Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

20 février 2017

Deux (deux ?) minutes pour les nombres de Catalan

J'ai toujours adorté la combinatoire. Voilà pourquoi j'ai voulu lui consacrer deux (deux ?) minutes...

Deux (deux ?) minutes pour... les nombres de Catalan

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1, 2, 5, 14, 42, 132,… En 1751, Leonhard Euler s’intéresse à la triangulation des polygones et obtient alors cette étrange suite de nombres.

En 1838, Eugène Catalan retrouve ces même nombres en étudiant la façon dont on peut parenthéser une expression. Il en déduira une formule relativement simple, si bien que la postérité appellera ces nombres la suite de Catalan.

Ça tombe bien, j’ai deux minutes pour en parler.

Les nombres de Catalan sont un passage obligé pour comprendre ce champ des mathématiques qu’est la combinatoire, l’art de savoir comment compter le plus efficacement possible un ensemble donné d’objets. Ils illustrent parfaitement la façon dont les mathématiciens peuvent être amenés à retourner un problème dans tous les sens pour le rendre trivial. Mais avant d’aborder le vif du sujet, ouvrons la boite à outil d’un mathématicien spécialisé dans la combinatoire.

Premier exemple tout bête. Voici un jeu de 7 familles. Il compte 7 familles. Dans chaque famille, on peut compter 6 personnages. Combien de cartes y a-t-il en tout dans ce jeu ? Si tu penses qu’il y en a 7×6, soit 42, tu as saisi toute la subtilité dont il faut faire preuve en dénombrement. Le meilleur moyen de compter les cartes n’est pas de les compter une à une, mais plutôt de considérer que l’on cherche à calculer le cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis comptant respectivement 6 et 7 éléments… Dans des termes plus simple, on dira que l’on a fait une multiplication.

J'ai réellement créé un jeu de 7 familles autour des concepts mathématiques. malheureusement, je n'ai pas prévu que ça intéresserait qui que ce soit, alors je n'ai créé que de toutes petites cartes...

 

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Allez, un autre exemple ! Je distribue ces 42 cartes à trois personnes de façon à ce que chacune reçoive le même nombre de carte. Elles recevront donc chacune… oui, 14 carte, il fallait procéder à une division !
    Heureusement, le mathématicien a des outils un peu plus subtils pour aborder les problèmes de combinatoire, comme les factorielles, les arrangements et les combinaisons.

Nouvel exemple : je souhaite ranger mes 7 romans de la saga Harry Potter dans mon étagère. De combien de façon vais-je pouvoir les ordonner ? Je peux par exemple les ranger par ordre alphabétique, par nombre de page ou simplement par ordre chronologique. On pourrait tenter de lister tous les rangements possibles, mais cela risque d’être un peu long. Prenons plutôt le problème d’un autre point de vue. Pour le premier livre que je vais ranger, j’ai 7 choix possibles. Une fois ce premier choix effectué, il ne reste plus que 6 choix pour le deuxième livre. Il reste ensuite 5 choix pour le suivant, et ainsi de suite. On peut donc conclure qu’il existe 7×6×5×4×3×2×1 façons différentes de classer cette saga, soit 5040. Ce nombre est ce que l’on appelle la factorielle de 7. On peut être tenté de dire qu'il y a 7×7×7×7×7×7×7 rangements possibles (7 choix possibles pour chacune des positions ou 7 positions possibles pour chaque livre), mais ça serait sous-entendre que l'on dispose de plusieurs exemplaires du même livre, ou que l'on place deux livres différents au même emplacement.

De manière plus générale, on appelle factorielle d’un nombre entier N le produit décroissant de tous les nombres entiers de N jusqu’à 1, que l’on note par un point d’exclamation. La factorielle de N est donc le nombre de façon d’ordonner N objets différents.

 

    Continuons le rangement. C’est maintenant ma collection des 24 DVD James Bond que je veux ranger. Malheureusement, mon étagère est trop petite, et je n’ai la place que d’en mettre 4. De combien de façons différentes pourrai-je alors les ranger ? Dans ce dénombrement, l’ordre est important. Plutôt que de compter une à une les possibilités, on va utiliser la même astuce que pour le problème précédent. J’ai 24 choix pour poser le premier DVD, puis 23 pour le suivant, et ainsi de suite. Puisque je ne veux ranger que 4 DVD, le nombre total s’élève à 24×23×22×21, soit au total 255 024. On parle de nombre d’arrangements.

De manière plus générale, on appelle arrangement de K parmi N le produit décroissant des K premiers entiers en partant de N et on le note ANK. L’arrangement de K parmi N désigne donc le nombre de façons de ranger K objets choisis parmi N différents. Un petit coup d’œil sur la définition des arrangements permet d’obtenir la formule ANK = N!/(N-K)!.

Un dernier outil incontournable de la combinatoire, les combinaisons. Pour parfaire mon étagère, j’aimerais y ajouter quelques figurines légo. J’en ai 25 différentes, et je veux en placer 4. Combien ai-je de façons de choisir 4 figurines parmi ces 25 ? On a envie de répondre avec les arrangements de 4 parmi 25, c’est à dire 25×24×23×22, mais ce n’est pas vraiment la réponse attendue, puisque l’ordre n’intervient pas ici. Chaque sélection de 4 figurines intervient en effet dans plusieurs arrangements différents. Mais dans combien exactement ? Eh bien, on peut le dénombrer, puisque l’on cherche ici le nombre de façons différentes de ranger 4 figurines différentes, ce qui se dénombre avec les factorielles : il y en a exactement 4×3×2×1.

Le nombre de façons de choisir les 4 figurines est donc égal au nombre d’arrangements de 4 parmi 25 divisé par la factorielle de 4, soit (25×24×23×22)/(4×3×2×1), ce qui donne tout de même 12 650. Ce nombre est appelé combinaison de 4 parmi 25.

De manière plus générale, on appelle combinaison de K parmi N, ou plus laconiquement K parmi N, le nombre d’arrangements de K parmi N divisé par la factorielle de K. La combinaison de K parmi N désigne alors le nombre de façons de choisir K objets parmi N différents. On le note parfois CNK, mais plus couramment en plaçant K sous N entre deux parenthèses. Vous connaissez peut-être ces nombre sous le nom de coefficients binomiaux, que l’on retrouve dans le triangle de Pascal, des nombres disposés en triangles où chacun est égal à la somme des deux nombres juste au-dessus. À noter enfin que la formule de K parmi N peut se réécrire sous la forme N!/((N-K)!×K!). Il me semblait important de le dire.

Ces quelques outils, mais surtout le dernier, permettent de résoudre bien des problèmes de dénombrement. Par exemple, combien existe-t-il de combinaisons différentes à l’Euromillions ? Il faut y cocher 5 numéros parmi 50, et 2 étoiles parmi 12. Puisqu’on ne tient pas compte de l’ordre, on dispose au total de 5 parmi 50 choix pour les numéros, et de 2 parmi 12 choix pour les étoiles, soit 2 118 760 combinaisons de numéros, et 66 combinaisons d’étoiles. Chaque combinaison de numéros peut être associée à n’importe quelle combinaison d’étoiles, ce qui donne donc au total 2 118 760 × 66 grilles possibles, soit au total 139 838 160.

 

Autre exemple de problème de combinatoire, celui des tintements de verres. Lors d’une soirée réunissant 13 amis et pas mal de boissons, deux invités annoncent l’arrivée d’un heureux évènement. Naturellement, chaque invité lèvera son verre afin de trinquer une et une seule fois avec chacun des autres invités. Combien entendra-t-on alors de tintements de verres ?

Il y a plusieurs façons de raisonner, ce qui donnera plusieurs réponses différentes mais pourtant équivalentes. On peut essayer de compter directement le nombre de tintements de verres. Déjà, l’invité A trinquera avec chacun des 12 autres invités, ce qui donne les 12 premiers tintements. L’invité B ayant déjà trinqué avec l’invité A, cela donne donc 11 tintements supplémentaires. L’invité C ajoutera 10 tintements, et ainsi de suite. Au final, le nombre de tintements s’élèvera à 12+11+10+..., soit 78.

On peut aborder le problème différemment, en considérant que chacun des 13 invités doit trinquer avec les 12 autres. Cette façon de compter ne tenant pas compte du fait que chaque tintement sera compté deux fois, il faut donc diviser le résultat par 2. Au total, le nombre s’élève donc à 13×12/2, soit 78, le compte est bon.

Une dernière façon voir le problème est de se placer du point de vue des verres. Un tintement, c’est la rencontre de deux verres. Il y a donc autant de tintements que de façons de choisir 2 verres parmi les 13. Le nombre est donc égal à 2 parmi 13, soit… 78. Un même problème trois approches différentes.

 

Un dernier exemple pour la route avant de parler des nombres de Catalan. Dans ce rectangle de dimension 10 sur 10, combien existe-t-il de façons de relier le point A au point B en n’empruntant que des chemins vers le haut ou vers la droite ? La réponse ne saute pas au yeux, mais il faut à nouveau faire intervenir les combinaisons. En effet, un chemin valide est une succession de 20 déplacements vers le haut ou la droite. Dans cette succession de déplacements, on comptera toujours 10 déplacements vers le haut, et tout autant vers la droite. Pour fabriquer un chemin valide, il faut donc choisir où seront ces 10 déplacements vers le haut parmi les 20 déplacements. Il y en a donc 10 parmi 20, c’est à dire 184 756 au total.

 

Bref, quand on est en face d’un problème de dénombrement, on peut souvent s’en sortir en utilisant de façon maline les combinaisons, surtout si l’on parvient à regarder le problème de la bonne façon.

 

Revenons en 1751. Durant sa très féconde correspondance avec Christian Goldbach, Leonhard Euler s’est intéressé à la question des triangulations des polygones.Oui, je me suis emmêlé les pinceaux, ce n'est pas Goldbach mais Riemann. Mea culpa !

De quoi s’agit-il exactement ? Détaillons un peu. Voici un polygone régulier à N côtés. En y traçant N-3 diagonales qui ne se croisent pas, on découpe le polygone en pièces triangulaires. On dit alors que le polygone est triangulé. Une question légitime qui se pose est le nombre de triangulations d’un polygone donné. À la main, on peut facilement vérifier que le carré n’a que 2 triangulations possibles, le pentagone en a 5 et que l’hexagone en a 14. Avec un peu de volonté, on peut vérifier que l’heptagone a 42 triangulations. Euler est parvenu à calculer à la main et sans erreurs le nombre de triangulations de tous les polygones réguliers jusqu’au décagone, et a conjecturé une formule de son cru permettant de calculer EN, le nombre de triangulations du polygone à N+2 côtés. Il n’arrive cependant pas à démontrer ce résultat.

Il en parle alors à Johann Segner, qui lui fait remarquer une façon ingénieuse de dénombrer les triangulations. Prenons l’exemple de l’undécagone, polygone à 11 côtés que Euler n’a pas essayé de traiter, et numérotons ses côtés et ses sommets de 1 à 11. Quand il sera triangulé, le côté 1 fera parti d’un triangle. Dans cet exemple, il lie le côté n°1 au sommet n°5. Si on retire ce triangle, on obtient deux sous polygones. Dans l’exemple, ils ont respectivement 5 côtés et 7 côtés. Euler a calculé qu’un pentagone possède 5 triangulations, et qu’un heptagone en possède 42. On peut donc affirmer qu’il existe 5×42, c’est à dire 210 triangulations de l’undécagone qui possèdent ce triangle liant la face n°1 au sommet n°5. En procédant de la même façon, et grâce à la connaissance du nombre de triangulations des polygones plus petits, on peut compter les triangulations de l’undécagone qui possèdent un triangle liant la face n°1 au sommet n°2, n°3, n°4 ou n’importe quel sommet jusqu’au n°10. On a ainsi compté l’ensemble des triangulations de l’undécagone, il y en a 4862.

En généralisant ce processus, on obtient la formule récursive de Segner, qui a permis à Euler de démontrer une bonne fois pour toutes sa formule donnant le nombre de triangulations d’un polygone à N côtés. En effet, une telle formule donne naissance à une équation fonctionelle plutôt facile à résoudre, mais très calculatoire. L'article de Wikipedia détaille cette preuve. La suite de nombres 1, 2, 5, 14, 42, ... devient alors la suite de Euler-Segner.

 

En 1838, Eugène Catalan s’intéresse à un autre problème qu’il relie tout de suite aux travaux de Euler et Segner, celui du nombre de façons de faire une multiplications à plusieurs facteurs. La multiplication à 3 facteurs 1×2×3, par exemple, peut être traitée de deux façons différentes : on peut commencer par traiter 1×2, puis multiplier le résultat par 3, ou bien commencer par 2×3, et multiplier le tout par 1. Un produit à trois termes peut donc être effectué de 2 façons différentes. Cela revient en fait au nombre de façon de parenthéser le produit 1×2×3.

Pour un produit à 4 facteurs, on peut voir qu’il y a 5 façons de le traiter, et qu’il y en a 14 pour en aborder un à 5 facteurs. Autrement dit, il y a autant de façons de faire une multiplication à N termes que de façons de trianguler un polygone à N+1 côtés.

Le lien entre les deux problèmes, Catalan le fait en remarquant que la formule de Segner s’applique dans les deux cas. La démonstration est donc calculatoire, et ne montre alors pas un lien direct entre les deux phénomènes. Il prouve cependant, toujours de manière calculatoire, une formule permettant de faire ce dénombrement. En appelant CN le nombre de façons de multiplier N+1 termes, il prouve que CN = (N parmi 2N) - ((N+1) parmi 2N), que l’on peut montrer facilement comme égal à N parmi 2N divisé par N+1. Les formules sont belles, les nombres deviennent alors les nombres de Catalan.

 

On a donc d’un côté des triangulations de polygones, de l’autre des parenthésage de multiplications, au milieu de tout ça des jolies formules, mais aucun liens profonds entre tout ça.

On peut pourtant en trouver, en associant à chaque triangulation un parenthésage, et inversement. Prenons par exemple un heptagone, et associons à chaque côté un facteur du produit a×b×c×d×e×f. On garde aussi un côté libre. Après avoir triangulé le polygone, on va voir qu’il est possible d’associer une expression à chacune des diagonales. Pour cela, on fait en sorte que dans chaque triangle, un côté soit égal au produit des deux autres. On commence ainsi par les diagonales qui bordent des côtés nommés de l’heptagone. Sur l’exemple, on a une diagonale qui correspond à b×c, et une autre qui correspond à d×e, puis on poursuit de proche en proche. On obtient finalement un parenthésage de l’expression a×b×c×d×e×f.

Ainsi, on montre qu’à toute triangulation de polygone à N+1 côtés correspond un unique parenthésage d’un produit de N facteurs, et réciproquement. Le problème de Euler et celui de Catalan sont donc deux facettes différentes d’un même problème.

 

En 1857, Arthur Cayley et Thomas Kirkman s’intéressent à un problème qui n’a a priori rien à voir, celui du décompte des arbres enracinés, structure bien connu aujourd’hui par ceux qui s’intéressent à l’informatique. Un arbre est une structure mathématique composée de différents nœuds reliés par des arêtes, mais qui ne présente aucun cycle. Sur un arbre, les nœuds situés aux extrémités sont appelés les feuilles. On dit que l’arbre est enraciné lorsque l’un des nœuds a été choisi pour en être la racine. Ils cherchent alors à dénombrer le nombre d’arbres enracinés ayant un nombre d’arêtes donnés. Par exemple, pour 2 arêtes, on compte 2 arbres ; pour 3 arêtes, on en compte 5, et pour 4, on en compte 14. Oups, j'ai dessiné deux fois le même arbre. Je me rattrappe, avec la bonne illustration :

 

Arbres 4
Les 14 arbres enracinés à 4 arêtes.

 

 

Ce sont bien sûr les nombres de Catalan, que nos deux mathématiciens ne reconnaissent pas du tout. Par une étude numérique, ils obtiennent cependant une formule donnant le nombre d’arbres enracinés, qu’ils considèrent remarquable. Ces nombres deviennent alors les nombres de Cayley-Kirkman.

Ils ne s’arrêtent pas aux arbres enracinés, mais étudient aussi les arbres binaires entiers, des arbres enracinés où chaque noeud interne a toujours 2 noeuds fils. Les plus biologistes d’entre vous parleront d’arbres phylogénétiques. Quand on cherche à les compter, on remarque qu’il y a 2 arbres à 3 feuilles, 5 arbres à 4 feuilles ou 14 arbres à 5 feuilles, et ainsi de suite. Encore une fois, les nombres de Catalan.

Il y a donc autant d’arbres enracinés à N arêtes que d’arbres binaires entiers à N+1 feuilles. Pourquoi ? On peut s’en convaincre graphiquement en partant d’un arbre enraciné quelconque à N arêtes. On fait alors pousser de nouvelles arêtes sur cet arbre de façon à ce que chaque arête initiale deviennent une arête gauche, ce qui donne un arbre binaire entier à N+1 feuilles. Inversement, si l’on part d’un arbre binaire entier quelconque, la rétraction des arêtes droites donne des arbres enracinés. Bref, on peut associer à chaque arbre enraciné un unique arbre binaire, et inversement, il y en a donc autant.

Mais ce n’est pas tout. Si je prend un arbre binaire et que je place sur chaque feuille une lettre, j’obtiens une représentation parfaite de mon problème de parenthésage de produit. Il y a donc autant d’arbres binaires à N+1 feuilles que de parenthésages d’un produit à N+1 facteurs, et donc tout autant que de triangulation de polygone à N+2 côtés . Tout est donc lié !

 

Mais cela n’explique pas encore la formule de Catalan, qui prétend qu’il y en a très exactement (N parmi 2N) - ((N+1) parmi 2N). Pour le comprendre, il faut interpréter les nombres de Catalan d’une nouvelle façon, et se tourner vers les mots de Dyck.

Un mot de Dyck est un mot composé de deux lettres données, disons A et B, qui compte autant de A et de B, et tel que le nombre de A est toujours supérieur ou égal au nombre de B lorsqu’on lui retire une ou plusieurs de ses lettres finales.

Le mot AABBBAAB, de longueur 8, n’est pas un mot de Dyck, puisque lorsque l’on retire les trois dernières lettres, on compte plus de B que de A. Le mot AABAABBB est quant à lui tout à fait valide.

Une façon plus visuelle de se représenter un mot de Dyck est d’utiliser, non pas les lettres A et B, mais des parenthèses ouvrantes et fermantes. Un mot de Dyck est alors une succession valide de parenthèses, où chaque parenthèse ouverte est bien fermée. Dénombrons les mots de Dyck. Avec deux paires de parenthèses, on obtient 2 expressions, avec trois paires, on en a 5, avec quatre paires, on en trouve 14, et ainsi de suite. Ce sont bien sûr les nombres de Catalan. Pour le prouver, on peut montrer qu’il existe autant de façons de disposer N paires de parenthèses que d’arbres enracinés à N arêtes. Pour voir cela, prenons un arbre enraciné quelconque, et marquons le trajet qui en fait le tour. Lorsque l’on passe à gauche d’une arête, on le note par une parenthèse ouvrante, et sinon, par une parenthèse fermante. On peut donc associer à n’importe quel arbre enraciné à N arêtes une expression valide à N paires de parenthèses, et inversement.

 

On peut aussi interpréter plus géométriquement les mots de Dyck en regardant ce que l’on appelle les escaliers de Dyck. On se place dans une grille de dimension N×N, et, pour un mot de Dyck donné, on effectue le chemin sur la grille où A correspond à se déplacer d’une unité vers le haut, et B d’une unité vers la droite. On obtient un escalier de Dyck, c’est à dire un chemin reliant les sommets opposé du carré qui ne passe jamais en-dessous de la diagonale. Il y a bien sûr autant de mots de Dyck de longueur 2N que de d’escaliers de Dyck de longueur 2N.

Je n'ai pas parlé des "chemins" (ou "montagnes") de Dyck, un chemin de longueur 2N liant les points (0,0) à (0,2N) ne passant sous l'axe des abscisse, et formé de segments "montants" (une unité vers la droite puis vers le haut) ou "descendants" (une unité vers la droite puis le bas). Il s'agit en fait des escaliers de Dyck après une rotation à 45°.

Montagnes de Dyck
Les 5 montagnes de Dyck de longueur 2×3

 

L’intérêt de cette représentation des nombres de Catalan, c’est qu’elle se laisse dénombrer. Dans cette grille de dimension N×N, combien existe-t-il de chemins qui relient le point A au point B, un chemin n'étant composé que de déplacements vers le haut ou vers la droite ? Un tel chemin est composé de 2N déplacements dont N déplacement vers le haut, il y en a donc N parmi 2N au total.

Pour obtenir un escalier de Dyck, il faut rajouter l’hypothèse que le chemin ne passe jamais en dessous de la diagonale (AB). De tous les chemins reliant A et B, combien coupent cette diagonale ? Un chemin invalide, donc, qui coupe la grande diagonale [AB], touche en au moins un point, disons C, la diagonale [αβ] juste en dessous. L’astuce est de considérer un nouveau chemin, obtenu à partir du précédent. On garde la partie liant A à C, et on prend le symétrique de la partie liant C à B par rapport à la sous-diagonale [αβ]. Ce nouveau chemin relie alors A au point B’, symétrique de B par rapport à [αβ]. On peut alors voir qu’il y a autant de mauvais chemin liant A à B que de chemins liant A à B’.

Ces derniers peuvent être dénombrés facilement, puisqu’i il s’agit d’une succession de 2N déplacements comptant N+1 déplacements vers la droite. Il y a donc N+1 parmi 2N chemins liant A à B’, soit tout autant que de mauvais chemins liant A à B.

Puisque le nombre de chemin de Dyck est égal au nombre de chemins liants A à B moins le nombre de mauvais chemins liant A à B, on peut donc à présent affirmer que le nombre d’escaliers de Dyck, c’est à dire le N-ième nombre de Euler-Segner-Catalan-Caylay-Kirkman est égal à (N parmi 2N) -(N+1 parmi 2N).

 

Résumons la situation. Le N-ième nombre de Catalan est le nombre de triangulations d’un polygone à N +2 côtés, qui est égal au nombre de façons de parenthéser un produit de N +1 facteurs, qui est égal au nombre d’arbres binaires entiers à N+1 feuilles, qui est égal au nombre d’arbres enracinés à N arêtes, qui est égal au nombre de façons de disposer N paires de parenthèses, qui est égal au nombre de mots de Dyck de longueur 2N, qui est égal au nombre d’escaliers de Dyck de longueur 2N, qui est finalement égal à (N parmi 2N) -(N+1 parmi 2N). Je crois que c’est pour cela que j’adore la combinatoire.
C'est dans ce contexte que la citation de Henri Poincaré prend tout son sens : « la mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes.».

 

 

 

 

Mini FAQ :
- Y a t il une chose que Euler n'a pas étudiée ?
Il est vrai que Euler intervient dans une vidéo sur deux (et si je n'en parle pas dans les autres, c'est juste que j'ai passé sous silence ses contributions au domaine en question). La liste des choses nommées d'après Euler de Wikipédia est absurdément grande.
- Bijection ou isomorphisme ?
L'objet de cette vidéo était bien sûr de fabriquer des bijections (fabriquer des couples liant les élements d'un premier ensemble à celui d'un deuxième de façon à  ce que chaque élément du premier ensemble ne soit lié qu'à un unique élément du deuxième, et réciproquement) de façon à prouver que les ensembles possèdent le même nombre déléments. Un isomorphisme, c'est un peu plus que ça : il s'agit d'une bijection qui transporte une structure d'un contexte vers un autre. Dans tous les exemples présentés dans la vidéo, il n'y est pas question de structure - il n'est pas expliqué par exemple comment associer deux arbres pour en former un troisième, ou comment associer deux triangulations pour en former une troisième. Il est possible de le faire, et ce n'est qu'après ce travail là que l'on pourra dire que les bijections de la vidéo sont des isomorphismes !

 


Sources :
History of Catalan number, Igor Pak - Un excellent historique des différentes approches des nombres de catalan

Note sur une équation aux différences finies, Eugène Catalan - l'article original de Catalan

On the Analytical Forms called Trees, Arthur Cayley - l'article original de Cayley

Catalan addendum - Richard P. Stanley - une liste démesurément grande de tous les problème de combinatoire dont la réponse est les nombres de Catalan

Le Roi des Catalans, Blog de maths - Un peu plus de détails sur cette histoire de symétrie et d'escaliers de Dyck
Nombre de Catalan, Wikipedia

 

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01 janvier 2017

2016+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 08)

La bonne année à tous ! Je ne blogue plus grand chose ces derniers temps, mais je ne vais pas manquer ma tradition annuelle, quantifier le niveau d'intêret de l'année à venir.

L'année 2016 a été particulièrement intéressante : découverte d'un nouveau nombre premier, de propriétés bizarres du dernier chiffre des nombres premiers ou de la surpuissance des algorithmes d'intelligence artificielle pour jouer au Go. L'année 2017 sera-t-elle à la hauteur ? Un seul outil pour le savoir, l'OEIS, l'encyclopédie en ligne des suites entières, qui répertorie les propriétés de toutes les suites intéressantes de nombres. Selon l'arithmomancie des anciens, plus un nombre est présent dans l'OEIS, plus il sera intéressant. L'année 2016 était particulièrement brillante avec pas moins de 831 propriétés répertoriées, contre 191 en 2015 ou 114 en 2014. Et pour 2017 ? Laissons parler les chiffres !

2017___Nombre_de_propri_t_s

L'année 2017 possède 453 propriétés, ce qui est tout de même beaucoup
(dont 322 qui concernent les nombres premiers, ça aide pas mal)

L'année qui vient s'annonce donc particulièrement intéressante ! Mais pourquoi ? Il faut rentrer dans le détail...

A130883 : Nombre maximal de régions délimitées par 32 secteurs angulaires
Prenez un plan, et dessinez-y un secteur angulaire (deux demis-droites issues d'un même point). Il délimite alors deux régions. Dessinez-y un autre secteur angulaire. Si vous vous débrouillez bien (en évitant les parallélismes, notemment), ce sont 7 régions qui seront alors délimitées. Et pour 32 secteurs angulaires, ce ne sont pas moins que 2017 régions (au maximum) que l'on pourra obtenir.

2017___Secteurs_angulaires
1 secteur angulaire délimite 2 régions
2 secteurs angulaires délimitent (au plus) 7 régions
3 secteurs angulaires délimitent (au plus) 16 régions
32 secteurs angulaires délimitent (au plus) 2017 régions

On peut en fait démontrer que N secteurs angulaires peuvent au maximum délimiter 1 - N + 2N². Pour le voir, il faut préalablement étudier un problème qui lui est lié, le nombre LN de régions que l'on peut obtenir au maximum en traçant N lignes droites.

2017___Lazy_Caterer_problem
1 droite délimite 2 régions
2 droites délimitent 4 régions de plus
3 droites délimitent 7 régions de plus
4 droites délimitent 11 régions de plus

En regardant les premières valeurs, on peut conjecturer que chaque terme s'obtient à partir du précédent en ajoutant successivement 1, 2, 3, etc. En fait, quand une nouvelle droite est dessinée, celle-ci coupera chacune des droites précédentes en un unique point (pourvu que les droites ne soient pas parallèles deux à deux). Etant donné que les régions sont toujours convexes, une nouvelle droite ajoutera autant de régions qu'il y a de droites.

Bref, on a L1 = 1 et LN = LN-1 + N, autrement dit LN = 1 + 1+2+3+...+N. On reconnait dans la formule de LN l'expression 1+2+3+...+N des nombres triangulaires, que j'avais évoqué l'année dernière (2016 étant justement un nombre triangulaire). On a donc LN = 1 + 1/2×N×(1+N).

Revenons alors au nombre AN de régions délimitées par N secteurs angulaires. Chaque secteur angulaire étant composé de 2 droites, on devrait retrouver dans AN l'expression de L2N. Un secteur angulaire seul est certes composé de deux droites, mais ne délimite que 2 régions et au non 4. On pert donc 2 régions par étapes, soit 2N régions en tout.
Finalement, AN = L2N - 2 N = 1 + 1/2×2N×(1+2N) - 2N = 1 - N + 2N². Ce qu'il fallait démontrer (dans les grandes lignes, je vous laisse compléter seuls les imprécisions de mon raisonnement).

A001169 : Nombre de d'octaminos verticalement convexes
On appelle polyomino un assemblage de carrés unitaires (les "cellules"). Les plus célèbres sont les polyominos à 4 cellules, connus sous le nom de "pièce de Tetris", mais on peut bien sûr en construire avec n'importe quel nombre de cellules.

2017___Polyominos
En ne tenant pas compte des symétries, on compte 2 polyominos à 2 cellules ("dominos", en jaune), 6 polyominos à 3 cellules ("triominos", en bleu) et 19 à 4 cellules ("tétrominos", en rouge). On peut aussi vérifier qu'il en existe 63 à 5 cellules ("pentamino") ou 2725 à 8 celulles ("octamino")

En tenant compte des symétries, on compte 1 unique domino, 2 triominos, 5 tétrominos, 12 pentaminos et 369 octaminos.

On dit qu'un polyomino est "verticalement convexe" lorsque'on peut le découper en tranches verticales qui ne présente aucun trous. Quand on cherche à dénombrer les polyominos verticalement convexes à 8 cellules, on se rend compte qu'il y en a très précisément 2017.

2017__Verticalement_convexes
Deux exemples de polyominos à 32 cellules.
Le premier est verticalement convexe, au contraire du second (les deux bandes indiquées ne sont pas convexes)

2017- Octaminos verticalement convexes

Quelques exemples d'octaminos verticalement convexes, parmi les 2017 existants.

 

A266532 : Nombre de tridents à la 67e étape de la construction suivante
On considère des tridents (trois segments unités issus d'un même point formant des angles de 120°), et on en place une au centre de la table. C'est l'étape 1.
Pour obtenir les étapes suivantes, on ajoute un trident à l'extrémité de chacun des tridents extérieurs disponibles de l'étape précédente.

2017___tridents__tapes_1__2__3__4___5
Les étapes 1, 2, 3, 4 et 5, comptant respectivement 1, 4, 7, 16 et 19 tridents.

A la 67e étape, on obtient donc ceci, composé d'exactement 2017 tridents.

2017___triallumetttes__tape_67
2017 sera joli ou ne sera pas

2017___Flocon_anim_
C'est mieux quand c'est animé

A180920 : Somme de cubes consécutifs égale à un carré
Fait intéressant : la somme des N premiers entiers au cube est toujours égal à un carré. Plus précisément, elle est égal au carré du N-ième nombre triangulaire, ce que l'on peut écrire de la façon suivante :

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ... + N3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + N)²

On peut le prouver numériquement par récurrence, mais on peut aussi s'en convaincre graphiquement par découpage, de la façon suivante.

2017___Somme_des_cubes
Preuve graphique que 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)²

Bien sûr, les mathématiciens se sont demandés dans quels autres cas des sommes de cubes étaient égales à des carrés. Ils ont par exemple découvert qu'il n'y a que 5 cas où 5 cubes consécutifs forment des carrés :

  • 03 + 13 + 23 + 33 + 43 = 10²
  • 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 15²
  • 253 + 263 + 273 + 283 + 293 = 225²
  • 963 + 973 + 983 + 993 + 1003 = 2170²
  • 1183 + 1193 + 1203 + 1213 + 1223 = 2940²

Ils ont également découvert qu'il n'y a que 4 cas où 3 cubes consécutifs forment des carrés :

  • (-1)3 + 03 + 13 = 0²
  • 03 + 13 + 23 = 3²
  • 13 + 23 + 33 = 6²
  • 233 + 243 + 253 = 204² (unique cas non trivial)

Plus tordu, existe-t-il des nombres N tels que les N cubes consécutifs en partant de N3 forment un carré ? Eh, bien, oui, il en existe une infinité, et les trois premiers sont 1, 33 et ... 2017 !

  • 13 = 1²
  • 333 + 343 + 353 + ... +  653 = 2079²
  • 20173 + 20183 + 20193 + ... +  40333 = 7876385²

Mais aussi...
2017 est un nombre premier ! Il faut le préciser, puisque cela amène des tonnes de propriétés liées à celle-ci :

  • 2017 est sexy (c'est à dire qu'il fait partie d'un couple de deux nombres premiers dont la différence est 6, en l'occurence, 2011 et 2017 sont tous les deux premiers) [A023201]
  • 2017 est le plus grand nombre premier inférieur à 47² [A053001]
  • 2017 est un nombre premier de la forme x3 + 2y3 avec x et y positifs (en l'occurence, 2017 = 113 + 2 × 73 ) [A173587]
  • 2017 est un nombre premier p tel que p² - p + 1 est aussi premier [A065508]
  • 2017 est un nombre premier qui reste premier quand on ajoute le chiffre 7 entre deux de ses chiffres (en l'occurence, 2017, 27017, 20717 et 20177 sont tous premiers) [A217065]

Mais aussi...

  • 2017 est la partie réelle du nombre quaternion (2+i+j+k)8 [A213421]
  • Il existe 2017 façons de placer les nombres 1, 2, 3, ..., 16 dans un tableau de dimension 4x4 tel que chaque ligne, colonne et diagonale soit croissante [A039917]
  • Il existe 2017 permutations de {1, 2, 3, ..., 7} qui ne contiennent pas le cycle (1 2 3). [A049774]

Et surtout, la santé !

09 décembre 2016

10 ans de blog : mais à quoi ça sert les maths ?

Le 15 novembre dernier, ce blog a fêté ses 10 ans ! L'occasion de faire une fête avec tous les copains jusqu'à au moins 18h ! Il y avait une boom avec plein de chaises autour de la piste de danse, et une pêche à la ligne dans le jardin.Mais surtout, j'en ai profité pour répondre à une question laisée en suspens dans tous les articles de ce blog : mais à quoi ça sert, les maths ? Pour ne pas faire les choses à moitié, voici 50 excellentes réponses !

Vignette

À quoi ça sert les maths ? ft Internet

=== Script + Commentaires ===

Bonjour à tous. Aujourd’hui, Choux Romanesco Vache qui rit et intégrales curvilignes fête son dixième anniversaire. Parce que, oui, même si cette chaine youtube n’a que un an et deux mois, cela fait aujourd’hui dix ans que j’ai ouvert le blog qui a donné naissance à cette chaine.

Pour fêter ça, je me suis dit que j’allais tenter de répondre à la question qui revient systématiquement dès que quelqu’un parle quelque part de mathématiques. A quoi ça sert, les mathématiques ? Seulement il n’y a pas qu’une seule façon de répondre à la question. Voici donc 50 réponses à la question : à quoi ça sert les maths ? Cette vidéo est en fait une adaptation d'un article que j'avais écrit en 2011, malheureusement un peu datée. Pour les 10 ans du blog, je n'avais pas le choix, il fallait absolument que je la refasse !

#01 - Réponse concise
Par Robin Jamet, médiateur mathématique au palais de la découverte, mais que l'on retrouve aussi dans les pages mathématiques de Science et vie junior, et sur les ondes de Podcast Science  (Chacune de ses interventions sur ce podcast est un bonheur mathématique à écouter, je vous conseille par exemple celui sur les noeuds, mais aussi tous les autres) .Une réponse avec laquelle je suis 100% d'accord, d'où sa position #1.

Les maths, ça apprend plein de trucs essentiels. Par exemple, ça apprend qu’il faut définir proprement tous les mots que l’on utilise. Et servir à quelque chose, je pense que ce n’est pas proprement défini, on est pas tous d’accord sur ce que ça veut dire, donc on ne sera pas d’accord sur la réponse. Si servir à quelque chose signifie pour vous “sauver des vies” et “construire des ponts”, pourquoi pas, alors j’espère juste pour vous que vous ne vous intéressez pas que à des choses qui servent à quelque chose, parce que votre vie doit être atrocement triste. Si ça veut dire “avoir des applications dans d’autres domaines”, eh bien, allons-y, les mathématiques , c’est que ça, c’est fait pour ça. Les mathématiques, on regarde des objets différents, on dit “tiens, d’un certain point de vue, ils ont quelque chose en commun”, on construit une abstraction (les nombres, les figures géométriques, etc), et à partir de là, tout ce que l’on a trouvé sur ces abstractions vont s’appliquer naturellement dans tous les domaines dont ça vient, et d’autres encore. Et puis, sinon, d’un point de vue personnel, ça sert à quelque chose. Par exemple, moi, ça m’a appris à être structuré dans mes pensées, et concis !

#02 - Réponse Fort Boyard (réponse issue de l'article original)

Grâce aux maths, vous pourrez gagner de précieuses secondes dans la salle du trésor en triomphant à coup sûr des maîtres du fort dans le jeu des bâtonnets, grâce à la solution "toujours laisser 1 bâtonnet modulo 4".
Une histoire que j'avais évoqué dans cet article.

#03 - Déni de réponse
Par Nans “Artémis Plum” Burgarella, de la chaine Youtube This is science.

Attends, moi les maths, je m’en sers jamais. Vous savez, je suis biologiste, je passe ma vie sur le terrain à regarder des poneys et des caribous. Mon truc, c’est le comportement des animaux. Bon, peut être cette fois, là, où j’ai utilisé les réseaux pour étudier les réseaux sociaux de chevaux. Et puis, il y a aussi cette fois où j’ai utilisé la trigonométrie et la géométrie pour simuler un déplacement de caribous. Bon, j’ai peut-être basé toute ma thèse sur l’utilisation de fractales pour caractériser les structure des bancs de poissons. Et puis, je fais quelques petites stats sur toutes mes données pour avoir des résultats. Non, mais vraiment, quelques autres petits trucs, mais je m’en sert jamais des maths.

#04 - Réponse littéraire
Par Lilia Vernalia, du blog éponyme, où elle parle littérature (mais pas que). Souvenez-vous de sa participation très remarquée dans ma vidéo sur le théorème de Banach-Tarski, puisque c'est elle qui avait choisi la couleur de la sphère.

Les maths, ça sert aussi à créer des courants littéraires super funkys. Par exemple, il faut savoir qu’à l’initiative de l’OuLiPo, l’ouvroir de littérature potentielle, on trouve certes l’écrivain Raymond Queneau, mais aussi François Le Lyonnais qui, contrairement à ce que son nom indique, n’était pas lyonnais, mais bel et bien mathématicien. Eh ouais.

#05 - Réponse physicienne théorique
Par David Louapre, auteur de l'excellente chaine Youtube Science étonnante, et du blog du même nom. Si vous ne connaissiez pas, filez tout de suite d'ici, et ne revenez que lorsque vous aurez regardé l'ensemble de ses vidéos !

A quoi ça sert les maths ? Eh bien, ça sert à faire de la physique théorique. Il y a quand même quelque chose de fascinant à voir que toute la physique fondamentale qui a notamment été développée à la fin de XIXe siècle et tout au cours du XXe siècle. À chaque fois, les physiciens font des observations, imaginent un certain nombre de concepts, et finissent par se rendre compte que pour modéliser ces concepts, il faut utiliser un outil mathématique qui était justement disponible là, qui attendait de servir, que les mathématiciens avaient développé plusieurs dizaines d’années, voire un siècle auparavant, et qui collait parfaitement à ce dont ils avaient besoin. Et donc, rien que pour ça, les maths, c’est quand même bien utile !

#06 - Réponse "nature iz beautiful" (réponse issue de l'article original)

Les maths permettent de voir la beauté de la nature ! Grâce aux mathématiques, on peut s'apercevoir que le monde qui nous entoure est fait de courbes et de fractales ! Prenez un chou romanesco, par exemple. Le quidam n’y verra qu’un simple légume, mais le matheux y verra sa structure fractale, ses motifs auto-similaires. Sinon, regardez le ventre de votre partenaire, vous y verrez peut être l’expression de cycloïdes.

#07 - Réponse crochet
Par Kakotille, créatrice de merveilles en crochet qu'elle présente sur son blog Maillalenvers, dont entre autres le châle de Sierpinski et le snood de Moebius.

J'aime porter des châles l'été. Le problème c'est que c'est chaud un châle ! Sauf à Sochaux ! Pour cela il me faut un châle avec peu de surface ! Grâce aux maths, je peux crocheter un triangle de Sierpiński et je pourrai m'envelopper dans une surface tendant vers zéro. C'est parfait ! Par contre, l'hiver, j'aime bien porter des snoods autour du cou. Mais les bords de mes snoods m'irritent. Mais grâces aux mathématiques, j'ai pu me tricoter un snood de Möbius qui n'a donc qu'un seul bord, et qui m'irrite deux fois moins !

#08 - Argument d'autorité (réponse issue de l'article original)

Albert Einstein, lui, il connaissait l'utilité des maths.


#09 - Réponse scout
Par Judu.

Les maths, ça peut servir dans le cas où on se retrouve à constituer une équipe pour encadrer un accueil collectif de mineurs et qu'on doit avoir 1 directeur, au moins 1 animateur pour 12 jeunes, sachant qu'il faut au moins 50% de qualifiés, au plus 30% de stagiaires et au plus 20% de non-qualifiés. Du coup, est-ce que j'ai le droit d'embaucher Rachid-Aldebert comme encadrant sachant qu'il fera sa session de formation générale un mois avant le séjour et qu'il n'est pas sûr de la réussir et donc d'être stagiaire, sachant que j'aurai 35 jeunes et que j'ai pour l'instant deux animatrices qualifiées, un stagiaire et un non-qualifié ?

#10 - Réponse de comptoir
Par la Bécasse, qui a créé
de géniaux programmes pour accompagner certaines de mes vidéos : une représentation visuelle de la suite de Conway, et un affrontement plus vrai que nature contre l'hydre Paris et Kirby.
Les maths, ça sert à montrer qu’il ne peut y avoir d’humain volant. C’est à cause du peu de sobriété des humains. Quand, en pleine ivresse, il doivent rentrer chez eux, ils se mettent à suivre une marche aléatoire. Les mathématiques montrent que les marches aléatoires en 2D reviennent toujours sur leur pas. Bref, les saoûls, à pied, ne se perdent pas, et finissent par retourner chez eux. Mais si ils volent, ils suivent une marche aléatoire en 3D qui part à coup sûr vers l’infini, et ils ne retrouvent jamais leur maison. Finalement, si il y a eu des humains volants, ils sont morts de fatigue après une soirée trop arrosée.

#11 - Réponse Mauvaise foi (réponse issue de l'article original)
Par Alain Briant Coty, qui vient de sortir un podcast absurde à fréquence aléatoire, Attention au tigre.

Imagine. Tu es coincé dans le désert sans calculette, et tu tombes sur un génie qui te propose trois vœux. Seulement, il n'acceptera de les exaucer avant que tu ne calcules la racine carrée de 181 413 961... Du coup, sans les maths, tu peux faire une croix sur tes envies de richesse et de super pouvoirs…

#12 - Réponse anti-ésotérique (réponse issue de l'article original)

À savoir ce qui relève ou non des mathématiques. Souvent, quand quelqu'un parle du nombre d'or ou de la suite de Fibonnacci, il  n'est plus en train de parler de mathématiques. Si un parfum te vend les vertus esthétiques du chiffre d'or ou un dentiste te vente la perfection de la séquence de Fibonacci, c'est sans doute que l'on essaye de t'enfiler du scientifique là où il n'y a que du vent.
J'ai résisté, et n'ai pas inséré dans les images d'illustration ce truc là.

#13 - Réponse logique

Par Thomas Cabaret, de l'excellente chaine youtube Passe-science qui propose une vulgarisation, certe de haut niveau, mais d'une clarté dingue.
Les maths, ça permet de démontrer que si les choses utiles sont par définition celles qui servent à en faire d’autres et les choses inutiles celles qui n’aident à en faire aucune, alors les choses utiles ne sont nécessairement qu’un moyen et les choses inutiles un aboutissement.

#14 - Réponse W9

Par Nicotupe, ex dictateur de Podcast Science, podcast hebdomadaire qui traite aussi de bien de physique, de biologie, de mathématiques et de tous les autres trucs. Pour davantage d'explication sur le système de vote de secret Story, direction cet épisode de Podcast Science.
À discuter de manière très sérieuse pendant des heures du meilleur système d’élimination de la téléréalité pour en conclure en citant l’auteur d’Alice au Pays des Merveilles que le système de Secret Story est optimal.

#15 - Réponse topologique

Par Thomas Cabaret
Mais les maths, ça sert aussi à démontrer en topologie, toute partie d’un ensemble E est ouverte…

#16 - Réponse rassurante
Par le maitre d'Albert, de l'excellente chaine La statistique expliquée à mon chat, qui réunit avec brio les mathématiques et les rois d'Internet.

Si tu lâches une pomme au-dessus du sol, quelque chose d'inquiétant se produit : la pomme s'y précipite. Lorsque tu refroidis un gaz, un autre phénomène complètement fou se produit : son volume diminue. Notre univers est très étrange et nous n'en avons pas reçu le mode d'emploi. Les mathématiques nous permettent de décrire cet univers hostile avec une finesse redoutable, nous en offrant une perspective qu'on ne peut obtenir d'aucune autre manière. Les mathématiques, c'est peut-être par moment très compliqué, mais ça me donne quelque chose que je n'échangerai pour rien au monde : une illusion de contrôle sur mon environnement.

#17 - Réponse TV-geek (réponse issue de l'article original)
Par Alan, ex
ex dictateur de Podcast Science, sans qui ma chaine Youtube n'existerait probablement plus aujourd'hui.
Ça sert à profiter à fond de tout le potentiel comique d'une planche de xkcd ou d'un épisode de The Big Bang Theory ou de Futurama.

#18 - Réponse démonstrative (réponse issue de l'article original)
À démontrer des trucs de façon rigoureuse. Mais aussi, à démontrer de façon rigoureuse que certains trucs ne peuvent pas être démontrés de façon rigoureuse, et ça, c'est fort. Mais aussi, à démontrer que la démonstration qui montre que certains trucs ne sont pas démontrables est rigoureuse (et que, du coup, il existe indubitablement des trucs indémontrables). Et ça, c'est quand même très fort.

#19 - Réponse suisse

Par Alan
Quand on manque de vocabulaire et qu’on ne sait pas dire “nonante” par exemple, bah, on arrive à s’exprimer quand même. On dit “quatre fois vingt plus dix”, “quatre-vingt-dix”, et on comprend !

#20 - Réponse “par où commencer ?”

Par Feez hic, qui m'a proposé une réponse de 10 minutes, que j'ai du raccourcir un peu...
On va parler du produit vectoriel (...) et nous avons ce que l’on appelle la force de Lorentz (...) en fait un tore (...) il y a l’analyse de Fourier, par exemple (...) des fréquences temporelles dans un signal (...) la relativité générale (...) les tenseurs (...) les équations différentielles (...) à sa dérivée première (...) la fameuse équation de Schrödinger

(...) vous parler de symétries (...) théorie des groupes ponctuels de symétrie, par exemple (...) la quantification du moment cinétique (...) le premier modèle quantique d’atome...

#21 - Réponse kikoolol (réponse issue de l'article original)

Par Terry Laire, qui a eu la bonne idée d'enregistrer la totalité des réponses de l'article originale, d'où sa grande présence dans cette vidéo.
a ri1 !!!lol

#22 - Réponse professeur Layton
Par Professeur culture précieuse, qui propose plein de vidéos sur des, en apparence, petits problèmes de mathématique.
J’adore résoudre plein de problèmes, plein d’énigmes. Si j’avais pu, je serais devenu enquêteur. Pour moi, les mathématiques c’est vraiment un outil, une sorte d’arme très puissante. Certains utilisent leur muscles pour résoudre des problèmes. Moi, je préfère utiliser mon esprit et les mathématiques sont quelque chose de très pratique pour ça. Ce que j’adore dans un problème, c’est vraiment le moment où on le résout, le moment où on comprend tout et on se dit “mais comment j’ai pu me poser un tel problème”, “comment j’ai pas pu voir que c’était évident”.

#23 - Réponse “ta gueule Paul” (réponse issue de l'article original)
Par Paul.

Les maths sont objectives, éternelles et absolues. Elles sont donc très pratiques pour légitimer un argument philosophique avec une rhétorique plus ou moins sophistique.

#24 - Réponse sadique

Par professeur culture précieuse.
Les maths, ça rend beaucoup de gens tristes. Et comme je suis un vrai sadique, j’adore rendre les gens tristes.

#25 - Réponse statistique (réponse issue de l'article original)
Par Terry Laire

5% des personnes interrogées répondent "à rien", 10% "à quelque chose", 15% s'en moque, 25% "à résoudre des problèmes de la vie quotidienne", 20% "à faire réfléchir", 25% "à la science" et enfin, 7% des personnes interrogées pensent que les maths permettent de faire des études statistiques bancales.

#26 - Réponse minecraft (réponse issue de l'article original)
Par Armath44, qui tient sa chaine de gaming (parce qu'il en faut !).

À construire des avions. À construire des télés. À faire des sabres lasers. À construire des temples aztèques. À construire la Nintendo Switch. À construire des moteurs. À construire des voitures. À construire des radars. À construire des bombes !

#27 - Réponse gnomes voleurs de slips (réponse issue de l'article original)

Phase 1 : Faire des maths

Phase 2 : ...

Phase 3 : Profit

#28 - Réponse personnelle

Par l'excellente Viviane de la non moins géniale chaine scientifique généraliste Scilabus. Je conseille toute ses vidéos, mais ma préférée reste évidemment celle sur les statistiques appliquées au hack des machines à bonbon.
J’aime les maths parce que, quand j’étais petite et que je regardais des films, je voyais toujours des équations sur les tableaux quand c’était un film qui voulait être sérieux, un peu scientifique. Ca me semblait inatteignable de pouvoir comprendre cette affaire-là. J’avais envie d’apprendre à décoder ce nouveau langage. Maintenant que j’ai appris les maths (du moins une toute petite partie des mathématiques), quand je vois ces mêmes tableaux à la télé, dans les films ou n’importe où, je comprends ce qui est écrit, et les rares fois où je ne comprends pas, au moins je sais pourquoi je ne comprends pas. Je me dis qu’ils ont bien fait leur travail, et qu’ils sont vraiment allé voir de vrais mathématiciens pour avoir des équations qui ont un sens un petit plus profond. Bref, j’aime les maths parce que j’aime avoir à ma disposition une nouvelle langue supplémentaire, même si je ne suis vraiment pas bilingue.

#29 - Réponse patriote (réponse issue de l'article original)

Par Sylkot.
À déchiffrer les messages codés envoyés par les Nazis ou les Japonais et ainsi, à gagner des guerres pour la liberté !

#30 - Réponse méchant de james Bond (Counie43)
Par Counie43, qui tient aussi une chaine de gaming (parce qu'il en faut !).

Grâce aux mathématiques, je vais pouvoir calculer des matrices. Grâce à ces matrices, je vais pouvoir créer des ordinateurs hyper puissants. Et grâce à ces ordinateurs, je DOMINERAI LE MONDE !

#31 - Réponse musicale
Par TAM, le responsable des quelues musiques qui tournent en fond sonore de mes vidoés. Allez écouter le reste de son boulot !

Les maths, ça sert aussi à faire de la musique. Pythagore déjà décryptait les belles harmonies en divisant les octaves en intervalles et composant ainsi la première gamme qui portera son nom. Et jusqu’à aujourd’hui, les maths sont au cœur du travail des acousticiens, ingés sons et sound designers. La musique est mathématique, et comme le disait si éloquemment Leibniz en 1712, la musique est un exercice caché d’arithmétique, l’esprit n’ayant pas conscience qu’il est en train de compter.

#32 - Renversement de la charge de la preuve (réponse issue de l'article original)

Par Terry Laire
Et toi, tu pourrais me dire pourquoi les maths ne servent à rien ?

#33 - Réponse artistique (Théo - Balade mentale)

Par Théo, de la superbe chaine de curiosités scientifiques (mais pas que) Balade Mentale.
Les mathématiques c'est un langage universel qui, par moment, bien que construit de façon totalement abstraite par un esprit humain fonctionnant à pleine blinde vient rencontrer le monde réel matériel tangible et le décrit avec une incroyable précision. Et puis les math, à l'écrit c'est joli on dirait un langue pleine de courbes, de hiéroglyphes, d'hésitations d'accélérations, de fulgurances. Picasso disait « quand je lis un livre d'einstein je ne comprend rien mais ce n'est pas grave car j’apprends autre chose quand même ».

#34 - Réponse contre-intuitive
Par Trashmath, une très jeune chaine de mathématiques qui finira par prendre son envol !

  • Une droite D’ en géométrie

  • Une boule carrée en topologie

  • Une somme infinie dont la valeur est finie

  • Des nombres qui sont égaux à d’autres en arithmétique modulaire

Pas de doutes à avoir, les mathématiques servent à atteindre les paradis artificiels tant prisés par l’homme.

#35 -  Réponse introspective (réponse issue de l'article original)
Par prof Okita, qui décortique sur sa très chouette chaine la scientificité du contenu du jeux vidéo, et de la science fiction de façon plus générale. Un énorme merci pour le boulot d'animation de son avatar !

Comprendre les mathématiques, c'est se comprendre soi-même.

#36 - Réponse Bob le bricoleur (réponse issue de l'article original)
Par prof Okita

Les maths ne sont rien d'autre qu'un outil. Je vous demande, moi, à quoi sert une pelle s'il n'y rien à creuser ?

#37 - Réponse pragmatique (réponse issue de l'article original)
Par prof Okita

À écrire d'épais livres bien pratiques pour caler une table ou une étagère.

#38 - Réponse ma thèse en trente secondes
Par Alexandre, finaliste du MT180.
Les maths, ça sert en médecine à simuler des expériences d’angiographies cérébrales par résonance magnétique, c’est à dire à reproduire virtuellement des images IRM des écoulements sanguins, pour la prévention et le traitement des accidents vasculaires cérébraux. Et rendez-vous compte, en résolvant un seul système d’équation, les équations de Bloch, on est capable de reproduire n’importe quelle image IRM. Alors j’espère maintenant, tout comme moi, vous penserez à toutes ces vies sauvées quand vous ferez des maths.

#39 - Réponse chimiste

Par Brusicor02, l'encyclopédie vivante des chaines culturelles de youtube.
Les maths, ça sert autant à diluer une solution qu’à trouver LA solution. De la simple proportionnalité à Schrödinger, de la cristallographie au nombre de gouttes à ajouter, les maths sont aussi utiles au chimiste que les éprouvettes, surtout qu’elles ne nécessitent pas une heure de nettoyage après usage.

#40 - Réponse existentielle
Par David Loureiro, du podcast Lisez la science.
Quand ElJj m’a demandé de donner ma réponse à cette question, je me suis rappelé ma prof de maths de collège, qui, quand elle la posait, répondait à chaque fois : ça sert aus maçons pour faire des murs droits et avec les bons angles. Je ne précise pas qu’à l’époque, elle nous apprenais le théorème de Pythagore et celui de Thalès.

Mais plus fondamentalement, on pourrait se dire, comme le fait Max Tegmark dans son livre « Our Mathematical Universe », que si toutes les lois physiques qui gouvernent notre vies peuvent être décrite avec les mathématiques, notre univers (voire multivers) n’est-il peut être qu’une construction mathématique extrêment complexe. Dans cette optique les mathématiques serviraient tout simplement à nous faire exister …

#41 - Réponse “c’est bon, t’as suivi ?”
Par Mickaël Launay, l'empereur des mathématiques sur youtube, dont on ne présente plus la chaine Micmaths.
Ça sert à comprendre comment serait le monde s’il était en dimension 4 au lieu de dimension 3. Ça sert à comprendre comment serait le monde s’il était non euclidien à la place d’euclidien. En bref, ça sert à savoir comment serait le monde s’il était tel qu’il n’est pas. Et ça, jusqu’à ce que les sciences physiques réalisent quelques siècles plus tard que finalement le monde est multidimentionnel et non euclidien. En bref, les mathématiques permettent de comprendre le monde tel qu’il est avant même de réaliser qu’il est tel qu’on pensait qu’il n’était pas. Et ça, c’est fort.

#42 - Réponse à la grande question sur la vie, l'univers et le reste (réponse issue de l'article original)
Pas par Patrick Baud.

42

#43 - Réponse mauvaise foi bis (réponse issue de l'article original)
Par Sylkot

Comment carreler le sol d'une pièce parfaitement rectangle aux dimensions entières avec des carreaux à dimension entière sans avoir à en couper ? C'est impossible sans calculer un pgcd !

#44 - Réponse stand up (réponse issue de l'article original)
Gad Elmaleh n'était pas disponible pour venir enregistrer cette réponse, du coup, je l'ai fait moi-même.

Je sais pas si vous avez remarqué, mais les maths, ça sert à rien ! Nan, mais sérieux, ça sert à rien ! Ça vous a déjà servi à quelque chose, vous ? Nan, mais sérieux ! Par exemple, le compas... Vous avez déjà utilisé un compas, vous ? Je sais même pas à quoi ça sert moi ! Et les racines carrées, ça vous ont déjà sorti d'une galère ?  Voilà, c'est tout pour moi, c'était Jj !

#45 - Réponse topologie des familles (réponse issue de l'article original)
Par Terry Laire

À savoir comment compter les trous de la k-ième dimension de ta mère.

#46 - Réponse d’incompétent (réponse issue de l'article original)

Il faut bien une discipline sur laquelle on puisse dire que l'on a toujours été nul sans risquer de passer pour quelqu'un d’incompétent…

#47 - Réponse pharmacienne
Par Pharma Silica, qui vulgarise sur sa chaine les médicaments.
En pharmacie d’officine, les maths me permettent de calculer le nombre de boites à délivrer au patient, en fonction du nombre de prises par jour et de la durée du traitement. En laboratoire d’analyse médicale, les maths servent à calculer des indicateurs. Par exemple, l’INR, afin d’adapter si besoin les dosages des traitements anti-coagulants.

#48 - Réponse humaniste
Par Mylou, mon soutien #1.
A quoi ça sert les maths ? Question aussi vague que “A quoi ça sert le français?” Je pourrai vous parler des nombreuses utilités des mathématiques dans la vie usuelle et de l’importance d’une langue pour communiquer mais il est vrai qu’il est peu probable que la réduction d’endomorphisme ou la factorisation de polynômes vous servent à quoi que ce soit, mais pas plus que de savoir rédiger une dissertation en trois parties, soyons honnête. Pour autant peut-on juger ces connaissances et savoir faire comme étant inutiles ? Et bien non ! Les mathématiques forment une culture. Tout comme la pratique d’autres disciplines, elles vous permettent de construire votre pensée, de vous ouvrir sur le monde et ça c’est utile tous les jours et en toutes circonstances !

#49 - Réponse flagorneuse

Par Lê, de l'excellente chaine Science 4 all, pour ceux qui trouvent que je ne vais pas assez loin dans mes vidéos.
A quoi ça sert les maths ? Les maths, ça sert à faire des chaines Youtube avec des supers vidéos de deux minutes (deux minutes ?!).

 

#50 - Réponse finale (réponse issue de l'article original)
Si on peut trouver au moins 50 réponses différentes à la question “à quoi ça sert les maths”, c’est bien que, quelque part, elles doivent servir à quelque chose, non ?

 

Quelques petits regrets qu'il n'ait pas été question assez, à mon avis, des applications des mathématiques en informatique. Peut-être pour la vidéo VR sur Dailymotion en 2026 ?

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25 octobre 2016

Deux (deux ?) minutes pour le théorème des 4 couleurs

Un théorème qui ne paye pas de mine, mais l'histoire de sa démonstration reste malgré tout assez intéressante : le théorème des couleurs !

Vignette

 

Script + commentaires :
Mea culpa par avance pour les couleurs utilisées dans la vidéo. Je reconnais que le vert et le jaune utilisés sont malheureusement un peu trop proche...

    En 1852, Francis Guthrie s’amuse à colorier une carte des cantons d’Angleterre et remarque que 4 couleurs suffisent. En bon mathématicien qu’il est, il se demande si c’est généralisable à n’importe quelle carte. Le problème s’avèrera plus compliqué que prévu, puisque la réponse n’arrivera qu’un siècle plus tard. Ca tombe bien, j’ai 2 minutes pour en parler. Avez-vous reconnu les cartes utilisées dans cette intro ?...

Voici la carte des 12 régions française métropolitaine continentales. Est-il possible de les colorier de façon à ce que deux régions partageant une frontière soient toujours de couleur différente ? Il est évident que oui, il suffit de prendre 12 couleurs différentes, et le tour est joué… Mais peut-on colorier proprement la carte avec seulement 5 couleurs ? 4 couleurs ? 3 couleurs ou 2 couleurs ? Mettez cette vidéo en pause quelques minutes pour y réfléchir, puisque je vais spoiler la réponse tout de suite.

Si vous ne vous y prenez pas n’importe comment, vous pourrez sans difficulté obtenir un coloriage avec 5 couleurs. Si vous y consacrez quelques minutes supplémentaires, un coloriage en 4 couleurs devrait se montrer. Par contre, colorier la carte avec seulement 3 couleurs risque de vous poser quelques problèmes. On sent que ça bloque, sans trop savoir pourquoi. Il est cependant clair qu’une coloration à 2 couleurs est impossible, la Bretagne, la Normandie et les Pays de la Loire sont par exemple clairement de couleur différente.
Sur cette carte de la France, il n’existe aucun groupe de 4 régions qui sont toutes voisines deux à deux, comme on pourrait en trouver sur la carte d’Europe autour du Luxembourg, sur la carte d’Afrique du côté du Malawi ou sur la carte d’Amérique autour du Paraguay. Pour prouver que la carte de France demande au minimum 4 couleurs, il faut donc réfléchir un tout petit peu plus, et observer ce groupe de 6 régions. Si je ne dispose que de 3 couleurs, disons rouge, vert et bleu, je peux colorier l’ïle de France en rouge, les Hauts-de-France en vert et le Grand-Est en bleu. Cela oblige la Bourgogne-Franche-Compté à être verte et le Centre-Val-de-Loire à être bleu. La Normandie est donc bordée par trois régions de couleurs nécessairement différentes, il faut une quatrième couleur.
Bref, 3 couleurs ne suffisent pas pour colorier la carte de France, alors que 4, si. Et c’est justement ça l’objet du théorème des 4 couleurs : 4 couleurs suffisent toujours pour colorier n’importe quelle carte de façon à ce que deux régions adjacentes soient toujours de couleur différente. Il n’existe aucun contre-exemple.

Quand Francis Guthrie observe en 1852 ce phénomène sur sa carte d’Angleterre, il s’empresse d’en parler à son ancien professeur, Auguste de Morgan. Intrigué par le problème mais sans réponse, il en parle à William Hamilton, qui lui répond gentiment qu’il a d’autre projets plus intéressant pour le moment que de colorier des cartes. Malgré tout, De Morgan persiste et parle de ce problème à tout son entourage, dont Arthur Cayley qui écrira le premier article décrivant les difficultés de la question.

Revenons au problème. Les cartes dont on parle sont composées de plusieurs pays ou régions séparés les unes des autres par des frontières. Si des régions se touchent seulement en un point, on ne les considérera pas comme voisines. Ainsi, deux régions opposées par un sommet autour d’un quadripoint peuvent être colorée de la même façon, comme c’est le cas aux Etats-Unis au point frontière entre l’Arizona, le Colorado, le Nouveau-Mexique et l’Utah. On supposera aussi qu’une région n’a pas de frontière avec elle-même, ce qui serait de toute façon complètement absurde. On supposera enfin que les régions que l’on considère sont connexe, c’est à dire, toujours en un seul morceau. Si on commence à autoriser les enclaves et exclaves, on pourra facilement construire des cartes où 8 régions sont toutes adjacentes deux à deux, ce qui fournirait un contre-exemple. Cette hypothèse rend donc ce théorème complètement sans intérêt pour les cartographes, puisque les régions sont rarement d’un seul tenant, ne serait-ce qu’à cause des iles. La Russie, à cause de l’oblast de Kaliningrad non rattachée au reste du pays, fournit un autre exemple de situation problématique.

Bref, le théorème des 4 couleurs énonce que n’importe quelle carte peut être colorée proprement avec seulement 4 couleurs ou, comme le disent les mathématiciens, “4-colorables”. Mais pourquoi est-ce vrai ? N’existe-t-il vraiment aucune carte demandant nécessairement 5 couleurs ? À vrai dire, c’est loin d’être évident. Quand on cherche à la main la carte qui demande au moins 5 couleurs, on passe son temps à presque la trouver, avant de se rendre compte que, non, 4 couleurs suffisent.

Un premier argument simple qui laisse penser qu’un contre-exemple est difficile à trouver, c’est qu’il est absolument impossible de trouver une carte où 5 régions sont toutes voisines deux à deux. On peut prouver ça à l’aide de la formule d’Euler, que l’on avait déjà utilisé pour prouver cette histoire de maisons et d’usines.

Sans rentrer dans les détails non plus, cette même formule d’Euler implique pour toutes les cartes un fait important : il y existe toujours quelque part une région qui possède 5 frontières ou moins. Ce lemme est essentiel pour prouver que toute carte est colorable avec, non pas au plus 4 couleurs, mais au plus 6 couleurs. C’est mieux que rien !

Prenons une carte composée de 7 régions. D’après ce que l’on vient de voir, il y existe au moins une région qui possède moins de 5 frontières. On en choisit une, et on la supprime. Notre carte possède donc maintenant 6 régions, et je peux naturellement la colorier avec 6 couleurs. Replaçons alors la région retirée. Puisque celle-ci n’avait pas plus de 5 frontière, il reste donc au moins une couleur de disponible. Ceci prouve donc que toute carte à 7 régions est 6-coloriable.
L’argument fonctionne aussi pour les cartes à 8 régions. Il y existe un région à 5 frontière que l’on retire. On a alors une carte à 7 régions, que l’on vient de prouver comme étant 6-coloriable. On replace la région retirée, et le tour est joué. De proche en proche, on peut donc prouver qu’une carte à 9 régions, à 10 régions, et, finalement, à n’importe quelle nombre de régions, est 6-coloriable. C’est ce que l’on appelle une démonstration par récurrence. Pour prouver qu’une propriété sur les cartes est vraie, il suffit de prouver dans un premier temps qu’elle est vraie pour les petites cartes puis, dans un deuxième temps, de montrer que si la propriété reste vraie lorsque l’on incrémente le nombre de régions.

Enfin bon. Ce théorème des 6 couleurs, c’est sympa, mais on peut faire mieux. Prouvons que toute carte est 5-coloriable ! Pour cela, il n’y a pas vraiment le choix, il faut à nouveau procéder par récurrence.
Déjà, il est assez clair que toute carte possédant 5 régions ou moins peut être colorée avec 5 couleurs. Ça, c’est la première étape de la récurrence, l’initialisation.
Pour la deuxième étape, on va prouver que, quelque soit l'entier N (aurais-je du rajouter pour être plus rigoureux), si toutes les cartes à N régions sont 5-colorables, alors toutes les cartes à N+1 régions le sont aussi. Ce N pouvant désigner n’importe quel nombre, cette deuxième étape implique que puisque la propriété est vraie au rang N=5, elle l’est aussi au rang N=6, et donc au rang N=7, et ainsi de suite. Bref, allons-y.

Voici une carte possédant N+1 régions. On émet l’hypothèse de récurrence que toute carte à N région est 5-coloriable. Ainsi, si je retire n’importe quelle région de cette carte, il existera un coloration à 5 couleurs. Comme précédemment, on va supprimer temporairement une région possédant 5 frontières, ou moins. Appelons X cette région retirée.  On obtient donc une carte à N région, qui est selon l’hypothèse de récurrence 5-colorable.

Remettons alors la région X retirée. Si celle-ci comptait strictement moins de 5 frontières, on aura aucun mal à lui attribuer une couleur. De même, si parmi les 5 régions frontalières, on retrouve deux fois la même couleur, on peut sans soucis colorier la région.

Il reste alors un cas qui pose problème : comment peut-on s’en sortir si les 5 régions frontalières à X sont toutes de couleur différente ? Eh bien, il va falloir toucher à la coloration du reste de la carte. Disons qu’autour de X se trouvent, dans l’ordre, une région blanche, bleu, jaune, rouge puis verte. On va considérer, en partant de la région voisine verte, l’ensemble des régions de la carte que l’on peut atteindre en ne passant que par les régions vertes et jaune. On appelle cet ensemble une composante de Kempe, du nom de Alfred Kempe qui a pour la première fois démontré le théorème des 4 couleurs. L’intérêt, c’est que dans cette composante verte et jaune de Kempe, il est possible d’inverser les couleurs vertes et jaunes sans que cela ne pose de problèmes.
Deux éventualités alors. Si la région jaune voisine de X ne se trouve pas dans notre composante de Kempe, alors on peut inverser la composante, ce qui libère la couleur verte, et c’est gagné. Dans le cas contraire, c’est qu’il existe un trajet jaune et vert liant les régions voisines jaune et verte. L’existence de ce trajet empêche alors l’existence d’un autre trajet rouge et bleu liant les voisines rouge et bleues de X, puisque deux trajets de couleurs différentes ne peuvent pas se croiser. On peut dont inverser la composante bleue rouge de Kempe partant du voisin bleu de X, ce qui libérera la couleur bleue.
Bref, quitte à modifier la coloration du reste de la carte, il est possible d’attribuer une couleur à cette région supplémentaire X. Ainsi, si toute carte à N région est 5-colorable, alors toute carte à N+1 régions est 5-colorable. On vient donc de démontrer par récurrence que toute carte est 5-colorable !

Mais comment faire mieux ? Comment s’y prendre pour prouver que toute carte peut être coloriée avec 4 couleurs ? On est bien sûr tenté d’utiliser un raisonnement par récurrence similaire à celui de la démonstration du théorème des 5 couleurs. C’est justement ce que Alfred Kempe a tenté de faire en 1879, fournissant la première démonstration du théorème des 4 couleurs. Le succès fut malheureusement de courte durée, puisque 11 ans plus tard, Percy John Heawood débusque une erreur dans la démonstration. Il ne s’arrête pas là, puisqu’il prouve au passage que l’argument principal de Kempe, l’inversion des couleurs au sein d’une même composante, est inutilisable dans certain cas. Il donne même un exemple, qui ressemble à peu près à ceci. Quand on retire la région X, au nord, on peut colorier la carte comme ceci. Cette région nord compte 5 régions voisines, dont deux vertes. Dans ce cas, il sera impossible de libérer l’une des 4 couleurs en procédant simplement à des inversions de couleurs au sein d’une même composante. Vous pouvez par exemple vérifier qu’en transposant les couleurs rouges et jaunes, aucune couleur ne devient disponible. Bref, cette carte détruit complètement le principe de la démonstration de Kempe, retour à la case départ.
Je vous rassure tout de même, cette carte n’est pas un contre-exemple du théorème des 4 couleurs, seulement de la démonstration de Kempe. Un coloriage y est possible, mais il faut faire plus que simplement échanger des couleurs entre plusieurs régions.

Bref : si une carte est coloriable avec 4 couleurs, il n’y a pas d’argument simple qui permet de conclure que l’ajout d’une région la laissera forcément coloriable avec 4 couleurs.

Tout est donc foutu ? Bien sûr que non. Kempe touchait du doigt l’argument qui permettait de conclure, mais n’est pas allé assez loin. En fait, quand on cherche à colorer une carte à partir de la coloration d’une carte plus petite, ce n’est pas toujours une unique région qui faudra retirer, mais plutôt un morceau de la carte, appelée configuration, et qui peut compter plusieurs régions. La démonstration n’en est pas plus simple pour autant.

Plutôt que de chercher à prouver que toutes les cartes peuvent être colorées avec 4 couleurs, on va plutôt chercher à infirmer le contraire : il n’existe aucune carte qui demande au minimum 5 couleurs. Cela revient au même, mais c’est un plus facile à comprendre. Ce que les mathématiciens qui se sont intéressés au problème sont finalement parvenus à prouver non sans difficultés, c’est que si une telle carte contre-exemple existe, alors il en existe toujours une autre strictement plus petite en terme de nombre de régions et de frontières. Comme on ne peut pas diminuer à l’infini la taille d’une carte, un contre-exemple ne peut pas exister. Pour prouver cela, l’idée est donc de chercher à quoi pourrait ressembler la plus petite carte qui demanderait nécessairement strictement plus de 4 couleurs, c’est à dire, chercher un contre-exemple minimal.
Il faut donc passer en revue les propriétés que se doivent de vérifier le plus petit des contre-exemple. Par exemple, on peut dire que dans une telle carte, aucune région ne possède trois frontières ou moins. Sinon, retirer cette région à 3 frontières donne une carte plus petite. Cette nouvelle carte est forcément 4-colorable, sinon, cela contredirait l’hypothèse de minimalité. Cette coloration s’étend doncà la carte initiale, ce qui contredit le fait que c’était un contre exemple. Avec le même genre d’arguments, il est possible de prouver qu’une carte contre-exemple minimale n’a jamais de région comptant exactement 4 frontières.

Ça, c’est ce que les cartes contre-exemples minimales n’ont pas. Mais que peut-on dire qu’elles ont ? Les premiers à s’être penchés sur la question sont Kenneth Appel et Wolfgang Haken, en 1976. Ils sont parvenus à montrer que si une carte est un contre-exemple minimal, alors elle possède forcément l’une des configurations inévitables parmi une liste qu’ils ont mis au point. Le hic, c’est que cette liste compte 1478 configurations, et qu’il faut toutes les analyser une par une.
Prenons par exemple la configuration suivante, appelé losange de Birkhoff. En remplaçant cette configuration par celle-ci, on obtiendra une carte plus petite, donc coloriable avec 4 couleurs. On peut alors montrer, moyennant des échanges de couleurs au sein d’une composante de Kempe que je ne vais pas détailler, que ce coloriage peut toujours s’étendre à la configuration initiale. Bref, cette configuration inévitable qu’est le losange de Birkhoff est ce que l’on appelle “réductible”.
Le travail à faire pour démontrer le théorème des 4 couleurs est donc colossal. Il faut prouver que chacune des 1478 configurations est non seulement inévitable, mais aussi réductible. Faire ce travail à la main est le travail d’une vie, si bien que les deux mathématiciens ont fait un sacrilège aux yeux de la communauté mathématique : ils ont automatisé leur démonstration et laissé leur ordinateur de bureau travailler pour eux la nuit. Après 1200 heures de calcul, l’ordinateur a affiché sa conclusion : toute carte peut être coloriée avec 4 couleurs.  Pour la première fois de l’histoire des mathématiques, l’informatique a donc été indispensable pour mener au bout une démonstration. Il y a alors plusieurs raisons d’être circonspect.
Déjà, il est particulièrement ardu de checker la validité du raisonnement puisqu’elle compte tout de même 600 pages. Une erreur a d’ailleurs été découverte au milieu de la démonstration quelques années plus tard, heureusement sans conséquence. En 1995, une équipe de 4 mathématiciens se replongent dans la démonstration de Appel et Haken, et l’améliorent considérablement, en réduisant à 633 la liste des configurations inévitables. Ils simplifient également la procédure, mais le coeur du raisonnement reste malgré tout confié à l’informatique. Afin de dissiper tous les doutes quant à la validité de cette preuve, George Gonthier la confiera en 2005 au logiciel Coq, un programme qui permet de vérifier mécaniquement qu’une démonstration ne comporte aucune faille de logique. Le mot "mécanique" est utilisé ici de façon abstraite, elle traduit simplement le fait que le programme va analyser la démonstration ligne par ligne et vérifier si chacune d'entre elle est logiquement valable. Dans une démonstration traditionelle de mathématicien, il existe toujours des zones de floue, où des petites parties de la démonstration sont omises (en général, parce qu'elles sont évidentes). Pour vérifier "mécaniquement" une preuve, il faut que la démonstration ne possède aucune de ces zones de floues. Une démonstration vérifiée par ordinateur est donc en fait bien plus fiable qu'une démonstration relue par un mathématicien, mais ne permet pas de comprendre quels argument seraient essentiels au bon fonctionnement d'un théorème. Malgré la relative inaccessibilité de la démonstration, nous sommes aujourd’hui sûr et certain que toute carte peut être coloriée avec 4 couleurs. Le théorème des 4 couleurs est bien un théorème.

Mais ce n’est pas l’appel à l’informatique qui est le plus décevant dans cette histoire. Quand un problème reste ouvert pendant plus d’un siècle, on s’attend à ce que la démonstration soit mathématiquement passionnante. Un bon problème de maths, c’est un problème dont la résolution en ouvre des dizaines d’autres. Quand Andrew Wiles a démontré la conjecture de Fermat ouverte depuis plus de 300 ans, il a surtout fait progresser le programme de Langlands, c’est à dire la compréhension profonde de liens entre arithmétique et géométrie. Quand Grigori Perelman a démontré la conjecture de Poincaré ouverte depuis presque un siècle, il a développé des outils particulièrement puissants et novateurs en topologie algébrique. Quand Appel, Haken et leurs successeurs ont démontré le théorème des 4 couleurs, eh bien, il l’ont démontré, et c’est à peu près tout. Les démonstrations sont brutales, et n’apportent pas d’éclairage nouveau à la théorie des graphes. C’est pour cette raison que les recherches autour de la question sont toujours ouverte. On adorerait débusquer une preuve élégante du théorème des quatre couleurs et qui puisse élargir notre compréhension des mathématiques. C’est vraiment trop demander ?

== FAQ ==

Si l'on est motivé, est-ce que cela vaut le coup de faire l'étude des 633 cas de Robertson & co ?
Si ça valait le coup de faire tout le travail à la main, il aurait été fait. Avec la force d'internet aujourd'hui, une démonstration qui demande d'étudier des milliers de cas peut être fait assez rapidement. Seulement, on ne le fait pas simplement parce que la démonstration n'est en elle même pas particulièrement passionnante. Il s'agit juste des mêmes arguments répétés des milliers de fois dans des ordres plus ou moins similaires. Ce qui serait intéressant, ça serait de trouver des manières radicalement différente de procéder !

Peut-on généraliser ce théorème à d'autres surfaces (sphère, tore, etc.) ou à d'autres dimensions ?
Oui, et cela réserve quelques surprises ! Le théorème des couleurs est un théorème du plan, mais il s'étend sans modification à la sphère : toute carte sur une sphère peut être-coloriée avec au plus 4 couleurs. Pour le tore, c'est différent, puisque certaines cartes demandent jusqu'à 7 couleurs (mais jamais plus). Cette propriété a d'ailleurs été démontrée par Heawood bien avant que le théorème des 4 couleurs du plan. De façon plus générale, si une carte est dessiné sur une surface bornée dont la caractéristique d'Euler est χ, alors on peut la colorier en utilisant au plus

Nchi

couleurs. ⎣x⎦ représente la partie entière de x. La caractéristique d'Euler χ d'une surface étant le nombre que l'on trouve avec la formule S-A+F lorsque l'on y dessine un graphe.

Il n'y a par contre aucune généralisation aux dimensions supérieures. Dès la dimension 3, on peut facilement fabriquer des "cartes 3D" où chaque région touche chacune autre région, et ce avec un nombre de régions arbitrairement grand, à la façon des neurones.

Existe-t-il des cas où 3 couleurs suffisent ?
Evidemment, mais on cherche activement une façon de caractériser les cartes qui ne demandent que 3 couleurs. Il a longtemps été conjecturé (la "conjecture des 3 couleurs de Steinberg") que c'était le cas si la carte ne possède aucun 4-cycle ni 5-cycle (un k-cycle est un chemin passant par k régions et qui revient à son point de départ). Ce n'est que très récemment (en avril 2016, cf 
ce lien) qu'un contre exemple a été trouvé. On ne connait donc pas de bon critère permettant de connaitre le nombre minimal de couleurs demandées par une carte.


Sources :
Historique du problème : The four colour theorem, J J O'Connor and E F Robertson
"Contre-exemple" de Gardner : Martin Gardner's April Fool's Map sur mathforum.org
Démonstration de Appel et Haken : Every planar map is four colorable. Part I: Discharging, K. Appel, W. Haken
Démonstration de Robertson & co : A new proof of the four-colour theorem, N. Robertson, D. P. Sanders, P. Seymour, R. Thomas
Résumé de la démo de Robertson & co : The Four Color Theorem, R. Thomas
Résumé de la démo de Robertson & co (en français) : Le théorème des quatre couleurs, Georges Gonthier
A propos de la démonstration de Kempe : How false is Kempe’s proof of the Four Color Theorem? Part II, E. Gethner & cie
Preuve que le graphe de Errara est bien un contre-exemple de la démo de Kempe : Proof that the Errera Graph is a narrow Kempe-Impasse, P. Heining
Preuve formelle de G. Gonthier : Formal proof - the four-color theorem, G. Gonthier
Preuve que le diamant de Birkhoff est réductible : Birkhoff diamond, I. Dupree, E. Zeidan, S. Auciello.
Groupes de 4 régions deux à deux voisines :List of sets of four countries that border one another, Wikipédi

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26 août 2016

Deux (deux ?) minutes pour le théorème de Banach-Tarski

Un très gros morceau cette fois-ci, le théorème de Banach-Tarski. Le sujet étant particulièrement dense, je vous propose une version longue et un résumé !

Vignette

Deux (deux ?) minutes pour le théorème de Banach-Tarski

Deux (deux !) minutes pour le théorème de Banach-Tarski

 

 

Transcription augmentée

En 1924, Stefan Banach et Alfred Tarski publient “sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes”, un article où les deux mathématiciens démontrent que l’on peut découper une boule en 5 morceaux de façon à ce qu’il soit possible de recomposer à l’aide de ces morceaux deux boules toutes deux parfaitement identiques à la boule avant son découpage. Ça tombe bien, j’ai deux minutes pour en parler.

On considère une boule, c’est à dire une sphère pleine, de l’espace 3D. Ce qu’énonce le théorème de Banach-Tarski, c’est qu’il existe un découpage de cette boule en 5 morceaux qui, après recomposition, peuvent former deux boules identiques en tout point à la boule initiale. La recomposition ne fait intervenir que des isométries, c’est à dire des déplacements et des rotations. En particulier, les pièces ne sont à aucun moment déformées.

Comme son nom l’indique, ce théorème est un théorème : c’est une propriété mathématique qui a été démontrée en bonne et dûe forme. Malgré son caractère paradoxal, ce théorème est absolument impossible à contredire.

Ainsi, il est tout à fait raisonnable pour un mathématicien de découper pour 2 invités un gâteau sphérique en 5 parts de façons à ce que chacun des deux invités reçoive la totalité du gâteau. Dans la vidéo, la photo est bien celle d'un gâteau hallucinant de réalisme, voir là-bas. Si ce théorème semble paradoxal au premier abord, c’est qu’il contredit une réalité de notre monde physique : quand on coupe un objet en plusieurs morceaux, le volume de l’objet initial se doit d’être strictement égal à la somme des volumes de ses morceaux. Dans le monde mathématique, cette propriété est elle aussi évidemment vraie, mais à l’unique condition que l’on puisse attribuer à ces morceaux un volume. Cette notion est difficile à définir, mais quand on le fait proprement, on s’aperçoit que certains objets mathématiques ne peuvent tout simplement pas être mesurés.

Si cette propriété défie autant l’intuition, c’est qu’au coeur de sa démonstration se cachent deux détails un peu perturbants. Le premier point troublant est la présence de paradoxes liés à l’infini, puisque l’on va utiliser plusieurs fois le paradoxe de l’hôtel de Hilbert, à savoir que deux ensembles infinis de taille différente au premier coup d’œil  peuvent être en fait équivalent. Je vous renvoie à ma vidéo sur le sujet.
Le deuxième point, encore plus dérangeant, est l’apparition dans la démonstration de l’axiome le plus polémique de la théorie des ensembles : l’axiome du choix. La polémique est surtout présente chez les logiciens. Les autres mathématiciens l'utilisent sans trop réfléchir, en y faisant gaffe parce que des logiciens leur ont demandé d'être sur leur garde. Le découpage de l’énoncé est mathématiquement parfaitement défini, mais il est malheureusement impossible à réaliser en pratique. Désolé, mais dans la réalité physique du monde tel qu’on le connaît, on ne peut pas dupliquer des objets en les découpant.

Une théorie mathématique repose toujours sur ce que l’on appelle des axiomes, c’est à dire, des énoncés mathématiques les plus simples possible que l’on postulera comme vrais et qui serviront de point de départ à toutes les démonstrations. La théorie dans laquelle se place implicitement la très grande majorité du monde mathématique est la théorie des ensembles, appellée théorie ZF (Z pour Ernst Zermelo et F pour Abraham Fraenkel). Cette théorie possède, suivant la façon dont elle est présentée, de 8 à 10 axiomes. On peut citer par exemple l’axiome de l’ensemble vide ou l’axiome de l’infini, qui énoncent, comme leur nom l’indique, l’existence d’un ensemble vide et celui d’un ensemble infini. En réalité, l'axiome de l'ensemble vide est la conséquence du schéma d'axiomes de compréhension (et ne peut donc pas être à proprement parler un "axiome"). On peut parler aussi de l’axiome de la paire, qui permet de construire un nouvel ensemble à partir de deux ensembles donnés, ou de l’axiome des parties, qui permet de fabriquer à partir d’un ensemble donné l’ensemble de ses parties.

Les axiomes de la théorie ZF permettent de fabriquer l’immense majorité des objets mathématiques et de démontrer les théorèmes qui s’y rapportent. Par exemple, pour fabriquer les nombres entiers, une des constructions classiques est de partir de l’ensemble vide, qui fera office de 0. Avec l’axiome de la paire, on peut fabriquer un ensemble rassemblant l’ensemble vide et lui-même, ce qui donnera un ensemble contenant un unique élément. Cet ensemble fera office de 1. Pour le nombre 2, on fabrique grâce à l’axiome de la paire un ensemble à 2 éléments distincts : 0 et 1. En continuant ce processus, on obtiendra tous les entiers naturels. Je vais très vite sur cette partie. J'en parle un peu plus dans cet article.

    Ainsi, dans la théorie des ensembles, tous les objets mathématiques sont des ensembles. Par exemple, un triangle dans le plan est un ensemble de points. Un point est un ensemble ordonné de deux nombres réels, et les nombres réels se construisent à partir des nombres entiers, qui ont eux mêmes été contruits à l’aide des axiomes. La construction des nombres réels est assez ardue, j'en parle davantage ici. Bien sûr, il n’y a pas besoin de prendre tout cela en compte pour faire des mathématiques qui tiennent la route. On peut sans problème calculer le résultat de 6×7 sans avoir à repasser par la définition ensembliste des nombres entiers, il n’empêche que n’importe quel résultat mathématique repose à sa base sur moins d’une douzaine de vérités admises.

Enfin bref, tout ça, c’est pour la théorie des ensembles ZF. Mais il existe un axiome apparu en 1904 que l’on adjoint parfois à cette théorie et qui prend alors le nom ZFC : l’axiome du choix. Grosso modo, cet axiome énonce que si l’on dispose d’un ensemble composé d’ensembles non vides, on pourra fabriquer un nouvel ensemble à l’aide d’éléments provenant de chacun des ensembles intérieurs. Pour illustrer, on peut dire que si l’on dispose d’une commode possédant plusieurs tiroirs non vides, l’axiome énonce qu’il est possible de sortir un objet de chacun des tiroirs. Cela semble évident quand on pense à la commode de son salon, cela devient plus compliqué quand celle-ci possède une infinité de tiroirs, et que chaque tiroir possède une infinité d’objets indiscernables.

Cet axiome est plutôt contesté, et c’est d’ailleurs pour cela qu’on le place toujours à l’écart des autres axiomes de la théorie des ensembles.
    Une première raison de le contester, c’est que contrairement aux autres axiomes, il n’est pas complètement évident. Le principal obstacle, c’est que lorsque les ensembles en présences sont infinis, l’axiome du choix énonce l’existence d’ensembles qui seront en pratique impossible à construire. Et ça, c’est plutôt gênant.
Une illustration classique due à Bertrand Russel fait intervenir une infinité de paires de chaussures. Existe-t-il un moyen de choisir une chaussure dans chacune de ces paires ? Étant donné que deux chaussures d’une paire sont distinctes, il suffit de dire que l’on prend à chaque fois la chaussure droite, et le tour est joué. Mais la même question posée pour une infinité de paire de chaussettes n’amène pas à la même réponse, puisqu’il est impossible de distinguer une chaussette droite d’une chaussette gauche. Il faudra alors choisir une chaussette par paire au cas par cas, ce qui n’est pas possible sur un ensemble infini à moins d’utiliser l’axiome du choix.


    Le deuxième point qui soulève des débats chez l’axiome du choix, c’est que les théorèmes qu’il implique sont parfois choquants pour l’intuition. Il y a non seulement le théorème de Banach-Tarski qui permet de dupliquer des objets géométriques par simple découpage, mais on va aussi évoquer les ensembles de Vitali, des sous-ensembles de la droite où la notion de longueur n’existe plus.

Parlons justement de cette notion de longueur, ou, plus généralement, de la mesure. Pour des objets unidimentionnels comme des bouts de segments, ce que l’on appelle mesure sera alors la longueur du ou des segments. Pour les objets bidimentionnels, leur mesure correspondra à leur aire ou à leur superficie. Pour les objets 3D, leur mesure correspondra à leur volume. En réalité, la notion de mesure est un peu plus subtile que ça, mais gardons en tête qu’il s’agit d’un nombre positif qui est égal, suivant le contexte, à une longueur, une aire ou un volume.
Prenons par exemple ce segment unité, correspondant à l’intervalle des nombres compris entre 0 et 1. Cet intervalle étant de longueur 1, sa mesure est donc égale à 1.
Si je découpe cet intervalle en 2 parties égales, j’obtiens deux segments de longueur 0.5. La mesure totale est donc de deux fois 0.5, donc toujours de 1. Mon découpage n’a pas touché à la mesure de cet objet.
Autre découpage. Je mets de côté le point d’abscisse 0.5, et de l’autre côté le reste. Puisqu’un point n’a pas de longueur, sa mesure est donc égale à 0. De l’autre côté, on a deux segments de longueur ½, donc leur mesure, c’est à dire la longueur totale, est toujours égale à 1. En fait, retirer un unique point à un intervalle ne change en rien sa longueur, cet objet reste donc de mesure 1. Si je retire un deuxième point, la même chose arrivera. Je peux donc retirer n’importe quel nombre fini de points à un intervalle, cela ne changera en rien la mesure. Un tas de points a toujours une mesure totale égale à 0.

Mais, si on met de côté un nombre infini de points ? Là, les choses se compliquent un peu. Découpons donc l’intervalle de façon un peu subtile. Mettons d’un côté tous les points de l’intervalle qui correspondent à un nombre décimal, c’est à dire les nombres pouvant être écrits avec un nombre de chiffres après la virgule fini, comme 0.25, 0.55 ou 0.42.  De l’autre côté, il reste les points ne correspondant pas aux nombres décimaux, comme ⅓, π-3 ou  √2-1, etc.
On a alors d’un côté un ensemble de points décimaux. Cet ensemble est appelé “dénombrable”, c’est à dire qu’il est possible d’y lister les éléments. En effet, il existe une façon d’ordonner de façon à avoir un premier, un deuxième, un troisième, etc. La théorie de la mesure indique qu’un ensemble dénombrable de points a toujours une mesure égale à 0, car on peut intuitivement voir un ensemble dénombrable comme un ensemble rempli de trous. Les points sont donc tous en quelque sorte isolés les uns par rapport aux autres, si bien que la longueur totale de l’ensemble est la somme des longueurs des points. Puisque la mesure de chaque point est de 0, la mesure totale est de 0. On peut formaliser tout ça, mais je ne rentrerai pas dans les détails.
Le second ensemble n’est quant à lui pas dénombrable. Les points ne peuvent en quelque sorte pas être décollés les uns des autres. Les trous de l’ensemble ne sont là qu’en apparence, ils ne suffisent pas à diminuer sa mesure. Cet ensemble a alors une mesure strictement égale à 1.
Bref, un ensemble dénombrable a toujours une mesure égale à 0, et retirer une partie dénombrable d’un intervalle ne change pas sa mesure.

Continuons alors le découpage. On a d’un côté les points décimaux, et de l’autre les non décimaux.
Extrayons un nouvel ensemble infini dénombrable, celui des nombres non décimaux de la forme ⅓+ x où x est un nombre décimal. Cela correspond aux nombres dont les décimales terminent par une infinité de 3. On va appeler cet ensemble la classe d’équivalence de 1/3, qui contient des nombres comme ⅓+0.1 ou 0.124333.... On dira que ⅓ est un représentant de cette classe. Il reste encore une infinité de points, qui correspondent aux non décimaux n’appartenant pas à la classe de ⅓. Cet ensemble est toujours de mesure 1, puisque c’est une partie dénombrable que l’on a retiré.
Extrayons à présent la classe d’équivalence de √2-1, c’est à dire les points correspondant aux nombres de la forme √2-1+x, où x est un nombre décimal. Il reste toujours une infinité de points, les non décimaux n’appartenant ni à la classe de ⅓, ni à celle de √2-1. Une nouvelle fois, cet ensemble a pour mesure 1.
On peut continuer à retirer des classes d’équivalence de nombre autant de fois que l’on veut, on épuisera jamais l’ensemble initial, qui ne diminuera alors jamais en mesure. En fait, si, mais il faut le faire un nombre infini de fois, et cet infini doit être indénombrable. Sauf que pour faire cela, il faut être en mesure de choisir un représentant de la classe à chaque étape, et il n’y a aucun moyen de créer explicitement cette liste. Le seul moyen de le faire est d’utiliser l’axiome du choix, c’est à dire reconnaître que la liste existe mais sans pouvoir dire à quoi elle ressemble. L’axiome du choix permet donc de choisir un représentant de chaque classe d’équivalence, mais ne donne pas explicitement cette liste. On vient d’utiliser l’axiome du choix, c’est donc précisément à ce moment que les choses partent en vrille.
Cette liste des représentants, quelle est sa mesure exactement ? Je ne vais pas rentrer dans les détails, mais aussi démontrer que cet ensemble n’a pas pour mesure 0, mais il est également possible de démontrer que sa mesure n’est pas strictement plus grande que 0. La seule issue est de dire que la notion même de mesure n’est pas applicable à cet ensemble. Cet liste de représentants, appellée ensemble de Vitali, ne peut donc pas être mathématiquement mesuré”. Il s’agit de ce que l’on appelle un ensemble “non mesurable”, et c’est l’existence de ces objets qui rendent si compliqué l’étude théorique du calcul des aires et volumes. En général, on construit plutôt les ensembles de Vitali à partir des rationnels plutôt qu'à partir des décimaux, mais le résultat est le même. Même si leur densité sont les mêmes, on sent intuitivement davantage de trous dans les décimaux que dans les rationnels.

Bref, il est possible de fabriquer des objets où la notion même de longueur, d’aire ou de volume ne peut pas exister. Ça encore, cela ne serait pas trop grave si Banach et Tarski ne s’en était pas emparé. Ils ont remarqué qu’en associant convenablement plusieurs objets non mesurables, il est possible de fabriquer de nouveaux objets qui eux sont bien mesurables. C’est ainsi qu’ils sont parvenus à découper une boule selon 5 pièces dont 4 non mesurables qui permettent d’en fabriquer deux nouvelles identiques à la première en en prenant deux d’un côté et trois de l’autre.


A quoi ressemblent exactement ces pièces ? N’ayons pas peur et construisons-les !
Déjà, il nous faut une sphère. Celle-ci fera l’affaire. Ensuite, il nous faut deux axes de rotation de cette sphère. Prenons par exemple celui-ci, qui permet une rotation d’ouest en est, et inversement. Prenons également celui-là, qui permet des rotations de la sphère vers le nord ou vers le sud.
En plus de ces axes de rotation, il nous faut un angle de rotation. On peut choisir l’angle de son choix, mais pas n’importe lequel. Il faut que cet angle soit irrationnel, de façon à ce qu’il soit impossible que la sphère ne retrouve sa position initiale après plusieurs rotation autour de l’un ou l’autre des ses axes. Un angle de 90° par exemple n’est pas acceptable, puisque la succession de 4 rotations d’angles 90° ramènerait la boule dans son position initiale. Au contraire, ce problème n’arrive pas si on prend un angle irrationnel comme √2°. La succession de rotations qui suivent cet angle ne ramèneront jamais la sphère dans sa position initiale. Cela marcherait tout aussi bien en prenant n’importe quel autre angle irrationnel comme log(42)° ou arccos(⅓) radians.

Si on a besoin de tout ça, c’est pour attribuer à chaque point de la surface de la sphère une adresse. Pour cela, il nous faut un point origine, celui de son choix. Disons celui-ci, que j’appellerai A.
Depuis ce point, on peut accéder à 4 autres points, selon que l’on fasse une rotation de l’angle choisi vers le nord, le sud, l’est ou l’ouest. Chaque point donne accès à 3 autres points, et ainsi de suite. On a donc de cette façon accès à tout un tas de points, que l’on pourra représenter par leur adresse, c’est à dire la succession de rotations à suivre pour tomber sur leur position en partant de l’origine. Par exemple, l’adresse NNOS correspond au point obtenu en procédant à une rotation de la sphère vers le nord, puis vers le nord, puis vers l’ouest, et enfin vers le sud. Bien que composé des mêmes lettres, l’adresse SONN correspond à un autre point, celui obtenu en tournant la sphère vers le sud, puis l’ouest, puis le nord, puis le nord. Attention cependant, certaines adresses ne sont pas valides, lorsque se succèdent deux rotations opposées l’une à l’autre. Ainsi, l’adresse SNON n’est pas valide, puisqu’elle peut être simplifiée en l’adresse ON, des rotations successives vers le nord et le sud se simplifiant.
Finalement, l’ensemble des points accessibles par rotations depuis le point origine A possèdent une adresse simplifiée unique. Ce n’est pas complètement vrai, mais j’y reviendrai plus tard. Classons tous ces points selon 4 ensembles : un premier composé des points dont l’adresse se termine par N, un deuxième où les adresses se terminent par S, un troisième où les adresses se terminent par O et un dernier par E. Il reste le point origine A, que nous mettrons tout seul dans un cinquième ensemble.

Regardons de plus près l’ensemble numéro 1, celui des points dont l’adresse se termine par N. Puisqu’il s’agit d’adresses simplifiées, on ne pourra jamais y trouver une avant dernière lettre égale à S.
 Que se passe-t-il si l’on tourne cet ensemble d’un cran vers le sud ? Eh bien, cela revient à ajouter S à la fin de l’adresse de chacun des points s’y trouvant. Puisque toutes les adresses se terminaient par N, elles se retrouvent simplifiées. On obtient alors des adresses se terminant par O, par E, par N mais jamais par S. À noter que l’on y retrouve aussi le point origine, obtenu après simplification du point d’adresse N.
    Bref, après une rotation vers le sud, l’ensemble 1 est composé maintenant de l’ensemble des points issus des ensembles 1, 3, 4 et 5. On peut donc reformer la sphère initiale à partir de seulement deux morceaux : l’ensemble n°2 et de l’ensemble n°1 ayant subi une rotation vers le sud.
Je peux faire la même chose en prenant l’ensemble 3 et en tournant l’ensemble 4, cela me donne une seconde version de la sphère.
Bref, on vient de découper la sphère en cinq morceaux. Les ensembles 1 et 2 peuvent former une première copie de la sphère initiale, et les ensemble 3 et 4 forment une deuxième copie. On vient donc bien de transformer une sphère en deux sphères en tout point identique à la première, et ce simplement par du découpage. C’est l’argument clé qui fait fonctionner le théorème de Banach-Tarski.

Bon. Il reste pas mal de détails. Déjà, il y a ce cinquième morceau, composé uniquement du point origine A. On peut s’en débarrasser, mais il faut retailler les ensembles 1 et 2. Ce que l’on va faire, c’est déplacer du premier au deuxième ensemble tous les points dont l’adresse est le symbole N répété une ou plusieurs fois. On ajoute aussi l’origine dans l’ensemble 2. Ainsi, on peut se convaincre qu’après une rotation vers le sud, ce nouvel ensemble 1 devient la réunion des ensembles 1, 3 et 4, dont le complémentaire est bien le nouvel ensemble 2.
Bref, on vient de découper la sphère en 4 morceaux qui, réarrangés de la bonne façon, forment deux copies identiques de cette sphère.

La démonstration que l’on vient de faire ici rappelle l’histoire de l’hotel de Hilbert, lorsque l’on a réussi à faire rentrer un bus infini de clients dans un hôtel infini pourtant plein. Il y a en effet autant de points dans un ensemble infini que dans deux copies de cet ensemble.

    Malgré tout, la preuve que je viens de faire n’est pas du tout satisfaisante, puisque ce n’est pas pas la sphère complète que j’ai découpé, mais un sous-ensemble de celle-ci, celui des points accessibles depuis l’origine par une succession de rotations. Ces points là sont en quantité dénombrable, si bien qu’il reste donc encore une quantité infinie indénombrable de points inaccessibles.
Ce n’est pas grave, choisissons l’un de ces points inaccessibles et désignons-le comme étant le nouveau point origine, disons B. Celui-ci donne accès à une infinité de nouveaux points. En réutilisant notre système d’adressage, on peut donc ajouter dans notre morceau 1 tous les points issus de B ayant une adresse se terminant en N, dans le morceau 2 les adresses se terminant en S, et ainsi de suite, sans oublier la petite modification qui permet d’ajouter le point origine B dans le morceau 2. Comme précédemment, ces quatre morceaux permettent bien de recréer deux sphères.

    Ce n’est pas encore satisfaisant. Les quatre ensembles contiennent toujours une infinité dénombrable de points, et il reste toujours une quantité indénombrable de points non accessibles sur la sphère. On peut donc poursuivre la construction en y choisissant toujours des points, jusqu’à ce que chacun des points de la sphère appartienne à l’un des 4 morceaux. Pour procéder à un tel choix, on ne pourra pas faire autrement que d’utiliser l’axiome du choix. C’est donc à cet instant que l’on passe du côté obscur de l’axiome du choix. Jusqu’ici, les morceaux étaient infini dénombrables, donc de mesure 0. Maintenant que l’axiome du choix a été utilisé, on se retrouve avec 4 morceaux qui permettent de reconstituer deux sphères, mais qui ne possèdent aucune mesure. Il est donc possible qu’en les associant deux à deux, ils forment des nouveaux morceaux de mesure strictement plus grande.

    Le paradoxe de Banach Tarski ne parle pas de la sphère, vide, mais de boules, pleines. Pour obtenir un découpage satisfaisant, il suffit de prendre non plus des points à la surface de la sphère, mais les rayons de cette boule. On obtient alors un découpage de la boule en 4 morceaux qui permettent de reconstituer par puzzle deux exemplaires identiques de cette boule.
J’avais pourtant parlé de 5 morceaux, et je n’en ai construit ici que 4. Il reste en effet un problème avec le centre de la boule, qui n’appartient pour l’instant à aucun des quatre morceaux. On va donc devoir extraire un cinquième morceau pour le combler. Pour cela, on considère un cercle à l’intérieur de la boule et qui passe par son centre, et on va y appliquer un tour de passe-passe façon hôtel de Hilbert pour combler le trou. Pour ce faire, nous avons besoin une nouvelle fois d’un angle irrationnel. Disons √200 °. Puisque √200 est un nombre irrationnel, répéter des rotations d’angle √200 ° ne fera jamais tomber deux fois sur le même point. Pourquoi ? Pour revenir à la position initiale, il faut que la somme des angles de rotation soit un multiple de 360 degrés; or avec un irrationnel, il est impossible d'obtenir un nombre rationnel par simple multiplication par un entier. Prenons justement l’ensemble des points du cercle obtenu à partir du point manquant en appliquant la rotation 1 fois, 2 fois, 3 fois etc. Cet ensemble est infini, il n’y a pas de dernier point. En procédant à une rotation de cet ensemble par un angle de -√200 °, le trou présent au centre de la boule sera comblé, sans qu’aucun autre trou n’ait été formé.
C’est donc cet ensemble de points qui vient former le cinquième morceau du découpage paradoxal de Banach et Tarski. 

    Il y a un dernier détail que je ne développerai pas, celui des points fixes des rotations qui rendent non unique l’adresse de certains points de la sphère. Prenons par exemple ce point là. En lui appliquant une rotation vers le nord, puis vers l’ouest, je reviens à mon point de départ. Il existe donc plusieurs façons différente d’adresser ce point, ce qui est problématique. Il y a une infinité dénombrable de points qui présentent ce défaut, mais on peut s’en débarasser sans augmenter le nombre de morceaux.
Bref, grâce à Banach, Tarski et à l’axiome du choix, on dispose d’un moyen mathématique et parfaitement défini de dupliquer des boules.

Après tout ça, on peut être tenté de complètement rejeter cet axiome qui met tellement à mal l’intuition première que l’on peut se faire des objets mathématiques. De nombreux débats ont eu lieu à ce sujet dans le milieu des mathématiciens au début du XXe siècle et ont donné naissance à plusieurs courants de philosophie mathématique. On peut citer par exemple l’intuitionnisme qui rejette tous les objets mathématiques qui ne sont pas préalablement construits explicitement. En particulier, les intuitionnistes n’acceptent ni les démonstrations par l’absurde, ni le principe du tiers exclus. La réalité des intuitionnistes est un peu plus complexe que cela, je préfère ne pas m'y étendre. Le point de vue se défend, mais cette position est malgré tout plutôt assez rigoriste.
Une autre démarche que l’on peut avoir face à un tel paradoxe est de se demander si celui-ci est réellement contradictoire. Bien sûr, il surprend l’intuition, mais il ne réfute sur aucun point le moindre autre théorème. En fait, cela a même été démontré en 1938 par Kurt Gödel, qui a prouvé que si les axiomes de la théorie ZF ne sont pas contradictoires les uns avec les autres, alors l’ajout de l’axiome du choix ne pourra pas y apporter de contradiction. Il n’y a donc pas d’argument purement mathématique qui permettrait de refuser cet axiome. Ajoutons également que la négation de l'axiome du choix n'entraine pas non plus l'apparition de contradictions dans la théorie ZF (Paul Cohen, 1963). On peut donc très bien vivre dans un monde mathématique où les choix sont impossibles (est-ce mieux ?...).
Il n’empêche que, aujourd’hui, l’utilisation de l’axiome du choix par les mathématiciens reste toujours sujette à caution. Il convient de préférer les démonstrations qui s’en passent et, si l’axiome semble inévitable, d’indiquer clairement aux lecteur dans quoi ils sont en train de s’embarquer. Plus de 100 ans après sa première formulation par Zermelo, force est de constater que l’axiome du choix et ses conséquences ont encore beaucoup de mal à passer...

FAQ :
-Le théorème fonctionne dans les autres dimensions ?
Oui, mais seulement à parti de la dimension 3. Il est impossible de dupliquer de la même façon des disques (dim 2) ou des segments (dim 1). Ce qui ne passe pas dans ces dimensions, c'est la première étape : impossible de trouver dans un disque deux rotations non commutatives.

- Le théorème fonctionne avec autre choses que des boules ?
Oui, tant que ce sont des objets de dimension 3, mais on ne pourra rien dire du nombre de morceux (si ce n'est qu'il est fini). Ainsi, il est exact de dire qu'il existe un moyen de découper un petit pois de façon à reformer à partir des morceaux quelque chose de la taille du Jupiter.

- Mézakwasasèr ?
En lui même, le théorème de Banach-Tarski n'a pas d'applications directes, mais il permet de bien comprendre pourquoi il faut faire attention à la façon dont on définit la notion de mesure. En ce sens, c'est surtout une curiosité de la théorie de la mesure. Il faut cependant bien comprendre ce théorème pour comprendre la nécéssité de définir scrupuleusement ce qui est mesurable de ce qui ne l'est pas. Il y a aussi, comme pour tous les paradoxes, des retombées philosophiques sur le sens réel que l'on donne aux objets mathématiques.

- L'axiome du choix a-t-il des applications concrètes ?C'est compliqué de dire ce qui en maths est "concret". En tout cas, ce théorème est à la base de deux théorèmes particulièrement important dans leur champ respectifs, le théorème de la base incomplète (en algèbre linéaire, qui dit que tout espace vectoriel admet une base) et le théorème de Hahn-Banach (en analyse fonctionelle). Ces deux théorèmes sont incontournables et, sans eux, on passe à côté de pas mal de choses. ^Les applications sont donc complètement théoriques, mais les théories qu'ils entraînent ont des applications bien réelles.

- Quel est l'anagramme de Banach-Tarski ?Banach-Tarski banach-Tarski (c'est une fautre professionelle de ne pas avoir intégré cette blague à la vidéo)

 


Sources :
Le paradoxe de Banach-Tarski, David madore. Une démonstration plus formelle du théorème
Le paradoxe de Banach-Tarski, Jonathan Muller
L'axiome du choix, Patrick Dehornoy
Le système Zermelo-Frankael, Patrick Dehornoy
La logique intuitionniste, Franck Wyven
Quelques théorèmes classiques qui sont des conséquences de l'axiome du choix, Alain Prouté
Irregular Webcomic, No 2339, David Morgan-Man
The Banach-Tarski Paradox, VSauce

Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes , Stefan Banach et Alfred Tarski

05 juillet 2016

Deux (deux ?) minutes pour le théorème de Bézout

C'est un théorème auquel javais déjà consacré un article il y a quelques temps, mais je l'aime beaucoup, et je n'ai pas résisté à l'envie de l'animer : le théorème de Bézout.

Vignette

Transcription augmentée

En 1764, le mathématicien français Étienne Bézout publie “Recherches sur le degré des équations résultantes de l'évanouissement des inconnues et sur les moyens qu'il convient d'employer pour trouver ces équations (je n'ai pas eu le courage de donner le nom en entier, ma vidéo ne dure que "2" minutes)”, un mémoire dans lequel il détaille sur une cinquantaine de pages des méthodes pour résoudre des équations polynomiales. Il en résultera alors le théorème de Bézout, un théorème fondamental de la géométrie algébrique. Ça tombe bien, j’ai deux minutes pour en parler…

A noter que je prononce le nom de ce mathématitien "bÉzout" ou non "bEzout". Les deux prononciation ont l'air de coexister, tout comme les deux orthographes "Bézout" ou "Bezout" (voir l'article d'investigation de Olivier Leguay)

Attention. Cette vidéo parle de géométrie algébrique. Il y sera donc question de géométrie, mais aussi d’algèbre. Vous voilà prévenus.

Si jamais on me demande quel est mon théorème préféré, je répondrai, probablement après un trop long temps d’hésitation, le théorème de Bézout. Il présente en effet tout ce qui fait le sel de la recherche en mathématiques, le passage d’un énoncé simple, intuitif mais faux à quelque chose de plus rigoureux, forcément plus complexe, mais plus profond. Bon, jusqu’à présent, personne ne m’a encore posé cette question, mais je garde cette réponse dans un coin au cas où.

Le théorème de Bézout énonce ceci. Si deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux, alors il existe deux autres entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1, et réciproquement. En fait, ce théorème porte plutôt le nom d’identité de Bézout, ou de théorème de Bachet-Bézout, et ce n’est pas du tout de celui-ci que je veux parler aujourd’hui.

Je vais en fait parler du théorème de Bézout en géométrie algébrique, qui énonce ceci.Deux courbes algébriques planes respectivement de degré n et de degré p possèdent exactement n × p points d’intersection.

Le théorème de Bachet-Bézout est un théorème que l'on voit dans le programe de spécialité mathémathématiques en terminale S. Le théorème de Bézout en géométrie algébrique est plutôt rencontré au niveau master.

    Pour comprendre l’énoncé, il faut bien sûr comprendre ce qu’est une courbe algébrique planes, et ce que représente leur degré. Les plus simples sont les courbes de degré 1, puisqu’il s’agit des droites du plan. On dit que ces courbes sont algébriques dans le sens où elles possèdent une équation polynomiale. Celle-ci a par exemple pour équation x + 2y – 8 = 0, celle-là a pour équation x – 4 = 0, et ainsi de suite. De manière plus générale, on peut trouver pour n’importe quelle droite une équation de la forme P(x,y) = 0, où P est un polynôme d’inconnues x et y et de degré 1.

Un peu plus compliqué, on a les courbe algébriques de degré 2, c’est à dire, les courbes définies par une équation de la forme P(x,y) = 0, où P est un polynôme de degré 2. Ces courbes portent le nom de coniques. On y retrouve, entre autres, les cercles, les ellipses, les paraboles, les hyperboles, mais aussi les couples de droites. Toutes ces courbes peuvent être décrites par une équation polynomiale à 2 inconnues et de degré 2, c’est à dire une équation où les inconnues x et y apparaissent au moins une fois sous la forme d’un produit xy ou d’un carré x² ou y². Je n'ai finalement pas donné la définition rigoureuse d'une équation polynomiale. J'espère que vous me le pardonnerez.  Ce cercle centré en (1,1) et de rayon 2 est bien une courbe algébrique de degré 2, puisque les coordonnées (x,y) de ses points vérifient tous l’équation x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0 (c'est à dire (x-1)²+(y-1)²=2²).

Les courbes de degré 3 portent le nom de courbes cubiques, et il en existe une belle ribambelle de différentes formes.

De façon plus générale, une équation polynomiale de n’importe quel degré permet de définir une courbe algébrique. Cette équation là, qui est de degré 6, décrit cette courbe appellée quadrifolium. Autre exemple avec celle-ci, de degré 5, qui décrit une courbe appellée quintique de l’Hopital.

Bref, les courbes algébriques sont les courbes définies par une équation polynomiale, et c’est ce qui se fait de plus joli en terme de courbes mathématiques.

 Revenons donc au théorème de Bézout, qui dit que deux courbes algébriques planes  respectivement de degré n et de degré p possèdent exactement n × p points d’intersections.

En prenant deux courbes de degré 1, c’est à dire des droites, on a bien 1 × 1 = 1 point d’intersection.

En prenant une droite, de degré 1, et une conique, de degré 2, on retrouve bien 1 × 2 = 2 points d’intersection.

Avec deux coniques, les courbes de degré 2, on retrouve bien 2 × 2 = 4 points d’intersection.

Avec une courbe de degré 4 et une courbe de degré 2, on retrouve bien 2 × 4 = 8 points d’intersection.
On pourrait multiplier les exemples.

Le théorème de Bézout fonctionne donc comme il faut, tout le monde est content… Enfin, presque. Je vous entends déjà derrière votre écran, en train de préparer plein de contre-exemples pour me prouver que j’ai tort. C’est vrai, l’énoncé que je vous ai donné est trop simple pour être honnête, mais on va tenter de le parfaire !

 Premier contre-exemple. Voici deux courbes algébriques, chacune de degré 1. Des droites, en fait. Où se trouve leur point d’intersection ?

Pour le trouver, est nécéssaire de se tourner vers une branche de la géométrie appellée la géométrie projective. Les deux droites se coupent bien, mais sur une ligne imaginaire, appelée l’horizon. En effet, si je penche ma caméra pour regarder ce qu’il se passe au loin, je ne peux que constater que les deux droites ont bien un point d’intersection, mais sur cette droite d’horizon. En géométrie projective, il est donc tout à fait justifié de dire que deux droites parallèles ont un point d’intersection, car c’est la branche des mathématiques qui s’occupe de modéliser les notions de perspective et d’horizon.

 Un point important que j'aurais du préciser dans la vidéo, c'est que l'analogie de la rotation de caméra pour observer ces fameux points à l'infini se justifie mathématiquement, mais n'est pas complètement rigoureuse. On peut donc penser que deux droites parallèles admettent deux points d'intersection à l'infini, un ans un sens, et l'autre dans l'autre. Ces deux points ne sont en fait qu'un seul et unique "point à l'infini".
En fait, ce que l'on appelle un "point à l'infini" n'est pas à proprement parler un "point" au sens où on l'entend, mais plutôt une famille de droites. On peut définir plus rigouresement un "point à l'infini" comme étant une direction (horizontal, vertical, etc) des droites. Le "point à l'infini" évoqué dans la vidéo est la famille des droites parallèle à la droite d'équation y = 4x, que l'on peut interpréter comme le point de fuite de ces droites sur l'horizon de votre choix (vous pouvez penchez la caméra comme vous le voulez, ce cera toujours le même point que l'on observera). 

 Deuxième exemple. On prend cette parabole, courbe de degré 2, et cette droite de degré 1. On constate un seul point d’intersection, mais le théorème de Bézout en implique deux. Le deuxième est en fait situé lui aussi sur la ligne d’horizon.

Cette opération de rotation de caméra se traduit parfaitement en équation mathématiquement, mais je ne détaillerai pas l’aspect technique ici. Même si ce point d’intersection peut sembler un peu artificiel, il doit être pris en compte.

 Bref, il faut corriger l’énoncé du théorème de Bézout :

Deux courbes algébriques projectives planes respectivement de degré n et de degré p possèdent exactement n × p points d’intersection.

Deuxième contre-exemple. Voici deux courbes algébriques, chacune de degré 2, qui ont donc 4 points d’intersection. On voit bien deux points d’intersection, mais où se trouvent les deux autres ?

Pour le découvrir, on va mettre le problème en équation. On cherche les points de coordonnés (x,y) qui vérifient à la fois x² + y² = 2 et y² = x. En substituant y² à x dans la première équation, on doit donc résoudre x² + x = 2, qui a pour solutions x = 1 et x = – 2.

En remplaçant x par 1 dans la deuxième équation, on obtient y² = 1, soit y = 1 ou y = –1. On retrouve donc les coordonnées (1 ; 1) et (1; – 1), c’est à dire celles des deux premiers points visibles.
Au contraire, si on remplace x par – 2 dans la deuxième équation, on obtient y² = –2. Cette dernière équation n’a pas de solutions réelles. Cependant, les nombres complexes sauvent la mise, puisque l’équation admet tout de même deux solutions complexes, qui sont i√2 et –i√2. On obtient alors les deux autres points d’intersection, de coordonnées (–2, i √2) et (–2;–i√2). Ils ne sont pas visibles directement puisqu’ils se trouvent dans le plan complexe, mais on a bien nos quatre points d’intersection promis.

 On peut se poser la question : existe-t-il un moyen simple de visualiser ces points complexes d'intersection ? Ces moyens existent, mais ils ne sont pas simples. Le plan réel possèdent deux dimensions : x et y. Le plan complexe, lui, compte 4 dimensions réelles : Re(x), Im(x), Re(y) et Im(y). Dans ce plan complexe, une courbe algébrique est donc une surface bidimentionnel (car un nombre complexe possède 2 dimensions réelles) dans un espace de dimension 4. La dimension 4 restera toujours difficile à appréhender à nous, pauvres habitants d'un monde tridimentionnel. On peut cependant interpréter une courbe algébrique complexe comme étant une courbe qui évolue en fonction du temps dans un espace 3D.

Il peut d’ailleurs aussi arriver que l’ensemble des points d’intersection soit dans le plan complexe, comme c’est le cas quand on cherche l’intersection entre ce cercle et cette parabole. Les quatre points d’intersection existent bel et bien, mais ont tous des coordonnées complexes.

 Bref, il faut corriger l’énoncé du théorème de Bézout :

Deux courbes algébriques projectives complexes planes respectivement de degré n et de degré p possèdent exactement n × p points d’intersection.

 Troisième contre-exemple. Voici deux courbes algébriques, l’une de degré 1 et l’autre de degré 2, qui ont donc 2 points d’intersection. On voit bien un point d’intersection, mais où se trouve l’autre ?

 Eh bien, dans ce cas, les points d’intersection sont en réalité tous les deux exactement au même endroit. On dit en fait que ce point est de multiplicité 2. C’est ce qui arrive lorsque les deux courbes sont tangentes l’une à l’autre.

 En fait, on peut faire correspondre la multiplicité d’un point aux nombres de points d’intersections qui apparaissent lorsque l’une des courbes est légèrement transformée. Cette définition n’est pas rigoureuse, mais elle permet de comprendre ce qui se passe. Dans le cas de la droite tangente au cercle, un léger déplacement de cette droite peut faire apparaitre deux vrais points d’intersection.

 Autre exemple. Où se trouvent les trois points d’intersection entre cette courbe cubique, de degré 3, et cette droite, de degré 1 ? Eh bien, ils sont tous les trois au même endroit. Pour le voir, il suffit de perturber un peu la cubique, ce sont bien trois points d’intersection qui apparaissent.

 Un dernier exemple, avec cette droite, de degré 1, et cette cubique, de degré 3. Où se trouvent les trois points d’intersection ? Dans ce cas, la cubique s’auto-intersecte, si bien qu’il semble légitime de compter double ce point d’intersection. C’est bien le cas, puisqu’en déplaçant légèrement la droite, ce sont deux points d’intersection qui apparaissent.

 Bref, il faut corriger l’énoncé du théorème de Bézout :

Deux courbes algébriques projectives complexes planes respectivement de degré n et de degré p possèdent exactement n × p points d’intersection, comptés avec leur multiplicité.

Bien sûr, on peut mélanger tout ces concepts. Par exemple, où se trouvent les deux points d’intersection entre cette hyperbole, courbe de degré 2, et de cette droite, de degré 1 ?

Il y a bien un point d’intersection à l’infini, mais celui-ci compte en fait double. En effet, quand on déplace légèrement la droite, on voit bien apparaitre deux points d’intersection, dont un se trouve toujours sur la ligne d’horizon. C’est en fait ce qui arrive lorsque deux courbes sont asymptotes l’une à l’autre.

Je termine par un dernier exemple un peu mindfuck. Où se trouvent les quatre points d’intersection de ces deux cercles concentriques ? Eh bien là, il est nécéssaire de passer par les calculs pour voir que les quatre point d’intersection sont en réalité deux points de multiplicité 2, mais que ceux-ci se trouvent sur une ligne à l’infini, mais une ligne à l’infini complexe. Oui, cela semble n’importe quoi, mais ce ne sont pas trois barrières d’abstraction qui vont suffir à rendre faux ce bon théorème de Bézout.

Il reste un dernier contre-exemple à prendre en compte. Où se trouvent les 4 points d’intersection entre ce couple de droites (qui est une courbe algébrique de degré 2) et ce couple-ci, lui aussi de degré 2.

Ici, ce ne sont pas quatre points d’intersection que l’on peut voir, mais bien une infinité. En fait, les deux courbes ont ce que l’on appelle une composante commune, c’est à dire un morceau que l’on retrouve à l’identique sur les deux courbes. C’est ce qui arrive lorsque les polynômes ont un facteur en commun. On préfère ne pas prendre en compte ces cas dégénérés, puisque c’est finalement le seul contre-exemple qui limite vraiment la validité du théorème.

Bref, il faut corriger l’énoncé du théorème de Bézout :

Deux courbes algébriques projectives complexes planes sans composantes communes respectivement de degré n et de degré p possèdent exactement n × p points d’intersections, comptés avec leur multiplicité.

On a donc enfin un énoncé qui a l’air correct. Il ne reste plus qu’à le démontrer, et le tour est joué. La preuve est technique, donc je préfère ne pas en parler. En fait, cet énoncé illustre assez bien une part de la recherche en mathématiques. On part d’un énoncé intuitif, et on essaye de le pousser dans ses retranchements pour déterminer quelles sont les meilleures hypothèses. Les mathématiciens sont des gens têtus, et quand il tiennent un énoncé pratique même un peu bancal, ils font tout pour le rendre juste. Cela implique parfois de changer de point de vue, comme lorsque l’on a été amené à considérer les courbes comme projectives puis complexes, ou bien de construire de nouveau concept, comme celui de la multiplicité. Le mathématicien cherchera ensuite à le généraliser à des espaces de dimensions supérieures, ou à d’autres structures que celui des nombres complexes. En l'occurence, si vous vous renseignez sur ce théorème dans des livres de géométrie algébrique, il sera présenté non pas sur l'ensemble des nombres complexes, mais sur des corps quelconques (des structures algébriques qui partagent les propriétés calculatoires intéressantes des nombres réels usuels). Ce sont en fait ces généralisations qui ont des applications concrètes en cryptographie.

Il existe d’ailleurs une formulation alternative du théorème de Bézout qui n’a pas besoin de prendre en compte toutes ces considérations projective ou complexe, et qui énonce ceci :

Deux courbes algébriques planes sans composantes communes respectivement de degré n et de degré p possèdent au plus n × p points d’intersection.

C'est en fait ce théorème qui a été démontré par Etienne Bézout en 1764. Sa démonstration utilise la théorie des résultants, un concept bien connu de ceux qui préparent l'agréagation (et que l'on ne retrouve que très peu en dehors de ce concours).

Seulement voilà, les mathématiciens n’aiment pas les solutions de facilité. Quand on tient un bel énoncé, pourquoi chercher à le minimiser quand on peut faire le contraire ?

Bref, le théorème de Bézout est l’un des premiers théorèmes que l’on croise en géométrie algébrique, l’un des principaux domaine étudié aujourd’hui dans les labos de mathématiques.

Un haut-fait de la discipline est la résolution de la conjecture de Fermat, qui énonce que l’équation xⁿ + yⁿ = zⁿ n’a pas de solution entière dès que n est strictement supérieur à 2. Le mathématicien anglais Andrew Wiles est parvenu en 1995, grâce à son indubitable génie et aux courbes elliptiques, une classe particulière de courbes algébriques, à démontrer ce théorème de Fermat qui résistait depuis presque 360 ans. Début 2016, on a d’ailleurs remis à Wiles le prix Abel, l’une des plus prestigieuses récompenses en mathématique.

On trouve aussi de nombreuses applications de ces courbes elliptiques  en cryptographie. Elles permettent de mettre au point des méthode de chiffrement particulièrement puissantes, et qui c’est sûr marqueront le futur. Mais ça, c’est une autre histoire.

 


Sources :
Bézout et les intersections de courbes algébriques, sur Bibnum.
Un « savant » du siècle des Lumières : Étienne Bézout (1730-1783),mathématicien, académicien et enseignant, Liliane Alfonsi
Introduction à la géométrie algébrique et courbes elliptiques
Bézout’s Theorem: A taste of algebraic geometry, Stephanie Fichett

Posté par El Jj à 10:43 - Commentaires [2] - Permalien [#]
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