Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

15 janvier 2012

[#] 2012 : le "jeu de l'année"

Défi : écrire tous les entiers de 1 à 100 en utilisant dans l'ordre les chiffres 2, 0, 1, 2 ainsi que les opérations algébriques classiques ?

En ce dimanche matin, je reprend l'idée de mathforum.org en vous proposant en français le "Jeu de l'année". Le principe du jeu reprends le principe de l'énigme des quatre quatres : écrire tous les entiers de 1 à 100 avec les chiffres de 2012 et les opérations mathématiques classiques.

Dans le détail, les règles sont les suivantes :

• Utiliser une fois (et une seule fois) les quatre chiffres 2, 0, 1 et 2. Dans l'ordre, c'est encore mieux !
• Utiliser les opérations mathématiques classiques : addition (+), soustraction/opposé (-), multiplication (×), division (/). On peut également utiliser les racines carrées (√), l'exponentiation (puissance) (^) et les factorielles (!), ainsi que les parenthèses/crochets.
• Il est permis de concaténer les chiffres de base entre eux (pour obtenir des nombres comme 20 ou 12), ou avec le point décimal (pour écrire les nombres .2, .01 ou 1.2).

Avec toutes ces règles, beaucoup de nombres restent inaccessible, d'où la nécessite d'ajouter plus de symboles. Ainsi, vous pouvez :

• Utiliser la double factorielle (n!!) : la double factorielle d'un nombre n est le produit de tous les entiers congrus à n modulo 2. Par exemple, 6!! = 6×4×2 = 48 et 5!! = 5×3×1 = 15.
• Utiliser la triple factorielle (n!!!) : même principe que la double factorielle, mais en ne gardant que les entiers congrus à 3 modulo n. En exemple, cela donne 7!!! = 7×4×1 = 28 et 8!!! = 8×5×2 = 80.
• Utiliser la n-ième factorielle (n!^k). Cependant, le nombre k doit être construit proprement.
• Utiliser les racines k-ième (^k√n), avec k construit proprement.
• Utiliser la fonction Gamma (Γ), défini sur les entiers par Γ(n)=(n-1)!
• Utiliser le développement décimal périodique des rationnels. Ainsi, on peut écrire .[2] pour écrire le nombre 0.2222... (=2/9) ou 2.0[1] pour le nombre 2.0111111... (=181/90).

Quelques remarques supplémentaires :

• Il est tout à fait légal d'imbriquer ses factorielles ou ses racines carrées (par exemple, (3!)! est permis).
• N'oublions pas que 0!=1.
• Le point décimal ou le développement décimal périodique ne s'utilise qu'avec les chiffres de base. Il est interdit d'écrire .(1+2) pour écrire .3. De même, .[0!] pour désigner le nombre .111... n'est pas autorisé.
• La fonction inverse n'est pas permise. On peut cependant utiliser le chiffre 1 pour écrire 1/n ou n^(-1). De la même façon, les fonctions "carré" ou "cube" ne sont pas autorisée, sauf en utilisant l'exponentiation pour écrire n^2 ou n^(1+2).
• Pas de fonction altérant l'intégrité des nombres ! Donc, pas de fonctions transcendantes (exp, cos, sin, tan, log, argcotanh, ...), ni de parties entières / parties fractionnaires.
• Dans un premier temps, on va éviter d'utiliser les fonctions combinatoires (nombres d'arrangements, de dérangements, de combinaisons avec/sans répétitions....) ou les fonctions arithmétiques (partage d'un entier,  etc.)

Il est maintenant l'heure de jouer ! Pour cela, il faut se munir d'un stylo, d'une feuille de papier et de suffisamment de temps (par exemple, dans le bus, dans la salle d'attente de son ophtalmo, pendant son cours de philo, pendant un exposé très long et très ennuyeux, ...), et de chercher activement comment diable on pourrait écrire le nombre 87, ainsi que tous les autres.

Pour ajouter un peu de piment, je propose un système de points, le but étant d'avoir le plus petit nombre de point. Pour rester dans l'esprit du problème original, certaines solutions sont meilleures que d'autre : il faut éviter de désordonner les chiffres ou de les concaténer. Dans la pratique, pour chaque nombre, on gagne des points pour :

• Utilisation de +, -, ×, /, √, ^ ou ! : 0 points.
• Utilisation du point décimal : 1 point par utilisation
• Utilisation de concaténation : 10 points.
• Chiffres désordonnés : 50 points.
• Utilisation de multifactorielles, de racine n-ième : 5 points par utilisation.
• Utilisation de développement décimal périodique, de la fonction gamma : 30 points par utilisation.
• Nombre non trouvé : 500 points.

Exemple avec le nombre 42 : On peut l'écrire :
42 = 21×2+0 rapporte 60 points, car les chiffres sont désordonnés (50 points), et le nombre 21 a été obtenu par concaténation (10 points).
42 = ((2+0!)!)!!-(1+2)! rapporte 5 points, dus à l'utilisation de la double factorielle.

Le score total étant la somme du score de chacun des 100 nombres à reconstituer.

 

Maintenant, c'est à vous de jouer !
A l'heure où je poste cet article, mon score est de 4782 (en comptant les 6 nombres non découverts), à vous de le battre et de faire moins !

 

01 janvier 2012

[#] 2011+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 03)

L'année 2012 est enfin arrivée ! On y croyait plus, et pourtant, elle est là ! Une bonne raison de souhaiter à tous les lecteurs de ce blog une très bonne année...

Oui, mais... Cette année 2012 sera-t-elle plus intéressante que l'année 2011 ? Comme tous les premiers dimanches de janvier, il faut se pencher sérieusement sur la question, avec le seul arbitre digne de confiance, l'OEIS (L'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), l'encyclopédie de toutes les suites de nombres entiers, de la suite des nombres premiers de Mersenne [A000668] jusqu'aux nombres composés dont la somme des facteurs est première [A046363]. Si un nombre donné possède une propriété intéressante, il sera dans l'encyclopédie !

Ainsi, le nombre 2010 apparaît dans 151 suites (11 de plus que l'année dernière, l'encyclopédie est en perpétuelle évolution).  Par exemple, 2010 est un nombre de la forme (n+1)(n+2)(n+3)(9n+4)/24 ([A051798]).
Le nombre 2011, quant à lui, ne possède pas moins de 349 propriétés (18 de plus), la plupart croisant sa primalité avec d'autres propriétés extravagantes. Par exemple, 2011 est le huitième plus petit nombre premier congru à 2 modulo 41 ([A142199]).

Et 2012, alors ? Plus de propriétés que 2011 ? Moins de propriétés que 2010 ? Accrochez vous à votre siège, la réponse ne sera pas agréable, car :

2012 ne possède que 101 propriétés intéressantes !

Pourquoi si peu de propriétés ? Faut-il commencer à déprimer maintenant ? Quel rapport avec le triple A ? Regardons dans le détail quelques propriétés intéressantes du nombre 2012 !

A005341 : La suite de Conway
Enigme : complétez la suite suivante :

1
11
21
1211
111221
...

Oui, bon, tout le monde la connaît, c'est la suite de Conway, où chaque ligne est la description de la ligne précédente. Il se trouve, par le plus grand des hasards, que le 27e terme de cette suite possède 2012 chiffres !

A161328 : la structure des tri-cure-dents
Bien que le nombre 2011 apparaisse dans une suite de structures en cure-dent, 2012 n'est pas en reste. L'objet de base de cette structure n'est plus le cure-dent, mais le tri-cure-dent, un trident formé par 3 segments (angle entre chaque dent : 60°) :

Structure des tri-cure-dents, étape 1 (1 trident)

Trois extrémités sont disponibles : l'étape 2 consiste donc à ajouter 3 nouveaux tri-cure-dents.

Structure des tri-cure-dents, étape 2 (4 tridents)

Cette fois-ci, il n'y a que 5 extrémités disponibles (et non 9). Pour chaque nouvelle étape, on ajoutera des tri-cure-dents aux places disponibles, sauf si les cure-dents venaient à se superposer.

Structure des tri-cure-dents, étape 3 (9 tridents), 4 (16 tridents) et 5 (29 tridents).

En continuant jusqu'à l'étape 42 cette structure, il nous faudra exactement 2012 tri-cure-dents !

A134970 : les nombres canyon
On appelle "nombre canyon" un nombre qui ressemble... à un canyon (une vallée profonde entre deux falaises). Autrement dit, c'est un nombre possédant le même premier et dernier chiffre, et ses chiffres intermédiaires sont rangés par ordre décroissant puis par ordre croissant. Le plus simple, c'est de regarder des exemples : 2012 et 32013 sont des nombres canyon :

 
Canyon (du catalan canyó) : vallée très encaissée résultant de l'érosion hydraulique.

Le 46ème plus petit nombre canyon (et le plus petit nombre canyon à 4 chiffres) n'est autre que le nombre 2012.

Fait intéressant : il n'y a que 116505 nombres canyons, le plus grand d'entre eux étant le nombre 9876543210123456789.

 

Mais 2012 a encore d'autres propriétés intéressantes. Par exemple :
- le carré du miroir de 2012 est égal au miroir de son carré (comme 2011, en fait) ([A035123]).
- le produit de 2012 et de son miroir est un palindrome : 2012 × 2102 = 4229224 (2011 vérifie la même propriété) ([A048344]).
- 2012, ainsi que 2013, 2014 et 2015, ont exactement 3 diviseurs ([A045940]).
- le nombre de chiffres de 2012! est un carré ([A006488]).
- 2012 possède un mois de février avec 5 mercredis ([A141039]) et 3 "vendredi 13" ([A190653]).

Et la santé !

 

25 décembre 2011

[#] Top 10 des mathématiques religieuses

Ça alors ! Je n'ai rien écrit sur ce blog depuis plus d'un mois !
Ça alors ! Aujourd'hui c'est Noël !

J'ai donc deux bonnes raisons de vous proposer en ce jour un nouveau top 10 sur ce blog. Et pour me racheter d'avoir proposé l'année dernière des tops 10 mathématiques sur la bouffe, sur les bestioles ou sur les voyages, voici aujourd'hui un récapitulatif du divin, du mystique, du pieux et du mythologique dans les mathématiques contemporaines !

Numéro 10 : La corne de Gabriel

La trompette de Gabriel (tronquée)

Le jour du jugement dernier, l'ange Gabriel soufflera dans sa corne (une corne quelconque, au détail près qu'elle est infiniment longue). Une fois pour faire peur tout le monde, puis une seconde fois pour montrer qu'il n'est pas là pour rigoler. Et après, il prendra des pots de peinture. Un premier pour remplir de peinture l'intérieur de sa corne ; puis un deuxième, pour en peindre l'extérieur. Et c'est là que l'ange Gabriel peut utiliser ses pouvoirs magiques : pour peindre l'extérieur de sa trompette infinie, il devra utiliser une infinité de peinture, mais n'utilisera pas plus d'un pot pour en remplir l'intérieur...

Au XVIIe siècle, avant même l'invention du calcul intégral, Evangelista Torricelli parvient à montrer qu'il est possible d'imaginer un solide infini possédant tout de même un volume fini. Un paradoxe en entraînant un autre, cet objet possède une surface infinie. Cet objet, c'est la corne de Gabriel (alias trompette de Torricelli), qui est la surface engendrée par la rotation autour de l'axe (Ox) de l'hyperbole d'équation y=1/x sur l'intervalle [1,+∞[ 

Numéro 9 : Le problème des bœufs d'Hélios

Tuer le bétail de Hélios : mauvaise idée.

Hélios, qui n'est autre que le Soleil de la mythologie grecque, possède des troupeaux de taureaux sur l'île de Trinacrie (troupeau qui sera abattu par les hommes d'Ulysse lors de ses pérégrinations). Le nombre de taureaux blancs est égal au nombre de taureaux bruns plus 5/6 du nombre de taureaux noirs. Le nombre de taureaux noirs est égal au nombre de taureaux bruns plus 5/6 du nombre de taureaux gris. Le nombre de taureaux gris est égal au nombre de taureaux bruns plus 13/42 du nombre de taureaux blancs. Le nombre de vaches blanches est égal aux 7/12 du nombre d'animaux noirs. Le nombre de vaches noires est égal aux 9/20 du nombre d'animaux gris. Le nombre de vaches grises est égal aux 11/30 du nombre d'animaux bruns. Le nombre de vaches brunes est égal aux 13/42 du nombre d'animaux blancs. Mézalors, combien Hélios a-t-il de bêtes ?
Ah, j'oubliais deux détails supplémentaires : en ajoutant le nombre de taureaux blancs et noirs, on trouve un carré parfait ; en additionnant le nombre de taureaux gris et bruns, on trouve un nombre triangulaire...

Débrouillez-vous avec ça !

Ce problème (à l'origine, un poème écrit par Archimède mettant au défi la sagacité de ses lecteurs), a été redécouvert au XVIIIe siècle dans le fin fond d'une bibliothèque. Il est peu vraisemblable que les mathématiciens antiques aient réussi à le résoudre, étant donné la taille des nombres entrant en jeu dans les équations. La première solution exacte ne sera pas publiée avant 1880.

Le problème met donc en jeu des équations diophantiennes (les solutions sont des nombres entiers). Avec un peu de patience, mais sans grande difficulté, on peut trouver que le nombre d'animaux est un multiple de 50 389 082. Il faut beaucoup plus de patience pour s'attaquer aux deux autres hypothèses (l'histoire du carré parfait et du nombre triangulaire), puisqu'il faut utiliser des résultats d'arithmétiques plus compliqués. La solution exacte apparaît alors : Hélios possède donc (au moins) 7.76×10²⁰⁶⁵⁴⁴ têtes de bétail (qui est donc un nombre à plus de 200 000 chiffres. A titre de comparaison, on estime à 10⁸⁵ le nombre de particules dans l'Univers visible). La réponse a de quoi étonner, les nombres de l'énoncé n'étant pas si terribles que ça !

Numéro 8 : Le théorème de la chaussette de Noël

Si avec ça, le Père Noël ne passe pas chez moi, je ne comprends plus rien...

Parfois, il suffit de peu pour baptiser une propriété mathématique. Le théorème de la chaussette de Noël (alias théorème de la crosse de Hockey) en est un exemple... Il indique que, dans un triangle de Pascal (une pyramide où chaque brique est la somme des deux briques qu'elle soutient), lorsque l'on somme les premiers k premiers éléments d'une diagonale, le nombre que l'on trouve est celui du pied de la diagonale (le k-ième terme de la diagonale suivante).

Le nom du théorème vient de la ressemblance frappante entre la chaussettes que l'on laisse sur le bord de la cheminée et les cases que l'on colore dans le triangle de Pascal pour faire apparaître la relation :

Numéro 7 : Le problème de l'ange

Un ange, un démon, un échiquier infini : le combat entre le bien et le mal peut commencer !

Le problème de l'ange, casse-tête que l'on doit à Conway, met en scène un ange cherchant à fuir la fureur d'un démon vengeur. Tout ceci se déroule sur un échiquier infini, sur lequel l'ange se déplace comme le roi d'un jeu d'échec (un pas dans l'une des huit directions possibles). Dès que l'ange fait un pas, le démon détruit une case de son choix, n'importe laquelle, sauf celle où l'ange se trouve. Si l'ange se déplace intelligemment, parviendra-t-il toujours à s'échapper ? Si le démon détruit les bonnes cases au bon moment, pourra-t-il toujours enfermer l'ange ?... Il y aura forcément un gagnant, mais lequel ?

Le cas de l'ange de force 1 n'est pas si difficile que ça à résoudre. Mais qu'en est-il d'un ange de force n, qui se déplace de n pas avant que le démon ne détruise une nouvelle case ?

Le cas n=1 a vite été résolu par Conway (en 1982) : face à un démon très malin, il finira toujours par se faire enfermer. La solution implique de créer un enclos 35×35. Pour les anges plus forts, le problème est resté ouvert plus longtemps. Conway a même mis à prix son problème : 100$ pour le premier à montrer qu'un ange suffisamment fort peut toujours gagner, 1000$ pour celui qui montre que le démon peut toujours gagner contre un ange suffisamment fort.

Ce n'est qu'en 2006 que la résolution du problème (dans sa forme généralisée) apparaît, lorsque Brian Bowditch montre que l'ange de force 4 finit toujours par s'échapper. Un an plus tard, András Máthé donne la réponse attendue depuis les années 80 : oui, l'ange de force 2 peut toujours s'échapper. Le bien a gagné !

Numéro 6 : Le nombre de la bête

Le nombre de la bête est 666, et c'est comme ça.

On ne peut pas passer à côté du nombre mystique par excellence : le chiffre (sic) de la Bête. Trois 6 accolés forment donc LE nombre diabolique, le nombre 666 (surtout depuis qu'il est cité dans la plupart des traductions de l'Apocalypse de Jean).

Du coup, de nombreux concepts de numérologie en découlent :
- les nombres de l'apocalypse : un nombre qui s'écrit avec 666 chiffres (par exemple, le 3184 terme de la suite de Fibonacci).
- les nombres diaboliques : un nombre dont la somme des n premières décimales est 666. Par exemple, pi est diabolique, car la somme de ses 144 premières décimales fait 666. De la même façon, le nombre d'or ou √6 sont diaboliques. Encore plus fort : les nombres cos(666), √√√666, 666^√666, π⁶⁶⁶ ou 666^1/666 sont diaboliques !...
- les nombres apocalyptiques : une puissance de 2 qui contient la suite de chiffres 666. Les plus petits nombres apocalyptiques sont  2¹⁵⁷ et 2¹⁹².
- le nombre de Legion : celui qui vaut 666⁶⁶⁶, et qui s'écrit donc avec 1881 chiffres.
- le nombre de Leviathan : celui qui vaut (10⁶⁶⁶ )! (où ! désigne la factorielle). C'est donc un nombre qui s'écrit avec approximativement 6.656×10⁶⁶⁸ ...

Numéro 5 : L'escalier du diable

Le diable ne se contente pas d'un escalier classique...

Restons dans le satanisme, avec l'escalier du diable (aussi connu sous le nom d'escalier de Cantor). En quoi cette courbe est plus diabolique que n'importe quelle autre ? Eh bien, c'est simple : d'habitude, une fonction continue dont la dérivée vaut zéro partout (donc, aucun accroissement) est une fonction constante. La fonction du diable (représentée par cette courbe en escalier) est une fonction continue dont la dérivée est nulle presque partout -nulle partout, sauf éventuellement en un négligeable de points - mais qui n'a rien de constante (puisqu'elle est quand même parfaitement croissante). Elle ne remet heureusement pas en cause le théorème, puisqu'il faudrait que sa dérivée soit nulle vraiment partout, ce qui n'est pas le cas aussi.

Numéro 4 : L'hexagramme mystique de Pascal

Mystique, non ?...

Placez six points sur un cercle (ou sur n'importe quel autre conique, comme une ellipse, une parabole ou une hyperbole), et reliez ces points. Vous obtenez alors un hexagone. Fait intéressant : les 3 points formés par l'intersection des côtés opposés de cet hexagone sont alignés ! C'est ainsi que s'énonce le théorème de Pascal (alias, théorème de l'hexagramme mystique).

Bien sûr, le théorème marche quand l'hexagone n'est pas croisé (les points d'intersection sont alors à l'extérieur de la conique), mais fonctionne aussi avec un hexagone croisé. Un hexagramme, en fait. Lorsque Blaise Pascal a découvert à l'âge de 16 ans ce théorème grâce à la figure de l'hexagramme, il l'aurait qualifié de "mystique". Le nom est resté !

Notons que le théorème de Pascal fonctionne toujours lorsque la conique est dégénérée (et qu'elle est un couple de droite). Même que c'est le théorème de Pappus.

Numéro 3 : Le théorème de l'étoile de David

Vous aurez reconnu, au travers de cette étoile de David, une partie du triangle de Pascal (avec ses colonnes et ses lignes inversées). Le théorème de l'étoile de David, découvert en 1972 par H.W. Gould, énonce donc une étonnante propriété du triangle de Pascal : le PGCD des sommets d'un des triangles est égal au PGCD des sommets de l'autre. Autrement dit :

Le théorème peut même se généraliser à une étoile plus grande, mais ça devient tordu...

Numéro 2 : Le nombre de Dieu

Le nombre de Dieu est 20. Pas plus.

Que fait Dieu lorsqu'on lui donne un Rubik's Cube à résoudre ? Eh bien, il le fait au plus vite, et passe à autre chose. L'algorithme qu'il utilise est le plus puissant de tous : c'est l'algorithme de Dieu. Pour chacune des 252 003 274 489 856 000 positions possibles du cube, cet algorithme donne la suite des mouvements à effectuer pour le ramener au plus vite en position initiale. Fait intéressant : il ne faut jamais plus de 20 mouvements pour résoudre un cube de Rubik. Ce nombre, 20, est appelé nombre de Dieu.

Ce théorème ("le diamètre du graphe du Rubik's Cube est 20") est plutôt récent, puisqu'il ne date que de juillet 2010 ! Pour le déterminer, l'équipe de mathématiciens qui s'y est collé a utilisé la force de calcul des ordinateurs de Google pour déterminer ce résultat en quelques minutes (après de longue nuits à réfléchir à la simplification du problème : partition des configurations de départ, suppression des symétries, optimisation de l'algorithme...).

Le dieu du cube

Numéro 1 : La proportion divine

Dans tout dodécaèdre régulier sommeille le nombre d'or...

La première place de ce top n'est pas du tout méritée, puisqu'elle revient au nombre d'or, baptisée "proportion divine" à la Renaissance par Luca Pacioli. C'est donc dans le livre du moine franciscain De divina proportione que l'on retrouve pour la première fois un lien entre l'antique problème "du partage d'un segment en moyenne et extrême raison" et de la perfection d'un rapport qui "concorde avec les attributs qui appartiennent à Dieu". Le nombre d'or perdra progressivement son caractère divin pour devenir au XIXe siècle un incontournable de l'esthétisme...

Le plus doré de tous les nombres

J'aurais également pu parler de la croix de Saint-André, plus connue sous le nom de "croix de la multiplication", ou de la courbe du diable, une quartique ressemblant vaguement à un diabolo...

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Sources :
10 - Illustration : Gabriel Horn
9 - Le problème des boeufs d'Hélios sur wikipédia
Illustration : Les Compagnons d’Ulysse volant le bétail d’Hélios, par Pellegrino Tibaldi
7 - Le problème de l'ange, et ses solutions, PLS n°354, avril 2007
Illustration : Jacob Wrestling with the Angel, par Gustave Doré
6 - Illustration : The Number of the Beast is 666, par William Blake
5 - Illustration : Cantor function
3 - Le théorème de l'étoile de David et ses généralisations, sur Mathworld
2 - Illustration : Rubik's Cube
1 - Illustration : Dodécaèdre de Platon

20 novembre 2011

[#] Miction impossible

Les mathématiciens traitent de sujet grave, comme lorsqu'ils s'interrogent sur les bornes inférieures et supérieures de la première valeur propre d'un opérateur de diffusion non-locales (1). Les mathématiciens s'occupent de sujets difficiles, comme celui du théorème de Schur-Horn pour les opérateurs à spectre fini (1). Mais les mathématiciens s'occupent surtout de sujets fondamentaux, comme celui du meilleur choix possible dans une rangée d'urinoirs (2).
Oui, ça faisait longtemps que ce blog n'avait pas eu de nouveau billet. Surtout que je me contente aujourd'hui de reprendre la dernière entrée de chez Globule et télescope. Mais n'oublions pas que ce 19 novembre, c'était la journée mondiale des toilettes, et que ce genre d'événement n'arrive qu'une seule fois dans l'année.

C'est donc avec le plus grand sérieux que deux mathématiciens (l'un canadien, l'autre américain), ont mis à profit leur génie pour répondre à la question suivante :

Étant donné une rangée d'urinoirs, lequel faut-il choisir pour maximiser le maintient de son intimité ?

Autrement dit, quel urinoir choisir pour minimiser la probabilité que quelqu’un choisisse l'urinoir d'à-côté ? Evangelos Kranakis et Danny Krizanc proposent, dans un papier de 12 pages, plusieurs éléments de réponses.

Considérons donc des toilettes classiques : une seule rangée de n urinoirs, la porte d'entrée d'un côté, le mur de l'autre. La situation est la suivante : vous êtes le premier à entrer dans ces toilettes pour un besoin pressant. On suppose également que les urinoirs sont propres. Alors, quel urinoir choisir pour une miction pérenne ?

21 urinoirs, un seul bon choix... Lequel ?!

L'instinct indique que le meilleur choix possible est l'urinoir le plus éloigné de la porte. Ainsi, si quelqu’un d'autre passe la porte des WC messieurs, il devrait choisir l'urinoir opposé, vous permettant de finir tranquillou ce que vous avez si bien commencé. Mais pour en être vraiment sûr, il faut modéliser le problème !

Dans ce modèle, nous considérerons que tout homme a ses besoins d'intimité. A moins d'y être obligé, aucun homme ne cherchera à être voisin d'un urinoir occupé. Si il y est contraint, on dira que les toilettes sont "saturées". Votre choix est primordial : il faut maximiser le temps avant la saturation ! On dit qu'un urinoir est "privé" si les deux urinoirs d'à côté sont libres.

Premier modèle : l'homme est paresseux
Pour ce premier modèle, on suppose qu'un homme entrant dans les toilettes prendra le premier urinoir privé disponible, celui le plus proche de la porte. Si le nombre n d'urinoir est pair, la configuration saturée est celle où la moitié des urinoirs sont occupés (n/2 urinoirs occupés : ceux de rang impair). Remarquons alors que le choix de l'urinoir que vous ferez (qu'il soit de rang pair ou impair) n'aura aucune incidence sur le temps de saturation.

Exemple avec 10 urinoirs : que vous choisissiez le septième ou le huitième, seule 4 personnes pourrons venir avant que les toilettes soient saturées.

Dans le cas où le nombre n d'urinoirs est impair, il ne faut impérativement choisir un urinoir de rang impair. Dans ce cas, la saturation arrivera à (n+1)/2 urinoirs occupés, au lieu de (n-1)/2 !

Exemple avec 9 urinoirs : si vous choisissiez le septième, 4 personnes pourrons venir avant que les toilettes soient saturées, elles satureront au bout de 3 si vous choisissez le sixième.

Remarquons que, une fois que les toilettes sont saturées, les nouveaux arriveront choisiront au hasard l'un des urinoirs disponibles. Pour minimiser la probabilité d'avoir un voisin de courtoisie, le mieux est de minimiser le nombre d'urinoirs voisins libres. Le meilleur choix est donc de prendre un des emplacements extrême (un seul voisin possible). Résumons ceci par des équations : si vous choisissez l'urinoir 1 ou n, le temps moyen avant d'être dérangé sera proportionnel à

et si vous choisissez un autre urinoir, le temps d'attente sera proportionnel à

Le choix est donc vite fait : les urinoirs extrémaux sont les plus sûrs !

Deuxième modèle : l'homme est pudique
Dans ce deuxième modèle, le nouvel entrant ne cherche pas à prendre le premier urinoir privé qu'il rencontre, mais cherche à maximiser la distance qui le sépare de l'homme le plus proche. Si plusieurs urinoirs maximisent la distance de sécurité, le choix est fait au hasard.

Remarquons que, quel que soit le choix que vous ferez, le prochain homme qui entrera choisira un urinoir extrémal. Appellons A(n,i) le nombre d'hommes pouvant entrer dans les toilettes avant qu'elles ne soient saturées si il y a n urinoirs et que vous choisissez le i-ème. Pour des raisons de symétrie, ce nombre est défini sans ambiguïtés.

Par exemple, pour 12 urinoirs, si vous choisissez le premier, 4 autres individus pourront venir alors que si vous choisissez le troisième, vous pourrez accueillir un homme en plus.

Expérimentalement, on peut calculer quelques valeurs de A. Ici, on voir queA(12,1)=A(12,2)=5, alors que A(12,3)=A(12,4)=6.

Avec un peu de méthode, on peut trouver l'expression de A(n,i) :

Ici, B(n) correspond au nombre d'homme nécéssaire pour saturer une rangée de n urinoirs lorsque les deux urinoirs extrémaux sont occupés.

La fonction B peut être explicitée (avec plein de logarithmes et de parties entires), mais il n'y a pas de formule donnant le i qui maximise A(n,i). Un détail : choisir un urinoir extrémal ne que rarement le choix optimal. Du coup, pour choisir le meilleur emplacement, il faut venir aux toilettes avec un ordinateur...

Allez, je suis beau joueur, je vous donne les meilleurs spots pour les plus petites toilettes (les petites valeurs de n) :

Tableau récapitulatif des meilleurs emplacements

Troisième modèle : l'homme est bourré
On peut également expérimenter un troisième modèle : un homme qui entre dans les toilettes cherche simplement un urinoir sans voisins, rien de plus. Son choix se fera uniformément parmi les urinoirs privés disponibles. Si aucun urinoir privé n'est disponible, il en choisira un au hasard parmi ceux restant.

Dans ce troisième modèle, les calculs sont un peu plus complexes, mais la conclusion est la même que pour le premier modèle : le meilleur choix est le choix de l'urinoir extrémal !

De nombreuses variantes peuvent être apportées au problème initial. On peut, par exemple, introduire la notion d'urinoir "semi-privé" (seulement 1 voisin) : à choisir, un homme préfère avoir un voisin plutôt que deux ! Il faut également réfléchir au cas où vous n'êtes pas le premier à entrer dans les toilettes (situation initiale non vide), au temps que l'on passe à uriner (situation dynamique), au cas où les hommes font pipi sur un mur plutôt que dans des urinoirs (situation continue), au cas où plusieurs rangées sont disponibles (plusieurs dimensions). Le sujet est vaste !

Le problème de l'urinoir est encore sur bien des points une question ouverte, et terriblement d'actualité !

Et la semaine prochaine, je ne parlerai pas du problème du papier toilette (3), de Donald Knuth...

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Notes de bas de page :
(1) Papier pris au hasard sur arXiv : Lower and upper bounds for the first eigenvalue of nonlocal diffusion problems in the whole space et The Schur-Horn theorem for operators with finite spectrum.
(2) The Urinal Problem, par Evangelos Kranakis and Danny Krizanc
(3) The toilet paper problem, par Donald Knuth
(*) Illustration des toilettes : Norbert Nagel

25 octobre 2011

[#] La rocambolesque histoire de l'équation quintique

Il a vécu moins longtemps que James Dean, et pourtant, il aura eu le temps de rater deux fois l'entrée à Polytechnique (une sombre histoire de chiffon jeté à la tête de l'examinateur), de faire de la prison et de révolutionner l'histoire de l'algèbre avec des travaux qui auront été perdus par Cauchy (1830), snobés par Poisson (1830) et retrouvés par hasard par Liouville (1843). Lui, c'est Évariste Galois, le mathématicien le plus romantique de l'histoire de France. S'il n'avait pas bêtement accepté en 1832 un duel perdu d'avance pour défendre son honneur aux yeux d'une "infâme coquette", il aurait fêté ses 200 ans... aujourd'hui !

2011, c'est donc l'année Évariste Galois, il est donc temps de parler de ces histoires d'équations polynomiales résolubles par radicaux (attention : cet article ne parlera pas de groupes, et encore moins de groupes de Galois).

Soyons précis dans les termes :
- équation : le problème mathématique dans sa forme la plus pure : une (des) inconnue(s), une (des) (in)égalité(s) et du temps devant soi.
- polynôme : une somme de monômes, un monôme étant le produit d'un nombre par une puissance de l'inconnue... Bref, un polynôme, c'est un truc comme x²-63x+882 (degré 2) ou comme x³-39x²-124x-84 (degré 3)...
- équation polynomiale : le mélange des deux, un problème du grenre "résoudre x²-63x+882=0" ou "résoudre x³-39x²-124x-84=0".
- résoluble par radicaux : une équation polynomiale est résoluble par radicaux si la solution peut être donnée par une formule faisant intervenir seulement les opérations de bases (addition, soustraction, multiplication, division, racines). On ne veut pas d'exponentielles ou de trucs qui font intervenir l'infini, mais on veut des solutions exactes.

Deuxième degré
La difficulté d'un problème polynomial vient de son degré (la plus grande puissance de l'inconnu).
Les problèmes de degré 1 (du genre ax+b=0) sont au programme du collège, et se résolvent sans difficulté en isolant l'inconnue.
Les problèmes de degré 2 (du genre ax²+bx+c=0), eux, sont réservés au lycéens. Pour les résoudre, on applique bêtement la formule x = [-b±√(b²-4ac)]/2a.

Les problèmes polynomiaux existent depuis la nuit des temps, et apparaissent par exemple dans des problèmes de partage de terre. Du coup, les méthodes pour les résoudre existent depuis tout autant de temps.
Si on cherche du côté des mathématiques babyloniennes (2000 ans av J.-C.), on retrouve déjà des problèmes de degré 2. Pour résoudre un problème comme "11x+2x²=21", pas d'utilisation de formules toutes faites (de toute façon, les formules n'avaient pas encore été inventées), mais de recettes concotées par les sages : "Tu poses 11 et 2, tu multiplies 2 par 21, tu fractionnes en deux 11, tu multiplies le résultat par le résultat, etc.". L'esprit de la formule donnant la solution des équations polynomiales de degré 2 était déjà là.

Troisième degré
Bref : les problèmes de degré 2 ("problèmes quadratiques") se résolvent facilement, mais ceux de degré 3 (les "problèmes cubiques") ? On peut parler de Omar Khayyam qui résolvait graphiquement les problèmes du genre x³+px=pq par intersection de coniques, mais solution approchée n'est pas solution exacte.

 

La solution de x³+px=pq est à l'intersection du cercle d'équation x²+y²=qx et de la parabole d'équation x²=py

Des formules permettant de résoudre les équations polynomiales apparaissent en fait pour la première fois en 1545, dans l'Ars Magna de Jérôme Cardan (en V.O., Girolamo Cardano) : les formules de Cardan. Pour résoudre l'équation x³+px+q=0, on regarde le signe du discriminant Δ=q²+4p³/27. Dans le cas positif, l'unique solution réelle de l'équation est donnée par :

Les solutions dans le cas Δ négatif, les solutions complexes et les solutions de l'équation générale ax³+bx²+cx+d=0 ne sont qu'une variation de cette formule. Dans le cas Δ négatif, l'équation a trois solutions réelles, mais la formule oblige a utiliser des abominations comme √-1, ce qui a marqué la naissance des nombres complexes.

Bien que les formules portent le nom de Cardan, on ne peut pas vraiment dire qu'il les mérite. La vérité est toute autre.
Tout commence avec Scipione del ferro, prof de maths à l'université de Bologne au début du XVIe siècle, qui découvre un beau jour une formule permettant de résoudre les problèmes x³=px+q et x³+q=px (deux problèmes très différents, puisque les nombres négatifs n'existent pas encore). Histoire de ne pas détruire les concours annuels de résolution de problèmes de degré 3, il préfère ne pas publier ses trouvailles. Il transmet tout de même son savoir à deux personnes : son gendre (Hannial Nave) et un de ses étudiants (Anton del Fiore) (bien que personne ne sache vraiment dans quelles conditions la formule a été transmise).
Del Fiore profite alors de sa formule secrète pour lancer des défis mathématiques à ses confrères mathématiciens (les défis ressemblent à "cap ou pas cap de résoudre  x³=px+q"). En 1531, Niccolo Fontana (aka Tartaglia, "le bègue") relève le grand défi : résoudre en moins de 40 jours une liste de 30 équations cubiques, récompense à la clé. Après avoir perdu beaucoup de temps à chercher à tâtons les solutions, il finit par découvrir de lui-même la formule secrète, et expédie en quelques heures les 30 problèmes de Fior. Par honneur, Tartaglia refuse la récompense (30 banquets), mais ne révèle pas la formule secrète (pas fou, il pourrait gagner encore beaucoup de défis mathématiques).
Pendant ce temps, Cardan, prof de médecine, observe de loin le défi entre Del Fiore et Tartaglia. Voulant en savoir plus, il contacte Tartaglia pour connaître son secret, qui lui demande gentiment de se mêler de ce qui lui regarde. Cardan insiste alors, et finit par obtenir de Tartaglia la formule en question (transmise sous la forme d'un poème) en échange d'une lettre de recommandation auprès du marquis (qui lui sera totalement inutile). Il promet toutefois de ne la divulguer à personne... promesse qu'il tiendra jusqu'en 1545, date de publication de l'Ars Magna (il délie sa promesse en découvrant que Tartaglia n'était même pas le premier à trouver cette formule). La formule devient alors "formule de Cardan", et il récolte toute la gloire. Tartaglia a bien tenté de faire éclater le scandale, mais sans jamais vraiment être pris au sérieux (faut-il rappeler que Tartaglia signifie "bègue" ?...).

Quatrième degré
Une formule pour les équations de degré 4 (équation quartique) est rapidement découverte par Ludovico Ferrari (élève de Cardan). Ainsi, pour résoudre une équation quartique de la forme x⁴+px²+qx+r=0, on cherche les trois solutions z₁, z₂ et z₃ de l'équation cubique z³+2pz²+(p²-4r)z-q², les quatre solutions sont alors :

Petite ambiguïté : ici, √z_i est l'un des deux nombres dont le carré est z_i. Il y en a deux, et l'un des deux ne fonctionnera pas...

La moralité de tout ça, c'est que n'importe quelle équation polynomiale de degré 2, 3 ou 4 admet des solutions (réelles ou complexes) que l'on peut écrire avec les opérations de bases de l'algèbre. On dit que ces polynômes sont résolubles (par radicaux).

Rien ne dit cependant que les équations seront faciles à résoudre. Par exemple, la plus petite solution réelle de l'équation x⁴-10x+5=0, qui vaut environ 0.5, vaut en fait ceci.

Cinquième degré
Et les équations quintiques, celles de la forme ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0, sont-elles résolubles ? Puisque les équations de degrés plus petits le sont, pourquoi pas elles aussi ? Surtout que certaines équations comme x⁵-a=0 peuvent être résolues sans aucune difficulté.

Oui, mais pas toutes, et c'est l'objet du théorème d'Abel-Ruffini (1828) : la solution de certaines équations de degré 5 ne peut s'écrire facilement. Ainsi, on peut facilement vérifier graphiquement que l'équation x⁵-10x+5=0 admet une solution proche de 0.503, mais il est rigoureusement impossible d'écrire ce nombre en utilisant seulement des symboles standards de l'algèbre !

L'histoire de l'impossibilité de résoudre une équation quintique est elle aussi pleine de rebondissements. Elle commence avec Lagrange au XVIIIe siècle, qui commence à émettre quelques doutes sur l'existence d'une formule pour le degré 5. En 1799, Paolo Ruffini (1802-1829) (encore un italien) se plonge dans les travaux de Lagrange, et termine ce qu'il a commencé. La réception critique de son livre fut loin d'être dithyrambique : au mieux, son travail a été considéré comme anecdotique... Niels Abel, mathématicien norvégien, tente de percer là où Ruffini a échoué, en écrivant en 1824 une preuve un peu plus détaillée de ce que l'on appellera plus tard le théorème d'Abel-Ruffini. La réception critique sera la même, il a par exemple été brillamment ignoré par Gauss (qui n'a même pas pris la peine d'ouvrir son courrier). Abel ne sera reconnu qu'en 1830, quand Cauchy retrouve par hasard le manuscrit d'Abel, un an après sa mort due à la tuberculose...
Il faut tout de même avouer que, à l'époque, il importait plus de calculer ces racines de manière précise que d'en avoir une formule exacte et inutilisable...
C'est là que Evariste Galois (1811-1832) intervient, pour boucher les derniers trous du théorème d'Abel, en donnant les méthodes permettant de savoir si un polynôme est résoluble ou non. L’accueil de ses travaux est semblable a celui de ses prédécesseurs : complètement incompris.

Heureusement, Liouville retrouvera par hasard les notes de Galois, et la success story de Galois commence enfin, puisqu'il est aujourd'hui considéré comme l'un des pères de l'algèbre moderne, comme la figure du génie incompris mort beaucoup trop tôt et comme le symbole du beau gosse prêt à mourir pour prouver son amour.

Cette histoire a donc plusieurs morales :
- quand on est un mathématicien bègue et prétentieux, ne pas faire confiance à des types qui disent connaître le marquis.
- quand on est un mathématicien incompris, faire attention aux épidémies de tuberculose.
- quand on est un mathématicien incompris et prétentieux, ne pas s’amouracher de n'importe qui.
- quand on est un lycéen, ne pas utiliser le théorème d'Abel pour légitimer le fait de ne pas avoir fait ses exercices ("Mais, m'sieur, de toute façon, le théorème d'Abel dit que vos exercices sont trop durs !").

09 octobre 2011

[#] J'ai toujours rêvé d'être acarreleur

L'Académie royale des sciences de Suède n'a toujours pas décerné de prix Nobel en mathématiques. Par contre, le prix Nobel de chimie a été remis à l’Israélien Daniel Shechtman pour sa découverte des quasi-cristaux en 1982. Pour moi qui ai toujours rêvé d'être carreleur, c'est l'occasion où jamais de reparler de pavages.

Pavages périodiques
Dans un cristal, les atomes sont bien rangés, et suivent des motifs simples. Ce rangement est périodique : c'est la même maille (le même motif) qui est répété dans l'ensemble du matériau. Pour cela, ce motif doit suivre certaines règles : des règles de symétries. Alors, les motifs aptes à paver le plan doivent présenter des symétries d'ordre 2, 3, 4 ou 6 (l'ordre d'une symétrie est le nombre de fois qu'il faut la répéter pour revenir au point de départ). Les motifs à symétries d'ordre 5, 7 ou plus sont priées d'aller voir ailleurs.

Par exemple, on peut paver le plan avec des rectangles (symétrie d'ordre 2), des triangles équilatéraux (d'ordre 3), des carrés (d'ordre 4) ou des hexagones (d'ordre 6). Avec des pentagones (ordre 5), c'est totalement impossible).

 Paver le plan avec des triangles, des carrés ou des hexagones : c'est possible !

Les cristaux, c'est la même chose en 3 dimensions : il est impossible de trouver des symétries d'ordre 5 ou d'ordre 10.

Pavages quasi-périodiques
Mais ça, c'était avant le drame, avant le matin du 8 avril 1982. C'était un jeudi. Daniel Shechtman, de l'Institut israélien de technologie, s'amuse à diffracter des électrons à travers un alliage d'aluminium et de manganèse (les chimistes font souvent ce genre de choses pour comprendre l'arrangement des atomes), et découvre que celui-ci présente une symétrie d'ordre 10 ! "Impossible", se dit-il. Il en parle alors à ses collègues qui lui disent également qu'il a dû se tromper quelque part. Après quelques années, ses résultats ont finalement été pris au sérieux, et des collègues chimistes lui ont avoué qu'ils avaient déjà découvert des symétries d'ordre impossible dans des cristaux, mais qu'ils avaient préféré conclure à une erreur expérimentale.

C'est ainsi que les quasi-cristaux (cristaux quasi-périodiques) ont été découverts.

En fait, les bases théoriques des quasi-cristaux existaient déjà dans la littérature mathématique depuis les années 70, avec les pavages quasi-périodiques. Bien que définis rigoureusement, ceux-ci ne présentent aucune périodicité, contrairement aux 17 types de pavages périodiques (stables selon plusieurs translations). Le plus célèbre pavage pseudo-périodique est le pavage de Penrose.

Petite parenthèse : la cristallographie mathématique regorge de termes aux sens plus ou moins proches comme les pavages "apériodiques", "non-périodiques", "pseudo-périodiques". Ne comptez pas sur moi pour vous l'expliquer ici, ce n'est pas l'endroit pour ça.

En 1977, donc, Roger Penrose, physicien anglais, découvre que l'on peut paver le plan avec un couple de motifs, les "tuiles de Penrose". Avec les tuiles "cerf-volant" et les tuiles "flèche", on peut, en suivant scrupuleusement le mode d'emploi, remplir l'espace de motifs transpirant le nombre d'or (comme tout ce qui présente des symétries d'ordre 5).

La tuile "cerf-volant" et la tuile "flèche", construites à partir du nombre d'or.

Pour cela, on part de la figure du Soleil (un décagone régulier formé par 5 cerf-volants), et on applique pour chaque pièce les transformations suivantes :

Les deux transformations de Penrose

En réitérant le processus, on obtient un pavage de plus en plus complexe. Après 5 étapes, on retrouve le motif du Soleil.

Les cinq premières étapes d'un pavage de Penrose

Avec une homothétie, on peut alors revenir à la configuration du départ et donc, paver le plan.

Le pavage de Penrose est vraiment très joli.

Le pavage de Penrose est typiquement le genre de configuration qui donne à un cristal une structure possédant une symétrie d'ordre 5...

Pavages apériodiques
En fait, le pavage cerf-volant + flèche n'est que le deuxième des trois pavages de Penrose. Quelques années plus tôt, il avait déjà trouvé  que l'on pouvait paver le plan avec 4 tuiles : des pentagones réguliers, des pentagrammes réguliers (étoile à 5 branches), des "bateaux" (3/5 d'un pentagramme) et des losanges. Le résultat est lui aussi très joli (et très apériodique) :

Le pavage de Penrose de type 1 est vraiment très joli.

Je dois également évoquer le pavage de Penrose de type 3, mélangeant deux types de losanges :

Le pavage de type 3 de Penrose est lui aussi très joli.

Et histoire de finir en beauté, le pavage pinwheel (lui aussi, pas du tout périodique) de John Conway (encore lui). Il est construit à partir d'une unique tuile rectangle (rectangle droit de côtés 1, 2 et √5) que l'on retrouve dans un nombre infini de directions différentes. Et pourtant, il est parfaitement défini, sans aucune ambiguïté (pas de recours au hasard, par exemple).

Le pavage pinwheel est lui aussi très... intéressant !

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Sources :
Pavages périodiques, Vincent Pilaud, où j'ai récupéré l'illustration des premières étapes du pavage de Penrose
Pour le reste, wikipédia a bien bossé (ici la liste de tous les pavages apériodiques)

02 octobre 2011

[#] Vingt ans d'IgNobel en mathématiques

Le 29 septembre dernier, la cérémonie des IgNobel a pour la 21e fois parodié la remise des prix Nobel en récompensant les recherches scientifiques les plus improbables, les découvertes les plus absurdes ou les prouesses les plus nuisibles. La fournée des IgNobel de 2011 est une nouvelle fois haute en couleur, puisqu'elle prime entre autres la découverte de l'absence de contagion du bâillement chez les tortues charbonnières à pattes rouges ou la densité idéale de wasabi nécessaire pour être réveillé en cas d'urgence (la liste là).

Les domaines récompensés par l'IgNobel sont les mêmes que ceux du Nobel (Paix, littérature, médecine, physique, chimie, économie), mais, suivant l'actualité de l'année, d'autres domaines sont parfois mis à l'honneur, comme l'art, la psychologie, la zoologie, l'informatique ou... les mathématiques (domaine cruellement absent des Nobel). Aujourd'hui est un jour parfait pour passer en revue vingt ans de prix IgNobel de mathématiques !

En fait, quand on regarde les choses de plus près, on s'aperçoit que les mathématiques n'ont été primées que cinq fois en 21 ans. Du coup, le tour d'horizon va être vite fait !...

1993 - Robert Faid, pour avoir calculé les chances exactes que Mikhaïl Gorbatchev soit l'Antéchrist
Robert W. Faid, ingénieur nucléaire (mais également numérologue) originaire de Greenville (Caroline du Sud), a utilisé toutes ses connaissances en statistiques pour évaluer (avec une incroyable précision) la probabilité que Mikhaïl Gorbatchev soit l'Antéchrist. La probabilité en question est de une chance sur

710 609 175 188 282 000

Ce calcul a été réalisé par Faid dans son livre "Gorbachev! Has the Real Antichrist Come ?", publié en 1988. En apprenant sa victoire, Robert Faid a assuré que son livre était tout à fait sérieux, et qu'il n'y a rien de ridicule à utiliser les maths pour répondre à des questions qui ne sont pas du champ mathématique...

1994 - L'église baptiste sudiste de l'Alabama, pour ses estimations du nombre de citoyens d'Alabama destinés à l'enfer
C'est donc la Southern Baptist Church of Alabama, mesureurs mathématiques de moralité, qui a été récompensé pour avoir calculé comté par comté le nombre de citoyens destinés à l'enfer (à moins qu'ils ne se repentissent). Dans les faits, on apprend par exemple que le comté de Butler perdra seulement 30.0% de ses âmes, alors que le conté de Jefferson en perdra 42.8%.

Le calcul mené par l’Église baptiste n'est pas si compliqué que ça. A partir de données datant de 1990, ils ont simplement calculé le nombre de personnes dont la religion n'est pas la leur...

2002 - K.P. Sreekumar et G. Nirmalan, pour avoir estimé la surface totale des éléphants d'Asie
Sreekumar et Nirmalan, chercheurs à l'université de Kerala (Inde) ont été récompensé pour leur article "Estimation of the Total Surface Area in Indian Elephants (Elephas maximus indicus)", où ils déterminent expérimentalement la surface totale des éléphants d'Asie. A partir d'un panel réprésentatif composé de 24 éléphants (12 mâles, 12 femelles, de 18 à 60 ans, de 1880 à 5290 kg), ils ont découvert un modèle n'utilisant que deux paramètres : la hauteur au garrot (H) et la circonférence des pattes antérieures (FFC). En particulier, la surface totale S d'un éléphant est indépendante de son sexe. La formule qu'ils ont découverte est la suivante :

S = –8.245 + 6.807H + 7.073FFC

2006 - N. Svenson et P. Barnes, pour le calcul du nombre de photos qu'il faut prendre d'un groupe de personnes pour être sûr que personne ne cligne des yeux
Nic Svenson et Piers Barnes, membres du CSIRO (l’organisme gouvernemental australien pour la recherche scientifique) ont été récompensé pour leur article "Blink-Free Photos, Guaranteed", où l'on peut lire des formules donnant, pour un nombre de personnes donné, le nombre de photos qu'il est nécessaire de prendre pour être (presque) sûr qu'aucun d'eux ne ferme les yeux.

Svenson et Barnes sont partis du principe qu'un être humain normal cligne des yeux 10 fois par minutes, qu'un clin d’œil dure 250 millisecondes et que, avec une bonne lumière, le temps de pose d'une photo est de 8 millisecondes. Après, c'est qu'une histoire de calculs de probabilités, d'événements indépendants et de courbes en cloche. Avec une mauvaise lumière, il faudra une trentaine de photos pour prendre un groupe de 30 personnes sans qu'elle ne soit gâchée. Cependant, pour un groupe de 50 personnes (et même avec une bonne lumière) il est presque impossible d'avoir une photo réussie...

2011 - D. Martin, P. Robertson, E. Clare, L. J. Rim, C. Mwerind et H. Camping, pour avoir enseigné la prudence dans le domaine des affirmations basées sur des calculs mathématiques.
Cette année, ce sont sont Dorothy Martin (USA), Pat Robertson (USA), Elizabeth Clare  (USA), Lee Jang Rim (Corée), Credonia Mwerinde (Ouganda) et Harold Camping (USA) qui ont été récompensés pour avoir respectivement calculé la fin du monde en 1954, en 1982, en 1990, en 1992, en 1999 et en 1994. Notons tout de même que Harold Camping a recalculé la date de la fin du monde, et qu'elle tombera cette fois-ci le 21 octobre prochain...

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Sources :
Improbable Research, l'organisation qui s'occupe (entre autres choses) des IgNobel.

25 septembre 2011

[#] All your bases are belong to 10

Explication du gag des 10 pierres à propos des bases de numération

El Jj †

Abstract : Notre article explique le gag des 10 pierres du point de vue mathématique, en introduisant les concepts de "base humainement canonique" et de "base exobiologiquement canonique".

Date : 25 septembre 2011
Mathematics Subject Classification: 11B73, 05A99.
Mots clés : interaction humanité/extraterrestres, base 4, base 10, nombre de doigts, Caillou chéri, Riemann hypothesis

1. Introduction

L'article que vous vous apprêtez à lire est sans doute le plus étrange de toute l'histoire de ce blog, puisque son existence n'est liée qu'à l’existence d'un pari moral. L'explication de ce phénomène s'explique par le fait que la baisse d'inspiration est corrélée avec l'arrivée de l'automne. C'est également l'article qui contiendra le plus grand nombre de private jokes et de verbiage volontaire, ce qui rendra le fond du propos encore plus diffus.

La publication par [1] d'un gag mettant en scène une interaction entre un humain et un extraterrestre a amené [3] à publier l'explication du gag d'un point de vue philosophique, mettant l'accent sur le rapport ethnocentrique que l'on considère face à une intelligence extraterrestre. Dans notre approche du problème, nous verrons comment la définition des chiffres et des bases de numérations offre un éclairage profond sur la nature humoristique du gag illustré par [2].

Le gag des 10 pierres se présente sous la forme d'un dessin humoristique (voir Fig. 1). On y voit une petite créature grise à la tête orange possédant deux doigts par main que l'on suppose être un extraterrestre, un personnage en habit d'astronaute représentant un humain, ainsi que quatre pierres posées au sol. L'extraterrestre indique à l'astronaute qu'il y a 10 pierres. L'astronaute, voyant qu'il n'y a que quatre pierres au sol, lui dit qu'il utilise la base 4, et non la base 10. L'extraterrestre lui rétorque que non, il utilise bien la base 10, mais s'interroge tout de même sur ce que signifie "base 4". La légende indique que toutes les bases sont des bases 10.

Question 1.1 Mais pourquoi c'est drôle ?

Cette question peut sembler légitime dans le sens où le rapport des referees de [1] lui ont signifié, je cite, "hihi", "Huhu", "Ha ha !", "Hé hé !" et "oh oh".

Réponse 1.2 Le comique de la situation vient de l’ambiguïté qu'il y a à parler de base 10.

Nous allons détailler cette réponse dans la deuxième partie de l'article, avant de nous intéresser à la fin alternative au gag proposé par [2].

Figure 1. Le gag des 10 pierres.

2. Toutes les bases sont des bases 10

En mathématiques, on parle de chiffres et de nombres. Quitte à raffiner le concept, on se limitera ici à évoquer les nombres entiers. Un nombre est un concept philosophique permettant de mettre en relation plusieurs quantités identiques d'objets différents. Un chiffre est un symbole graphique qui permet de noter facilement les différents nombres. Ces deux concepts sont donc profondément différents, mais sont liés par ce que l'on appelle les bases de numérations. Pour énumérer les nombres, on a besoin d'utiliser un jeu de chiffres, que l'on appelle les bases. La convention communément admise (introduite par [4]) est pour les humains d'utiliser la base 10.

Définition 2.1 La "base 10" est la base de numération positionnelle utilisant les chiffres suivants : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Le plus petit nombre entier non nul est noté "1". Le suivant est noté "2", et ainsi de suite. L'entier qui suit 9 est noté (en base 10) "10". Remarquons que le "10" qui apparaît dans l'expression base "10" est celui qui est défini comme l'entier qui suit 9.

Dans la suite de l'article, nous utiliserons l'expression "base humainement canonique" pour parler de cette base 10, car cette base de numération est la base la plus simple pour compter sur les doigts de la main. On l'appelle parfois "système décimal".

Définition 2.2 La base 4 est la base de numération positionnelle utilisant les chiffres suivants : 0, 1, 2, 3.

Dans la base 4, le nombre qui suit 3 est noté "10". Nous appellerons cette base la "base exobiologiquement canonique", car les extraterrestres disposent de 4 doigts (le nombre ici noté "4" est celui de la base humainement canonique).

On peut étendre les définitions des bases à d'autres nombres que 4 ou 10 (base humainement canonique).

Définition 2.3 La "base n" est la base de numération positionnelle utilisant les n chiffres suivants : 0, 1, 2, ..., (n-1).

En base n, le nombre entier qui suit le nombre écrit "(n-1)" est noté "10". Par convention, le nombre n qui apparaît dans la dénomination "base n" est celui de la base humainement canonique.

Pour expliquer la nature comique du gag, on peut aisément admettre que l'astronaute compte en utilisant la base humainement canonique (qu'il appelle "base 10"), alors que l'extraterrestre utilise la base exobiologiquement canonique.

L'humour de la situation vient de la différence entre les conventions mathématiques utilisées par les humains et celles utilisées par les extraterrestres. En effet, contrairement à l’humain, le nombre n qui apparaît dans la dénomination "base n" chez l'extraterrestre est celui de la base exobiologiquement canonique. L'extraterrestre appelle donc "base 10" la base exobiologiquement canonique. Ceci explique la morale : toutes les bases sont des "base 10".

Le second ressort humoristique de la situation se retrouve dans la deuxième intervention de l'extraterrestre, quand il demande ce que signifie "4". Bien qu'il connaisse le sens du nombre 4, il le connaît seulement sous le nom "10". Il est donc logiquement décontenancé lorsqu'il apprend que l'humain utilise une base de numération bien plus compliquée que la base exobiologiquement canonique.

3. La fin alternative

Nous allons à présent évoquer brièvement la fin alternative du gag. En effet, [2] propose une fin alternative au gag, en expliquant que l'astronaute peut répondre à l'extraterrestre en lui disant "Je ne sais pas ? à neutraliser l'acide ?".

Conjecture 3.1 La fin alternative est drôle.

Expérimentalement, la conjecture est vérifiée, puisque j'ai personnellement ri en lisant cet ajout, même si je ne l'ai pas totalement pigé. Cependant, les concepts à mettre en place pour l'expliquer demanderaient un travail bien plus fin que seul un doctorant est capable de fournir. De plus, le budget de la recherche a été intégralement alloué à l'étude d'arguments prouvant que Einstein est le dernier des imbéciles.

Annexe

Les vingt premiers nombres, écrits en base exobiologiquement canonique.

(4.1)

0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110

 

Références

[1] P. BLANCHE, Le gag des dix caillous, Topic officiel trop bien de El Jj 5 (2011)

[2] S. KULKARNI, All your base, Cowbirds in love 43 (2009)

[3] P. , Pourquoi c'est absurde que l'extraterrestre considère dix cailloux comme 4 cailloux ?, Topic officiel trop bien de El Jj 5 (2011)

[4] A. Denjoy, L’Hypothèse de Riemann sur la distribution des zéros de ζ(s), reliée à la théorie des probabilités, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 192 (1931), 656–658.

11 septembre 2011

[#] Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur le théorème de Brouwer (sans jamais oser le demander)

11 septembre 2011 : la moitié de la Terre rend hommage aux attentats du 11 septembre 2001, pendant que l'autre moitié se passionne pour la coupe du monde de Rugby. Pour un blog bimensuel d'actu' comme le mien, c'est le moment où jamais de ne pas se planter dans le choix du sujet. Vais-je parler de la théorie du complot dans les mathématiques, ou profiter de l'homéomorphie entre les ballons de rugby et de football pour écrire un nouvel article de topologie...

Non. Aujourd'hui, je vais jouer la contre-programmation, en proposant un article consacré à la démonstration du théorème de Brouwer par le jeu de Hex ! Ha !

Le jeu de Hex
Le jeu de Hex, c'est un jeu de société qui se joue sur un plateau losange à cases hexagonales qui ressemble à ça :

Un plateau 11×11, mais on peut jouer au jeu de Hex sur un plateau plus grand ou plus petit

Chaque joueur pose à son tour un jeton de sa couleur (rouge ou bleu) sur l'une des cases ; l'objectif est de relier les côtés opposés du losange, ceux de sa couleur.

Vous voulez jouer ? Vous pouvez tester ici. Je vous préviens : même en commençant, le jeu n'est pas aisé...

Fait tout à fait intéressant : une partie de Hex ne se termine jamais par un match nul. Si le plateau est complètement rempli, il y a forcément un chemin connectant rouge ou un chemin connectant bleu (mais jamais les deux en même temps). C'est ce que l'on appelle le théorème de Hex.

Le théorème du jeu de Hex : sur un plateau plein, il existe au moins un chemin gagnant. (Ici, c'est le joueur rouge qui gagne).

Intuitivement, ce fait est évident : on peut imaginer qu'une case rouge est un hexagone de terre, et une case bleue est un hexagone d'eau. Dans ce cas là, soit les cases bleues forment une rivière et il est impossible de passer (le chemin connectant est le bleu), soit pas (le chemin connectant est rouge).

Comme souvent en topologie, ce qui est évident ne l'est plus à la démonstration (on peut penser au théorème de Jordan). Le théorème de Hex ne déroge pas à la règle, et ce n'est pas pour rien si le théorème de Jordan intervient dans certaines des preuves.

Le jeu de Hex à l'instar du jeu de go, du jeu de Nim ou du jeu des bâtonnets de Fort Boyard, est un jeu sans hasard à informations complètes. Le corollaire de ce fait : il existe forcément une stratégie gagnante pour l'un des joueurs. Pour être plus précis, c'est le premier joueur qui pose son pion qui dispose d'une stratégie qui est gagnant dans 100 % des cas (théorème de Nash). Le seul souci, c'est que le théorème ne dit pas quelle est la stratégie, si bien que la stratégie gagnante en question n'est pas connue, sauf pour les plus petits plateaux (pas plus de 9×9 cases).

Et je peux même le prouver : supposons que le joueur 2 dispose d'une stratégie gagnante. Alors, le joueur 1 passe son tour en jouant n'importe où, et peut maintenant prétendre être le joueur 2, et donc, disposer de la stratégie gagnante. Contradiction ! C'est l'argument du vol de stratégie, qui marche pour de nombreux autres jeux combinatoires (notamment, le jeu de Chomp).

Historiquement, le jeu de Hex est créé en 1942 par Piet Hein sous le nom Polygon en 1942. L'idée du jeu lui est venu alors qu'il tentait désespérément de démontrer le théorème des 4 couleurs. Il l'a montré au public lors d'une conférence à Copenhague sur les mathématiques des jeux, comme exemple de ce qu'est un bon jeu. Indépendamment de tout ça, John Nash (le prix Nobel d'économie, le taré que l'on voit dans le film Un homme d'exception de Ron Howard) réinvente Hex, pour montrer qu'il existe des jeux dans lequel le joueur 1 a une stratégie gagnante, mais que personne ne peut connaître. Le jeu prendra le nom Hex (comme hexagone) lorsque l'éditeur de jeu Parker (vous savez, le Monopoly...) rachète le tout.

Le théorème de Brouwer
Le théorème de Brouwer, lui, n'a rien à voir avec le jeu de Hex. C'est simplement un théorème de topologie qui énonce que toute application continue d'une boule fermée d'un espace euclidien dans elle-même admet un point fixe. Autrement dit, si on a une fonction f qui va d'une boule dans une boule (par exemple, la fonction qui à chaque goutte de café dans une tasse associe sa place après le touillage), il existe un point x₀ tel que f(x₀)=x₀  (après le touillage, il y aura au moins une goutte de café qui n'aura pas bougé). Ce n'est pas le plus sexy des théorèmes de topologie, mais c'est grâce à lui qu'est née toute la théorie des théorèmes de points fixes.

Le hollandais Luitzen Egbertus Jan Brouwer à qui l'on doit se théorème était un fervent défenseur de l'intuitionnisme, doctrine mathématique qui (pour simplifier) déteste toutes les démonstrations non constructives (quand on dit "il existe", on le fabrique, au lieu d'utiliser des arguments par l'absurde ; par exemple, le théorème de Nash n'est pas du tout constructif). Ironie de l'histoire : s'il y a un théorème qui n'est pas constructif, c'est bien celui de Brouwer...

Ce théorème aura connu de nombreuses démontrations (topologique, en utilisant des propriétés du groupe fondamental ; combinatoire, par le lemme de Sperner...), mais il en existe une bien plus classe que les autres : celle qui utilise le théorème de Hex ! C'est la démonstration de David Gale (1979), et je vais vous la présenter pas plus tard que tout de suite :

[Attention : la démonstration qui suit est technique !...]
Plutôt que de travailler sur un plateau à cases hexagonales, on va jouer sur un carré. On note donc B_k le plateau de jeu carré (k+1)×(k+1) suivant. Les côtés opposés seront notés N,S,E et O.

Voici B_k , la version carrée du plateau de hex 6×6

Le théorème de Hex énonce donc :

Soient H et V deux ensembles recouvrant B_k. Alors,
- soit H contient un chemin reliant E à O
- soit V contient un chemin reliant N à S

Le théorème de Brouwer, dans le cas plan, et en changeant disque par carré, dit :

Soit I=[0,1]² et f:I→I une fonction continue. Alors, il existe x₀ ∈I tel que f(x₀)=x₀ .

Bref. Plutôt que de montrer qu'il existe un point fixe, on va montrer qu'il existe un point qui bouge pas trop : qu'il existe x tel que |f(x)-x|≤ε, pour ε arbitrairement petit (I est compact, donc ça suffit). La continuité de f étant uniforme, il existe δ≤ε tel que |x-x'|≤δ implique |f(x)-f(x')|≤ε. On prend la norme |x|=max(|x₁|,|x₂|).

Du coup, on considère le plateau B_k avec k plutôt grand (vérifiant 1/k≤δ). On considère alors les 4 sous-ensembles de B_k qui voici :

H⁺ = {z∈B_k | f₁(z/k) - z₁/k > ε}
H^- = {z∈B_k | z₁/k - f₁(z/k) > ε}
V⁺ = {z∈B_k | f₂(z/k) - z₂/k > ε}
V^- = {z∈B_k | z₂/k - f₂(z/k) > ε}

Où f=(f₁,f₂) et z=(z₁,z₂). En gros, un sommet z de B_k appartient à H⁺ (resp. H^-, V⁺, V^-) si z/k est déplacé par f de ε unités vers la droite (resp. vers la gauche, le haut, le bas). Si point fixe il y a, il existera un sommet de B_k qui sera dans aucun de ces sous-ensembles.

Fait supplémentaire : les sous-ensembles H⁺ et H^- (resp. V⁺ et V^- ) ne sont pas connectés. Pour voir ça, prenons z∈H+ et z'∈H- adjacents. Par définition de H⁺ et H^- , on a :

f₁(z/k) - f₁(z'/k) + z₁'/k - z₁/k  > 2ε

Mais, puisque z∈H⁺ et z'∈H^- sont adjacents, on a  |z'/k - z/k|≤δ≤ε, ce qui donne

f₁(z/k) - f₁(z'/k) > ε

Ce qui contredit le choix initial de δ (on a |f(z/k)-f(z'/k)|>ε). 

Bref : H⁺ et H^- (resp. V⁺ et V^- ) ne sont pas connectés. Notons H=H⁺∪H^- et V=V⁺∪V^-. Si il existe un chemin connectant E à O dans H, il appartient soit à H⁺ , soit à H-. Mais H+ correspond aux points de I déplacés vers la droite : il n'y en a pas dans le bord droit de I. Autrement dit, H⁺ n'est pas connecté à E. De la même façon, H^- (resp. V⁺, V^- ) n'est pas connecté à O (resp N, S). Il n'y a donc pas de chemin connectant : H et V ne recouvrent pas B_k (pour ne pas contredire le théorème de Hex). Du coup, il existe un point qui ne bouge pas : c'est le point x₀ recherché !

[Fin de la démonstration pénible]

Évidemment, le théorème de Hex se généralise aux dimensions supérieures, généralisant par là même la démonstration qui précède. Plus fort encore : il montre que le théorème de Brouwer permet de démontrer le théorème de Hex !

Je crois que c'est à peu près ce que je voulais dire, en ce dimanche 11 septembre...

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Sources :
Hex : Everything You Always Wanted to Know About Hex But Were Afraid to Ask, par Thomas Maarup (tout sur le jeu de Hex : son histoire, ses stratégies)
The Game of Hex and the Brouwer Fixed-Point Theorem, par David Gale (tout sur l'équivalence entre le théorème de Hex et le théorème de Brouwer)

28 août 2011

[#] Le plus doré de tous les nombres

Depuis quelques jours, la pub pour la nouvelle collection des éditions machin tourne en boucle dans les coupures pubs de TF1. Après Les Voyages de Charlie, Heidi en VHS et Les Secrets de style de Mary-Kate & Ashley, c'est le numéro 1 de la collection Le monde est mathématique qui vient d'arriver chez tous les marchands de journaux, pour un prix défiant toute concurrence. L'idée de la collection est de découvrir que tout ce qui nous entoure ne peut se comprendre sans les mathématiques. Excellente idée !

Au sommaire du numéro un : le nombre d'or, le langage mathématique de la beauté.
FFFFFFFUUUUUUUUUU !

Soyons clairs : utiliser le nombre d'or comme fil rouge du premier numéro d'une collection consacrée aux mathématiques, c'est aussi malin que de demander à Élizabeth Teissier de préfacer un ouvrage d'astronomie. Certes, le nombre d'or est un nombre qui apparaît naturellement quand on fait un peu de maths. Certes, on le retrouve plus ou moins dans quelques œuvres d'art... Mais rien ne justifie le nombre d'ouvrages qui ont été écrits sur le nombre d'or, où chaque chapitre peut se résumer par "regardez, il y a le nombre d'or là".

Mathématiques du nombre d'or
Le nombre d'or, donc, c'est le nombre 1,618033989...., noté Փ (phi, comme Phidias, concepteur du Parthénon). Mathématiquement, on peut le définir comme l'unique solution positive de l'équation x²=x+1, qui est donc égale à :

 

Du coup, cette relation confère à Փ des propriétés hallucinantes comme :

Փ²=Փ+1
1/Փ=Փ-1

Ce qui est aussi intéressant que de dire que l'inverse de √2 est sa moitié.

Son autre propriété mathématique naturelle est sa relation avec la suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, chaque terme de la suite s'obtient en additionnant les deux termes précédents), puisque le rapport de deux nombres consécutifs tend vers Փ à l'infini. L'expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci fait également apparaître Փ.

Il apparaît plus ou moins en géométrie dans le pentagone régulier et dans ce qui lui est lié, notamment dans les coordonnées canoniques d'un dodécaèdre régulier et d'un icosaèdre régulier (2 des 5 polyèdres de Platon, ce qu'il y a de plus régulier chez les polyèdres).

Il réapparaît enfin en arithmétique modulaire. Il se trouve que le corps ℚ(√5) où vit naturellement Փ est particulièrement intéressant, puisque l'anneau de ses entiers est euclidien. C'est pas grand-chose, mais c'est notable.

L'intérêt purement mathématique du nombre d'or s'arrête là...

Esthétisme du nombre d'or
Remontons un peu le fil des évènements. La première apparition en public du nombre d'or a lieu sous la plume d'Euclide. A cette époque-là, la notion de nombre n'est pas vraiment comprise, mais cela ne l'empêche pas d'étudier dans son livre XIII ce qu'il se passe quand "une ligne est coupée en extrême et moyenne raison", autrement dit, quand on pose un point C sur un segment [AB] tel que AB/AC=AC/BC. Il démontre par exemple que (1+Փ/2)²=5(Փ/2)². Le rectangle d'or apparaît également, mais aucune trace d'un intérêt esthétique.

ABCD est un rectangle d'or : en lui retirant un carré (FBCE), on obtient le rectangle AFED, sembable au premier (donc, d'or). Notons que F coupe [AB] en extrême et moyenne raison.

Le nombre d'or réapparaît en filigrane au Moyen-âge, dans les écrits de Al-Khawarizmi (puisqu'il y parle d'équation de degré 2) et chez Leonardo Pisano (aka. Fibonacci), qui parle de lapins et donne naissance à sa suite. Aucun d'entre eux ne voit de quelconque liens avec le partage d'une ligne en extrême et moyenne raison...

A la renaissance, c'est chez le moine franciscain Luca Pacioli que la dimension mystique du nombre apparaît vraiment, dans le livre De divina proportionne. Pour lui, le partage en extrême et moyenne raison ne peut être que l’œuvre de Dieu, et ne peut être appelé autrement que "divin". Pour son bouquin, Pacioli a fait appel à un illustrateur plutôt reconnu : Leonard de Vinci. En parlant de De Vinci, il faut quand même savoir qu'il n'a jamais parlé du nombre d'or. En particulier, la proportion parfaite de l'homme de Vitruve n'est pas fondé sur la proportion divine, mais sur un découpage en quarts et huitièmes. Les canons harmoniques de l'époque parlent plus de rapports d'entiers (comme 5/8 ou 2/3) que de nombre d'or.

"Mais si, regarde, le nombre d'or apparaît dans l'homme de Vitruve ! Il faut que tu divises le côté du carré par le rayon du cercle !" (le rapport réel entre les deux est plus proche de 1.7 que de 1.6)

Au fil du temps, l'intérêt porté au nombre d'or décroit, jusqu'au XIXe siècle où Adolf Zeising, professeur de philo à Leipzig et Munich, le redécouvre. Il fonde une théorie de l'esthétisme centrée sur le nombre d'or, et part du principe qu'elle est rétroactive. Sa théorie (plus ou moins fumeuse) s'applique donc à la morphologie, à l'architecture, à la peinture... Son crédo ressemble à "Si tu ne trouves pas le nombre d'or dans [telle oeuvre], c'est que tu as mal cherché". C'est ainsi que l'on retrouve après ajustement le nombre d'or dans les plans du Parthénon et dans l'oeuvre de Mozart ou que le nombre Փ√Փ peut être trouvé sous le sabot d'un cheval.

"Là, plus personne ne pourra douter que le Parthénon a été dessiné suivant le nombre d'or"

Le point Godwin de l'histoire du nombre d'or est atteint dans les années 40, dans le livre Le nombre d'or, clé du monde vivant de Dom Neroman. Pour lui, le nombril doit diviser la hauteur d'un être humain selon le nombre d'or. Si une race n'atteint pas cette perfection, c'est qu'elle n'est pas assez évoluée. Comme par hasard, ça tombe sur "la Juive" et sur "la jeune négrille de l’Afrique équatoriale"...

Bref. En fait, en cherchant bien, n'importe quel nombre peut se retrouver n'importe où. J'ai d'ailleurs trouvé une relation très intéressante entre le nombre d'or et la réponse à la grande question sur la vie, l'univers et le reste :

Reste cette question en suspens : un rectangle d'or, c'est beau, ou pas ? Une expérience a été menée en 1876 par Gustav Fechner, et le résultat est sans appel : les rectangles aux proportions s'approchant de celles du rectangle d'or sont jugés plus beaux. Et puis, l'expérience a été réitérée en tenant compte des biais expérimentaux, et on a pu découvrir qu'il n'y a pas de rectangle plus beau qu'un autre.
Les rectangles de la vie quotidienne confirment finalement l'idée que le nombre d'or n'a rien de particulier. Les formats normalisés de papier A3, A4, An sont de ratio √2:1 (ce qui permet de garder les même proportions une fois coupé en 2) ; les formats américains ne portent pas de trace du nombre d'or, pas plus que les formats de télé, de cinéma ou de tableaux d'art. Seules les cartes bleues ont un format s'approchant de celui du rectangle d'or...

Après, si un artiste décide d'adopter le nombre d'or pour faire ses dessins, libre à lui. Mais du coup, ce n'est plus un hasard si on le retrouve en divisant n'importe quoi par n'importe quoi...

Comme par hasard, on retrouve le nombre d'or dans Le sacrement de la dernière cène de Dalí

... En fait, cela n'a rien d'un hasard, c'est complètement volontaire. D'ailleurs, il y a représenté un dodécaèdre régulier...

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Sources :
La numérologie du nombre d'or, Pour la Science, Septembre 2000
Wikipédia, aussi (et pour cette photo du Parthénon)