Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

08 novembre 2009

Point de vue complexe

Parce que la vie est complexe, les mathématiciens du XVIe ont dû inventer les nombres complexes : un corps de nombre bien plus fort que les réels et capable de résoudre toutes les équations qui se posaient alors.
Avec le temps, les applications des nombres complexes se sont multipliées. Outre les problèmes d'équations polynomiales, les complexes sont largement utilisés en géométrie (quoi de mieux qu'un complexe pour représenter une rotation ?), mais surtout en physique (puisqu'une onde peut se représenter par une amplitude et une phase, rien de mieux qu'un nombre à deux dimensions pour les représenter) ! Sans nombre complexe, moins d'électronique, pas de mécanique des fluides, pas de mécanique quantique, et surtout, pas d'image en format .jpg !

Face à toute ces applications, le mathématicien trop théoricien prend peur... Plutôt que de chercher à répondre aux problèmes des physiciens, il préfère réinventer ce qui existe déjà, en espérant à court terme que sa construction n'aura guère d'applications. Aujourd'hui, donc, petit panorama de toutes les reconstructions des nombres complexes !
(Je renvoie à l'article de la semaine dernière pour les constructions géométriques d'Argand et de Wessel)

Construction d'Hamilton

La première construction algébrique, de l'Irlandais William Hamilton, remonte à 1843. Un nombre complexe est défini de la façon dont on le connaît aujourd'hui : un couple de points (a,b) de ℝ² muni d'une addition et d'une multiplication étendant la plupart des propriétés de ℝ à ℂ. Cet ensemble (muni de ses deux opérations) sera notre ensemble ℂ des nombres complexes.

On peut alors retrouver ℝ dans ℂ, dans les nombres de la forme (a,0). Le nombre (-1,0) possède dans cet ensemble deux racines carrées, qui sont (0,1) et (0,-1) (On peut vérifier que (0,1)×(0,1)=(-1,0)).
On peut également vérifier que (a,b) = (a,0)×(1,0) + (b,0)×(0,1).
Pour simplifier l'écriture, le nombre (x,0) s'écrira x, et le nombre (0,1) sera appelé i. On a alors l'écriture cartésienne d'un nombre complexe : (a,b) = a + b.i .

Construction matricielle

On peut également construire les complexes de façon plus géométrique, à l'aide des matrices ! Puisqu'un nombre complexe peut représenter une rotation (Dans le plan d'Argand, multiplier par le nombre i revient à effectuer une rotation d'angle droit) ou une homothétie (Dans le plan d'Argand, multiplier par le nombre 2 revient à effectuer une homothétie de rapport 2), voire les deux en même temps, une similitude (Dans le plan d'Argand, multiplier par le nombre 34+4.i.√38 rev[...] ). Puisque les matrices servent à représenter ce genre de transformation, c'est un outil de choix pour représenter géométriquement les nombres complexes.

Un nombre complexe sera donc une matrice carrée 2×2 (une transformation du plan) à coefficients réels de la forme (les matrices correspondant à des similitudes). En utilisant les règles (déroutantes au premier abord) de multiplication et d'addition des matrices :

On peut additionner et multiplier des complexes-matrices.

A quelques copies près, on retrouve exactement les opérations que l'on connaît déjà sur les complexes. En appelant x la matrice (la matrice d'une homothétie de rapport x) et I la matrice (la matrice d'une rotation d'angle droit), on a

et donc :

En remarquant que I²=-1 (I est une rotation d'angle droit ; effectuer deux rotations d'angle droit de suite revient à une symétrie centrale, autrement dit, une homothétie de rapport -1), c'est bien les nombres complexes que l'on a ici !
Au premier abord, cette construction peut sembler tirée par les cheveux pour le néophyte, mais c'est en fait une excellente manière de donner aux nombres complexes toute leur grandeur géométrique.

Corps de rupture

En oubliant totalement leur géométrie, on peut voir les nombres complexes d'une toute autre façon : c'est un corps de rupture de l'ensemble des nombres réels (comme le laisse penser le titre du paragraphe) !
L'invention par hasard des nombres complexes s'est faite en forçant l'existence du nombre . En regardant ce que l'on obtient en ajoutant   à l'ensemble des nombres réels, on se retrouve tout de suite avec les nombres réels. Dit autrement, c'est en forçant l'existence d'une racine au polynôme X²+1 que l'on obtient l'ensemble des nombres complexes.
Le problème de cette construction intuitive, c'est que même en forçant, on ne peut pas faire exister quelque chose qui n'existe pas aussi facilement...

Faisons donc autre chose, et considérons l'ensemble ℝ[X] des polynômes à coefficient dans ℝ (des objets de la forme a₀+a₁X+a₂X²+a₃X³+...+ a_nXⁿ ). Les polynômes peuvent s'additionner ou se multiplier sans problème : c'est un anneau.
En procédant par division euclidienne (comme quand on pose une division en primaire), on peut également diviser les polynômes. En divisant un polynôme P(X) par X²+1, on pourra écrire le polynôme P(x) de la façon

P(X) = (a+bX) + (X²+1).R(X)
(où R est un autre polynôme)

Supposons à présent que l'on possède un nombre X qui vérifierait X²=-1. Le polynôme X²+1 serait donc nul, et tout polynôme pourra s'écrire sous la forme P(X)=a+bX.
L'ensemble des polynômes réels où l'on oblige le polynôme X²+1 à s'annuler (ou où l'on oblige l'égalité X²=-1) s'écrit ℝ[X]/(X²+1).

Dans cet ensemble, les éléments peuvent toujours s'écrire sous la forme a+bX, et le polynôme X vérifie alors (X)²=X²=-1. Cet ensemble ressemble donc beaucoup à l'ensemble des nombres complexes !
En renommant X en i, on obtient donc un ensemble de polynômes qui se comporte exactement comme celui des complexes que l'on connaît par ailleurs. On peut parfaitement considérer que l'ensemble des nombres complexes est un ensemble de polynômes où X²=-1 !

J'admets volontiers que cette construction ressemble beaucoup à du pinaillage d'algébriste, mais c'est la seule façon de faire pour ajouter un élément vérifiant telle équation à un ensemble de nombre.
Ici, l'ensemble fabriqué ℂ est un corps de rupture du polynôme X²+1 : c'est le plus petit corps où X²+1 admettra une racine.
En utilisant le même procédé, on peut ajouter le nombre √2 à l'ensemble ℚ en prenant le corps de rupture sur ℚ du polynôme X²-2. L'ensemble que l'on obtient est alors ℚ[√2], qui est l'ensemble des nombres de la forme a+b.√2...

Après, c'est comme pour les nombres réels, chacun choisit sa construction préférée : plutôt algébrique naïve (Hamilton), géométrique naïve (Wessel ou Argand), algébrique dure (par les corps de rupture) ou géométrique dure (par les matrices).
De toute façon, elles aboutissent toutes au même ensemble...

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Sources :
En fait, Wikipédia fait les choses à peu près comme moi... (ou l'inverse ?)

31 octobre 2009

Parce que la vie est complexe

Si on résume un peu le cours des choses, il y a d'abord eu le Big Bang, puis la Terre s'est formée, les micro-organismes se sont transformés en bêbêtes, puis en singe, puis en homme. Ces derniers ont commencé à chasser, puis se sont mis à l'élevage, puis se sont mis à écrire. C'est alors qu'ils ont commencé à faire des maths. Pas encore des problèmes de topologie p-adiques, mais plutôt des problèmes comme "le septième du carré d'un nombre est égal à six fois ce nombre.. Quel est ce nombre ?". Ce genre de problème est dit "du second degré", ce dernier faisant intervenir le carré de l'inconnu.

Les équations polynomiales de degré 2 (du genre ax²+bx+c=0) ont vite été résolues : en supposant que le discriminant b²-4ac soit positif, l'équation possède des solutions, qui seront alors

Évidemment, les Babyloniens du XVIIIe siècle (av J-C) n'utilisaient pas autant de symboles et ne considéraient que les solutions positives, mais de telles équations étaient toujours résolues sans trop de problèmes.

C'est ensuite sur les équations du troisième degré que les mathématiciens de tout bords se sont tiré les cheveux : comment résoudre l'équation ax³+bx²+cx+d=0, quand on connaît a, b, c et d ?
Les mathématiciens italiens du XVIe siècle se lançait souvent des défi du style "je te parie 30 banquets que tu ne pourras jamais résoudre mes 30 équations de la forme x³+px=q !". Quand Niccolò Fontana dit Tartaglia ("le bègue") résout en moins d'une heure la totalité de ces équations (-et refuse la récompense promise-), Girolamo Cardano (francisé par Jérôme Cardan), intrigué, le fait venir à Milan. Tartaglia accepte de lui donner le truc, à condition qu'il ne le répète à personne...
En 1514, Cardan publie donc une formule donnant une solution à l'équation x³+px=q :

Utilisons donc cette formule pour résoudre, comme Bombelli l'a fait en son temps,  l'équation x³-15x=4. En remplaçant dans la formule de Cardan, on trouve la solution :

La solution serait recevable si seulement avait un sens quelconque... Un nombre ayant -1 pour carré n'existe pas...
Mais Bombelli ne s'est pas démonté pour autant ! Supposons que ait un sens ("un nombre qui, mis au carré, est égal à -1"). On peut alors vérifier que et que . La solution s'écrit donc :

Et donc, après simplification, la solution de x³-15x=4 est x=4.

La moralité de l'histoire, c'est que pour résoudre un problème ayant une solution bien réelle, il a fallu passer par le nombre , pure création mathématique qui n'a alors aucun équivalent dans le monde réel ! Le nombre , rebaptisé i par Euler, sera en conséquence appelé imaginaire.

Dans cette histoire de paris douteux sur la résolution d'équation du degré 3, c'est la face de l'algèbre qui fut changée : en utilisant le nombre 2-11i, c'est l'ensemble des nombres complexes (noté ℂ) qui vient de naître ! !

Représentation des complexes
Un nombre complexe est donc un nombre qui s'écrit sous la forme a+bi, où a (la partie réelle) et b (la partie imaginaire) sont deux nombres réels, et i un nombre imaginaire qui, une fois mis au carré, est égal à -1 (La notation est à proscrire, les racines carrées sont et resteront pour les nombres positifs !) . En admettant que i²=-1, on peut facilement additionner et multiplier deux nombres complexes. En remarquant que (a+bi)(a-bi)=a²+b², on peut même les inverser :

On trouve notamment que 1/i = -i .

Une addition, une multiplication, une division... Bien que bizarre au premier abord, on peut faire dans les  complexes tout (ou presque) ce que l'on peut faire dans les réels : c'est un corps ! L'ensemble gagne même au passage une nouvelle propriété algébrique, conjecturée par Girard (1629) et Descartes (1637), démontrée par D'Alembert (enfin, presque) et Gauss au XVIIIe siècle : c'est un corps algébriquement clos !

On connaît ce résultat sous le nom de "théorème d'Alembert-Gauss" (ou "théorème fondamental de l'algèbre") : tout polynôme (à coefficients complexes) de degré n possède toujours n racines. L'équation x²+1=0 (degré 2), qui ne possède pas de solution sur ℝ possède bien deux solutions sur ℂ : i et -i. Une équation comme x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0 (degré 5) possédera 5 solutions sur ℂ (alors qu'elle n'en a qu'une seule sur ℝ).

Il faudra pourtant attendre 1806 et Argand pour donner un sens géométrique aux nombres complexes !  Puisque l'on peut représenter l'ensemble des nombres réels par une droite, où faut-il placer les nouveaux nombres ? Argand se fait la remarque suivante :

Autrement dit :
1 est à 1 ce que -1 est à -1
1 est à -1 ce que -1 est à 1
1 est à i ce que i est à -1
L'idée d'Argand, c'est de mettre la droite des réels dans le plan, et que le "est à" représente ici une rotation de centre O : la rotation d'angle nul transforme 1 en 1 et -1 en -1, et la rotation d'angle plat transforme 1 en -1 et -1 en 1. Pour placer i, il faut trouver une rotation qui transforme 1 en quelque chose, et ce quelque chose en -1. Cette rotation, ça sera une rotation d'angle droit !

Le plan d'Argand, sous une forme épurée

Les nombres complexes ajoutent donc une nouvelle dimension aux nombres réels ! Cette représentation est appelée plan d'Argand (ou plan complexe). Dans ce plan, le nombre complexe a+ib sera vu comme le point (a,b) : l'abscisse du point est la partie réelle du nombre, et l'ordonnée sa partie imaginaire.

Additionner ou multiplier des complexes prend alors un tout nouveau sens, un sens géométrique ! Une somme de deux complexes peut se voir comme la construction d'un parallélogramme, et le produit de deux complexes est une somme d'angles et un produit de longueur...

Addition et produit de deux nombres complexes z et z'.

Historiquement, Argand n'est pas le premier à avoir donné une interprétation géométrique des nombres complexes, puisqu'il a été grillé par Wessel qui, en 1797, a lui aussi donné une représentation équivalente. Mais le travail de Wessel ne compte pas puisque, comme pour la tarte Tatin, ce n'est que par pur hasard qu'il est tombé sur les complexes. A l'origine, il voulait simplement essayer d'algébriser les "segments relatifs" (les vecteurs), en définissant l'addition et la multiplication comme au-dessus. En particularisant un segment unité 1 et un segment perpendiculaire ε, il s'est aperçu que ε²=-1, et donc ε=.

Forme cartésienne ou forme polaire ?
Dans le plan complexe, un nombre complexe z peut être repéré par (a,b), ses coordonnées cartésiennes.
Mais ce n'est pas la seule façon de représenter ce nombre z. On peut également le représenter par ses coordonnées polaires : un angle (ici, θ), appelé "argument" et une longueur (ici, r), appelé "module". Le couple (r,θ) donne alors une tout autre façon de représenter le nombre z.

On peut alors voir que a=r.cos(θ) et b=r.sin(θ). On a donc :

z = r [cos(θ) + i.sin(θ)]

C'est alors que Euler intervient ! [Le paragraphe qui suit est un peu costaud, un bon niveau de terminale S est requis...]!
Quand on multiplie deux nombres complexes, leur argument s'ajoute. En considérant la fonction f(θ)=cosθ+i.sinθ, on a donc f(θ).f(θ')=f(θ+θ'). La fonction f vérifie  l'équation fonctionnelle f(a+b)=f(a)f(b), et donc, vérifie l'équation différentielle f'(θ)=α.f(θ) (de solution f(θ) = f(0).e^αθ )
Pour trouver la valeur de alpha, il suffit de dériver la fonction f : puisqu'on a f'(θ)=-sin(θ)+i.cos(θ) = i.f(θ), on déduit que α=i.
Moralité : e^iθ =cos(θ)+i.sin(θ)

Cette formule est la formule d'Euler, et permet de parler des nombres complexes sous la forme très concise : z=r.e^iθ.
En prenant la valeur particulière θ=π, on trouve presque l'identité d'Euler :

Formule (presque) élue "la plus belle formule du monde" par un jury de professionnels

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Pourquoi la vie des Hommes est-elle complexe ?
Car elle possède une partie réelle et une partie imaginaire...
[J'avais pas de chute à cette note, j'ai préféré prendre un truc tout fait...]

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Sources :
Cours pour terminale S sur les nombres complexes.

25 octobre 2009

Inuits modernes

Alors que les esquimaux ont une douzaine de mots différents pour exprimer la neige, les mathématiciens possèdent eux aussi tout une gamme de mots différents pour parler d'assertions mathématiques : théorème, corollaire, lemme, postulat...
Plus difficile que le dialecte inuit, apprenons donc aujourd'hui le mathématicien moderne !

Dans la famille des énoncés démontrés :

Le théorème (Du grec ancien θεώρημα (theorema), "spectacle, fête, contemplation") :
Le roi des assertions mathématiques, le Graal des chercheurs !
A la base, le théorème est un simple énoncé mathématique qui a été démontré, et donc, vrai. iI se présente généralement sous la forme "Si ... alors... ", voire "... si et seulement si ...", et est souvent accompagné de sa démonstration, ou "preuve".
Mais tout énoncé démontré ne peut pas avoir le mérite d'avoir le titre de "théorème"  ! Un théorème, c'est  avant tout une vérité profonde de la nature des mathématiques, le point d'orgue de tout une théorie ! Le plus célèbre d'entre eux réalise par exemple un pont entre une propriété sur des nombres (la somme de deux carrés est égale à un carré) et à une propriété géométrique (le triangle est rectangle)... Sa démonstration porte en elle le temps et l'énergie de ceux qui s'y sont aventurés, et porte le plus souvent le nom du mathématicien qui l'a prouvée (ou pas)...

La proposition (du grec ? du latin ? )
Tout comme le théorème, une proposition est un énoncé mathématique vrai et démontré en bonne et due forme. C'est un résultat intéressant, toujours, mais à un degré en dessous du théorème. Contrairement au lemme ou au corollaire, la proposition n'a pas besoin de grand chose pour exister, mis à part le cadre de sa théorie.
Les propositions ne sont jamais célèbres : si elles l'étaient, elles mériteraient d'être des théorèmes !

La propriété (Du latin proprietas "chose possédée")
Encore en dessous de la proposition : la propriété. C'est un petit résultant intéressant, mais qui découle généralement immédiatement d'une définition. Par exemple, 42 possède tout un tas de propriétés : c'est un nombre sphénique, un nombre de Catalan, un nombre Harshad, un nombre pratique...
On a tendance à oublier de les démontrer, ce qui est loin de faire honneur à la rigueur des mathématiques (même s'ils égayent les livres de mathématiques des collégiens) ...

Le corollaire (Du latin corollarium, "petite couronne ")
Après avoir sué sang et eau pour venir à bout de la démonstration d'un théorème, le mathématicien doit se reposer. C'est là que le corollaire intervient : un résultat immédiat (ou très rapide) que l'on obtient en utilisant le théorème. Il peut se présenter sous la forme d'un cas particulier. Pour mériter son AOC, un corollaire ne doit pas avoir une démonstration de plus de trois lignes !
L'appellation "Corollaire immédiat" concerne les corollaires tellement immédiats qu'en faire une démonstration reviendrait à insulter le lecteur.
Dans les vieux ouvrages, on préfère le terme "scolie".
De manière encore plus générale, tout grand théorème n'est que le cas particulier d'un théorème encore plus fort : on est tous le corollaire de quelqu'un ! Le théorème de Pythagore, pour ne citer que lui, est en fait un corollaire du théorème d'Al-Kachi.

Le lemme (Du grec ancien λήμμα (lḗmma), "proposition auxiliaire").
Au bas de l'échelle, on trouve les kleenex des énoncés mathématiques : les lemmes ! Ce sont les résultats intermédiaires qui permettent de découper la démonstration trop longue d'un théorème, histoire d'aérer un peu. Ils permettent en général de mettre en évidence un passage technique et pas intéressant d'une démo, ou bien de démontrer quelque chose qui n'a rien à voir avec le reste de la preuve sans en mettre partout.  Leur intérêt ne dépasse donc que rarement le cadre du théorème dont ils servent à la preuve, mais leur intérêt est primordial : pas de lemme, pas de théorème !
Ils se présentent généralement par la formule "Dans le cadre des hypothèses du théorème..." : inséparables du théorème, je vous dis !
Quelques lemmes sont néanmoins célèbres comme le lemme de Grönwall en équa diffs ou le lemme de Fatou en intégration.

La remarque  (du grec ? du latin ? )
Un exposé mathématique se présente toujours sous la forme d'une suite de définitions, de propositions de tous types et de démonstration. Pour se libérer de cette trop grande rigidité et respirer un peu, le mathématicien dispose d'une arme ultime : la remarque ! Dans une remarque, on peut apprendre qu'une démonstration de dix page aurait été considérablement réduite si on avait pris la peine de considérer la proposition du chapitre suivant, on peut apprendre que le résultat démontré est complètement faux dans un autre cadre ou que l'auteur a passé ses derniers vacances au club méditerranée...

Dans la famille des énoncés non démontrés :

La conjecture (du latin cum "avec, ensemble" et jacere "jeter" )
On entre dans la catégorie des énoncés peut-être vrais, mais non démontrés, avec les conjectures (et non les conjonctures). Quand un mathématicien a bien fait son travail de mathématicien, on peut lui accorder un certain crédit quand il énonce des choses qu'il n'a pas démontrées : l'énoncé prend alors son statut de conjecture, et la communauté mathématique prend son mal en patience et tente de le démontrer. Trois alternatives s'offrent alors :
- la conjecture est vraie : après un long travail, un mathématicien plus malin que le matheux original parvient à démontrer l'énoncé, et transforme la conjecture en théorème (comme la conjecture de Kepler devenue théorème de Hales ou la conjecture de Fermat devenu théorème de Wiles).
- la conjecture est fausse : après un long travail, un mathématicien malin a réussi à trouver un contre-exemple de dimension 1325 ou possédant plusieurs centaines de décimales.
- la conjecture est indémontrable : un mathématicien vraiment malin, après en avoir eu marre de chercher, a voulu montrer qu'il était vraiment inutile de chercher. C'est par exemple le cas de l'hypothèse du continu, qui peut être ou vraie, ou fausse, suivant le plaisir de chacun.
Même si une conjecture a été vérifiée pour un grand nombre de nombres (comme la conjecture de Goldbach, testée méticuleusement sur tous les nombres inférieurs à 1 trillion), elle n'est pas forcément vraie : seule une démonstration ou un contre-exemple peut la vaincre ! Pour plusieurs conjectures, une forte récompense est promise à ceux qui viendraient à la faire tomber !

Le postulat (du latin postulare "demander")
Pour ceux qui en ont marre de chercher les conjectures, il y a le postulat : un énoncé qui a tout bonnement l'air d'être vrai (qui, franchement, irait chercher des zéro non triviaux de la fonction Zeta de Riemann en dehors de la droite x=1/2 ?), mais dont on préfère laisser à d'autre le privilège de le démontrer.
Le postulat est donc une hypothèse de travail, que l'on demande à la communauté d'accepter comme vraie. Une fois que l'accord est passé, on peut bâtir tout une théorie, sans revenir sur les accords fondateurs. On ne compte plus les mathématiciens qui fondent leur travail sur le postulat que l'hypothèse de Riemann est vraie ! Si, par mégarde, on venait un jour à démontrer que le postulat de base est faux, toute la théorie s'écroule (en partant du postulat que 2=1, je peux affirmer que j'ai peint la Joconde... Mon postulat risque rapidement d'être démonté...)
Le postulat le plus célèbre est le 5ème d'Euclide : par un point extérieur à une droite passe une unique droite parallèle, qui fonde la géométrie euclidienne. En partant d'un postulat contraire, on fonde la géométrie hyperbolique ou la géométrie sphérique.

L'axiome (du grec ancien αξιωμα (axioma) « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») :
Plus fort que le postulat : l'axiome !
Pour démontrer un théorème, on s'appuie toujours sur des théorèmes, des propositions ou des lemmes déjà démontrés, eux aussi démontrés de la même façon. Si on cherche à remonter, encore on arrivera forcément à des évidences : les axiomes !
L'axiome est donc une vérité mathématique, définie comme étant vraie. On cherche évidemment à prendre les axiomes les plus évidents possibles, pour éviter toute polémique (L'axiome du choix est un parfait contre-exemple...).
Contrairement au postulat, il est hors de question d'avoir même l'idée de chercher à démontrer un axiome !  Il est vrai, et c'est tout. On peut cependant se poser des questions comme "Si je prends tel, tel et tel axiome, vais-je arriver à démontrer quelque chose et son contraire ?" ou "Tel énoncé peut-il être démontré à partir de tels axiomes ?".
A noter tout de même que la majorité des mathématiciens se moque complètement de ce genre de considérations...

Résumons donc les faits : Le corollaire n'est rien sans le théorème qui n'est plus grand chose sans ses lemmes. La proposition reste en retrait, et la propriété se fait encore plus discrète. Les axiomes essaient désespérément de se rendre importants et le postulat s'en moque. Tout ça pour rattraper la conjecture, beaucoup trop loin...

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Sources :
Combien de mots esquimaux pour la neige ?

18 octobre 2009

Brenoms de nom

Où en étions-nous, déjà ? J'ai parlé des entiers naturels, des relatifs, des rationnels... Ah oui : les réels... Tout le monde s'attend donc aujourd'hui à ce que je parle des complexes, et c'est pourquoi je ne le ferai pas... Aujourd'hui, place aux brenoms !

L'anneau des 10-adiques
Jusqu'à maintenant, les nombres, dans leur grande majorité, possèdent une infinité de chiffres après la virgule.
Et si on s'autorisait maintenant à mettre une infinité de chiffres avant la virgule ? Par exemple, ...172172172. N'y cherchons pas trop de sens, c'est pour l'instant qu'une théorie... Ces nombres portent le doux nom de "brenom", de "nombres décadique" ou de "nombres 10-adique"

Et si on additionnait ces nombres ?
Les décadiques s'additionnent comme de simple entiers : on pose l'addition, et on effectue les retenues quand il le faut vraiment.

Pour la multiplication, c'est pareil : on la pose, on effectue toutes les retenues nécessaires, et on trouve le résultat. C'est évidemment un peu plus compliqué, mais ça se fait :

Le produit, comme la somme, se comportent bien : pour connaître les n derniers chiffres de a+b ou de a×b, il suffit de connaître les n derniers chiffres de a et de b.

Mais le report de la retenue peut entraîner des surprises, notamment :

Avec les réels et leur nombre infini de chiffres après la virgule, nous n'avions aucun problème existentiel : les chiffres qui apparaissent loin dans le développement décimal n'ont pas vraiment de poids. Pour les 10-adiques, c'est l'inverse : les très grands nombres, comme 10ⁿ, n'ont pas beaucoup de poids, seuls les plus à droite sont importants. Avec le report à l'infini de la retenu, le résultat de cette somme est bien 0.(De la même façon que 0.999... = 1).

Autrement dit, ...99999 + 1 = 0 !
Vu d'une autre façon, on a ...999999 = -1.

Avec les décadiques, plus besoin des nombres négatifs ! Pour le calcul d'un opposé d'un décadique n quelconque, il suffit simplement de chercher quel nombre il faut ajouter pour obtenir ...9999999, et d'y ajouter un. On trouve par exemple que -...523523523 = ...476476477 :

On peut y faire des additions, des multiplications et même calculer des opposés (et donc faire des soustractions) : l'ensemble des décadiques, noté ℤ₁₀, est un anneau !

L'anneau non intègre des 10-adiques

Et pour la division ?
De manière générale, diviser a par b, c'est multiplier a par l'inverse de b. Pour diviser tout par n'importe quoi, il faut donc savoir inverser n'importe quoi.
Pour les décadiques, trouver l'inverse de a, c'est trouver le nombre b tel que a×b = ...00001.
Certains cas se révèlent plus faciles que d'autres, notamment l'inverse de 3 :

Et donc, 1/3 = ...66666667 = 0.3333333...
Moralité : plus besoin des nombres à (une infinité de) virgules !
Pour diviser n'importe quel nombre par 3, il suffira donc de multiplier par ...6666666667.

D'autres cas se révèlent impossibles : comment trouver l'inverse de 5 ? Il faut donc trouver un nombre a entre 0 et 9 tel 5×a se termine par un 1... impossible ! Idem pour 2.
Pourtant, l'inverse de 5 se trouve facilement dans ℚ, et c'est 0.2.
Finalement, pour avoir un ensemble de nombre à peu près cohérent, il semble nécessaire de permettre un nombre fini de chiffres après la virgule. On obtient alors les nombres décadiques à virgule, notés ℚ₁₀.

Dans ℚ₁₀, on peut donc facilement diviser par 3, par 2, par 5... Plus généralement, on peut facilement diviser par n'importe quel entier n (∈ℕ), en s'intéressant aux diviseurs de n.
Si n n'est divisible ni par 2, ni par 5 (n termine par 1, 3, 7 ou 9), alors 1/n possèdera un développement décimal infini et périodique : 1/n = 0,(v) (où v est une séquence de décimales qui se répète).
Alors, dans ℤ₁₀, l'inverse de n sera le décadique (v')U (où v' est le complémentaire de v pour arriver à 9...9, et U=v'+1).

Par exemple, quel est l'inverse de 231 dans  ℚ₁₀ ? Il suffit de commencer par calculer 1/231 :

Si n est divisible par 2 ou 5, alors n=5×n' ou n=2×n'. Il ne reste plus qu'à trouver l'inverse de n', l'inverse de n sera donc 1/n'×0.2 ou 1/n'×0.5.

Bref : les entiers naturels (et donc les entiers relatifs vu comme des décadiques) sont inversibles dans ℚ₁₀. De manière encore plus générale, tout décadique dont la dernière décimale est 1, 3, 7 ou 9 est inversible dans ℚ₁₀.

Mais pour ce qui est des décadiques de manière générale, les choses ne sont pas aussi simples : certains nombres ne sont pas inversibles, qu'on le veuille ou non.
Imaginons que l'on puisse trouver deux nombres (non nuls) a et b tels que a×b=0 (*). Si a possède un inverse a^-1 (et donc a^-1×a=1), et en multipliant par a^-1 dans (*), on trouve b=0 : c'est impossible ! Si on trouve donc deux éléments a et b tels que a×b=0, alors on aura sous la main deux nombres ne pouvant pas posséder d'inverse.

Deux tels nombres s'appellent "des diviseurs de 0", et on peut en trouver dans  ℚ₁₀ (sinon, j'en aurais pas fait tout un paragraphe). Ils ne se laissent pas facilement attraper (ils ne peuvent pas être périodiques, notamment). Par exemple, on a :

Bref : l'ensemble des 10-adiques est chouette, mais on ne peut pas diviser tout par n'importe quoi, ce qui est bien dommage...

Le corps des p-adiques

Ce qui a essentiellement posé problème, ce sont les nombres terminant par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8, autrement dit, les nombres qui ne sont pas premiers avec 10. Pour oublier ce problème, un seul remède : passer de la base 10 à la base p.

Rappelons-le tout de même : quand on écrit le nombre 3841, on écrit en fait :

Mais on a aussi :

Dans la base 7, le nombre s'écrit 14125. On écrit alors 3841₁₀=14125₇.

Même si l'on changeant la base d'écriture des nombres, les règles pour poser une addition ou une multiplication restent toujours les mêmes. La définition des 10-adiques peut donc être transposée dans n'importe quel base, et seront alors appelés "nombres p-adiques". On distingue toujours les entiers p-adiques, notés ℤ_p, et les p-adiques (à virgule), notés ℚ_p.

Petit exemple d'addition dans ℤ₇ :

Lorsque l'on fait de bêtes calculs dans ℕ, la base dans laquelle on travaille n'intervient pas. Pour les p-adiques, les choses sont différentes ! Les bases les plus intéressantes sont les bases premières : si p est premier, tout nombre de ℚ_p sera inversible !

Bref : pour p premier, ℚ_p est un corps (on peut diviser tout par n'importe quoi (sauf par 0)), au même titre que ℚ ou ℝ.

En plus d'être un corps, ℚ_p partage une autre propriété avec ℝ : ce sont des corps complets, qui ne possèdent pas de trous comme dans ℚ.
Plus précisément, pour dire qu'un ensemble est complet, il faut définir une distance. Pour définir la distance entre deux p-adiques a et b, on s'intéresse au nombre a-b.
Si a-b=0, on pose d(a,b)=0
Sinon, on pose d(a,b)=p^-c(a-b), où c(n) compte le nombre de 0 à la fin de l'écriture de n.

Cette définition de la distance permet de légitimer le fait de dire que 10ⁿ est d'autant plus proche de 0 que n est grand (et donc ...666666₇ + 1₇ = 0₇ ).

On peut alors démontrer que les suites de Cauchy de ℚ_p (les suites qui se resserrent autour d'une valeur limite) convergent toujours vers un nombre de ℚ_p : l'ensemble n'a pas de trous, il est complet.

Plus fort encore : l'ensemble ℚ_p, contrairement à ℝ, est compact !
Un espace métrique E (un endroit où une distance a été définie) est dit compact si, pour toute suite u_n (infinie) de E, on peut y extraire une sous-suite (une sélection de termes dans u_n) qui converge dans E.
L'ensemble ℝ, par exemple, n'est pas compact : on ne peut trouver dans la suite (0,1,2,3,4,5,...) une sous-suite qui convergera.
Dans ℚ_p, la donne est différente : de la suite (0,1,2,3,4,...), on peut notamment extraire la sous-suite (1,10,100,1000,...), qui converge vers 0 dans ℚ_p.

La construction intuitive des p-adiques (des nombres infinis à gauche) peut se formaliser de la même façon que la construction intuitive des réels (des nombres infinis à droite). Alors que l'ensemble ℝ résulte de classes d'équivalence de suites de Cauchy de ℚ, l'ensemble ℚ_p résulte quant à lui de classes d'équivalence de suites de Cauchy sur ℚ, mais en prenant une autre définition de la distance, dite norme p-adique (Les suites de Cauchy ne seront donc pas les mêmes).

Bref : ℚ_p, c'est comme ℝ, mais en mieux !

Les nombres p-adiques sont les jouets principaux des mathématiciens d'aujourd'hui : on essaye de faire sur ℚ_p tout ce que l'on sait déjà faire les yeux fermés sur ℝ (définir des fonctions et les dériver sans vergogne, résoudre des équations différentielles). Et quand on y arrive, on essaye de faire encore mieux : découvrir des propriétés sur ℚ_p pour les ramener sur les réels.
On a même trouvé des applications des p-adiques à l'informatique ou à la physique...

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Sources :
Les nombres p-adiques, par Yann Ollivier (beaucoup de questions, mais sans les réponses)
Nombres décadiques ou brenoms, par Alain Pichereau (encore plus de questions, mais avec leur réponse)

11 octobre 2009

Êtes-vous plutôt Cantorien ou Dedekindien ?

Étant donné un carré de côté 1, exprimez sa diagonale sous la forme d'une fraction.
Voilà sans nul doute l'exercice qui a fait basculer toute la philosophie Pythagoricienne, et qui a ébranlé l'intelligentsia grecque, au moins jusqu'au XVIIIe siècle.
D'après le théorème de Pythagore, la diagonale aurait une longueur de √2 ("le nombre dont le carré vaut 2"). Si on voulait exprimer ce nombre sous la forme a/b irréductible (insimplifiable), on se retrouverait quant même à devoir la simplifier, qu'on le veuille ou non. Le nombre √2 n'est pas un rationnel...

Mais... Si √2 est un nombre et qu'il n'est pas un rationnel... Qu'est ce que c'est ?!
On va appeler ça un nombre, avec un grand ℝ, qui pourront représentera une longueur, une masse, un temps ou même une viscosité cinématique... On avait déjà les entiers naturels, les entiers relatifs, les rationnels ; il va maintenant falloir faire avec les réels pour représenter plus fidèlement de manière chiffrée les phénomènes physiques et géométriques.

Après avoir découvert que √2 était irrationnel, on a vite découvert que √n (pour n un entier non carré quelconque) était également irrationnel. Pour pi, il a fallu attendre plus longtemps (1761), mais on a su démontrer qu'il n'était pas rationnel non plus. Pas plus que le nombre d'or φ, la base des logarithmes e, ou le nombre de Dottie δ. Pour se représenter les nombres réels, on utiliser la droite des réels : à tout point de cette droite correspond un nombre, et vice-versa.

La droite des nombres réels, avec quelques valeurs

Les nombres réels ont été baptisé de la sorte par Cantor (en 1883), pour les différencier des nombres imaginaire qui venaient d'être découvert/inventés.
Continuons la construction des ensembles de nombre usuelle à partir des ensembles plus petit, et passons donc à la construction des réels à partir des rationnels !

Les réels d'après Hilbert : construction axiomatique
Pendant que Peano (XIXe siècle) donnait une axiomatique des nombres entiers sans se casser à passer par une construction effective, Hilbert (XXe siècle) faisait de même avec les réels. L'ensemble ℝ est donc :

L'unique ⁽¹⁾ corps ⁽²⁾ totalement ⁽⁴⁾ ordonné ⁽³⁾ archimédien ⁽⁵⁾ complet ⁽⁶⁾

(1) Toutes les autres structures qui possèdent ces caractéristique ressembleront à ℝ comme deux gouttes d'eau
(2) On peut y faire sans problème des additions, des soustractions, des divisions et des multiplications (comme ℚ)
(3) On y a définit une relation "<", permettant de ranger les éléments
(4) Et pour deux éléments x et y différents, on aura toujours soit x<y, soit y<x. (comme ℚ)
(5) Pour deux éléments x et y positifs tel que x<y, on peut trouver un entier n tel que y<(x+...+x) (n fois) (Autrement dit, en ajoutant suffisamment de fois une même petite longueur, on peut dépasser n'importe quelle longueur plus grande fixée à l'avance) (comme ℚ)
(6) En appliquant une nouvelle fois le processus de Cantor (avec ses suites de Cauchy), on ne trouvera pas de nouveaux nombres (cf la suite)

En supposant l'existence d'un tel ensemble, on peut faire tout ce que l'analyse a inventé depuis Newton. Mais un tel ensemble existe-t-il vraiment ?... Deux mathématicien ont fait l'effort de la construction, chacun avec une approche différente : d'un côté, Dedekind et ses coupures, de l'autre Cantor et ses suites de Cauchy.

Les réels d'après Dedekind  : les coupures
Même si entre deux rationnels, il existe toujours un troisième rationnel, l'ensemble ℚ possède plein de "trous", √2 en est un exemple, parmi une infinité d'autres. Pour obtenir ℝ à partir de ℚ, il faut donc boucher tous ces trous : c'est l'idée géniale de Dedekind !

L'ensemble des rationnels ressemble plutôt à ceci :

Le nombre √2 tombe dans un des trous de Q, avec, à sa gauche, les nombres plus petit que √2, et à sa gauche, les plus grands. Finalement, le réel √2 peut être vu comme le nombre à la fois plus petit que tous les rationnels plus grands que √2 et plus grands que tous les rationnels plus petits que √2... 

Dedekind définit une coupure de ℚ comme une partition de ℚ sous la forme [ A_G | A_D ], où tout élément de A_G est plus petit que ceux de A_D. Une coupure représentera alors un des trous de Q, et donc, un nombre réel.

Quelques exemples :
La partition [ {x∈ℚ | x≤0}  |  {x∈ℚ | x>0}  ] est une coupure de ℚ, et représentera le nombre 0.
La partition [ {x∈ℚ | x<0 ou x²<2}  |  {x∈ℚ | x>0 et x²>2} ] est une coupure de ℚ, et représentera le nombre √2.

Coupure de ℚ correspondant à √2

L'ensemble des réels ne sera alors l'ensemble des coupures de ℚ ! (Moyennant quelques précautions, puisque un nombre peut être représenté par plusieurs coupures différentes)
Il ne reste plus qu'à définir addition, multiplication et toutes ces choses pour obtenir l'ensemble des nombres que l'on connaît bien !

Les réels d'après Cantor : les suites de Cauchy
Intuitivement, un nombre réel est un nombre possédant (ou pas) une infinité de chiffres après la virgule. On peut donc, sans trop se fatiguer, construire l'ensemble des nombres réels comme celui des nombres écrit sous la forme "n,d₁d₂d₃d₄..." où n est un entier relatif, et les d_i est une suite de chiffres entre 0 et 9.

Ainsi, parler du nombre √2=1,41421... revient à parler du nombre résultant de la somme infinie :

Quand on parle de somme infinie, on parle en fait du nombre qui est la limite des sommes partielles, autrement dit, le nombre vers lequel tend la suite (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...). Cette suite est une suite de nombres rationnels, et elle converge vers √2, qui n'est pas rationnel.

On aimerait bien définir les réels comme les limites de telles suites, mais comment faire, puisque les limites n'existe pas (encore) ? Il suffira finalement de dire que le nombre √2 est la suite (v)_n=(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...) !

C'est de cette façon que Cantor appréhende les nombres réels : c'est la limite d'une suite de nombres rationnels. Le nombre √2 peut aussi être approché par la suite de rationnels définis par la suite :

Les premières valeurs de cette suite sont :

Les 5 premières valeurs de cette suite, qui se regroupent autour d'une valeur limite

Les suites (u)_n et (v)_n sont des suites de Cauchy de ℚ : elles sont de plus en plus "tassées" autour d'un point limite (même si cette limite n'est pas dans ℚ).

Par contre, la suite différence (u-v)_n=(u₀-v₀, u₁-v₁, u₂-v₂, ...), elle aussi de Cauchy, possède une limite, qui n'est autre que 0. Alors que les suites (u)_n et (v)_n ne convergent pas dans ℚ, mais la suite différence si.
Deux suites de Cauchy sont dites équivalentes si la limite de leur différence est 0. Comme pour les constructions précédentes, il ne manque plus qu'un passage au quotient : un nombre réel, ça sera alors une classe d'équivalence de suites de Cauchy.

On appellera donc √2 l'ensemble des suites de Cauchy équivalentes à u ou à v.

L'ensemble des classes d'équivalence des suites de Cauchy de ℚ est appelée ℝ. On y retrouve les nombres rationnels (0.5 sera représenté entre autre par la suite (0.5, 0.5, 0.5, 0.5, ...) ), et de nouveaux nombres, comme pi ou √5.
On peut alors faire l'inventaire des propriétés algébriques de cet ensemble ℝ :
C'est un corps : on peut y définir une addition, une soustraction, une multiplication et une division, en s'inspirant de celle de ℚ.
Il est totalement ordonné : On peut étendre l'ordre de ℚ à ℝ, qui reste totalement ordonné.
Comme ℚ, ℝ est archimédien, et enfin, ℝ est complet : on ne pourra rien obtenir de plus grand que ℝ par ce processus.

Bref, c'est un corps totalement ordonné archimédien complet ! (Tout comme l'ensemble construit par Dedekind, qui est finalement le même que celui de Cantor, par unicité de ℝ)

Maintenant, vous avez toutes les clés en main pour choisir votre camp : êtes-vous plutôt Dedekindien (les réels sont là pour remplir les vides laissés par les rationnels) ou Cantorien (Les réels ne sont que des limites de suites) ?...

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Sources :
Wikipedia : beaucoup
Cours de Martial Leroy : un peu
Une autre construction de ℝ à partir de quasi endomorphismes de ℤ, par Xavier Caruso

04 octobre 2009

Histoire de ℚ

Pour un bon disciple de Pythagore, tout est nombre : les nombres sont le principe des choses, et donne au monde une harmonie universelle. Sauf évidemment 0 (puisque c'est vide), 1 (puisque c'est l'unité), √2 et autres irrationnels (qui n'existent pas), les nombres négatifs (n'importe quoi...) , les nombres complexes (ils n'y avaient pas pensé) ou tous les autres concepts inventés bien trop récemment. Par contre, si il y a bien un concept mathématique qui était parfaitement compris, c'est celui des nombres rationnels, qui régissent les mécanismes de la nature.

Les rationnels, ce n'est ni plus ni moins que ce que l'on appelle communément les fractions, autrement dit, les nombres que l'on écrit sous la forme "a divisé par b". Cet ensemble a été baptisé ℚ, comme dans "quotient".

On peut tout de même distinguer deux types de rationnels :
- Ceux dont l'écriture décimale est finie, appelé ensemble des décimaux (ID), comme :

- Ceux dont l'écriture décimale est infinie (et périodique), qui regroupe également l'ensemble des décimaux (on peut toujours ajouter une infinité de 0). Le surlignage indique les périodicités.

Tout nombre rationnel peut ainsi s'écrire de façon périodique (parfois, de plusieurs façon, d'où le paradoxe 10=9.99999....), et, inversement, tout nombre qui admet un développement décimal périodique peut s'écrire sous forme de fraction.

Après la construction de ℕ et la construction de ℤ, nous arrivons donc à parler aujourd'hui de celle de ℚ. Aucun mathématicien n'a laissé son nom à cette construction, personne ne sait vraiment d'où vient l'écriture ℚ (sûrement Bourbaki ?)... Une origine mystérieuse, mais dont la construction n'a plus aucun secrets !

Construction de ℚ
A part pour les théoriciens des ordinaux, la construction de ℕ est tout de même complètement anecdotique. La construction de ℤ, quant à elle, revient à la symétrisation de ℕ. Maintenant que c'est fait, à quoi bon s'y replonger ?...
La construction de ℚ, par contre, est essentielle pour n'importe quel algébriste digne de ce nom. On l'appelle plus prosaïquement "localisation de ℤ en ℤ*".

Pour a∈ℤ et b∈ℤ non nul, on définit l'ensemble ℤ×ℤ* comme l'ensemble des couples (a,b). On écrit généralement ce couple sous la forme a/b, mais la barre de fraction n'est que cosmétique. Comme on ne fait pas les choses au hasard, on peut déjà définir une addition et une multiplication sur ℤ×ℤ*, en posant :

Mais pour l'instant, tous les couples sont différents. On a par exemple 3/18 ≠ 1/6, alors que l'on aimerait l'égalité ! Pour avoir quelque chose qui peut ressembler à ℚ, il faut donc définir l'équivalence de deux fractions, ce qui se fait de la façon suivante :

Le passage de ℤ à ℚ a permit d'apporter ce qui manquait aux nombres entiers relatifs : la division ! Avec l'addition, la soustraction, la multiplication et l'ordre, on a tout ce qu'il faut pour faire ce que les algébristes appellent un corps de nombre totalement ordonné.

Les premiers rationnels, sous leur forme la moins utilisable...

A noter tout de même que, malgré la simplicité de cette construction sur le papier, il aurait fallu vérifier tout ce qui fait que ℚ est ℚ : que l'addition et la multiplication sont bien commutatives, associatives, distributives, qu'elles passent au quotient (et que l'équivalence en est bien une), qu'elles respectent l'ordre, que l'on obtient un ordre, qu'il est bien totalement ordonné...

Localisation
Histoire de résumer les choses, on construit ℚ comme l'ensemble des nombres sous la forme

en prenant A=ℤ et B=ℤ*, et la définition de l'équivalence donnée un peu plus haut.
Mais le processus peut fonctionner de manière beaucoup plus générale ! Il suffit pour cela de prendre un anneau A (une structure dans lequel on peut faire addition, soustractions et multiplication) et B une partie multiplicative de A (stable par multiplication : si x∈B et y∈B, alors x.y∈B).

Par exemple, prenons A=ℤ et B={1,10,100, ..., 10ⁿ, ...} (les puissances de 10). On obtient alors :

Que l'on appelle plus simplement les nombres décimaux ! Ceux-là même que l'on peut écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Autre exemple, toujours avec A=ℤ, mais avec B=ℤ\{0,7,14,...,7n,...} (Les entiers qui ne sont pas des multiples de 7).

L'ensemble que l'on obtient s'appelle le localisé de ℤ en (7) : en endroit où toutes les divisions sont permises, sauf celles par 7 (et par ses multiples). Un nombre comme 1/42 n'y existe pas.
J'admets que, au premier abord, cela n'a pas vraiment d'intérêt... En fait, cette construction permet de rendre inversible tout ce qui n'est pas un multiple de 7. Lorsque l'on étudie une structure d'anneau (comme celle de ℤ), les inversibles s'effacent d'eux même. Une fois passé dans le localisé, seuls les multiples de 7 ressortent, et leur étude n'en est que plus aisée !

Un dernier exemple, en prenant A=ℝ[X] (l'ensemble des polynômes à coefficients réels, qui peuvent s'additionner, se multiplier : c'est un anneau) et B=ℝ[X]* (les mêmes polynômes, mais non nuls).

L'ensemble que l'on obtient n'est autre que l'ensemble des fractions rationnelles, de la forme P(X)/Q(X). Et si maintenant, on prend des polynômes à plusieurs variables que l'on s'amuse à les localiser plus ou moins n'importe où, on peut arriver à tout un tas de théorèmes magiques de géométrie algébrique ! Parmi ceux-ci, le théorème de Bézout, qui prétend entre autres que deux coniques (des cercles, des paraboles, des hyperboles...) se coupent toujours en exactement 4 points...

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Sources :
Du bon wikipedia, mais aussi des cours

27 septembre 2009

Avant Dedekind, les gens avaient-ils moins froid ?

La grande saga des nombres, chapitre II : les entiers relatifs !
[A noter que cette saga ne respecte absolument pas l'Histoire, les entiers relatifs ayant été admis bien après les rationnels...]

La semaine dernière (ou presque), Peano, Von Neumann et leurs amis ont construit de toutes pièces l'ensemble des entiers naturels, qui ressemble à peu de chose près à {0,1,2,3,4,5,6,7,...}. En ajoutant un peu de symétrie dans tout ça, Dedekind a construit l'ensemble des entiers rationnels, qui ressemble à {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Comment a-t-il réussi cette prouesse ? C'est ce que nous allons tenter de découvrir !...

Sans trop se prendre la tête, on dit qu'un nombre est un "entier relatif" (voire "entier rationnel") quand il s'agit d'un nombre entier muni ou non de son signe "-". (comme 0, -4,  -7 ou 42}. Les zentiers relatifs sont simplement les entiers positifs et les entiers négatifs. L'ensemble des entiers rationnels est noté ℤ, de l'allemand "Zahlen", signifiant "nombres". Cette convention viendrait de Dedekind (1831-1916) ou de Bourbaki (1939-)...
Les nombres négatifs apparaissent dès les mathématiques indienne pour signifier les dettes, mais ont beaucoup de mal à être acceptées comme des vrais nombres. Au moins jusqu'au 17eme siècle, les nombres négatifs étaient traités de "racines fausses" (notamment par Descartes, mais ce n'est pas le seul coupable). Heureusement, cela n'a empêché personne de travailler avec pour résoudre les équations polynomiales (notamment Bombelli (1572), qui n'a pas hésité à utilisé des horreurs comme √(-1) pour résoudre des équations ayant des racines bien positives)...

Pourquoi moins fois moins, ça fait plus ?
Avant toute chose, répondons une bonne fois pour toute à cette grave question : pourquoi - fois -, ça fait + ? Les éminents ignorant disent "c'est une convention", pour éviter de réfléchir aux problèmes de fond...

L'écrivain Hervé Bazin (Vous savez, Vipère au poing, avec Folcoche...) a son petit moyen mnémotechnique pour s'en rappeler, à base de "les ... de mes ... sont mes ...". Ceci n'explique rien, et ne fait que renforcer l'idée de la convention...

Table de multiplication de {Ami,Ennemi}

La première explication, géométrique, vient du mathématicien Flamand Simon Stevin, alias Simon de Bruges, en 1625. Un nombre, c'est un vecteur : une norme (sa longueur) et une direction (son signe). Multiplier un nombre par -1, c'est simplement changer sa direction. Ainsi, multiplier -1 par -1 revient à changer deux fois la direction : cela ne change rien.

Multiplication des nombres-vecteurs unités

Oui... Et alors ? Il faudra attendre 1768, avec Clairaut, pour avoir une véritable explication, interdisant le "mois fois moins égale moins", et dont voici la démonstration :

La première chose à savoir, c'est que l'opposé d'un nombre a, c'est l'unique nombre b tel que b+a=0.  On note b par opp(a) ou plus simplement -a. La deuxième chose à savoir, c'est que dans ℤ, × est distributive sur +, ie, a.(b+c)=a.b+a.c pour des entiers relatifs quelconques a, b et c. Enfin, sur ℤ, on a la commutativité : a.b=b.a et a+b=b+a.
Bref, montrons que opp(a).opp(b)=ab.

Par définitions de l'opposé, on a : opp(a)+a=0 [A] et opp(b)+b=0 [B].
En multipliant dans [A] des deux côtés par b, on trouve grâce à la distributivité que opp(a).b+a.b=0.
Par définition, l'opposé de a.b est opp(a).b, ie, opp(a.b)=opp(a).b [C] {Ça donne déjà (-)×(+)=(-) }.

Revenons à [B], et multiplions des deux côtés par opp(a) : opp(a).opp(b)+opp(a).b=0
Grâce à [C], on a alors opp(a).opp(b)+opp(a.b)=0

On trouve donc que opp(a.b) est l'opposé de opp(a).opp(b). Cependant, opp(a.b) est l'opposé de a.b. On a donc opp(a).opp(b)=a.b. C(QAD)² : Ce Que j'Avais Dit Que j'Allais Démontrer !

Cette démonstration a le mérite de s'appuyer sur l'idée naïve que l'on se fait de ℤ, à savoir la commutativité, la distributivité (et quelques autres trucs).

Autre façon de penser : que se passerait-il si, histoire de changer, on prenait (-)×(-)=(-) (On garde tout de même la commutativité)  ?
On aurait donc : (-1)×(-1)=(-1) [D]
Partons donc de l'égalité (-a).(-b)=-(a.b)
Par commutativité, on peut réécrire (-1).(-1).a.b=(-1).a.b [E]
En simplifiant [E] à l'aide de [D] on a (-1).a.b=(-1)a.b, ie (-a).b=-(a.b). Bref : (-)×(+)=(-)
En simplifiant [E] par (-1), on a (-1).a.b=a.b ie a.b=-(a.b). Bref : (+)×(+)=(-)
Et donc, n'importe quoi fois n'importe quoi égale moins... De là à dire que (-)=(+), il n'y a qu'un pas...

Les entiers relatifs selon Dedekind
Pour construire ℤ, on pourrait simplement dire "Soit un anneau intègre (A,+,×) bien ordonné, dont l'ordre est préservé par +". Un tel ensemble EST ℤ !
L'algèbre a le mérite de simplifier les choses, mais ça ne nous dit pas si ℤ existe...

Pour définir les entiers relatifs, on ne dispose que d'une seule chose : l'ensemble des entiers naturels. Il faut faire avec. L'idée de Dedekind est de voir les relatifs comme des différences entre deux entiers. Ainsi, le nombre -2 est 0-2 ou 5-7, et le nombre 8 est 8-0 ou 10-2.
Ici, le symbole "-" ne représente pas encore la soustraction (elle n'existe pas, on a que l'addition), simplement une facilité d'écriture.

Un entier relatif est donc un couple de deux entiers naturels :
4 sera défini par (4,0) ou (5,1) ou (6,2) ou ...
-2 sera défini par (0,2) ou (1,3) ou (2,4) ou ...

Gros problème : chaque relatif peut avoir plusieurs écritures différentes ! Il faut donc trouver un moyen de légitimer l'égalité (4,0)=(5,1). Pour cela, il faut définir une relation d'équivalence ~ sur l'ensemble des couples d'entiers naturels (x,y) : on dit que (a,b)~(a',b') si a+b'=a'+b.

Ainsi, on a bien (4,0)~(5,1) car 4+1=0+5.
Un nombre relatif est donc une classe d'équivalence, c'est à dire, l'ensemble des couples deux à deux équivalents. Un nombre relatif sera donc l'ensemble des façons de l'écrire. Par exemple :
{(4,0), (5,1), ..., (4+k,k), ...} définira 4.
{(0,0), (1,1), ..., (k,k), ...} définira 0.
{(0,2), (1,3), ..., (k,2+k), ... } définira -2.

Les classes d'équivalence peuvent être représentées par les diagonales du plan ℕ×ℕ :

Les classes d'équivalence

Au lieu d'écrire les nombres sous la forme ensembliste, on choisira l'un de ses représentants. On peut prendre indifféremment (4,0) ou (6,2) pour parler de 4. On préférera tout de même les écritures (n,0) ou (0,n), que l'on écrira respectivement n ou -n.
On reconnait ℕ dans les nombres de la forme (n,0).

On peut alors prolonger l'addition et la multiplication de ℕ, en définissant :
(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')
(a,b)×(a',b')=(a.a'+b.b',a.b'+a'.b)

Ces définitions de l'addition et de la multiplication permettent d'obtenir notamment la distributivité, et donc la fameuse règle "moins × moins = plus" :

(a)×(b) = (a,0)×(b,0) = (a.b,0) = a.b
(a)×(-b) = (a,0)×(0,b) = (0,a.b) = -(a.b)
(-a)×(b) = (0,a)×(b,0) = (0,a.b) = -(a.b)
(-a)×(-b) = (0,a)×(0,b) = (a.b,0) = a.b

Les entiers relatifs selon les autres
Ce n'est évidemment pas la seule façon de définir ℤ. D'autres constructions existent, bien plus simples à appréhender, mais pour lesquelles les définitions les plus simples comme celle de l'addition deviennent horribles...

* Un entier et un signe :
La façon la plus simple est de définir les entiers relatifs comme des entiers naturels munis d'un signe. Défini de manière ensembliste, cela donne l'ensemble ℕ×{-1,1} [en admettant que (0,-1)=(0,1), ce sont les nombres de la forme (n,±1)]. Définir la multiplication se fait sans mal avec la règle des signes, mais pour l'addition, les choses se corsent vraiment...

Représentation graphique de ℤ comme ℕ×{-1,1}

* Sous ensemble de ℕ×ℕ
On peut également créer ℤ en simplifiant la construction de Dedekind : au lieu de prendre les classes d'équivalence sur ℕ×ℕ, on prend directement les couples qui nous intéressent. On garde donc seulement les couples de la forme (n,0) ou (0,n). Sous ses airs de simplification, cette construction ne fait que compliquer encore plus la définition des opérations...

Représentation graphique de ℤ comme sous ensemble de ℕ×ℕ

La morale est toujours la même, finalement : ce qui est simple à appréhender s'avère toujours compliqué à manipuler, et ce qui est compliqué au premier abord se révèle toujours bien plus pratique... (Marche aussi à propos de l'intégrale de Riemann/de Lebesgue, à la programmation d'un tri ...)

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Sources :
Wikipédia construit ℤ avec encore plus de rigueur !

20 septembre 2009

4, 15, 23, 24, 35 et 42

Ces numéros sont ceux du loto bulgares tombés le 6 septembre 2008. Et aussi ceux tombés 10 septembre 2008, lors du tirage suivant ! Et trois de ces nombres sont à nouveau tombés la semaine suivante !

Signe avant-coureur de l'apocalypse ? Tricherie éhontée de la part des dirigeants du Toto 2 ? Coïncidence ? Je laisse les prophètes argumenter sur la réponse A et les théoriciens du complot sur la réponse B. Ce n'est qu'une formidable coïncidence, et l'on devrait tous se réjouir d'avoir vécu ça au moins une fois dans notre vie !

Le but ultime du Loto bulgare, comme celui de la plupart des loteries nationales (et contrairement au loto français actuel), c'est de trouver parmi 49 numéros quels sont les 6 qui seront tirés au sort. Chaque combinaison de nombre a autant de chance de tomber que n'importe quel autre, et une combinaison jolie comme "8-10-12-14-16-18" a la même chance de tomber que "2-3-6-11-23-47" (bien que les suites arithmétiques sont moins probables que les suites plus chaotiques, je l'accorde).

Premier tirage
En jouant à un moment donné la combinaison de votre choix [prenons (1,2,3,4,5,6)], quelle est la probabilité de gagner le gros lot ? Il faut pour cela calculer le nombre total de combinaisons qui pourraient potentiellement sortir. Il faut donc calculer le nombre C₄₉⁶ (lire "6 parmi 49", ie, nombre de combinaison de 6 boules parmi 49, sans prendre en compte l'ordre).

La première boule est choisie parmi les 49, la deuxième est choisie parmi 48, et ainsi de suite jusqu'à la sixième. Cela donne donc 49×48×47×46×45×44≈10¹⁰  arrangements de 6 numéros.
Seulement, le loto n'est pas une course de chevaux : pas besoin de pronostiquer les numéros dans le bon ordre, {1,2,3,4,5,6} est la même chose que {6,5,4,3,2,1}, à une permutation près. Dans les 10¹⁰ arrangements, certaines combinaison sont représentées plusieurs fois (toutes, en fait). Une combinaison donnée sera toujours représentée 720 fois dans l'ensemble des 10¹⁰ arrangements.
Par exemple, combien d'arrangements sont équivalents à {1,2,3,4,5,6} ? On a 6 choix pour la première position (1, 2, 3, 4, 5 ou 6), puis 5 choix pour la deuxième position, et ainsi de suite. Cela donne 6×5×4×3×2×1 (noté "6!" - lire "factorielle de 6") façons d'obtenir {1,2,3,4,5,6}, soit 720 façon d'écrire n'importe quelle combinaison de 6 numéros. Au final, le nombre de combinaisons différentes que l'on peut obtenir est 49×48×47×46×45×44/6×5×4×3×2×1.

Une formule permet donc de retrouver la valeur :

Dans le cas présent, on a :

Bref, il y a une chance sur 13 983 816 pour qu'un individu lambda gagne le gros lot à un tirage gamma. Ce n'est pas beaucoup, mais ce n'est pas impossible...

Deuxième tirage
Le fait extraordinaire, c'est quand même que la combinaison soit sortie deux fois de suite. Autrement dit, quelle est la probabilité pour que le tirage de la semaine n+1 soit le même que la semaine n ?
Plaçons nous au 7 septembre : quelle est la probabilité pour que la combinaison (4, 15, 23, 24, 35, 42) sorte au prochain tirage ? Puisque les boules n'ont pas de mémoire, c'est toujours la même chose : une chance sur 14 millions (et non 4.2 millions comme ont pu le rapporter la plupart des journalistes).

Formidable coïncidence ! En fait, quand 14 millions de grilles sont jouées, il y a en moyenne un gagnant parmi ceux là. Pour une fois, c'est la bulgare des jeux qui a gagné à son propre tirage ! (Mais ce n'est pas la seule, puisque 18 autres personnes se sont dit au cours de la semaine "si c'est tombé une fois, ya pas de raison pour que ça ne retombe pas la fois suivante"...)

Ce qui est étonnant, c'est que ça s'est produit au début du mois ! Il est vrai que ça aurait été tout aussi étonnant si l'évènement avait eu lieu dans un autre pays un autre jour.

N-ième tirage
Mais au fait, quelle est la probabilité pour que j'assiste à un tel évènement au cours de ma vie ?

Selon wikipédia, une soixantaine de pays (au moins) disposent d'un loto national, chacun avec ses propres règles. Pour simplifier, disons que le gros lot a toujours une probabilité de une chance sur 14 millions, avec 2 tirages par semaine. Par semaine, cela donne 120 tirages. Puisque j'aimerai vivre au moins 80 ans, j'espère assister dans ma vie à environ 500 000 tirages de loto.

500 000 tirages avec une probabilité de 1/14 000 000 cela donne finalement une chance sur 28 pour assister à ce fait extraordinaire au moins une fois au cours de ma vie ! Ce n'est pas énorme, mais ça reste toujours autant que de passer au tableau le jour où l'on a pas fait ses exercices...
Pas si exceptionnel que ça, finalement !...

En fait, les évènement improbables n'arrivent jamais. Sauf des fois.

Reste cette question : quelle était la probabilité pour qu'un tirage sorti deux fois de suite lors du loto bulgare ressemble à 66% aux nombres qui ont fait gagner Hurley au loto dans Lost ?
Environ une chance sur 1 013 !
Et ça, on peut dire que ça laisse songeur...

13 septembre 2009

Savez-vous compter les 82 ?

Les lecteurs assidus de ce blog savent depuis la fin des vacances comment prononcer les nombres dans la langue de Molière.
Les lecteurs encore plus assidus se rappellent comment écrire les nombres dans la langue de Samsu-ditana, de Kukulkan, de Montouhotep II, de Périclès, de Shang, de Shadoko, de Boby Lapointe et même des marchands d'huitre !
Ces systèmes sont malheureusement dépassés et/ou complètement absurdes...

Le système révolutionnaire de Condorcet
Nous sommes à la fin du XVIIIe siècle, et la prononciation des nombres est à peu près celle que l'on connaît aujourd'hui, avec ses dénominations archaïques ("quatre-vingt","quatre-vingt-dix") et illogiques (Si 17 se prononce "dix-sept", pourquoi 16 ne se prononce pas "dix-six" ?). 5 ans après sa mort, le marquis de Condorcet (ou plutôt, sa veuve) publie "Moyens d'apprendre à compter sûrement et avec facilité", dans lequel il expose une façon bien plus rationnelle de nommer les nombres, dans le même élan post-révolution de refonte totale du système en utilisant la base 10 (calendrier républicain et ses semaines de 10 jours, adoption du système métrique...).

Le système de Condorcet est en fait le système français que l'on connait tous, mais en lui ajoutant un brin de de logique pour qu'il puisse être plus facilement enseigné aux enfants :
Les nombres de 0 à 9 : zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf
Les dizaines de 10 à 90 : dix, duante, trente, quarante, cinquante, soixante, septante, octante, nonante
Pour obtenir n'importe quel nombre entre 11 et 99, il suffit d'accoler le nom de la dizaine et celle de l'unité (si ce n'est pas 0) à l'aide d'un trait d'union.
Pour nommer les nombres de 100 à 999, rien de bien original : on prend l'unité correspondant aux centaines (sauf s'il s'agit de 1), et on ajoute "cent".
Pour les nombres plus grand, on regroupe les chiffres par paquets de trois, et on place le mot qu'il faut : mille (10³), million (10⁶), dillion (10⁹), trillion (10¹²), quadrillion (10¹⁵). Condorcet ne dit rien pour les nombres plus grand, à part un laconique "etc."...

La lecture des nombres est complètement simplifiée, avec un mot par chiffre ou par espace :
13 : dix-trois
21 : duante-un
42 : quarante-deux
84 : octante-quatre
2 090 002 074 : deux dillions, nonante millions, deux mille, septante-quatre

Histoire de garder quelques habitudes, les noms "million", "dillion", "trillion" et "quadrillon" prennent toujours un s au pluriel. Le mot "mille" est définitivement invariable, et plus de problème avec "vingt", puisque qu'il n'existe plus. Condorcet a pris l'habitude de mettre des virgules après les noms (bien qu'il ne donne aucune règle la dessus), on va le suivre...

Inventés lors de la révolution française, le calendrier républicain a eu son petit succès une douzaine d'années, avant que Napoléon ne s'en mêle, et le système métrique est aujourd'hui adopté par le monde entier (en oubliant cette sombre histoire d'heure décimale, qui n'est pas très bien passé - Je crois qu'un parti politique utopiste tente de le remettre à jour...). Le système révolutionnaire de Condorcet n'a en revanche pas eu la même gloire, puisqu'il a été oublié avant même d'avoir été utilisé...

Le système des myriades de Knuth
Nous sommes maintenant à la fin du XXe siècle, au moment où Conway proposait sa réforme de nomenclature des grands nombres (et ses millinillions). Donald Knuth propose lui aussi une nomenclature totalement révolutionnaire, bien plus puissante que celle de Conway (surtout en combinant les deux) et basé sur le principe de récurrence (comme tout ce que fait Knuth, en fait).
Dans le système de Conway, on change le nom des nombres à chaque fois que l'on ajoute six zéros. Dans le système de Knuth, on change le nom des nombres à chaque fois que le nombre de zéro est doublé ! Explications :

Pour les nombres de 1 à 99, on garde les noms classiques.

Pour les nombres de 100 à 9999, on utilise la dénomination traditionnelle des dates, à savoir "dizaine-unité cent dizaine-unité". Par exemple :
1515 : quinze cent quinze
4231 : quarante-deux cent trente-et-un
2000 : vingt cent

Pour les nombres entre 1,0000 et 9999,9999, on commence à grouper les chiffres par paquets de 4 (des paquets de myriades). On découpe ainsi le nombre en deux parties qui se lisent comme des nombres entre 1 et 9999, séparés par le nom "myriade". Par exemple :
1418,1515 : quatorze cent dix-huit myriades quinze cent quinze

Pour les nombres entre 1;0000,0000 et 9999,9999;9999,9999, on écrira "blabla myllions blabla", où blabla est un nombre écrit comme dans le paragraphe précédent. Par exemple :
3,0040;0001,0000 : trois myriades quarante myllions une myriade
2,0000;0000,0000 : deux myriades de myllions (la préposition "de" rend le nom plus agréable à l'oreille que "deux myriades myllions")

On continue de la même façon en prenant "byllion", "tryllion", "quadryllion", "quintyllion" etc. L'écriture des nombres par paquets de 4 utilise différents séparateurs suivant le mot à placer. Ainsi, les séparateurs seront la virgule, le point-virgule, les deux points, l'espace et l'apostrophe pour faire des groupes de respectivement 4, 8, 16, 32 et 64 chiffres.

On a donc :
10⁰ : un
10¹ : dix
10² : cent
10⁴ : une myriade (,)
10⁸ : un myllion (;)
10¹⁶ : un byllion (:)
10³² : un tryllion ( )
10⁶⁴ : un quadryllion (')
10¹²⁸ : un quintyllion

Dans la nomenclature de Conway, le quintyllion vaut cent unvigintillions, le sextyllion (10²⁵⁶) vaut dix mille duoquadragintillions, le septyllion (10⁵¹²) vaut cent quinquaoctogintillions, l'octyllion (10¹⁰²⁴) vaut dix mille septuagintacentillions, le nonyllion (10²⁰⁴⁸) vaut cent unquadragintatrecentillions et le décyllion (10⁴⁰⁹⁶) vaut dix mille duooctogintasescentillions. Puis vient l'undecyllion (10⁸¹⁹²), le duodecyllion (10¹⁶³⁸⁴), jusqu'au myryllion (10^{2^10002}), beaucoup trop long à écrire dans la notation de Conway !

La notation de Knuth simplifie énormément la lecture des très grands nombres mais possède un défaut : comment distinguer par exemple le tryllion de Knuth (10³²) du trillion de Conway (10¹⁸) [sans parler du trillion de l'échelle courte (10¹²) ] ?... Ce système est malheureusement inutilisable pour les non-avertis...

Le système roli de Guery
Alors que le système de Condorcet visait à écrire les petits nombres de manière simple et que celui de Knuth vise à écrire de manière concise les grands nombres, Marcel Guery propose en 2007 un code permettant d'écrire les petits nombres de manière concise. L'idée de base du système roli est de minimiser au maximum le nombre de syllabes : un nombre comme 829 683, qui demande 11 syllabes à être prononcé, le sera en seulement 2 une fois rolifié.

Le principe est simple : un groupe de trois chiffres sera représenté par une syllabe, construit à l'aide du code suivant :

Le code roli

Un groupe de trois chiffres s'écrit C+V+C
Un groupe de deux chiffres s'écrit C+V
Un groupe d'un seul chiffre s'écrit  V

Une syllabe représente ainsi un nombre entre 0 et 999, qui seront séparés à l'écrit par un tiret.

8 : wi
42 : kou
666 : sés
831 : chyoul
31 861 : mi-chél

Le temps de prononciation devient alors ridiculement bas ! Le nombre 789 295 317 demandera 19 syllabes pour être prononcé de manières traditionnelle, 17 dans le système révolutionnaire de Condorcet et seulement 3 dans sa version rolifiée (pwin-tyof-mip). Dans un monde utopique, on pourrait penser à une utilisation par ceux dont le métier est de trasnmettre oralement un grand nombre de chiffres. Les numéros de téléphones seraient bien plus pratique à être transmis ("-Hey, t'es charmante, tu me passes ton ré ? - Bien sûr, c'est le chyot-ryat-fit !)... En attendant, il peut servir à noter discrètement les dates historiques sur le blanco en vue d'un contrôle d'histoire...

En fait, le principal attrait de cette écriture est de pouvoir disposer de nombre dont la lecture sera amusante, comme 74 247 725,  449 940 144 467 ou 82 003 349 966 400 !

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Et dans la plus pure tradition des articles de numération de ce blog, terminons par un traducteur des nombres en révolutionnaire, en roli ou en myriades ! Pour des raisons de place, on ne pourra écrire que des nombres inférieurs à dix byllion de quintyllions de sextyllions pour la traduiction en myriades ou en roli. La traduction dans le système de Condorcet se limite aux mots utilisés par Condorcet, de l'ordre de cent quadrillions.

 

Système révolutionnaire Système myriade Roli

 

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Sources :
Le système révolutionnaire de Condorcet : Chez Nicolas Graner
Le système des myriades de Knuth : Chez wikipedia
Le système roli de Guery : Quadrature n°66, Octobre-décembre 2007

06 septembre 2009

Extraits de naissance des entiers naturels

"Dieu fit les nombres naturels ; tout autre est l'œuvre de l'homme" [Leopold Kronecker]

Par pure provocation iconoclaste, j'affirme plutôt qu'en mathématiques, Dieu a créé rien, et que les entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, ...) sont l'œuvre de l'homme !

Pour commencer ma grande saga des nombres (qui j'espère me fournira des sujets pour un grand nombre d'articles à venir), commençons par le commencement, avec les nombres entiers naturels, amoureusement notés ℕ, et les différentes façon de les fabriquer à partir de rien.

Les entiers naturels selon Gottlob Frege (1884)
Prenons au hasard un troupeau de narvals, un troupeau de nautiles, un troupeau de nandous, un troupeau de noctuelles et un troupeau de najas.

Troupeaux de narvals, de nautiles, de noctuelles, de nandous et de najas

Le programme de mathématiques de maternelle met l'accent sur la nécessité de l'abstraction, afin de faire émerger le concept de nombre en faisant le passage au quotient sur une relation d'équivalence, celle de l'équipotence.
Dans la pratique, cela consiste à remarquer qu'il y a autant de narvals que de nautiles, mais pas autant que de najas...

Prenons les troupeaux de narvals et de noctuelles, puis mettons-les en rang, deux par deux. Chaque narval a sa noctuelle, chaque noctuelle a son narval, aucun n'est délaissé. Nous venons de faire une correspondance biunivoque entre les narvals et les noctuelles : ces deux troupeaux sont donc "équinumériques" ou "équipotents" (ils possèdent "autant" d'éléments). On pourrait faire la même chose avec les nandous ou les nautiles : tous ces ensembles sont équipotents. Indépendamment du fait qu'il s'agisse d'animaux grossièrement dessinés, ces troupeaux ont pour point commun de posséder "autant" d'éléments. Ces troupeaux forment une classe d'équivalence, celle des ensembles possédant autant d'élément qu'il y a de narvals dans mon troupeau. Par commodité, on appellera "4" cette classe d'équivalence !

Par contre, impossible d'accoupler les narvals avec les najas, l'un de ces dernier sera forcément délaissé. Il n'y a donc pas autant de narvals que de najas. Par contre, puisque je peux les appareiller avec les doigts de ma main droite, il y a équipotence entre mes doigts droits et le troupeau de najas.  Les najas et les doigts forment une classe d'équivalence différente, notée "5".

Pour le logicien allemand Frege, les nombres naturels, c'est ce qui permet de différencier les ensembles finis d'objets. Le monde des collections finies d'objets est donc divisé en ℵ₀ catégories : les collections qui possèdent 4 objets, les collections qui possèdent 5 objets, les collections qui possèdent 42 objets, les collections qui possèdent 0 objet...

En mettant un peu d'ordre à tout ça, on trouve que les entiers naturels sont :
0, 1, 2, 3, 4, ...

On appelle cet ensemble ℕ, et cela suffit dans la vie quotidienne pour compter le nombre de patates nécessaire pour faire des frites pour 4 personnes.

Les entiers naturels selon Peano (1889)
En son temps, Euclide a définit les axiomes de la géométrie, ie, les vérités premières à partir desquelles découle toute la géométrie. 2200 ans plus tard, le mathématicien italien Giuseppe Peano s'est penché sur le cas des nombres entiers. Après un long brainstorming avec Dedekind, il a proposé un ensemble de 5 axiomes, définissant l'ensemble des entiers naturels de façon récurrente. Ils ont ainsi créé un ℕ idéal, indépendant de la réalité, contrairement à Frege. Heureusement, ils ont bien bossé, et les deux définitions se correspondent bien !

Les axiomes de Peano sont les 5 axiomes suivant :
(0) - 0 est un entier naturel
(1) - Tout entier n admet un successeur, noté "S(n)", ou "succ(n)", ou "n+1"
(2) - Aucun entier n'admet 0 pour successeur
(3) - Deux entiers qui possèdent le même successeur sont égaux
(4) - Si un ensemble contient 0 et le successeur de tous ses éléments, alors cet ensemble est celui des entiers naturels.

De nulle part sort le nombre 0 (par l'axiome 0), qui engendre à lui tout seul tous les autres entiers (par l'axiome 1). Les 3 autres permettent de donner une contenance aux nombres créés par les deux premiers axiomes.

Pour Peano, les entiers naturels sont donc :
0 - 0
1 - S(0) (ie "l'entier qui suit 0")
2 - S(S(0)) (ie "l'entier qui suit l'entier qui suit 0")
3 - S(S(S(0)))
4 - S(S(S(S(0)))), ...

Pour plus de commodité, on les renomme en 0, 1, 2, 3, 4, ... En ajoutant les bonnes définitions de la somme, de la multiplication et de toutes ces choses là, on récupère ce que l'on connaissait déjà intuitivement : l'arithmétique !
Les axiomes de Peano sont la base de l'arithmétique, et suffisent pour répondre aux principales questions du genre "Quel nombre suit 19 551" ou "existe-t-il une infinité de nombre premier ?".

Les entiers naturels selon Von Neumann (194?)
Le problème des nombres entiers selon Peano, c'est que non seulement, ils sortent de nulle part, mais surtout qu'ils ajoutent 5 axiomes. Avec les 8 axiomes de la théorie des ensembles (ZFC), c'est 5 axiomes de trop ! L'idéal, ça serait de construire les entiers naturels dans la théorie des ensembles, ce qui rendrait superflus les 5 axiomes.

Pour construire les nombres entiers naturels dans la théorie des ensembles, "il suffit" d'y trouver un ensemble qui correspond aux axiomes de Peano. Autrement dit - sautez au paragraphe suivant si vous n'avez pas validé une L1 de maths - , il faut trouver un triplet (N,z,S) où N est un ensemble, z∈N et S:N→N qui vérifient :
(2) - z ∉ S(N)
(3) - f est injective
(4) - Si z∈F et S(F)⊂F, alors F=N
Un tel triplet est appelé structure de Dedekind-Peano.

Grâce à l'intervention divine du début de l'article, il existe rien. Rien, c'est l'ensemble vide, noté ∅. Puisque l'on a que ça, on va le garder pour faire office de 0. Après, il faut choisir l'opération successeur :

* En prenant S(n)={n}, les entiers naturels seront :
0 = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {1} = {{∅}}
3 = {2} = {{{∅}}}
L'ensemble N = {0,1,2,3,...} représente parfaitement l'ensemble des entiers naturels.

* En choisissant S(n) = n ∪ {n}, on obtient la construction de Von Neumann :
0 = {} = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0,1} = {∅,{∅}}
3 = {0,1,2} = {∅,{∅},{∅,{∅}}}
4 = {0,1,2,3} = {∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}

Hormis celui d'offrir une écriture horrible, l'intérêt essentiel de la construction de Neumann est de pouvoir dire aussi bien a<b que a∈b. (C'est pourquoi on la préfère à toutes les autres)

* En choisissant 0={∅} et S(n) = {n ∪ {{n}}}, on aura une autre construction des entiers naturels, dite construction Jjienne des entiers naturels :
0 = {∅}
1 = {{∅,{{∅}}}}
2 = {{{∅,{{∅}}},{{{∅,{{∅}}}}}}}
3 = {{{{∅,{{∅}}},{{{∅,{{∅}}}}}},{{{{∅,{{∅}}},{{{∅,{{∅}}}}}}}}}}

Cette construction n'a absolument aucun intérêt, sinon celui d'être encore plus difficile à écrire que la construction de Neumann (mais l'effet de surprise est passé de 60 ans...)...

En fait, peu importe le choix du zéro et celui de l'opération successeur (tant qu'elle vérifie les propriétés de Dedekind-Peano), on obtient toujours la même chose (un truc qui ressemble à {0,1,2,3,...}), au détail de l'écriture près.

Le fait d'inscrire les entiers naturels (et donc l'arithmétique) dans un cadre plus grand permet de répondre à des questions sur les nombres qui la dépasse, comme le théorème de Goodstein, ou toutes les questions sur la répartition des nombres premiers.

Les entiers naturels selon Church (1930)
Peano voit tout en entiers, Zermelo et Fraenkel (les fondateurs de l'axiomatique de la théorie des ensembles) voient tout en ensembles. De son côté, Church voit tout en fonctions, en fondant la théorie du lambda-calcul (un grand pan de l'informatique théorique).

Au final (et après tout un tas de considérations vulgarisée là-bas), le logicien Barendregt simule les entiers  naturels sous la forme :

0 = (λn.n)(λxy.x)
1 = (λxyz.zxy)(λxy.y) 0 = (λxyz.zxy)(λxy.y)(λn.n)(λxy.x)
2 = (λxyz.zxy)(λxy.y) 1 = (λxyz.zxy)(λxy.y)(λxyz.zxy)(λxy.y)(λn.n)(λxy.x)
etc.

Ce dernier paragraphe, c'était juste par plaisir d'écrire des longues formules en lambda calcul... Dans la réalité, les spécialistes de lambda calcul n'écriront jamais de telles atrocités !

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Sources :
Wikipedia sait plein de choses sur les axiomes de Peano et sur les entiers naturels.