les n² (le rayon horizontal de droite) ne sont jamais premiers, tout comme les n²-1 (rayon juste en dessous - divisibles par n+1 et n-1) et les n²+n (le rayon horizontal de gauche - divisibles par n et n+1).

Tout ça pour dire que quand on s'ennuie au cours d'un exposé trop long sur un sujet qui ne vous intéresse pas forcément comme les droits successoraux du XVème siècle, il ne faut pas rester les bras croiser en espérant que le temps passe plus vite, mais plutôt gribouiller ce qui vous passe par la tête. Peut-être une révolution dans la façon de voir les nombres premiers va en résulter ?


Sources :
Essentiellement, wikipédia !