Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

24 mai 2015

L'équation parfaite

Régulièrement, les journaux de presse en ligne publient dans leur rubrique "insolite" (la rubrique où la rigueur journalistique semble ne pas avoir voix au chapitre) des articles intitulés "incroyable, des chercheurs ont découvert l'équation de [...]". Entre les différents copier-collé et les traductions hasardeuses, les équations publiées sont en général assez éloignées de la formule originale... mais ce n'est pas trop grave, c'est la rubrique insolite ! C'est ainsi que l'on a pu lire chez Atlantico "Des mathématiciens ont mis au point la formule pour vivre un amour éternel : bon courage pour l’appliquer", chez Slate "La meilleure bière du monde existe, nous l'avons rencontrée" ou, pour être encore plus racoleur, "L'équation des fesses parfaites enfin dévoilée !" chez Entrevue.

Qui sont ces formules ? D'où viennent-elles ? Quels sont leurs réseaux ? Cela fait quelques temps que je collectionne ces formules hasardeuses et je me suis dit qu'il est enfin temps que je me débarasse de ce carton.

La meilleure route du monde

RouteParfaite

Variables :
R : Ratio de conduite (le ratio parfait étant de 10)
ab : Décélération lors des freinage (en m·s-2)
al : Accélération latérale durant les virages (en m·s-2)
af : Accélération durant les lignes droites (en m·s-2)
r : rayon des virages (en m)
l : longueur des lignes droites (en m)
v : vitesse(en m·s-1)

  • Auteurs : Hermann Tilke, architecte de voiture automobile, Mark Hadley, physicien (Université de Warwick) et John Wardley, concepteur de montagnes russes - étude sponsorisée par Avis, entreprise de location de voitures, et Mercedes-Benz
  • Méthodologie : expertise des experts
  • Ce que l'on peut conclure de cette formule : 
    - la meilleure route du monde serait, d'après cette formule, au Portugal. La départementale sarthoise que j'emprunte régulièrement n'est apparemment pas dans le top 25, malgré ses belles lignes droites.
    - cette formule peut être en fait simplifiée en R = (temps passé sur les lignes droites) / (temps passé dans les virages). Mais écrite comme ça, la formule aurait été trop simple à appliquer...
    - Mark Hadley n'est pas à son coup d'essai en terme d'études un peu absurdes, puisqu'il a aussi étudié les pâtes (pour Giovanni Rana), le Curry (pour Tilda Rice, voir plus bas) ou les Sandwiches (pour Frank PR)
    - Les traducteurs français de la page officielle de cette formule n'ont apparemment pas fait S...
    Conclusion : cette formule est complètement inutile, et donc, parfaitement dispensable.

Durée d'une relation amoureuse :

Pour les couples hétérosexuels :
L = 8 + 0.5Y - 0.2P + 0.9Hm + 0.3Mf + J - 0.3G - 0.5(Sm - Sf)²  + I + 1.5C

Pour les couples homosexuels :
L = 8 + 0.5Y - 0.2P + 2J - 0.3G - 0.5(S1 - S2)² - I + 1.5C

Variables :
L : Temps estimé de la durée de la relation amoureuse (en années)
Y : Temps depuis lequel chacun se connaît (en années)
P : Nombre cumulé d'ex de chacun
Hm : Importance accordée à l'honnêté par l'homme du couple (sur une échelle de 1 à 5)
Mf : Importance accordée à l'argent par la femme (sur une échelle de 1 à 5)
J : Importance accordée à l'humour par chacun, cumulé (sur une échelle de 1 à 5)
G : Importance accordée à la beauté par chacun, cumulé (sur une échelle de 1 à 5)
Sm et Sf / S1 et S2 : Importance accordée au sexe par chacun (sur une échelle de 1 à 5)
I : Importance accordée à la belle famille (sur une échelle de 1 à 5)
C : Importance accordée aux enfants (sur une échelle de 1 à 5)

  • Auteur : Inconnu, étude commandée par MSN - 2014
  • Méthodologie : sondage sur 2000 personnes
  • Ce que l'on peut conclure de cette formule :
    - Pour faire durer une relation de couple, il faut se connaître depuis longtemps mais ne pas avoir eu d'autres partenaires auparavant.
    - Au maximum, une relation née d'un coup de foudre peut durer 31.2 ans.
    - Une relation hétérosexuelle durera plus longtemps si chacun s'entend bien avec se belle famille, le contraire pour une relation homosexuelle.
    - Un couple homosexuel qui accorde de l'importance à l'humour durera plus longtemps qu'un couple hétérosexuel qui y accorde la même importance.
    - En ajoutant des grandeurs sans unités, on peut obtenir des durées
    Conclusion : cette formule est complètement con.

Meilleures conditions pour boire une bière :

E =  – (0,62 T² + 39,2W² + 62,4P²) + (21,8T + 184,4W + 395,4 P + 94,5 M – 90,25V) + 50 (S + F + 6,4)

Variables :
E : Plaisir ressenti lors de la dégustation d'une bière
T : Température, en °C
W : Temps avant de retourner travailler, en jours
P : Nombre de personne avec qui l'on partage cette bière
M : Humeur (sur une échelle de 1 à 5, 1 = sale journée)
V : Volume du fond sonore (sur une échelle de 1 à 5, 1 = très fort)
S : Qualité de la nourriture disponibles (sur une échelle de 1 à 5)
F : Qualité des snacks disponibles (sur une échelle de 1 à 5)

  • Auteurs : mathématiciens du MindLab (Université du Sussex), étude commandée par Taylor-Walker, une chaîne de pubs britannique.
  • Méthodologie : sondage sur 1000 personnes, questionnaire disponible en ligne
  • Ce que l'on peut conclure de cette formule : 
    - La meilleure bière se déguste à 17.6 °C
    - La meilleure bière se déguste le vendredi soir
    - La meilleure bière se partage avec 3 personnes
    La formule ne tient cependant pas compte de nombreux autres paramètres inclus dans l'étude : catégorie socio-économique, âge, sexe, région...
    Conclusion : Cette formule inutilement compliquée ne mérite pas vraiment ses coefficients à 4 chiffres significatifs

Décuplons les exemples !
Et j'en ai encore tout un tas en stock ! J'ai l'impression que toutes ces études ont un point commun, mais je n'arrive pas à dire quoi exactement...

JusteUnMeilleurSujetQueMonBoeufSautéAuCurry
Équation du curry parfait, par Mark Hadley, physicien à l'Université de Warwick (le même qui a pondu la formule de la meilleure route) (2013)
Étude commandée par la marque de riz Tilda
En fait, cette formule est une simple application de formules de volumes, mais elle s'accompagne d'une suggestion de présentation basée sur le nombre d'or. L'équation est donc incontournable !

AllIWantForChristmasIsYou

Équation du sapin parfait, par Nicole Wrightham et Alex Craig, étudiants de l'Université de Sheffield (2012)
Étude commandée par la chaîne de magasins Debenhams
L'équation aurait demandé deux heures complètes de travail acharné...

BougeTonBodyGal
Équation du parfait derrière, par David Holmes, psychologue à l'Université métropolitaine de Manchester (2006)
Étude sponsorisée par la marque de boisson Lambrini
Équation à prendre avec de très grosses pincettes, la plus fiable de mes sources est FoxNews. D'autant que, selon cette formule, si le rapport tour de hanche / tour de taille est égal à la texture de la peau, alors on serait en présence d'un fessier infiniment parfait...

ApresDeuxOuTroisVerresEllesParaissentToutesUnpeuPlusBelle
Effet de la bière sur la vision ("beer google"), par Nathan Efron, optométriste à l'Université de Manchester (2005)
Étude commandée par Bausch & Lomb, une marque de produits médicaux optique et par Speed dater, une entreprise de speed-dating

JAimeraisPartirEnWeekEndASaintMalo
Équation de la plage parfaite, par Dimitrios Buhalis, professeur en Management et Marketing à Université de Surrey (2005)
Étude commandée par l'agence de voyage Opodo par faire un top 25 des meilleures plages
Encore une fois, débrouillez-vous pour mesurer objectivement toutes ces variables

LeRetourDelInvasionDesZombiesNazisNecrophages
Équation du film d'horreur parfait, par des scientifiques du King's College de Londres (2004)
Étude commandée par la chaîne de télé Sky Movies
Faute de source fiables, je n'ai aucune idée de ce que la formule calcule, encore moins des unités, ni de ce que signifie vraiment ce sin x - 1. Cette formule n'est maintenant rien d'autre que des lettres posées aléatoirement les unes à côté des autres... 

Ah, je crois que je viens de trouver le point commun de toutes ces formules ! Chacune de ces formules contribue à faire passer au grand public l'idée que les sciences sont sans intérêt, et que les maths, c'est vraiment très compliqué.
Finalement, le seul but de ces formules, c'est d'écrire de façon tordue des choses simples afin de scientiser ce qui ne le mérite pas forcément, et donc, d'y ajouter une fausse couche de sérieux. Définir la meilleure route du monde où rouler en Mercedes ou la destination parfaite où voyager avec Opodo, c'est quelque chose de sérieux, bon sang !
Malheureusement, ça marche... On voit trop régulièrement des journaux reprendre aveuglément ces formules puisqu'elles ont leur caution scientifique, et tant pis si la syntaxe mathématique y est martyrisée (de toutes façons, personne ne va lire la formule...). Après tout, l'important, c'est que le plan marketing fonctionne !


Sources :
Bad science : Tesco Value Science
La meilleure route, durée d'une relation amoureuse, meilleure bière, sapin parfait, effet de la bière, fesses parfaites, film d'horreur parfait, plage parfaite, curry parfait

Posté par El Jj à 10:00 - Commentaires [3] - Permalien [#]
Tags : , ,

10 mai 2015

Deux (deux ?) minutes pour Mandelbrot

Un nouvel épisode un peu plus long "deux minutes pour", où il est question d'ensemble de Mandelbrot et d'ensemble de Julia !...

 

Transcription augmentée :
En 1975, Benoit Mandelbrot invente le mot fractale qui permet enfin de mettre un nom à tous les monstres nés des mathématiques durant les deux siècles qui ont précédés, des objets qui sont beaucoup trop irréguliers pour être analysés par la géométrie classique.  Sous le terme fractale, on regroupe les objets auto-similaires, où l’image se retrouve à l’identique à toute échelle, comme le triangle de Sierpinski, l’éponge de Menger ou même le chou romanesco. On y trouve aussi des objets manquant cruellement de lisseté, comme le mouvement brownien, les fonctions de Weierstrass ou même les courbes de la Bourse.

Au milieu de toutes ces fractales, on y retrouve un roi incontesté : l’ensemble de Mandelbrot. Il s’agit d’une fractale dont la complexité semble infinie, mais qui est pourtant régie par une formule considérablement plus simple : z²+c.
Ca tombe bien, j’ai xued minutes pour en parler !

Avant de parler de ces fractales, il est nécessaire de parler dans les grandes lignes des nombres complexes. En temps normal, pour parler des nombres complexes, on dit qu’il existe un nombre i dont le carré est égal à -1, que c’est très bizarre parce que les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée mais que, si on regarde bien, c’est certes bizarre, mais pas absurde pour un mathématicien. Plutôt que de partir sur ces considérations algébriques, je vais parler seulement de leur géométrie. En simplifiant, on peut dire qu’un nombre réel, c’est un nombre que l’on peut placer sur un axe, l’axe des nombres réels. Un nombre complexe, c’est comme un nombre réel, sauf qu’ils n’existent pas que sur un seul axe, mais sur deux : l’axe des réels et l’axe des imaginaires. Ainsi, un nombre complexe est un nombre composé de deux nombres réels : sa partie réelle et sa partie imaginaire. On pourra les noter sous la forme a + ib, où a désigne la partie réelle, et b désigne la partie imaginaire.

Mais les nombres complexes restent avant tout des nombres : on peut, entre autres, les additionner,les multiplier ou les mettre au carré.
Additionner deux nombres complexes, c’est plutôt facile, puisqu’il suffit d’ajouter d’un côté les parties réelles, et de l’autre côté les parties imaginaires. Graphiquement, ajouter un nombre complexe à un autre nombre se traduira par une translation. Par exemple, ajouter 1 à un nombre complexe correspond à un déplacement d’un cran vers la droite. Rajouter 3+2i, ça sera un déplacement de 3 unités vers la droite et de deux unités vers le haut.
Pour la multiplication de deux complexes, c’est un peu plus tordu, puisqu’on a besoin de leur norme et de leur argument. D’un côté, il y a l’argument des nombres complexes : l’argument, c’est l’angle formé entre le nombre et l’axe des réels. Pour multiplier deux nombres complexes, on commencera par additionner leur argument.
De l’autre côté, il y a la norme, qui correspond à la distance entre le nombre complexe et l’origine du repère. Quand on multiplie deux nombre complexes, on mutlipliera ces deux normes.
Finalement, pour multiplier deux complexes, il faut ajouter les arguments et multiplier les modules.
Du coup, et c’est ça qui nous intéressera, pour multiplier un nombre complexe par lui même, il faudra doubler son argument, puis mettre au carré sa norme.

Maintenant que l’on a défini ces deux opérations, on peut regarder ce qu’il se passe quand on applique à un nombre complexe z une fonction. Prenons par exemple l’application z² - ¾ et partons par exemple du nombre 1+i. On va donc commencer par élever ce nombre au carré, c’est à dire, que son argument, qui vaut 45°, est doublé, et que son module, qui vaut √2, est mis au carré. On tombe alors sur le nombre d’argument 90° et de module 2, c’est à dire le nombre complexe 0+2i. Il ne reste plus qu’à ajouter -¾, et on tombe donc sur le nombre -¾ + 2i.
Mais cette opération, on peut la répéter à partir du point obtenu : on double l’argument, on met le module au carré, et on ajoute -¾. On tombe alors sur -4.2 - 3i. On peut répéter l’opération encore et encore et encore. On comprend bien qu’en répétant ces opérations, on obtiendra des nombres qui s’éloigneront de plus en plus de l’origine du repère.
Faisons un deuxième essai, en partant cette fois-ci du nombre 1+0.5i. On double l’argument, on met le module au carré, on ajoute - 3/4 , on obtient 0+i. On répète l’opération, on obtient -1.75, puis 2.31, puis 4.6, et ainsi de suite. Encore une fois, on finit par obtenir des nombres de plus en plus grands.
On dira alors que les nombres 1+i et 1+0.5i génèrent des suites non bornées.

Mais ce n’est pas toujours le cas. Prenons comme point de départ le nombre 1 + 0.2 i. On applique une première fois l’application z² - ¾ : on double l’argument, on met le module au carré, puis on ajoute -¾. On obtient alors 0.21 + 0.4 i. En recommençant, on obtient -0.87 + 0.17 i. On recommence encore. Et encore. Et encore. Et encore. Cette suite ne se comporte pas du tout de la même façon que dans les deux exemples précédents, puisque cette fois-ci les points ne s’éloignent jamais vraiment de l’origine du repère. On dira alors que la suite est bornée.

En fait, les points du plan complexe se divisent en deux catégories : ceux qui génèrent une suite non bornée, et ceux qui génère une suite bornée. Du coup, on peut s’amuser à mettre en noir les points qui génèrent une suite bornée, et en couleur les autres. En procédant ainsi pour un grand nombre de points, on obtiendra en première approximation quelque chose comme ça …
Mais en procédant à des calculs un peu plus précis, on obtient plutôt un résultat comme celui-ci.
Et si on s’applique à varier les couleurs en fonction du temps que met la suite à diverger, on obtient plutôt quelque chose comme ça.
Cette figure, c’est ce que l’on appelle un ensemble de Julia. Dans le cas précédent, il s’agit de l’ensemble de Julia de la fonction z² - ¾ . Il donne une assez bonne idée de ce qui apparait assez naturellement dans le domaine de la dynamique complexe. Cet ensemble est une fractale, caractérisée par une certaine autosimilarité : quelle que soit la distance depuis laquelle on l’observe, elle présentera toujours la même forme globale. Et je rappelle que tout ça n’est obtenu qu’à partir de l’anodine formule z²- ¾ !

Evidemment, la première chose que l’on a envie de faire, c’est évidemment de changer de formule pour voir ce que cela donne. En particulier, on peut voir ce que cela donnera si, au lieu de -¾, on prend un autre nombre complexe.
Par exemple, avec la formule z²-0.39-0.59i. En appliquant la même procédure que précédemment, on obtient ceci.

Siegel
L'ensemble de Julia de l'application z²-0.39-0.59i.

(La fractale présentée dans la vidéo est une version simplifiée de celle-ci, dont la représentation est un peu trop gourmande en ressource pour être animée)

La figure est un peu plus complexe, mais garde toujours son statut de fractale, puisqu’elle est identique quelle que soit l’échelle choisie.
En prenant plutôt la formule z²-0.12+0.75i, on tombe sur une autre fractale de Julia, connue sous le nom de lapin de Douady, à cause de son immanquable ressemblance avec un herbivore aux grandes oreilles.
On peut obtenir des fractales un peu différentes en prenant l’application z²-i. On obtient alors ce que l’on appelle une fractale dendrite, qui rappelle les prolongements des neurones.
Enfin, on a un résultat un peu différent en prenant par exemple z² + 0.1 + 0.65 i puisque, cette fois-ci, la fractale que l’on obtient n’est pas composée de un seul morceau.
D’ailleurs, on peut trier les fractales de Julia de formule z²+c selon deux catégories : celles qui sont connexes, c’est à dire, qui ne forment qu’un seul morceau, d’un seul tenant, et les autres.

On peut maintenant faire comme comme tout à l’heure, et colorer en noir les points c pour lesquels la fractale de Julia de formule z²+c est connexe (c’est à dire, d’un seul morceau) et en couleur les autres. On obtient alors ceci.
On peut voir ça comme une carte des fractales de Julia, où chaque point correspond à un ensemble de Julia.
Cet ensemble porte le nom d’ensemble de Mandelbrot, et est, pour bien des raisons, la fractale la plus importante des mathématiques.

Cette carte des fractales est elle-même une fractale, puisqu’elle présente encore une fois de l’autosimilarité. Même si cela ne saute pas aux yeux au premier abord, l’ensemble de Mandelbrot présente des copies de lui même un peu partout. Par exemple, ici, ou bien, ici.
Mais ce qui fait le succès de cette fractale, c’est sa structure en bourgeons et en antennes. Déjà, il y a le bulbe central, en forme de cardioïde. Sur cette cardïoide se greffent différents bourgeons, de taille variable, sur lesquels se grefferont d’autres bourgeons, et ce, jusqu’à à l’infini. Mais ce qui est vraiment génial, c’est qu’à chaque bourgeon correspond une certaine multiplicité. On dira par exemple que ce bulbe est de multiplicité 3, celui-ci de multiplicité 4 et celui-là de multiplicité 5. Je ne vais pas détailler le sens profond et mathématique de ces multiplicités, mais simplement montrer une chose : si un bulbe est d’une certaine multiplicité, alors on y trouvera attaché des antennes de la même multiplicité. Par exemple, les antennes autour du bulbe de multiplicité 3 formeront des motifs en forme de Y. Autour de celui de multiplicité 4, les antennes formeront des motifs en X, et autour de celui de multiplicité 5, les antennes forment des étoiles.
Les multiplicités se retrouvent aussi dans les fractales de Julia qui leur correspondent. Si une fractale de Julia provient d’un bulbe de multiplicité 3, alors, elle ne présentera à sa frontière que des points de multiplicité 3, ce qui signifie que l’autosimilarité se présente toujours dans les ensemble de Julia de ce bulbe par paquet de 3.
Si je prend maintenant une fractale de Julia dans un bulbe de multiplicité 4, ça sera par paquet de 4 que se regrouperont ces formes
Et puisqu’il existe des bulbes pour n’importe quelle multiplicité, on peut facilement retrouver des bouquets de Julia de multiplicité 5, 6, 7 ou bien pire !

I - 17
Ensemble de Julia dont le paramètre c provient d'un bulbe de multiplicité 17.

En fait, on peut définir plus simplement l’ensemble de Mandelbrot, sans faire appel aux ensembles de Julia. L’ensemble de Mandelbrot, c’est un fait l’ensemble des points complexes c tels que l’itération de la fonction z²+c ne diverge pas lorsque l’on part de 0.
Autrement dit, l’ensemble de Mandelbrot n’est construit qu’à partir de la simple formule z² + c et c’est cette formule qui, à elle seule, produit un objet d’une complexité extraordinaire dont les mathématiciens n’ont pas encore percé tous les secrets.

On peut retrouver sur internet des logiciels permettant d’explorer l’ensemble de Mandelbrot. Par exemple, le logiciel Xaos, que j’ai utilisé pour faire cette vidéo, permet d’explorer très simplement les ensembles de Mandelbrot et de Julia. Qui sait ce que vous y trouverez ?...

Posté par El Jj à 15:32 - Commentaires [2] - Permalien [#]
Tags : , , , ,
29 mars 2015

Deux hommes d'exception

Le 25 mars dernier, le lauréat du prix Abel a été révélé et, pour une fois, ce n'est pas un mathématicien qui est récompensé du "prix Nobel des maths", mais deux : il s'agit de la rockstar John Nash, et du un peu moins célèbre Louis Nirenberg. Les deux ont été récompensés pour « leur contribution importante et fondamentale à la théorie des équations aux dérivées partielles non linéaires et leurs applications en analyse géométrique. »

John_Forbes_Nash,_Jr  Louis_Nirenberg
John Forbes Nash Jr et Louis Nirenberg

D'un côté, il y a l'américain John Russell Crowe Nash, essentiellement célèbre pour avoir été l'un des rares mathématiciens récompensé d'un prix Nobel (même si le Nobel d'économie n'en est pas vraiment un...) pour ses travaux en théorie des jeux. Mais sa célébrité vient surtout de Hollywood, qui lui a consacré un biopic un brin romancé et multi oscarisé en 2001, avec Un homme d'exception (A beautiful mind). Le film met en scène ses années à Princeton, où il met au point le concept d'équilibre dans les jeux non-coopératifs, appelé aujourd'hui "équilibre de Nash" (faudrait que j'écrive un article là-dessus un de ces jours...). Mais ce que Hollywood met surtout en scène, ce sont les 30 années (de 1959 à 1990) où il est dans l'incapacité de faire des mathématiques à cause de la schizophrénie paranoïque qui lui a été diagnostiqué. Le film passe cependant à côté de ce qui fait sa renommée dans le monde des mathématiques, ses travaux en analyse géométrique, qui lui vaut aujourd'hui l'une des deux récompenses suprêmes pour un mathématicien.

De l'autre côté, il y a le canado-américain Louis Nirenberg, avec un parcours forcément un peu plus classique. Il fait sa thèse à l'Université de New York (NYU) à partir de 1947 sous la direction de James Stocker qui lui propose un problème de géométrie ouvert depuis 30 ans, le problème de Weyl. Ce problème qui traite de sphère, il l'attaque sous l'angle original des équations aux dérivées partielles (EDP) elliptiques, sujet qu'il traitera sous toutes ses formes jusqu'à sa retraite en 1999, et toujours au NYU. Bien que 90% des papiers qu'il ait rédigé soient en collaboration avec d'autres mathématiciens, il n'en a jamais cosigné avec John Nash. Il se sont cependant rencontrés à la fin des années 50, où Nirenberg lui a exposé un problème concernant les EDP qui deviendra quelques années plus tard le théorème de De Giorgi-Nash-Moser.

Analyse géométrique
L'analyse géométrique, c'est donc la branche des mathématiques qui s'occupe de traiter les problèmes de géométrie (sur la forme et la mesure d'objets comme des courbes ou des surfaces) avec les outils des analystes, notamment les EDP (sans rentrer dans les détails, une EDP est une équation où les inconnues sont des fonctions à plusieurs variables -- le simple fait de montrer qu'une telle équation admet une solution est en général particulièrement difficile...)
Le problème récurrent de ce domaine est celui des plongements, et plus particulièrement celui des plongements isométriques. Comme son nom l'indique, un plongement est l'opération qui consiste à placer un objet géométrique dans un espace donné.

Prenons l'exemple du tore. Sa représentation habituelle est celle de la surface d'un donut's ou d'une bouée, une représentation qui n'existe donc que dans un espace à trois dimensions. L'image que l'on se fait d'un tore est donc le plongement de celui-ci dans l'espace R3.

Tore_pas_plat

Plongement d'un tore dans l'espace euclidien R3

Mais le tore est une surface, un objet à seulement deux dimensions : il n'a a priori pas besoin d'un espace à 3 dimensions pour exister. Et c'est bien le cas, on peut se représenter un tore à l'extérieur d'un espace tridimentionnel, en prenant l'image du jeu vidéo Asteroids : un carré où les côtés opposés sont identifiés, c'est à dire que, lorsque l'on quitte ce carré du côté droit, on réapparait du gauche, et réciproquement ; même chose pour les bords hauts et bas.

 

Toretore

Les deux représentations les plus communes d'un tore.
Sur le carré-tore de droite, les flèches bleues et vertes se correspondent.
Le parallèle rose et le méridien rouge du 3D correspondent aux paires de flèches du tore carré.

Pour ce tore carré, le plongement dans l'espace 3D le plus simple est de procéder par origami. On commence par enrouler le carré pour faire correspondre les côtés droit et gauche (on obtient un cylindre), puis, on enroule ce cylindre de façon à faire correspondre les bords haut et bas (bon, il faut imaginer ce papier élastique pour pouvoir réaliser cette opération). Un soucis subsiste : quand on passe de cette façon d'un tore plat à un tore en volume, on doit mettre de côté l'aspect géométrique. Si le plongement s'était mieux passé, les cercles rose et rouge sur le carré-tore auraient été de longueurs identiques sur le beignet-tore. L'idéal, ça serait un plongement qui respecte les longueurs.
Mais existe-t-il vraiment un moyen de représenter un tore en 3D tout en gardant les longueurs de départ ?
C'est ce que l'on appelle le problème du plongement isométrique, et c'est celui-ci que Nash a résolu en transformant ce problème de géométrie en problème d'analyse.

Problème du plongement isométrique (un théorème de Nash)
En fait, la question ne porte pas exclusivement sur les tores, mais sur n'importe quelle courbe ou autres surfaces et espaces de dimension supérieur (plus particulièrement, les variétés riemaniennes). La question du simple plongement a été réglée depuis longtemps : il y a toujours moyen de se représenter ces objets dans l'espace euclidien auquel on est habitué.

Le problème, c'est que dans l'espace euclidien, on a une façon habituelle de mesurer les distances (mesure euclidienne avec une bonne vieille règle graduée, toussa), et qu'il est hors de question de changer notre façon de mesurer les distances sous prétexte que l'objet géométrique sur lequel on travaille vient d'un espace topologique exotique sur lequel on ne mesure pas les distances de la même façon. En fait, une variété riemanienne, c'est ça : un espace topologique (une courbe, une surface) qui dispose de sa propre façon d'y mesurer les distances. Et un plongement isométrique, c'est un plongement de cette variété dans l'espace euclidien où la distance euclidienne coïncide avec la distance propre à la variété.

Prenons l'exemple d'une variété riemanienne assez simple de dimension 1 : une route de campagne, rectiligne, sur lequel nous marchons. La particularité de cette route, c'est que plus on y progresse, plus elle devient boueuse, et donc, plus notre marche devient lente. Pour mesurer des distances entre deux points de cette route, la façon habituelle de mesurer ("il y a 5 km entre le point A et le point B") n'est pas adaptée, il serait plus logique de les mesurer en temps ("il y a une heure entre le point A et le point B").

Le problème, c'est que si on regarde cette route d'un point de vue extérieur, la mesure temporelle ne coïncide pas du tout avec la mesure à vol d'oiseau. Le plongement de cette route dans l'espace euclidien n'est donc pas isométrique. Y a-t-il moyen de représenter cette route sur un plan de façon à ce que la mesure temporelle et la mesure euclidienne soit la même ?

Route

Plongement de la variété "route boueuse" dans l'espace euclidien :
la distance intrinsèque de la variété (la distance temporelle) ne correspond pas à la distance euclidienne.

Une façon simple de contourner le problème est de représenter la route en la dilatant de façon à ce que 5km sur le plan correspondent toujours à une heure sur la route. Le problème, c'est que la représentation que l'on obtient au final est très éloignée de la route initiale.

Route_2
Plongement de la variété "route boueuse" dans l'espace euclidien :
la distance intrinsèque de la variété (la distance temporelle) correspond à la distance euclidienne.
Le résultat est cependant éloigné du plongement initial.

C'est ce principe que l'on utilise pour faire des cartes temporelles, où la distance euclidienne correspond à la distance temporelle :

SNCF

Oui, mais ce que l'on veut, c'est le beurre et l'argent du beurre : une représentation de cette route boueuse où la distance euclidienne soit égale au temps de parcours et qui, en plus, ne soit pas trop éloignée de la représentation initiale.
Aussi étonnant que cela puisse paraître, c'est parfaitement possible ! Et si personne n'y avait pensé avant Nash, c'est parce que le résultat défie l'intuition :

Route_3


En ajoutant des oscillations, les distances temporelles et euclidiennes se correspondent, et le résultat est proche de la représentation initiale. C'est le plongement parfait !

Imaginons un vélo où les pédales feraient tourner les deux roues en même temps, mais où l'une des roues tournerait plus vite que l'autre. Pour faire avancer ce vélo sans déraper, il faut nécéssairement que les trajectoires des roues soient proches l'une de l'autre, mais que l'une des deux trajectoires soit plus longue que l'autre. La trajectoire de la roue plus rapide sera nécéssairement pleine d'ondulations, pour compenser la différence de vitesse. C'est exactement la même chose qu'il s'est passé dans cette histoire de plongement isométrique de route boueuse.

On peut se poser la même question pour le tore carré présenté plus haut. A partir d'un carré de papier non élastique, peut-on le déformer sans plis ni déchirement de façon à obtenir un tore ?... D'après Nash, oui, un tel un plongement existe. Autant le raisonnement est a peu près accessible pour des objets à une seule dimension comme un route, autant la généralisation aux surfaces ou aux variétés riemaniennes de dimensions supérieures devient un casse-tête pour l'intuition. La complexité des arguments du théorème de Nash-Kuiper publié en 1954 fait qu'il a fallu attendre 2012 pour ce donner une idée de ce que cela pourrait donner (j'en avais parlé ici).

01_corrugations_bd (2)
Plongement isométrique d'un tore : forcément, il est plein d'ondulations

Problème de Minkovski (un théorème de Nirenberg)
Un petit mot sur un des premiers problèmes auquel Nirenberg s'est attaqué en 1953 : le problème de Minkovski.

Pour comprendre la question, il faut parler de courbure, qui permet de quantifier à quel point un objet est courbe.
Grosso modo, la courbure d'un arc correspond à l'inverse du rayon du cercle qui ajuste au mieux cette courbe (le cercle osculateur, littéralement, "qui donne un baiser"). Ainsi, si une courbe présente un virage dur, le cercle osculateur sera petit, et donc, sa courbure grande. Inversement, si une courbe présente un virage faible, le cercle osculateur sera grand, et donc la courbure faible. Une courbure nulle correspond à une courbe localement très plate.

Courbure

Une courbe et quelques cercles osculateurs.
La courbure en A est donc grande tandis que la courbure en C est faible (et intermédiaire en B)
Au point D, le cercle osculateur a un rayon infini, la courbure y est donc nulle.

On peut alors se demander à quoi ressemblerait une courbe dont la courbure en tout point serait fixée à l'avance.
Par exemple, à quoi ressemble une courbe dont la courbure serait en tout point égale à son abscisse curviligne (autrement dit, une courbe où, plus on avance dessus, plus la courbure devient grande). Eh bien, cela donne la clothoïde (du grec klothein : filer la laine), une courbe particulièrement utilisée dans le design des autoroutes ou des chemins de fer :

Clothoide
La clothoïde, courbe qui correspond à la trajectoire d'une voiture où le conducteur tourne le volant à vitesse constante.
En avançant à vitesse constante sur une telle courbe, la force centrifuge subie sera proportionelle au temps, d'où son utilisation dans les bretelles d'autoroute.

La même question se pose pour les surfaces où l'on peut aussi y définir une courbure particulière, la courbure de Gauss, dont la définition généralise celle de la courbure d'un arc.
Une sphère de rayon R a, en tout point, une courbure de Gauss égale à 1/R². Un plan, un cylindre ou un cône auront en tout point une courbure nulle (on peut toujours y trouver des plans de coupe rectiligne).

Bref. À quoi ressemblerait une surface dont la courbure en tout point serait une fonction (positive) définie à l'avance ? Tel est l'objet du problème posé en 1903 par Hermann Minkovski.
Prenons comme exemple la surface de la Terre. On peut prendre comme fonction la température moyenne en chaque point de la Terre (moyennant une renormalisation). On peut alors se demander à quoi ressemblerait cette Terre si en tout point, sa courbure était égale à la fonction. Cela donnerait donc un globe aplati au niveau des pôles (de courbure faible ) et bombés au niveau de l'équateur.

ObjectifTerre
Un exemple de fonction définie sur une sphère.

Nirenberg a donc réussi à prouver que, sous les bonnes conditions, cette surface de courbure imposée existe toujours. Dans le même papier, il balaie une autre conjecture ouverte depuis 1916, la conjecture de Weyl. Sa solution marque un point important dans l'histoire de la géométrie puisque, pour la première fois, des problèmes de géométrie sont résolus à l'aide d'EDP non linéaires.


Sources :
John F. Nash Jr. and Louis Nirenberg, sur le site officiel du prix Abel
Images : photo 1, photo 2

15 mars 2015

#LaPiHour

Hier, nous étions le 14 mars 2015. En notation anglaise, c'était donc le 3/14/15, soit une très bonne approximation du nombre π (dont la troncature à 5 décimales est effectivement 3,1415). Mais  le plus fort là-dedans, c'est que à 9h, 26 minutes, 53 secondes et 59 centièmes, nous avons pu célébrer un instant quasi unique de ce siècle, l'instant π !

f8565d2a-dacf-4c07-b543-42bd8c966adc-1024x768
Représentation due à Francisco Aragón des 100 milliards premières décimales de π en base 4, où les chiffres 0, 1, 2 et 3 sont représentées par un déplacement le nord / sud /est /ouest.

Pour fêter ça, j'ai profité de la journée d'hier pour poster tout un tas de trivia autour de cette constante reine des mathématiques, dont voici un petit florilège :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tweet

 

 

 

 

 

 

Quelques autres formules hallucinantes que l'on doit à Ramanujan :

RamaOne 

RamaTwo

 

Posté par El Jj à 10:00 - Commentaires [3] - Permalien [#]
Tags : , , ,
07 mars 2015

Deux minutes pour l'escargot de Gardner

Un nouvel épisode de "deux minutes pour", où il est entre autres question d'escargot sur une corde élastique, et d'une course entre une tortue et un héros mythologique...

Vignette

 

Transcription :

En 1982, Martin Gardner publie "Aha : Gotcha", un recueil de paradoxes mathématiques allant des antiques paradoxes de Zénon jusqu'à celui de l'hôtel de Hilbert. Parmi eux figure le paradoxe de la corde élastique, une variante du paradoxe de Achille et de la Tortue, dont la solution est particulièrement contre-intuitive. Ce problème met en scène un vaillant escargot, une corde considérablement élastique et un géant facétieux. Ce qui tombe bien, c'est que j'ai justement deux (deux?) minutes pour en parler.

Cette histoire met en scène Léo, un escargot particulièrement obstiné qui voue sa vie à atteindre l'extrémité d'une corde sur laquelle il progresse.
Cette corde mesure 100 m, et Léo avance à la vitesse de 1 m/h. Si rien ne s'opposait à lui, il lui faudrait donc 100 heures, soit un peu plus de 4 jours pour arriver à son but.
Ce qu'il ne sait pas encore, c'est qu'au début de chaque heure, un géant infatigable viendra tirer sur cette corde, qui se trouve être en fait un élastique infiniment extensible. A chaque fois, la corde sera étendue de 100 mètres, et ce, de façon homogène.
Cela signifie que lorsque le géant tire sur la corde, la distance qu'il restera à parcourir pour Léo augmentera, mais aussi la distance déjà parcourue. Seul le pourcentage de progression de Léo restera le même.
Notre courageux escargot est-il condamné à errer sur cette corde pour l'éternité, ou bien pourra-t-il accomplir sa mission et, si oui, après combien d'heures atteindra-t-il son but ? Pour répondre à la question, le mieux est d'observer heure après heure le périple de notre gastéropode.

Au début de la première heure, l'escargot est dans les starting blocks, et la corde mesure 100 mètres. A l'issue de cette première heure, il aura parcouru 1 mètre, ce qui représente 1% du trajet total.
Puis, le géant tire sur la corde, qui passe alors à 200 mètres. Puisque la déformation est homogène et que la corde a ici doublé en taille, chaque distance est doublée : la distance qui sépare l'escargot de son point de départ est maintenant de 2 mètres. La proportion de trajet parcourue n'a quant à elle pas changée, elle est toujours de exactement 1 %.
Durant la deuxième heure, l'escargot parcourt à nouveau un mètre supplémentaire, il aura donc parcouru en tout 3 mètres sur un total de 200, ce qui représente 1,5 % du trajet.
A nouveau, le géant tire sur la corde, qui passe de 200 à 300 mètres. La proportion de trajet parcourue par l'escargot reste constante, ce sont donc maintenant 4,5 mètres qui séparent Léo du point de départ.
Durant la troisième heure, l'escargot avance de 1 m supplémentaire, soit 5,5 mètres en tout. Puisque la corde mesure 300 mètres, cela représente 1,83 %.

Regardons un peu plus précisément la proportion de trajet parcourue par l'escargot à chaque étape.

  • La première heure, la corde mesure 100 mètres. En avançant de 1m, Léo a donc progressé de 1 %.
  • La deuxième heure, la corde mesure 200 mètres. Puisque Léo avance toujours de 1m, il progressera durant cette deuxième heure de 1/2 %.
  • La troisième heure, la corde mesure 300 mètres. En avançant de 1m, il progressera donc de 1/3 % de trajet en plus.

On peut facilement généraliser en remarquant que, à la n-ième heure, la corde mesure 100*n mètres, et Léo progressera de 1/n % de trajet supplémentaire.
Finalement, après n heure, le pourcentage de corde parcourue par Léo sera de 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n %
Cette somme 1 + 1/2 + 1/3+ ... + 1/n porte le nom de série harmonique, et la question est donc de savoir si elle finira par dépasser le seuil des 100 %.

Cette histoire peut rappeler l'un des 8 paradoxes de Zénon que Aristote nous a rapporté, le paradoxe de Achille et de la tortue. Dans cette histoire, Achille, le héros légendaire de la guerre de Troie, cherche à battre à la course une modeste tortue. Cette tortue marche à la vitesse de 5 m/s, tandis que Achille court à 10m/s. Pour lui laisser une chance, Achille lui laissera 5 mètres d'avance.
Une demie-seconde après que la course ait démarrée, Achille atteint le point de départ de la tortue. Pendant ce même temps, la tortue a également avancé, elle garde donc toujours un peu d'avance. Le temps que Achille atteigne cette nouvelle position de la tortue, elle aura une nouvelle fois avancé.
Zénon conclut alors que Achille ne pourra jamais dépasser la tortue, puisque celle-ci maintiendra toujours de l'avance.
Pourtant, l'expérience montre que Achille finit bien par dépasser cette tortue, il y a donc ici un paradoxe !

En fait, dans cette histoire, Achille courra, avant de rattraper la tortue, une distance en mètres égale à 5 + 5/2 + 5/4 + 5/8 + ... . Cette somme possède un nombre infini de termes. La théorie des suites géométriques permet de montrer que cette somme, même si elle semble infinie, est exactement égale au nombre 10. Il faudra donc bien une infinité d'étapes à Achille pour rattraper la tortue, mais seulement au bout de 10 mètres.
Mais le temps intervient aussi dans cette histoire. Il lui faudra une demie-seconde pour parcourir la première portion, un quart de seconde pour la deuxième portion, un huitième de seconde pour la troisième, etc. Le temps demandé pour rattraper la tortue est donc, en secondes, égal à 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., ce qui est exactement égal à une seconde.
D'un point de vue strictement mathématique, Achille a bien effectué une infinité de mouvements, c'est à dire 10 mètres, en un temps qui est fini.
Le paradoxe est en fait un paradoxe de physique, puisqu'il semble impossible de diviser à l'infini les distances et les temps. Le paradoxe est lui aussi philosophique, puisqu'il semble inconcevable qu'un processus ayant un nombre infini d'étapes puisse se terminer. En fait, cela prouve surtout que cet outil mathématique n'est pas le meilleur pour représenter cette situation d'une course entre un reptile et un héros mythologique.

Ce paradoxe nous apprend cependant quelque chose : une somme, même si elle possède un nombre infini de termes, peut avoir un résultat parfaitement fini. Dans le cas présent, on avait 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1.
Mais est-ce le cas pour la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... ? Eh bien en fait... non ! Cette somme qui possède un nombre infini de termes ne peut pas être égale à autre chose qu'à l'infini !
En fait, on peut le comprendre en regroupant ensemble certains termes de la somme.

  • Prenons les termes 1/3 et 1/4. Ces deux fractions sont toutes les deux supérieures à 1/4. A elles deux, elles sont donc plus grandes que 1/2.
  • Prenons maintenant les quatre termes suivants : 1/5, 1/6, 1/7 et 1/8. Ces quatre fractions sont toutes supérieures à 1/8. A elles 4, elles sont donc plus grandes que 1/2.
  • C'est la même chose pour les 8 fractions suivantes, dont la somme est elle aussi plus grande que 1/2.

Finalement, on peut dire que la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4+ ... est plus grande que 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + .., qui, si on mène cette somme jusqu'à l'infini, est intuitivement égale à l'infini.
La série harmonique est donc finalement supérieure à l'infini : elle est donc égale à l'infini !

Revenons à Léo l'escargot : on a vu que, après n heures, son pourcentage de progression sera de 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n %. En marchant un nombre infini d'heures, ce pourcentage de progression sera donc infini, il y a donc forcément un moment où il dépassera le seuil des 100 %. Oui, mais quand ?...
En fait, on peut calculer qu'il faut 4 termes pour que la somme dépasse 2 %, et qu'il en faut 27 de plus pour dépasser les 4 %. Pour que cette somme dépasse 10%, il faudra additionner 12 367 termes.
Et finalement, pour que cette somme dépasse le seuil des 100% demandé, eh bien, il en faudra environ 15 septillions de termes, c'est à dire que l'escargot devra avancer pendant 15 millions de milliards de milliards de milliards de milliards d'heures, ou, plus simplement, environ 15 ×1042 heures, c'est à dire 15 suivi de 42 autres chiffres (15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 101 449 859 497, pour être précis).
En gros, cela correspond à 120 milliards de milliards de milliards de fois l'âge de l'Univers.

En fait, quelle que soit la vitesse de l'escargot et quelle que soit la longueur que le géant ajoute à chaque étape, l'escargot finira par atteindre son but, même si ce temps est ridiculement grand.
Par exemple, si le géant augmentait à chaque heure la corde de 1 km au lieu de seulement 100 m, il faudrait à notre escargot environ 10343 heures pour atteindre son but.
Certains trouveront probablement à dire qu'un escargot ne peut pas vivre assez longtemps pour atteindre le bout de la corde. Mais dans le monde mathématique où il existe des hôtels avec une infinité de chambres et des troupeaux de bétail grands comme l'Univers, certains gastéropodes vivent particulièrement vieux. En fait, si il y a une chose à retenir de ce problème, c'est qu'il ne faut jamais sous-estimer la persévérance des escargots...

Posté par El Jj à 14:33 - Commentaires [2] - Permalien [#]
Tags : , , ,
08 février 2015

Deux minutes pour l'hôtel de Hilbert

Vignette

J'en avais déjà parlé sûr ce blog il y a bien longtemps, mais cette histoire d'hôtel possédant une infinité de chambre est vraiment parfaite pour aborder la notion d'infini (et s'il le faut, j'en ferai un nouvel article dans 7 ans...)

Transcription :
En 1891, Georg Cantor défraye la chronique en annonçant au monde entier que tous les infinis ne se valent pas : certains infinis seraient plus grands que d'autres.
Trente ans plus tard, David Hilbert propose lors d'une conférence sa métaphore de l’hôtel, qui permet de comprendre pourquoi l'idée de Cantor, même si elle semble paradoxale, n'a absolument rien de stupide. Ça tombe bien, j'ai environ deux minutes pour en parler.

Sur la merveilleuse planète des mathématiques, il existe quelque part un hôtel très particulier : le grand hôtel de Hilbert. Cet hôtel possède un nombre infini de chambres, numérotées 0, 1, 2, 3, etc.

Ce soir là, il est 19h, et chaque chambre est occupée. malheureusement, un nouveau client se présente à l'accueil, et désire à tout prix une chambre pour la nuit. Puisque l’hôtel est complet, la situation semble impossible, et pourtant...
Après deux minutes de réflexion, le gérant répond « pas de problème », et annonce via les hauts-parleurs de l'hôtel que chacun des clients doit changer de chambre.
Le client de la chambre n°0 doit se déplacer dans la chambre n°1, celui de la chambre n°1 ira dans la chambre n°2, celui de la chambre n°2 ira dans la chambre n°3, et ainsi de suite : le client de la chambre n°n doit se rendre dans la chambre n° n+1.
La chambre n°0 est donc maintenant libre, et le nouveau client pourra donc y loger.
On peut donc finalement dire que ∞ +1 = ∞.

Malheureusement, à 21h, ce n'est pas un nouveau client qui se présente à l'accueil, mais un bus complet qui comporte une infinité de touristes. Dans ce bus, chaque siège est numéroté 0, 1, 2, …, et chacun de ces touristes veut sa chambre. Pour le gérant de l’hôtel, ce n'est encore une fois pas un problème.
Après deux minutes de réflexion, il se saisit de son micro, et annonce aux clients de l’hôtel les nouvelles directives à suivre.
Le client de la chambre n°1 doit se déplacer dans la chambre n°2, celui de la chambre n°2 ira dans la chambre n°4, celui de la chambre n°3 ira dans la chambre n°6, et ainsi de suite : le client de la chambre n°n ira ainsi dans la chambre n°2n.
Suite à ces déplacements, les chambres numérotées par des nombres pairs sont occupées, tandis que les chambres numérotées par des nombres impairs sont maintenant libres. Le touriste de la place 0 pourra donc loger dans la chambre n°1, celui du siège n°1 ira dans la chambre n°3, celui du siège n°2 se rendra dans la chambre n°5, et ainsi de suite : le touriste du siège n°y ira dans la chambre n°2y+1.
Finalement, on vient de démontrer que ∞ + ∞ = ∞.

Le lendemain, alors que l'hôtel s'est vidé, c'est une infinité de bus contenant un nombre infini de clients qui se présentent. Les bus sont numérotés 0, 1, 2, 3, etc, et dans chaque car, les places sont numérotées 0, 1, 2, 3, etc.
Encore une fois, cela ne va poser aucun problème au gérant de l'hotel, mais les clients devront respecter ses consignes.
Dans un premier temps, le 1er client du 1er bus (c'est à dire, le client du bus n°0 et du siège n°0) ira dans la chambre n°0.
Dans un second temps, le 1er client restant dans chacun des deux premiers bus (c'est à dire, le client du bus n°0 siège n°1, et le client du bus n°1 siège n°0) iront dans les deux chambres suivantes (chambre n°1 et n°2).
Dans un troisième temps, on logera dans les trois chambres suivantes le 1er client restant dans chacun des trois premiers bus, et ainsi de suite. En suivant cette procédure, chaque client se verra assigner une chambre pour la nuit. On peut même être plus précis, et prouver que le client du bus x et de la place y sera logé dans la place n° x + ½ [(y+x)²+y+x]. Chaque client a sa chambre, et chaque chambre a son client.
On vient donc de prouver que ∞ × ∞ = ∞.

Le lendemain, l’hôtel s'est une nouvelle fois vidé, mais c'est un bus d'un tout autre type qui se présente à l'accueil : dans ce bus, les clients sont infiniment serrés, puisque les sièges sont numérotés non pas par les nombres entiers, mais par tous les nombres réels de l'intervalle [0,1]. On pourra donc parler de la place 0,5, de la place 1/3, de la place π – 3 ou de la place √2/2.
Cette-fois-ci, il y a vraiment un problème. On pourrait trouver un moyen de loger tous les clients dont le numéro du siège est un nombre décimal. On pourrait même loger ceux dont le siège est une fraction rationnelle. Mais cette foule-ci est trop dense : cet infini des nombres réels est strictement plus grand que celui des nombres entiers, et c'est à Cantor que l'on doit cette découverte.

Essayons quand même de voir ce qu'il se passerait si on trouvait un moyen de loger chacun de ces clients.
Par exemple,

  • la chambre 0 accueillera le client de la place 1/3
  • le chambre 1 accueille celui de la place π – 3
  • la chambre 2 accueille celui de la place √2/2
  • la chambre 3 accueille celui de la place 0,5

et ainsi de suite, où chaque chambre accueillera un client différent de façon à ce que chaque client soit pris en compte.
Et pourtant, même si on voulait loger tout le monde on va se heurter à un impossible : certains clients ne trouveront pas de chambre, quel que soit la façon dont on s'y prendra.
Pour le comprendre, on va fabriquer un exemple de nombre qui ne peut pas se trouver dans la liste.
Prenons la 1ere décimale du premier client, la deuxième décimale du deuxième, la troisième du troisième et ainsi de suite. Dans notre exemple, on obtient le nombre 0,3470...
Maintenant, transformons chaque chiffre du nombre ainsi obtenu : on transforme les 0 en 1, les 1 en 2, les 2 en 3, et ainsi de suite, en transformant les 9 en 0.
Dans l'exemple, on obtient le nombre 0,4581...
On peut alors affirmer que le client dont le siège porte ce numéro ne trouvera pas de place dans l’hôtel, puisque si sa chambre est la chambre n°n, alors la (n+1)-ième décimale posera forcément problème. Et ce client n'est qu'un exemple parmi l'infinité de clients qui ne trouveront pas de chambre.

Bref : l'infini des nombres réels est strictement plus grand que l'infini des nombres entiers

Une question qui a longtemps perturbé les mathématiciens est de savoir si il existe un infini intermédiaire qui serait strictement plus grand que l'infini des nombres entiers (noté ℵ0) et strictement plus petit que celui de l'infini des nombres réels (noté, 2ℵ0).
Cette question, appelée hypothèse du continue, a trouvé sa réponse en 1963, lorsque Paul Cohen annonce qu'en fait, chacun peut choisir si oui ou non, il veut de cet infini intermédiaire, et que ça ne changera de toutes façons rien au reste des mathématiques. Mais ça, c'est une autre histoire...

 

Posté par El Jj à 10:10 - Commentaires [13] - Permalien [#]
Tags : , , ,