Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

15 avril 2018

Deux (deux ?) minutes pour... l'éléphant de Fermi et Von Neumann

Dans mon dernier post, je dessinais des courbes avec deux épicycloïdes. Mais avec une, c'est mieux. Du coup, j'en ai fait une vidéo.

Vignette

Script :

En 1953, le physicien Freeman Dyson présente fièrement à Enrico Fermi ses résultats en électronique quantique. Fermi fait la fine bouche, et lui rétorque alors que son modèle comporte bien trop de paramètres inutiles. Comme le disait selon lui John Von Neumann, avec 4 paramètres, je peux faire une bonne approximation d’un éléphant, et avec un cinquième, je peux lui faire bouger la trompe. Autrement dit, avec suffisamment de paramètres arbitraires, on peut dessiner n’importe quoi.

Plus récemment, l’artiste Jagarikin a twitté un gif montrant comment avec une centaine de cercles, on peut dessiner la jeune fille à la perle de Vermeer.  Ce n’est pas sans rappeler cette vidéo de Santiago Ginnobili dessinant les traits de Homer Simpson. La clé de tous ces dessins, ce sont les approximation par des séries de Fourier, et j’espère que vous aimez la trigonométrie et les nombres complexes, parce que ça tombe bien, j’ai deux minutes pour en parler.

Prenons un cercle, puis prenons un point tournoyant sur le périmètre de ce cercle, que je vais appeller point n°1.
Très bien. Maintenant, prenons un deuxième cercle dont le centre est le point tournoyant, et prenons un autrepoint, que j’appellerai sans surprise point n°2, en rotation sur le pourtour de ce deuxième cercle.
Suivons alors la trajectoire suivie par ce point n°2. Cette courbe que l’on découvre alors, avec ses feuilles régulièrement espacée, est ce que l’on appelle une épicycloïde. Historiquement, ces courbes sont apparues pour la première fois en astronomie.

En effet, si on considère que le premier cercle décrit la rotation du Soleil autour de la Terre, et que le deuxième décrit la rotation d’une planète autour du Soleil, alors les épicycloïdes correspondent aux trajectoires des planètes dans un modèle où la Terre serait au centre de l’Univers. Quand l’astronome de l’Antiquité Ptolémée étudiait les mouvement des astres depuis son modèle géocentrique, c’est donc en étudiant des épicycloïdes qu’il est parvenu à calculer par exemple la date de certaines éclipses.

En choisissant les bons rayons et les bonnes vitesses de rotation, on obtient toute une galerie d’épicycloïdes. On peut obtenir la cardioïde, courbe en forme de cœur, la néphroïde, courbe en forme de rein, ou bien la renonculoïde, courbe en forme, comme son nom l’indique, de renoncule. Oui, pour nommer une épicycloïde, on regarde vaguement la forme de la courbe, et on ajoute -oïde à la fin. J’aurais aussi pu évoquer la deltoïde, en forme de la lettre grecque Δ, ou bien l’astroïde, en forme d’astre.

Ne nous arrêtons pas en si bon chemin. Et si, autour du point n°2, on faisait orbiter un point supplémentaire, que l’on pourrait appeler point numéro 3.  Cette trajectoire, suivie par ce point n°3 est… particulièrement esthétique ! Officiellement, cette courbe porte toujours le nom d’épicycloïde, mais je préfère parler d’épi-épicycloïde, même si je suis le seul à utiliser cette terminologie.

Bien sûr, j’ai choisi les rayons et les vitesses de rotation pour que le résultat vaille le coup d’œil. Je vous rassure, il est parfaitement possible de trouver des échafaudages de cercles tournoyants qui tracent des épicycloïdes particulièrement laides.

Dès lors, il n’y a plus de raisons de se restreindre sur le nombre de cercles pour tracer mon épi-épicycloïde. Voici donc huit cercles orbitant les uns autour des autres. Qu’obtient-on si on suit la trajectoire du point n°8 ? Eh bien, c’est une épicycloïde remarquable, puisqu’il s'agit d’une éléphantoïde !

Mais comment ce pachyderme a-t-il bien pu se retrouver là ? Pour le comprendre, on va devoir mettre en équation toutes ces épicycloïdes, et c’est là que la trigonométrie va rentrer en jeu. Forcément, ça va être un peu technique, mais je vais essayer de vous prouver que la trigo, ça peut être cool, même si j’espère que pour vous ça ne sera pas trop douloureux.

Reprenons un cercle. Disons, de centre O et de rayon 10, et un point P1 sur ce cercle. En notant t l’angle formé entre le rayon OP1 et l’horizontale, la trigonométrie nous indique que le vecteur OP1, et donc le point P1, ont pour abscisse 10 cos(t), et pour ordonnée 10 sin(t). Maintenant, on ajoute un nouveau cercle centré sur P1, disons de rayon 4. Sur ce cercle, on a un point P2, qui tourne deux fois plus vite que P1. Cela signifie que l’angle formé entre le rayon P1P2 et l’horizontale est deux fois plus grand que le premier angle, et vaut donc 2t. Le vecteur P1P2 a donc pour coordonnées (4 cos(2t), 4 sin(2t)), si bien que le point P2 a pour abscisse 10 cos(t) + 4 cos(2t) et pour ordonnée 10 sin(t) + 4 sin(2t). Bref, on a finalement l’équation paramétrique de l’épicycloïde.

En généralisant la construction, on peut voir que l’équation paramétrique de ces cycloïdes pourront s’écrire sous la forme de somme de fonctions cosinus de différentes fréquences pour les abscisses, et d’une somme de sinus de différentes fréquences pour les ordonnées. Dans cette équation, les nombres réels a correspondent aux rayons des cercles, et les nombres entiers n sont les vitesses de rotations des cercles. Si on connait cette équation, on peut donc retrouver tous les éléments pour construire avec des cercles roulants l’épicycloïde qui nous intéresse.

Mais le problème qui se pose à nous est plutôt le problème opposé. Comment calculer la taille des cercles qui permettent de tracer une épicycloïde que l’on aurait sous le nez ?

Prenons par exemple cette courbe, une superbe handspinneroïde. Comment vais-je pouvoir procéder pour la dessiner façon spirographe ? Une première idée, c’est de chercher une équation paramétrique, c’est à dire l’expression de l’abscisse x et de l’ordonnée y en fonction du temps t que met un point à parcourir la courbe. On prend donc un point, ici en violet, qui suit l’épicycloïde, ce qui nous donne, en bleu, l’abscisse en fonction du temps t, et en rouge, l’ordonnée en fonction du temps t. On va s’intéresser seulement à x(t) pour l’instant.

Puisque mon épicycloïde est une courbe fermée, la fonction x est périodique, d’une période τ=2π. Ça tombe bien, on connaît justement toute une tripotée de fonction pas trop compliquées de période τ=2π. Il y a les fonctions cosinus et la fonction sinus, et toutes leur variante de période τ/2, τ/3, τ/4, etc.

Faisons alors l’hypothèse que x(t)  peut s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de toutes les fonctions de période τ que l’on vient de lister, parce que, après tout, pourquoi pas. Cela veut dire que, a priori, on pourrait écrire x(t) =  a₀ + a₁ cos(t) + a₂ cos(2t) + a₃ cos(3t) … + b₁ sin(t) + b₂ sin(2t) + b₃ sin(3t) + ….
Je vous passe la théorie qui nous dit que la fonction x est un point dans un espace vectoriel muni d’un produit scalaire où f scalaire g est défini par l’intégrale entre 0 et τ de f(t) g(t) dt, et je passe à la conclusion : si x(t) peut s’écrire sous cette forme que l’on veut, alors les coefficients aₖ et bₖ peuvent être calculés, et ce à l’aide d’intégrales. Ces nombres sont ce que l’on appelle les coefficients de Fourier réels de la fonction x, du nom de Joseph Fourier, qui au début du XIXe siècle a utilisé cette décomposition pour résoudre une histoire d'équation de propagation de chaleur. En fait, il ne s’est pas contenté d’utiliser cette décomposition pour les équations de la chaleur, mais il a montré qu’elles pouvaient s’appliquer à n’importe quelle fonction. À l’époque, tout ça manquait de rigueur, mais la théorie de Fourier venait de naitre, donnant un nouveau champs d’investigation pour des générations de mathématiciens après lui, et je ne parle pas de la floppée d’applications concrètes. Bref, faisons les calculs dans le cas de la courbe qui nous intéresse : pour x(t), on trouve 6 cos t + 1.5 cos 2t + 2 cos 4t + 2.6 sin 2t, et pour y(t), on trouve une équation du même style

Petite déconvenue, puisque ces équations ne correspondent pas vraiment aux équations générale des épicycloïdes que l’on a trouvé tout à l’heure. Déjà, parce que x(t) ne devrait être une somme que de cosinus, et y(t) que de sinus, ce qui n’est pas ici le cas. En jouant un peu avec les mal-aimées formules de trigo, on peut malgré tout se ramener à une forme un peu plus intéressante, avec seulement des cosinus, ou seulement des sinus. On introduit alors une phase à nos fonctions cosinus et sinus. Oui, en fait, j’ai menti tout à l’heure quand j’ai parlé de l’équation paramétrique d’une épicycloïde quelconque, puisqu’il faut aussi prendre en compte la phase de chaque cercle. Je m’explique. J’ai en effet présupposé que lorsque l’angle t est égal à 0, les rayons des cercles étaient tous horizontaux, ce qui n’a aucune raison d’être le cas. On peut supposer, par exemple, que dans la position initiale, le rayon du premier cercle n’est pas horizontal, mais forme un angle de 30° avec l’horizontal. Ce 30°, c’est la phase du premier cercle, et en prenant cela en compte, on obtient une paramétrisation des épicycloïdes un peu plus correcte. Dans ces formules, les coefficients a sont les rayons des cercles, les coefficients θ leur phase, et les coefficients n leur vitesse de rotation.

Il reste malgré tout un autre problème, c’est que les coefficients de x(t) que l’on vient de calculer devraient être égaux à ceux de y(t), ce qui n’est pas vraiment le cas ici. En fait, l’expression de x(t) nous donne les caractéristiques de la construction d’une épicycloïde, et celle de y(t) donne les caractéristiques d’une autre, et celles-ci semblent n’avoir aucun rapport avec la courbe que je cherche à construire. En fait, si. Si je prend l’abscisse du point traceur de la première, et l’ordonnée de la deuxième, on retrouve mon handspinneroïde. C’est pas la construction que l’on espérait, mais on va s’en contenter dans un premier temps.

J’ai donc a priori tout ce qu’il faut pour fabriquer un système de cercles qui me permettrait de dessiner n’importe quelle courbe, comme une toile de maitre à la façon de Jagarikin. Passons donc à un cas pratique. M’est-il possible de trouver deux épicycloïdes qui permettent de tracer une courbe qui ressemblerait à cet éléphant, par exemple ? Bien sûr, il suffit de calculer les intégrales de tout à l’heure. Mais si je veux faire ça, j’ai besoin d’avoir les coordonnées des points de la silhouette, afin d’obtenir les fonctions x et y. Pour les déterminer, un petit logiciel de dessin vectoriel fera l’affaire, et pour le calcul des coefficients, une approximation des intégrales par la méthode des rectangles sera suffisante. Ça demande beaucoup de calculs, et il existe des algorithmes qui permettent de les faire assez rapidement, mais je vais me contenter ici des formules les plus simples à appliquer. Bref, la théorie de Fourier me donne l’équation paramétrique de la courbe, et quelques manipulations supplémentaires permettent de confirmer qu’avec les bons échafaudages de cercles tournicotant, on peut dessiner ce que l’on veut, la preuve avec ce bon pachyderme. À ce propos, le moteur de calcul Wolfram alpha possède dans sa base de données un grand nombre d’équation de courbes, notamment un nombre impressionnant pokémonoïdes, dont les équation paramétriques pleines de fonctions trigonométriques permettent d’affirmer que la théorie de Fourier n’est pas bien loin.

Ce qui est également sympa, c’est que l’on peut calculer plus ou moins de coefficients, suivant la précision que l’on souhaite obtenir. L’éléphant ici présent est construit à partir de deux épicycloïdes à 25 cercles, mais on peut en réduire le nombre, pour calculer l’essence de ce qu’est un éléphant. Et ça, c’est quand même cool !

Mais il reste un petit gout de pas terminé. Avoir deux ensembles de cercles qui tracent un dessins, c’est bien, mais moi, je n’en voulais qu’un seul ! On a du se fourvoyer quelque part. Revenons au moment où nous cherchions l’équation d’une épicycloïde. Il y a une autre façon de décrire par une équation la position de leurs points. Plutôt que d’utiliser les coordonnées cartésiennes, on va considérer que l’on est dans le plan complexe. On reprend un cercle de rayon 10, et un point P1 qui gravite sur ce cercle. En notant t l’angle formé entre OP1 et l’axe horizontal, on peut dire que P1 a pour affixe complexe 10exp(it). On peut aussi prendre en compte la phase du cercle, en multipliant par exp(iθ), où θ est la phase du cercle. Si, à présent, on ajoute un point P2 qui tourne sur un cercle de rayon 4 autour de P1 et deux fois plus vite, on peut voir que le point aura pour affixe 10 exp(it) + 4 exp(2it).

En poursuivant la construction, on peut obtenir une paramétrisation des points des épicycloïdes, sous la forme d’une somme d’exponentielles complexes. Cette somme, c’est ce que l’on appelle la décomposition en série de Fourier complexe de l’équation de la courbe. Les coefficients entiers relatifs n indiquent les vitesses de rotation des cercles, et les coefficients complexes a nous fournissent le rayon des cercles (le module de a), ainsi que leur phase (l'argument de a).

Je vous passe une nouvelle fois les détails, mais il est possible, étant donné un dessin quelconque, de calculer ces coefficients à l’aide d’un bon calcul d’intégrale. Passons plutôt à la pratique. Je prends un éléphant, j’échantillonne son profil, je calcule les coefficients de Fourier, j’en déduis les caractéristiques des cercles, je trace l’épicycloïde qui en résulte, et paf, j’obtiens un éléphant !

Alors, bon, c’est une version approximative du dessin original, mais il y a de bonnes raisons à cela. Déjà, j’ai échantillonné la silhouette de l’éléphant avec à peine 250 points, ce qui est beaucoup, mais malgré tout pas énorme vu sa complexité. Mais ce qui rend mon dessin approximatif, c’est plutôt le nombre de cercles utilisés. Vu que mon éléphant n’est pas vraiment une épicycloïde, il faudrait calculer un nombre infini de coefficients pour avoir la précision maximale. En pratique, c’est bien sûr impossible, donc j’ai du me limiter. Avec 50 cercles, la précision est plutôt bonne, et avec 80 je considère que la courbe est parfaite pour le dessin que je souhaitais obtenir. Pour une meilleure précision, il suffit donc d’augmenter mon nombre de cercles, c’est à dire, calculer davantage de coefficients de Fourier. Dans la vidéo où l’épicycloïde trace les traits de Homer Simpson, l’auteur a utilisé pas moins de 1000 cercles. Forcément, la précision est incroyable !

Bref, grâce aux coefficients de Fourier, il m’a été possible de très bien résumer mon éléphant en utilisant seulement 80 paramètres complexes, là où un dessin point par point avec des segments aurait demandé au moins 410 points. On peut d’ailleurs réduire le nombre de cercle en supprimant les plus petits d’entres eux, et sans trop perdre en précision dans le tracé. C’est une excellente manière de compresser des données. C’est d’ailleurs pour cette raison que la théorie de Fourier entre autres est utilisé dans la compression de fichiers, notamment des photos avec le format jpeg, ou de la musique avec le format mp3. Mais ce n’est pas là dessus que je veux insister, il y a en effet trop de choses à raconter sur les transformations de Fourier pour être exhaustif dans une vidéo qui ne cherche qu’à dessiner de mignons éléphants.

La véritable question, c’est plutôt, comment dessiner notre nouvel animal préféré comme Fermi et Von Numann prétendent être capable de le faire, avec pas plus de 4 paramètres ? En 1975, le chimiste James Wei a pris le pari de réaliser cette prouesse, mais a lamentablement échoué, puisque son dessin d’éléphant demandait tout de même 30 paramètres. Il a fallu attendre 2009, et pas moins d’une équipe de trois biologistes pour obtenir le plus léger des éléphants. Grâce à la technique de décomposition de Fourier en somme de sinus et de cosinus, Mayer, Khairy et Howard ont pu dessiner cette courbe. Un peu cartoon, oui, mais il s’agit bien d’un éléphant, surtout si on rajoute un point aux coordonnées (20,20). Leur équation fait apparaitre 8 paramètres réels, ce qu’une pirouette mathématique ramène à seulement 4 paramètres complexes. Von Neumann avait raison : avec seulement 4 paramètres on peut approximer la silhouette d’un éléphant ! Un cinquième paramètre est utilisé pour faire bouger la trompe, ou, plus précisément, pour indiquer l’abscisse du point d’attache au corps ; le détail des mouvements de cette trompe n’est cependant pas explicité dans le papier. Notons également que c’est ce cinquième paramètre qui code la position de l’œil. Bref, pari réussi.

Bien sûr, cette histoire d’éléphant de Fermi et Von Neumann est anecdotique, et le papier de Wei, comme celui de Mayer, Khairy et Howard, ont été rédigés au second degré. Il n’empêche que cette blague de théoricien a traversé les âges pour une bonne raison. Si on peut retrouver l’allure d’un éléphant avec seulement 4 paramètres, cela veut dire qu’il faut toujours faire très attention à la façon dont on détermine l’ajustement d’une série statistique. Une régression affine demande deux paramètres, une régression parabolique en demande trois, et il semble qu’une régression pachydermique en demande 4. C’est ce que l’on appelle le problème de l’overfitting, maltraduit en français par surapprentissage, et je vous renvois aux vidéos de Lê de la chaine Science 4 all pour détailler toutes ces notions. En attendant, je vous laisse dessiner n’importe quoi avec des épicycloïdes !


Fichiers Geogebra

Éléphant_réel, Elephant_complexe

Sources :

A meeting with Enrico Fermi, Freeman Dyson
Drawing an elephant with four complex parameters, Jürgen Mayer, Khaled Khairy, Jonathon Howard (papier, code source)
History of the Science of Modeling an Elephant

Knot braider, the Wallace line - pour dessiner ses propres épicycloïdes

Fourier curve, the Wallace line
Fourier analysis, David Morin

Illustrations :
Paignton Zoo, Elephant towel animal, Elmer coloring, Felis silvestris silvestris, Elephas maximus,

Posté par El Jj à 11:57 - Commentaires [4] - Permalien [#]
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18 février 2018

Dessinons avec des (épi)ⁿ-cycloïdes

Depuis quelques jours circule une très chouette animation montrant des épicycloïdes dessiner la jeune fille à la perle de Johannes Vermeer. Parce que, oui, les épicycloïdes dessinent très bien, et ça ressemble à ceci :


Quand on voit cette animation, on est en droit de ce demander par quelle sorcellerie une telle prouesse est possible ? Pour le savoir, il va falloir fouiller du côté des épicycloïdes et de la théorie de Fourier.

Les (épi)cycloïdes
On appelle épicycloïde la courbe que l'on obtient en suivant la trajectoire d'un point situé situé sur le périmètre d'un cercle roulant sur un autre cercle; L'exemple le plus simple d'épicycloïde est la cardioide, obtenue en regardant un disque rouler sur le périmètre d'un disque de même rayon.

Source: Externe

Je voulais sortir cet article pour la saint-Valentin, mais c'est raté

Pour simplifier nos équations, on va considérer un autre type d'épicyloïdes (qui ne mériteraient pas de porter ce nom, mais on va faire avec). Au lieu de faire rouler un cercle sur le périmètre d'un autre, on va plutôt faire rouler le centre du cercle sur le périmètre d'un autre. En prenant, par exemple, un cercle porteur de rayon 4, et un cercle porté de rayon 2, et on faisant tourner ce deuxième cercle deux fois plus vite que le premier, on obtient... à nouveau une cardioïde :

cardop

Une bien jolie cardioïde

On peut bien sûr faire varier les paramètres (taille des cercles et vitesse de rotation), ce qui donne toute une collections d'épicycloïdes :

epi joli A epi joli B

epi joli C


De bien jolies épicycloïdes

Mais rien ne nous empêche de faire porter au cercle tournoyant un nouveau cercle tournant, ce qui permet d'obtenir des épi-épi-cycloïdes. Avec trois cercles, il y a donc de nombreux paramètres à prendre en compte, ce qui nous donne toute une galerie de courbes possibles. En prenant, par exemple, des cercles de rayon 5, 2.5 et 1.5, et des vitesses de rotations de respectivement 1, 2 et 3, on obtient la courbe suivante :

Source: Externe
Une bien jolie épi-épicycloïde

Une excellente question à se poser, c'est celle de l'équation des courbes que l'on obtient. Pour comprendre l'idée, reprenons la situation précédente. On a donc les rayons de rayons respectifs 5, 2.5 et 1.5, et ces rayons forment des angles mesurant respectivement α, 2α et 3α par rapport à l'horizontale (on suppose ici que les phases sont toutes de 0, c'est à dire que avant de se mettre à tourner, les rayons colorés sont tous alignés). On peut alors déterminer les coordonnées du point traceur M en fonction de α :


Les coordonnées du point M peuvent s'exprimer à l'aide de l'angle α entre l'horizontale et le rayon du cerlce porteur

  • on peut alors voir, sur le schéma, que l'abscisse de M est donné par xM(α) = 5 cos(α) + 2.5 cos(2α) + 1.5 cos(3α)
  • de la même manière, son ordonnée est donné par yM(α)=5 sin(α) + 2.5 sin(2α) + 1.5 sin(3α)

De manière générale, si on a N cercles, de rayons r1, r2, ... rN, et qu'ils tournent à des vitesse de respectivement k1, k2, ..., kN, on obtient pour le point M les coordonnées :

  • xN(α) = r1 cos(k1 α) + r2 cos(k2 α) + ... rN cos(kN α)
  • yN(α) =r1 sin(k1 α) + r2sin(k2 α) + ... rN sin(kN α)

Tout ça, c'est lorsque les cercles ont toutes la même phase, de 0. Ce que je vais appeler la phase, c'est la direction de référence sur les cercles par rapport à laquelle on calcule l'angle α. En choisissant une autre phase β pour par exemple le premier des trois cercles, on obtient une épicycloïde radicalement différente :



De manière générale, si on a N cercles, de rayons r1, r2, ...,rN, de phase β1, β2, ..., βN, et qu'ils tournent à des vitesse de respectivement k1, k2, ..., kN,, on obtient pour le point M les coordonnées :

  • xN(α) = r1 cos(k1 α+β1) + r2 cos(k2 α+β2) + ... rN cos(kN α+βN)
  • yN(α) =r1 sin(k1 α+β1) + r2 sin(k2 α+β2) + ... rN sin(kN α+βN)

Mettons ces équations dans un coin de notre tête, et parlons à présent de tout autre chose chose

Décomposition d'une courbe paramétrique à l'aide de ses coefficients de Fourier
Avertissement : je n'y comprends pas grand chose en théorie de Fourier, j'espère ne pas dire de contre-vérités dans les paragraphes qui vont suivre. Si c'est le cas, dites-le moi très vite.

Prenons un joli dessin. Disons, la silhouette de la France dessinnée à main levée sur Geogebra, mais vous pouvez prendre ce que vous voulez du moment qu'il s'agit d'une courbe refermée sur elle-même.



La France métropolitaine continentale (vue d'artiste)

Comment trouver une équation paramétrique de cette courbe qui soit suffisamment proche de la courbe originale ? Il nous faut, en fonction de α ∈ [0;2π], les coordonnées (x(α);y(α)) des points de la courbe. Une méthode pas trop compliquée à mettre en place est de déterminer la décomposition sous la forme d'un polynôme trigonométrique des fonctions x et y, c'est à dire écrire x et y sous la forme :

xN(α) = a0   +   a1 cos(α) + b1 sin(α)   +   a2 cos(2 α) + b2 sin(2 α)   +... +   aN cos(N α) + bN sin(N α)
yN(α) = a'0   +   a'1 cos(α) + b'1 sin(α)   +   a'2 cos(2 α) + b'2 sin(2 α)   +... +   a'N cos(N α) + b'N sin(N α)

Comment s'y prendre pour déterminer tous ces coefficients ? Le plus simple, c'est d'échantillonner le dessin que j'ai fait au-dessus.  En l'occurence, celui-ci est constitué de M=578 points, que l'on va soigneusement numéroter de 1 à 578  :



Comptez bien, il y a 578 points

 J'ai donc maintenant deux suites (xj) et (yj), et ce sont celles-ci qu'il faut approcher par les bonnes fonctions α↦x(α) et α↦y(α) :


Les 578 abscisses en bleus, et les 578 ordonnées en rouge

 En l'occurence, il se trouve que l'on peut calculer les coefficients a0, a1, .. aN et b1, b2, ..., bN de la fonction

α↦xN(α) = a0 + a1 cos(α) + b1 sin(α) + a2 cos(2 α) + b2 sin(2 α) +... + aN cos(N α) + bN sin(N α)

à l'aide d'une transformée de Fourier discrète, ce qui ressemble, sauf erreur de ma part, à :

  • a0 = 1/M Σj xj
  • ak = 2/M Σj xj cos(k 2π/M j)
  • bk = 2/M Σj xj sin(k 2π/M j)

et de même pour les coefficients a'0, a'1, .. a'N et b'1, b'2, ..., b'N de pour la fonction yN.

En faisant tous ces calculs avec N=10, on détermine les équations de deux fonctions trigonométriques ayant l'allure recherchée :



Courbes approchant pas trop mal l'échantillonage réalisé au-dessus.

Il n'y a plus qu'à tracer la courbe paramétrée par (xN(α);yN(α)), et paf, on obtient les grandes lignes de notre carte de France !

 

La France d'ordre N=10

Bien sûr, puisque l'on a pris des des fonctions trigonométriques de périodes d'au plus N=10, la courbe obtenue est relativement sommaire. On pourrait avoir un peu plus de détails en prenant une meilleure valeur de N, par exemple avec N=20 :

 
La France d'ordre N=20, bien plus pécise

Le lien entre tout ça
On a donc, d'un côté, des épicycloides, d'équations paramétriques :

  • x(α) = r1 cos(k1 α+β1) + r2 cos(k2 α+β2) + ... rN cos(kN α+β)
  • y(α) =r1 sin(k1 α+β1) + r2 sin(k2 α+β2) + ... rN sin(kN α+β)
  • α∈[0;2π]

De l'autre, on a des courbes fermées d'équations paramétriques,

  • x(α) = a0 + a1 cos(α) + b1 sin(α) + a2 cos(2 α) + b2 sin(2 α) +... + aN cos(N α) + bN sin(N α)
  • y(α) = a'0 + a'1 cos(α) + b'1 sin(α) + a'2 cos(2 α) + b'2 sin(2 α) +... + a'N cos(N α) + b'N sin(N α)
  • α∈[0;2π]

On peut en fait transformer l'écriture de ces derniers polynômes, en remarquant que
a cos(kα) + b sin(α) = r cos(kα + β) avec r et β tels que a - ib = r e i β

Bref, l'équation paramétrique du joli dessin que l'on cherche à recréer s'écrit sous la forme

  • x(α) = a0 + r1 cos(α+β1) + r2 cos(2α+β2) + ... rN cos(Nα+βN)
  • y(α) =a'0 + r'1 cos(α+β'1) + r'2 cos(2α+β'2) + ... r'N cos(Nα+β'N)
  • α∈[0;2π]

 Il nous faut donc construire deux épicycloides :

  • la première, au-dessus de notre dessin, constitués de N cercles de rayons r1, r2, ..., rN, de phase β1, β2, ...,βN et de périodes 1, 2, ..., N, dont l'abscisse du point externe sera l'abscisse des points du dessin
  • la deuxième, à gauche, constitués de N cercles de rayons r'1, r'2, ..., r'N, de phase β'1, β'2, ...,β'N et de périodes 1, 2, ..., N, dont l'abscisse du point externe sera l'ordonnée des points du dessin (pour ce faire, une petite symétrie est nécéssaire).

Et... voilà !

Source: Externe

01 janvier 2018

2017+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 09)

Une nouvelle année pointe son nez. Les saisons passent, mais les traditions restent les mêmes. L'année qui arrive sera-t-elle digne d'intérêt, ou parfaitement quelconuque ? Pour le savoir, regardons dans la boule de cristal de l'arithmomancie qu'est l'OEIS, et lisons l'avenir. Rappelons que l'OEIS est l'encyclopédie en ligne des suites entières, qui répertorie toutes les suites d'entiers dignes d'intérêt. Le précepte de base de l'arithmomancie telle que je la pratique annuellement, c'est que plus un nombre est présent dans les suites de cette encyclopédie, plus le nombre sera intéressant.

Les nombres 2015, 2016 et 2017 possèdent respectivement 209, beaucoup trop de et 474 propriétés intéressantes au moment où j'écris cet article. Les années 2015, 2016 et 2017 étaient, vous l'avez probablement remarqué, respectivement assez, incroyablement et très intéressantes ! Et 2018 ?... L'oracle a parlé, cette année sera...

Un peu intéressante !


L'OEIS, unique méthode reconnue par les autorités qui permet de quantifier le niveau d'intérêt d'une année

L'OEIS recense donc 121 propriétés, ce qui n'est pas incroyable, mais respectable pour un nombre qui n'est pas premier, puisque 2018 = 2 × 1009. On est à un niveau comparable à 2014, qui en avait 122. Qu'est ce qui rend le nombre 2018 unique ? Explorons quelques-unes de ses propriétés !

[A191094] : Nombre d'hyperpentacubes fixes sans boucle
Parce que, oui, il y a 121 propriétés, mais aucune n'est vraiment très simple en fait. Il y a très précisément 2018 hyperpentacubes fixes sans boucle. Prenons les mots dans l'ordre.
Un pentacube, c'est un polycube à 5 cubes, c'est à dire un assemblage formé de 5 cubes collés face à face. Dans un espace tridimensionnel classique, il y en a précisément 29 différents :


29 pentacubes :
en bleu, les 6 paires de pentacubes chiraux
en vert, les 5 pentacubes achiraux
en rouge, les 6 pentaminos chiraux solides
en orange, les 6 pentaminos achiraux solides

Enfin, dire qu'il y en a 29 dépend du nombre de façons de les compter. On peut, comme présenté au dessus, compter deux fois les pentacubes différents de leur image dans un miroir (ceux en en bleu), ce qui en donne bien 29. Si on compte ces paires comme indiscernables, il n'y en a plus que 23.

Mais il y a une autre façon de les compter, si on ne prend en compte ni les symétries, ni les rotations. Par exemple, le pentacube « L » peut prendre jusqu'à 24 positions différentes :

Les 24 orientations du pentacube L

En prenant en compte toutes les orientations possibles de tous les pentacubes (on parlera de pentacubes « fixes »), cela nous en donne tout de même un total de 534.

Mais tout ça, ce sont des pentacubes en 3 dimensions. On peut faire le même catalogue pour les pentacubes fixes en 4 dimensions, ce qui augmente un peu le nombre de pentacubes, mais considérablement celui des pentacubes fixes. En effet, la quatrième dimension ajoute de nouvelles orientations à nos pentacubes. À titre d'exemple, le pentacube « L » voit son nombre de positions doubler. Au final, on en obtient au total 2162. Si on retire ceux qui possèdent des boucles (4 cubes collés 2 à 2), on en obtient... 2018 !

Quelques hyperpentacubes non tridimentionnels. La 4eme dimension est représentée par la taille des cubes.

[A229915] : Nombre d'espaliers icosacubiques
Continuons de jouer avec les cubes, et parlons cette fois-ci de polycubes pyramidaux. Il est toujours question de polycubes, c'est-à-dire d'assemblages formés de cubes collés face contre face, mais on va regarder ceux formés de 20 cubes (les icosacubes), et qui sont pyramidaux.
On dit qu'un polycube est pyramidal si il est constitué de rangées successives de plateaux horizontaux, un plateau étant un rectangle plein formés de polycubes, et chaque plateau doit être posé sur un plateau identique ou plus petit :

 
Quelques polycubes pyramidaux formés de 20 cubes
Le premier, en bleu, est constitué d'un plateau 3×4, d'un 2×2 et de deux 2×1
Le deuxième, en rouge, constitué  d'un plateau 4×4 et d'un 2×2
Le troisième, en vert, constitué d'un plateau 2×4, d'un 2×3, d'un 2×2 et d'un 1×2

De tous les polycubes pyramidaux, on en distingue une catégorie particulière, les « espaliers » (bien que je ne voie pas le lien avec les arbres taillés en arbres généalogiques). Ce sont les pyramides dont tous les plateaux sont alignés dans un des coins du plateau de la base (disons le coin nord). Des espaliers à 20 cubes, il en existe très précisément 2018.

 
Quelques polycubes en espalier formés de 20 cubes, parmi les 2018 existant.
Le premier, en bleu, l'unique espalier constitué d'un plateau 3×4, d'un 2×2 et de deux 2×1
Le deuxième, en rouge, l'unique espalier constitué d'un plateau 4×4 et d'un 2×2
Le troisième, en vert, l'unique espalier constitué d'un plateau 2×4, d'un 2×3, d'un 2×2 et d'un 1×2

[A087854] [A056283] : nombre de colliers tricolores à 9 perles
Combien de colliers tricolores à 9 perles peut-on fabriquer avec des perles rouges, jaunes et oranges ? Bien sûr, chaque couleur doit être présente, et deux colliers sont équivalents si on peut obtenir l'un par la rotation d'un autre. La réponse est bien évidemment : 2018 !


Quelques colliers parmi les 2018 qui existent.

Comment obtenir ce résultat ? C'est l'occasion de ressortir ce bon vieux lemme de Burnside ! D'après celui-ci, le nombre de colliers au plus tricolores à 9 perles différents se calcule en prenant la moyenne du nombre total de colliers fixés par les 9 rotations du collier. En l'occurence, il y a

  • 3 colliers (les colliers unicolores) fixés par les rotations de 1/9, 2/9, 4/9, 5/9, 7/9 et 8/9 de tours ;
  • 3³=27 colliers (en fixant la couleur de 3 perles successives) fixés par les rotations de 3/9 et 6/9 de tours, comme dans l'exemple ci-contre ;
  • 3⁹ (tous, en fait) fixés par l'identité (rotation de 9/9 de tour)

Le nombre de colliers au plus tricolores est donc égal à (3+3+3³+3+3+3³+3+3+3⁹)/9 = 2195.

Il faut alors leur retirer les colliers au plus bicolores, ce qui se calcule de la même façon. Il y a en effet (2+2+2³+2+2+2³+2+2+2⁹)/9 = 60 colliers au plus bicolores. Plus précisément, il y en a 60 jaunes-oranges, 60 jaunes-rouges et 60 oranges-rouges. En n'oubliant pas de retirer les 3 colliers unicolores comptés deux fois, il y a donc 3 × 60 - 3 = 177 colliers au plus bicolores différents.

Le nombre de colliers différents exactement tricolores est donc 2195 - 177 = 2018. CQFD.

 

Et sinon...

  • Il y a 2018 façons d'écrire 60 sous la forme d'une somme décroissante de nombres premiers (comme 60=19+11+11+7+7+5) [A000607]
  • Il y a 2018 termes non nuls dans le développement de (x-y)(x²-y²)(x³-y³)...(x⁶⁶-y⁶⁶) [A086781]
  • Il existe 2018 graphes à 9 noeuds qui possèdent un cycle eulérien [A133736]

 Et la santé !

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09 décembre 2017

L'homme qui défiait l'infini - Chouxrom' Ciné Club #01

Le cinéma respecte-t-il les mathématiques ? C'est une question qui mérite quelques études de cas. Commençons avec le biopic de Ramanujan : l'homme qui défiait l'infini.

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L'homme qui défiait l'infini - Chouxrom' Ciné Club #01

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Le cinéma aime parler de mathématiques. C’est exotique, on ne comprend pas tout, et surtout, ça peut donner des scènes où les personnages se mettent sans raison à écrire sur les fenêtres.
Dans cette nouvelle série de vidéo, il sera donc question du 7eme art. Attention cependant, étant donné que je n’y connais absolument rien en cinéma, il ne sera pas du tout question de critiques. Je vais plutôt tenter de décrypter les aspects mathématiques des films et séries qui ont tenté d’aborder le sujet. Les maths que l’on y trouve sont-elles réalistes, ou bien complètement à côté de la plaque ? Commençons aujourd’hui avec un bon élève, “l’homme qui défiait l’infini”, film de 2016 réalisé par Matt Brown, avec Jeremy Irons et Dev Patel. Ce film nous raconte la vie de Srinivasa Ramanujan, le genre de génie que l’on ne retrouve que dans l’histoire des mathématiques. Le réalisateur s’est appuyé sur “The man who knew infinity”, une biographie de Ramanujan écrite par Robert Kanigel. À noter que dans les co-producteurs et consultants du film, on retrouve quelques mathématiciens, et pas des moindres. Il y a par exemple Ken Ono, spécialiste des travaux de Ramanujan, ou Manjul Bhargava, médaillé Fields en 2014.

Que raconte exactement ce film ? Je risque de spoiler un peu, mais bon, ça reste le biopic d’un mathématicien ayant vécu pendant la première guerre mondiale, on sait tous qu’il meure à la fin. Si vous avez vu le film, tant mieux, parce qu’il est sympa, et si vous ne l’avez pas vu, il y aura des tas de choses à y découvrir dont je ne parlerai pas dans les minutes qui viennent.

Voici Ramanujan, mathématicien amateur. Nous sommes en 1914 en Inde, et le plus important pour le moment est de travailler pour nourrir sa femme. Il sera embauché comme comptable par Narayana, à condition qu’il lui explique le contenu de son cahier de mathématiques. Verdict : ses recherches ont l’air particulièrement brillantes, il serait dommage qu’elle ne soient pas connues en dehors de Madras. Ils demandent alors conseil à Sir Francis Spring, un ingénieur anglais responsable du développement du réseau de chemin de fer indien. Il lui propose d’écrire des lettres présentant ses travaux à plusieurs mathématicien anglais. D’abord à Henry Baker et Ernest Hobson, à peine évoqués dans le film, mais surtout à Godfrey Harold Hardy, qui l’invitera à Cambridge.

Arrivé au Trinity College, il fera la rencontre à l’écran de John Littlewood, de Bertrand Russel et plus tard de Percy MacMahon. C’est cependant avec Hardy que Ramanujan va devoir travailler pour pouvoir réaliser son rêve : publier ses travaux. Comme dans tout bon buddy movie, tout les oppose. D’un côté, il y a Ramanujan, marié, profondément religieux et qui aborde les mathématiques par leur côté intuitif. De l’autre, il y a Hardy, célibataire, athée et qui ne peut admettre un théorème sans une démonstration. Sans surprise, la collaboration sera difficile, puisque Hardy passera son temps à sermonner Ramanujan sur l’importance des démonstrations.

Je vais passer sur les quelques anachronismes et erreurs factuelles du film, la principale étant la différence d’âge entre les acteurs et les personnages qu’ils interprètent. Par exemple, Hardy et Ramanujan n’avaient qu’à peine 10 ans de différence, alors que les acteurs Dev Patel et Jeremy Irons en ont 42. De même, Janaki, la femme de Ramanujan, n’est sensé n’avoir qu’une douzaine d’année au début de l’histoire. Forcément, la romance aurait perdu en glamour à l’écran.

Revenons plutôt au personnage central du film, les mathématiques. En arrivant en Angleterre en 1914, Ramanujan espère publier pour la première fois en dehors de l’Inde. Son travail dont il est le plus fier, c’est une formule sur les nombres premiers. Quand Littlewood y trouvera une erreur, il donnera raison à Hardy quant à l’importance des démonstrations face à l’intuition seule.
Cette formule de Ramanujan, qui n’est pas montrée dans le film, prétend donner une valeur exacte de la fonction π, la fonction qui compte le nombre de nombres premiers, rien à voir avec le nombre π. À titre d’exemple, π(10) = 4, car il y a 4 nombres premiers inférieurs à 10. De même, on peut calculer que π(1000) = 168.  La connaissance de cette fonction est primordiale pour comprendre la répartition des nombres premiers. Avec leur célèbre théorème des nombres premiers, Hadamard et La Vallée Poussin ont prouvé en 1896 que le nombre π(x) était de l’ordre de x/ln(x). Cette formule permet de dire qu’il y a environ 145 nombres premiers inférieurs à 1000, soit une erreur de 14% avec la valeur réelle. Une bonne formule, donc, mais qui reste améliorable. Ramanujan avait d’ailleurs trouvé seul ce résultat avant d’arriver en Angleterre. Une meilleure approximation de la fonction π est donnée par la fonction Li, la fonction logarithme intégral, définie comme son nom semble l’indiquer par une intégrale. Pour le calcul de par exemple π(1000), l’erreur n’est que de 6%.

En comparant les courbes de ces deux fonctions, on peut sans prendre de risques conjecturer que celle de π est toujours en dessous de celle de Li. En réalité, cette conjecture est fausse, ce que Littlewood a démontré en 1914 à l’aide de la fonction complexe ζ. Il existe des valeurs pour lesquelles π(x) > Li(x), ce qui est particulièrement contre-intuitif au vu des premières valeurs. En fait, la plus petite valeur x aujourd’hui connue qui rend fausse la conjecture est de l’ordre de 10^370, un nombre trop grand pour être imaginable et bien sûr, ça, Ramanujan ne l’avait pas vu venir. En fait, il avait supposé dans son raisonnement que la fonction ζ n’avait pas de zéros non triviaux, grosse méprise. Hardy écrira à ce propos que c’est la méconnaissance de la théorie des fonctions à variables complexes qui a abouti à cette formule, la plus grande erreur de sa carrière.

Ce n’est pas la seule erreur de la carrière de Ramanujan, mais cela vient de sa façon remarquable de travailler. Contrairement aux mathématiciens occidentaux incarnés par Hardy dans le film, Ramanujan n’a jamais vraiment été intéressé à faire des démonstrations rigoureuses des formules qu’il mettait au point. Il faut dire qu’il s’est passionné pour les mathématiques grâce à Synopsis of Pure Mathematics, un livre de George Carr recensant sans réelles démonstrations les connaissances de l’époque, soit plus de 6000 formules et théorèmes. On attribue à cet ouvrage cette tendance qu’à Ramanujan a ne pas s’enquérir des preuves de ce qu’il découvre. Pour accéder à de nouvelles connaissances mathématiques, la stratégie de Ramanujan n’est donc pas de les prouver, mais plutôt d’attendre que celles-ci lui apparaissent en rêves. Sa façon romancée de décrire ses incroyables intuitions.

Quand on parle des capacités hors-norme de Ramanujan, on rappelle toujours l’anecdote rapportée par Hardy, celle du nombre 1729. Bien sûr, le film ne se prive pas de le mettre en image. En se rendant au chevet de Ramanujan, Hardy emprunte un taxi portant le numéro 1729. Hardy trouve ce nombre sans intérêt, craignant un mauvais présage. Ramanujan lui réplique alors que, pas du tout, 1729 est un nombre très intéressant, puisque c’est le plus petit entier que l’on peut écrire sous la forme d’une somme de deux cubes positifs, et ce, de deux façons différentes. En effet, 1729 est égal à 1³+12³, mais aussi à 9³+10³. Cette propriété du nombre était connue bien avant Ramanujan, mais c’est malgré tout cette anecdote du taxi qui l’a popularisé. On appelle d’ailleurs désormais N-ième nombre  taxicab le plus petit des entiers que l’on peut écrire comme somme de 2 cubes positifs de N façons différentes. Le nombre 1729 est donc le deuxième nombre taxicab. Le 3e nombre taxicab, quant à lui, vaut 87 539 319. On sait aujourd’hui que la suite des nombres taxicab est infinies, mais on ne connait la valeur que des 6 premiers.

L’autre point sur lequel le film s’attarde est le sujet qui rendra Ramanujan célèbre, celui des partitions d’entiers. On appelle partition de N, noté p(N), le nombre de façon d’écrire N sous la forme d’une somme d’entier positifs décroissants. L’exemple du film est le calcul de p(4), qui vaut 5. En effet, on peut écrire 4 de 5 façons différentes : 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 et 4. La croissance de la fonction p est particulièrement rapide, ce qui rend les calculs de p(N) très vite infaisables à la main pour de grandes valeurs de N. Dans le film, Ramanujan se confronte à MacMahon sur le calcul du nombre de partitions de 200. On ne le voit pas directement à l’écran, mais MacMahon utilise pour ce calcul des formules récursives, qui permettent de calculer le nombre de partitions de N si l’on connait le nombre de partitions de tous les nombres inférieurs à N. Pour calculer p(200), il faut préalablement calculer p(199), p(198) etc. Après pas mal de calculs, on peut aboutir au résultat exact, ce qui est montré dans le film. p(200) est précisément égal à 3 972 999 029 388. De son côté, Ramanujan utilise la formule qu’il a découverte, p(N) est à peu près égal à 1/[4N√3]*e^(π√(2N/3)). Cette formule donne des valeurs approchée à quelques pourcents de p(N). Grâce à celle-ci, il obtient un résultat très proche du résultat attendu, c’est à dire «3 trillions 972 mille 998 millions». Une erreur de traduction est à noter, puisque selon les conventions françaises, ce nombre doit plutôt se lire «3 billions 972 mille 998 millions». Il y a en effet deux nomenclatures pour les grands nombres : l'échelle courte, anglo-saxonne (million, billion, trillion, ...) et l'échelle longue, du reste du monde (million, milliard, billion, billiard,). Le mot "trillion" est donc un mot dangereux à utiliser, puisqu'il désigne parfois 10^18 et parfois 10^12. En refaisant les calculs, on peut aussi remarquer qu’il n’a pas réellement utilisé la formule de la scène précédente, puisqu’il aurait dû annoncer sinon un résultat de l’ordre de 4.1 billions. Bref, avec l’aide de Hardy, Ramanujan publiera en 1918 cette formule permettant d’estimer précisément p(x) pour les grandes valeurs de x, une avancée incroyable de la combinatoire à l’époque.

Les travaux de Ramanujan ne s’arrêtent pas aux partitions. Avant son arrivée en Angleterre, sa spécialité, c’était surtout les identités quasi-mystiques qu’il a réussi à intuité mais sans jamais vraiment les démontrer. Les plus marquantes de ces formules consistent en des sommes infinies ou en des racines carrées imbriquées à l’infini, d’où ce surnom de l’homme qui connaissait l’infini, et donc du titre du film.
Dans le courrier qu’il a adressé à Hardy depuis l’Inde, Ramanujan lui a présenté plus d’une centaine de formules. Certaines étaient déjà connues à l’époque, d’autres étaient particulièrement ingénieuses, et d’autres étaient fausses, mais de façon si imperceptible qu’elles restent brillantes malgré tout. À propos de ces formules, Hardy a dit : “un simple regard sur celle-ci est suffisant pour voir qu’elles sont l’oeuvre d’un mathématicien de haute classe. Ces formules doivent être vraies, car si elles ne l’étaient pas, personne ne pourrait avoir l’imagination pour les inventer.”

Toutes ces formules, Ramanujan les a recueillies depuis son enfance jusqu’en 1914 dans ses célèbres carnets montrés à l’écran. Au nombre de 3, ils regroupent dans un style complètement brouillon tous ses résultats découvert en autodidacte, soit à peu près 2 500 propriétés et formules. Sur les 2 500, seules moins d’une vingtaine sont accompagnés d’indications d’une méthode qui l’aurait permis de les mettre au point.


À l’instar des trois mousquetaires, il existe un quatrième carnet découvert après sa mort en 1920, ajoutant 600 formules supplémentaires inédites. Hardy a souhaité faire éditer ces fameux carnets, en y ajoutant les démonstrations des théorèmes nouveaux, les références de ceux qui étaient déjà connus, et en corrigeant les résultats faux. Un travail titanesque, seulement achevé par Bruce Berndt en 1998 pour ce qui est des 3 carnets principaux, et en 2013 pour le carnet secret. Il dira d’ailleurs de ce dernier carnet que sa découverte est comparable à celle de la symphonie n°10 de Beethoven, phrase reprise dans l’épilogue du film.

À propos d’épilogue, il est aussi énoncé que les travaux de Ramanujan ont trouvé leur application dans la compréhension du comportement des trous noirs. Si on veut être plus précis, il ne s'agit pas vraiment des trous noirs physiques (les objets stellaires issus de l'effondrement des étoiles), mais plutôt de leur version idéalisée possédant des bonnes propriétés physiques et mathématiques.  Il faut dire qu’il a travaillé sur un très grand nombre de sujets, il semble logique que certains d’entres eux puissent avoir des applications en physique. En l'occurrence, il se trouve que Ramanujan a étudié dans les dernières années de sa vie, après son départ d’Angleterre, des exemples de fonctions appelées aujourd’hui les “fausses formes modulaires”. Il n’a travaillé que sur des exemples et non sur leur théorie générale, et c’est plutôt celle-ci qui trouve des application dans l’étude de ces fameux trous noirs. Bref, Ramanujan n’a jamais travaillé sur les trous noirs, et n’a d’ailleurs jamais su que ses travaux puissent avoir de telles applications.

Enfin, je suis obligé de parler de cette scène où Ramanujan assiste à un cours sans prendre de note, et où le prof essaie de l’humilier en lui demandant de venir raconter au tableau ce qu’il sait. Ramanujan s'exécute, et termine le cours à la place de ce prof, s’en suit une scène où celui-ci vexé menace Ramanujan à l’aide d’insultes racistes.  Pour être précis, il est question dans ce cours de développement en série de Taylor de la forme générale des intégrales elliptiques de première espèce. Des mathématiciens ayant travaillé sur le film, la formule écrite au tableau est parfaitement correcte. Ce qui l’est moins, c’est l’anecdote en elle-même, puisque l’odieux professeur que l’on voit dans cette scène, Howard, n’a jamais existé. La réelle anecdote implique les mêmes intégrales elliptiques mais le professeur, Arthur Berry, terminera son cours impressionné par les qualités de Ramanujan.

Pour conclure, «l’homme qui défiait l’infini» est le bon élève des biographies de mathématiciens au cinéma, qui peut plaire à plusieurs publics différents. D’un côté, le grand public découvrira l’existence de Srivinasa Ramanujan, personnage incontournable de la culture en maths. Bien sûr, l’histoire est romancée pour nous attacher au personnage, ça reste quand même du cinéma. D’un autre côté, le film plaira également aux public matheux. Déjà, toute formule apparaissant à l’écran est correcte, mais surtout, le film aborde la question de l’importance de la démonstration en mathématiques, sujet loin de passionner les foules en dehors des mathématiciens. Bref, si vous voulez regarder un film qui parle bien des mathématiques, je vous le recommande !

Sources :
The Indian Mathematician Ramanujan - G. H. Hardy
Highly Composite Numbers - S. Ramanujan
A Synopsis of elementary results in pure mathematics- G. Carr

The man who knew elliptic integrals, prime number theorems, and black holes et The man who knew partition asymptotics - Q. Yuan
Man Who Knew Infinity - a must see film - K. Seaton
Touched by the goddess - K. Alladi
Who was Ramanujan - Stephen Wolfram

Srinivasa Ramanujan - K. S. Rao
Les notes de Ramanujan, un trésor inépuisé
- A. Bleicher - Pour La science n°441
Les mystérieux carnets de Ramanujan et les Carnets de Ramanujan - E. Thomas -
Uncovering Ramanujan’s “Lost” Notebook: An Oral History - R. P. Schneider

 

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27 septembre 2017

Deux (deux ?) minutes pour... classer les pavages !

Les mathématiciens aiment classer des trucs, et avec les pavages, ils ont été servis !

Script

En mai 2017, le mathématicien français Michaël Rao (et non Mickaël, mea culpa)  publie “Recherche exhaustive des pentagones convexes qui pavent le plan”. Il signe alors la fin de la classification des pavages périodiques convexes du plan, question ouverte depuis tout de même presque un siècle. C’est l’occasion de traiter de la classification des pavages, et ça tombe bien, j’ai deux minutes pour en parler.

Voici un motif quelconque. Avec plusieurs copies de ce motif, il m’est possible de fabriquer un splendide papier peint. En prenant d’autres motifs, j’obtiens d’autres papiers peints. Dans tous les cas, chaque motif peut se déduire du premier par un simple déplacement, une translation. Seulement, voilà, tous ces papiers peints sont un peu les mêmes, générés à partir d’un même motif et de translations. Est-il possible de faire des choses un peu plus inattendues ?
Eh bien, bien sûr que oui, sinon je ne poserais pas la question. Si je m’autorise à tourner les pièces, je peux obtenir à partir de mon motif de base un papier peint radicalement différent ! Celui-ci par exemple peut être généré à partir de rotations et de translations. Ce n’est donc pas simplement le motif qui produit le papier peint,  mais plutôt la façon dont on peut le générer à partir de ce motif. Et s’il existe déjà deux papiers peints différents, c’est qu’il y en a davantage. Combien ? Excellente question.

Précisons un peu les termes. Nous allons parler de papier peints périodiques. Ce que je vais appeller «papier peint», c’est la répétition d’un même motif à l’infini et de façon discrète dans toutes les directions du plan. On dit qu’un papier peint est périodique quand il existe au moins deux translations de directions différentes qui transforment la globalité du papier peint en lui même. Quand ces deux translations n’existent pas, on parle de non périodicité, d’apériodicité ou de quasipériodicité suivant le contexte. Les différences sont subtiles, le sujet est intéressant, mais on en parlera probablement dans une autre vidéo, Concentrons-nous aujourd’hui plutôt sur les pavages périodiques.

On vient de le dire, on trouve toujours dans un papier peint des translations, mais on a vu que l’on peut parfois y trouver aussi des rotations. Ce n’est pas tout. On peut également retrouver d’autres transformations, comme les symétries centrales, puisque ce sont des cas particulier de rotations. Il y a aussi les symétries axiales, et enfin la symétrie glissée, c’est à dire une symétrie axiale suivie d’une translation parallèle à l’axe. Et, c’est à peu près tout. Toutes ces transformations que l’on peut retrouver dans un papier peint sont les isométries du plan, les transformations qui conservent les tailles des objets qu’elles transforment. On exclut donc les transformation qui déforment, comme les homothéties ou les inversions.

Quand on regarde un papier peint, une bonne question à se poser est celle de son groupe, c’est à dire, quelles sont les isométries que l’on y retrouve.
Prenons par exemple ce superbe papier peint fleuri vintage. Quelles isométries peut-on y retrouver ? Déjà, il y a des translations. Au moins deux, et de directions différentes, c’est bien un papier peint périodique. Ensuite, on peut voir que les bouquets se regroupent toujours par 4. Cela marque la présence de ce que l’on appelle des symétries d’ordre 4, c’est à dire, des rotations d’un quart de tour centrées sur le milieu de ces bouquets de bouquets, que ce soit les grands ou les petits. On peut enfin déceler ici et là des symétries centrales
On peut donc dire que le groupe de ce papier peint est composé de translations, de 2 familles de rotations d’un quart de tour et de 2 familles de symétries centrales.
Un second exemple, avec ce papier peint sixties. Comme toujours, des translations sont présentes, selon plusieurs directions différentes. Aucune rotation ni symétrie centrale n’est à signaler, on peut cependant voir des symétries axiales, dont l’axe est vertical. Plus difficile à repérer, on peut retrouver dans ce papier peint des symétries glissées, dont l’axe n’est pas le même que celui des symétries axiales.
On peut donc dire que le groupe de ce papier peint est composé de translations, d’une famille de symétries axiales et d’une famille de symétries glissées.
On a donc déjà décrit 4 groupes de papiers peint différent, chacune portant son petit nom. On a vu le groupe p1, composé uniquement de translations, le groupe p3, composé de translations et de rotation d’un tiers de tour, le groupe p4 composé entre autres de rotations d’un quart de tour, et le groupe cm, sans rotations, mais possédant des symétries axiales et des symétries glissées.
Mais combien existe-t-il de papiers peints différents, alors ? Eh bien, il faut faire un truc que les mathématiciens aiment faire : il faut établir la classification des groupes de papiers peints. Ce travail n’est pas fondamentalement difficile, mais est tout de même loin d’être trivial. Pour comprendre l’idée, on va établir ensemble la classification des groupes, non pas de papiers peints périodique, mais de son équivalent à une seule dimension : les frises périodique.

Alors qu’un papier peint périodique est la répétition discrète de motifs du plan stable selon deux translations, une frise périodique est la répétition discrète de motifs stable selon une seule direction. Pour plus de simplicité, on supposera ces frises horizontales.  La classification des frises est plus simple que celle des papiers peints, puisque seules 5 isométries  préservent les frises. Il y a, par définition, les translations. On peut également trouver des symétries centrales, des symétries d’axes verticaux, des symétries d’axes horizontaux, ou les mêmes, mais avec glissement. On retrouve toujours des translations dans les frises et, si une symétrie d’axe horizontale est présente, on aura forcément des symétries glissées, la réciproque n’étant pas vraie. Selon les isométries présente, on peut donc dénombrer a priori 12 types de frises possibles. On peut alors chercher des exemples pour chacun de ces 12 types. On a donc des frises qui présentent uniquement des translations ou, en plus des translations, uniquement des symétries d’axes verticaux, uniquement une symétrie d’axe horizontal, uniquement des symétries centrales ou uniquement des symétries glissées. On peut aussi trouver une frise qui présente toutes les isométries, ou bien toutes sauf la symétrie d’axe horizontal. Et pour les autres cases du tableau ? Essayons par exemple de construire une frise qui présente une symétries d’axe horizontal et d’autres d’axes verticaux, mais pas de symétrie centrale. On part d’un motif, et on lui applique une symétrie d’axe horizontal, puis d’axe vertical. En procédant ainsi, on retrouvera forcément dans la frise une symétrie centrale. Toutes les cases du tableau ne sont donc pas possible. En inspectant chacun des 12 cas, on peut alors conclure qu’il n’existe que 7 groupes de frises différents. Je vous invite à visionner la vidéo de Micmaths pour plus de détails.

Pour les papiers peints, le principe est le même. On commence par lister les isométries qu’il est possible d’y retrouver, et on cherche lesquelles sont possibles, et lesquelles sont impossibles. La démonstration est particulièrement laborieuse, donc je vous livre la conclusion : il en existe précisément 17 et, pour le plaisir de galérer au montage de cette vidéo, voici la liste exhaustive des 17 groupes de papiers peints :
P1, composé de translations seules
Pm, composé de translations et de symétries axiales d’axes tous parallèles
Pg, où l’on remplace les symétries axiales par des symétries glissées
Cm, composé de translations, de symétries axiales et de symétries glissées, d’axes tous parallèles
Pmm, composé de translations, et de symétries axiales selon deux directions perpendiculaires
Pgg, composé de translations, et de symétries glissées selon deux directions perpendiculaires
Pmg, qui est un compromis entre pmm et pgg : une direction de symétrie axiales, une autre de symétrie glissée
Cmm, un autre type de compromis : deux directions de symétries axiales, et des symétries glissées en parallèle
P2, composé de symétries centrales seules, en plus des translations
P4, qui y ajoute les rotations d’un quart de tour
P4g, qui ajoute des axes de symétries axiales selon deux directions perpendiculaires
P4m, qui rajoute des symétries axiales selon deux autres directions
P3, composé de translations et de symétries d’un tiers de tour
P6, qui y rajoute des symétries d’un sixième de tour
P6m, qui y rajoute un nombre impressionnant de symétries axiales
P3m1, composé de translations, de symétries axiales selon 3 directions et de symétries d’un tiers de tour dont les centres sont tous aux points d’intersection des axes de symétries
En enfin, p31m, qui a les mêmes éléments que le précédent, mais dont les centres de symétrie ne sont pas tous aux points d’intersection des axes de symétries

Y en a t-il d’autres ? Non ? Vais-je vous le prouver ? Non plus, puisque plusieurs mathématiciens l’ont fait avant moi, je leur fais confiance.
Bizarrement, l’histoire a pris son temps avant de prouver qu’il n’existe que 17 groupes de papiers peints. Le premier à avoir tenté de les classifier semble être Camille Jordan en 1868, qui n’en a déterminé que 16 sur les 17. La classification complète est attribuée au mathématicien russe Evgraf Fedorov, en 1891, qui a prouvé une bonne fois pour toutes qu’il n’y en a pas plus de 17. Il peut sembler assez étonnant de voir que l’étude des symétries des papiers peints est si récente, quand on sait que la quasi totalité des types de papiers peints et de frises se retrouvent dans les arts de l’Islam, notamment sur les murs de l’Alhambra à Grenade, groupe de palais construits à partir du XIIIe siècle. En fait, l’étude minutieuse des symétries du plan ne pouvait exister sans le concept de groupe, concept incontournable en mathématiques mais qui n’a été introduit qu’au cours du XIXe siècle. Il semble également que la classification des symétries du plan intéressait moins que celle des symétries de l’espace, indispensable à la cristallographie pour les chimistes. En réalité, quand Fedorov décrit les 17 groupes de papiers peints, c’est seulement en préambule de la description complète des 230 groupes d’espaces, l’équivalent 3D des groupes de papier peint.

Mais quand les mathématiciens se décident à classer des choses, ils ne s’arrêtent pas si simplement. On a classé les papiers peints, mais pas encore les motifs que l’on peut y trouver. On va alors arrêter de parler de papiers peints, mais plutôt parler de pavages.
Un pavage, c’est donc un papier peint où l’on retrouve un ou plusieurs motifs, les tuiles, qui recouvrent la totalité du plan, sans trous ni chevauchement. Il en existe de nombreux types, et mettre de l’ordre dans tout ça demande un peu de patience.

Par exemple, on peut chercher les pavages périodiques où les tuiles sont des triangles équilatéraux, des carrés, des pentagones réguliers ou n’importe quel autre polygone régulier. On parle de pavages uniformes, et rien que ceux-là peuvent très vite devenir pénibles à trier.

Déjà, on peut chercher les pavages dont toutes les tuiles sont les mêmes polygones réguliers. On a ainsi le pavage triangulaire, constitué de triangles équilatéraux ; le pavage carré constitué, ben,  de carrés et le pavage hexagonal, constitué d’hexagones réguliers. Est-ce que c’est tout ? Eh bien, oui, et non. Non, parce que aucun autre polygone régulier ne peut paver le plan. Si on prend par exemple un pentagone régulier, on sait que ses angles mesurent tous 108°. Ainsi, trois pentagones collés à un même sommet ne laissent disponible qu’un angle de 36°, ce qui ne laisse pas la place à un autre pentagone. Bref, pas de pavages par des pentagones réguliers uniquement, non plus avec des heptagones réguliers, ou des polygones à davantage de côtés.
Seulement, si on prend des tuiles carrées, il n’y a pas que le pavage en quadrillage qu’il est possible de construire. En décalant les rangées, il est possible d’en fabriquer d’autres, mais ceux-ci sont moins satisfaisant. Le pavage que l’on obtient n’est pas un pavage côté contre côté, où chaque côté de chaque polygone n’est en contact qu’avec un seul autre polygone. Il existe une infinité de pavages réguliers différents par des carrés qui ne soient pas côtés contre côtés, il est donc raisonnable de les exclure de notre classification.
Un autre point que l’on pourrait prendre en compte est celui de la coloration des polygones. En attribuant une couleur à chaque tuile, les pavages obtenus sont les mêmes, mais les papier peint obtenu ne seront pas nécéssairement les mêmes. Par exemple, en coloriant le quadrillage carré comme un échiquier, le papier peint possèdera des symétries d’un quart de tour, ce qui n’est plus le cas si l’on colorie une bande sur 2. Les coloriages intéressants sont les coloriages uniformes, lorsque ce sont les mêmes couleurs dans le même ordre que l’on retrouve autour de chaque sommet du pavage. On peut alors les dénombrer : il existe ainsi 9 coloriages uniformes différents du pavage carré, 9 pour le pavage triangulaire et 3 pour le pavage hexagonal.
Lorsqu’un pavage côté contre côté présente un unique type de polygone régulier, on parle de pavage régulier, ou de pavage platoniciens. Il n’en existe donc que trois : le pavage carré, le pavage triangulaire et le pavage hexagonal.
Et si, au lieu de n’utiliser qu’un seul type de polygone, on en utilise plusieurs ? Là, ça peut donner des pavages périodique qui peuvent être affreux, comme par exemple celui-ci, composé de bandes de carrés et de bien trop de bandes de triangles. Pour ne pas avoir une infinité de cas possibles, on va se restreindre aux pavages uniformes, où, en chaque sommet du pavage se réunissent les mêmes polygones dans le même ordre. On parle parfois de pavages archimédiens. C’est par exemple le cas du pavage carré adouci, où en chaque sommet se retrouvent deux carrés et trois triangles équilatéraux. Avec un peu de calculs, on peut retrouver la liste complète des pavages uniformes. En effet, on peut prouver que si des polygones réguliers forment un pavage uniforme, alors la somme de l’inverse de leur nombre de côtés vaut toujours ½. Cette équation traduit le fait que tous les sommets du pavage sont équivalent, et on peut calculer qu’elle possède 21 solutions, soit tout autant de pavages potentiels. En fait, toutes les solutions de l’équation ne donnent pas des pavages, c’est par exemple le cas de la solution 5, 5 et 10. Finalement, c’est seulement 11 pavages uniformes qu’il existe au total et ça me fait plaisir de vous les lister. Il y a les trois pavages régulier, le carré adouci, l’hexagonal adouci, le carré tronqué, l’hexagonal tronqué, le tri hexagonal, le petit rhombi tri hexagonal, le grand rhombi tri hexagonal et enfin le triangulaire allongé. On peut remercier Johannes Kepler d’avoir le premier exploré le sujet.
Ça, c’était pour les pavages où tous les sommets sont équivalents. Et lorsque ce n’est plus le cas, on peut quand même lister des choses. Par exemple, si il n’existe pas qu’un seul type de sommet, mais plusieurs types différents, on parlera de pavages k-uniformes, où k est le nombre de sommets différents. Prenons par exemple ce pavage, sobrement baptisé pavage 3-4-6-12, qui possède deux types de sommets différents. Il y a ceux réunissant deux carrés, un triangle et un hexagone, et ceux réunissant un carré, un hexagone et un dodécagone. Puisque ce pavage possède deux types de sommets, on dit qu’il est 2-uniforme. On sait aujourd’hui qu’il existe précisément 20 pavages 2-uniformes, 61 pavages 3-uniformes, et ainsi de suite. Je vous fais une fleur : je ne vais pas vous les lister. On ne connait cependant pas aujourd’hui le nombre de pavages 7-uniformes ou 8-uniformes. Avis aux amateurs…

On a donc classé les types de symétries que l’on retrouve dans les papiers peints périodiques. On a classé les pavages périodiques que l’on peut fabriquer avec les polygones réguliers. Il y a encore quelque chose que l’on a pas classé, ce sont les polygones qui peuvent paver le plan de façon périodique. On sait que seuls trois polygones réguliers peuvent paver le plan, mais qu’en est-il des autres, ceux qui ne sont pas réguliers ?

Par exemple, peut-on toujours paver le plan avec des triangles quelconques ? Eh bien, oui, et il y a une recette qui marche à chaque fois. En accolant deux triangles identiques, on peut toujours former un parallélogramme, qui peut paver le plan. Problème résolu, tout triangle pave le plan.
Et pour les quadrilatères ? Là aussi, on peut résoudre facilement le problème, puisque n’importe lequel peut paver le plan. Il suffit qu’en chaque sommet du pavage se retrouvent chacun des 4 sommets du quadrilatère.

Pour les polygones ayant davantage de côtés, c’est forcément plus compliqué. On a par exemple vu que les pentagones réguliers ne peuvent pas paver le plan. Il y a donc obligatoirement des critères à respecter pour qu’un polygone à 5 côtés ou plus puisse paver le plan.
Pour ne pas nous compliquer trop la tâche pour le moment, on va se concentrer sur les polygones convexes, ceux qui ne possèdent pas de creux. On connait beaucoup de polygones non convexes qui permettent de paver le plan, et la classification est aujourd’hui en 2017 loin d’être achevée. En se limitant aux polygones convexes, on s’enlève une bonne épine du pied, puisqu’on peut prouver qu’un polygone convexe ne peut pas paver le plan si il possède 7 côtés ou plus. En effet, la somme des angles d’un heptagone vaut 900°, soit une moyenne de 128° par angle. Si il existe un pavage d’heptagones convexes que l’on peut supposer côté contre côté, le nombre moyen d’heptagone par sommet sera donné par 360/128, soit 2.8. Puisqu’il faut au moins 3 heptagones par sommet, un tel pavage est impossible. Il ne reste donc que le cas des pentagones et des hexagones à traiter.

Commençons par les hexagones : il y a un critère pas trop compliqué qui permet de savoir si un hexagone convexe peut paver le plan. Un hexagone convexe peut paver de façon périodique le plan si et seulement si
- il possède deux côtés opposés parallèles de même longueur OU
- il possède deux côtés opposés de même longueur, dont l’un est entouré de côté de même longueur OU
- il possède trois paires distinctes de côtés égaux formant des angles de 120°
Autrement dit, un hexagone convexe pave le plan si et seulement si il fait partie d’au moins l’une de ces trois classes. Rien n’empêche qu’un hexagone fasse partie de plusieurs classes différentes, comme c’est le cas de l’hexagone régulier qui vérifie tous les critères. De plus, chaque classe d’hexagone permet de construire un pavage qui lui est propre, mais un même pavé peut parfaitement donner des pavages radicalement différents. Ce que dit surtout ce théorème, c’est que si un hexagone ne vérifie aucun de ces critère, alors c’est sûr qu’il ne pavera pas le plan.

Et pour les pentagones ? A l’instar des hexagones, il y a différentes classes de pentagones qui pavent le plan, et il faut et suffit de rentrer dans l’une de ces classes pour générer un pavage régulier du plan. Il existe 15 classes de pentagones qui pavent le plan, et l’histoire de leur découverte mérite d’être racontée.
Tout commence en 1918, dans la thèse de Karl Reinhardt. Il écrit qu’un polygone peut paver périodiquement le plan si et seulement si il fait partie de l’une des classes de pavé suivante :
Classe 1 : le pentagone possède deux côtés parallèles
Classe 2 : le pentagone possède deux côtés opposés égaux, ces côtés formant avec deux côtés non adjacents des angles supplémentaires
Classe 3 : trois copies du pentagone peuvent former un hexagone
Classe 4 : le pentagone possède deux paires distinctes de côtés égaux forment des angles droits
Et enfin, classe 5 : le pentagone possède deux paires distinctes de côtés égaux, l’une formant un angle de 120°, l’autre de 60°.
Reinhardt conclut que ce sont les seules classes de tuiles pentagonales qui existent, qu’i est inutile d’en chercher plus. L’histoire lui donnera tort, puisqu’il est quand même passé à côté de 10 autres. Ce qu’il s’est passé, c’est qu’il n’a en fait trouvé que les tuiles pouvant donner des pavages isoédriques. On dit qu’un pavage est isoédrique lorsque toutes les tuiles y sont équivalentes. Plus précisément, pour deux tuiles quelconques du pavage, il faut qu’il existe toujours une symétrie du pavage qui transforme l’une des tuiles en l’autre. Prenons ce pavage, par exemple. Les tuiles opposées par leur sommet droit se déduisent l’une de l’autre par une symétrie centrale, laquelle est bien une symétrie du pavage, pas de problème. Par contre, deux tuiles côte à côte se déduisent l’une de l’autre par une rotation d’un quart de tour, transformation qui n’est pas une symétrie du pavage. Au regard donc de ces symétries, toutes les tuiles ne sont pas équivalentes, ce pavage n’est pas isoédrique. Ce que Reinhardt a prouvé, c’est qu’il n’existe que 5 tuiles donnant des pavages isoédriques, mais n’a pas pensé qu’il pouvait en exister d’autres.

La question des pavages pentagonaux restera mise de côté pendant 50 ans, jusqu’à ce que Richard Kershner découvre 3 nouvelles classes de pavés pentagonaux. Cette fois, c’est sûr, pour Kershner, il n’y en a pas d’autres. Il n’a bien sûr pas la place dans les pages de l’American Mathematical Monthly pour prouver ses dires…
Quelques années plus tard, Martin Gardner écrit dans le Scientific American un article relatant les découvertes de Kershner, et c’est à ce moment que le problème des pavages pentagonaux quitte le milieu des mathématiciens professionnels un peu trop sûr d’eux pour celui des amateurs. D’abord avec Richard James, informaticien, qui découvre une nouvelle tuile, et s’empresse de l’envoyer à Gardner. Après qu’il a écrit un nouvel article pour relater la découverte d’un nouveau pavage, ce ne sont pas moins de 4 pavages supplémentaires qui seront découvert par Marjorie Rice, une femme au foyer sans haute formation mathématiques tombée par hasard sur le magazine de son fils. Hommage à Marjorie Rice, décédée à peine deux mois après la découverte de Michael Rao. Vous pouvez retrouver l'étendue de son travail sur son site internetContrairement aux professionnels, ces amateurs ne cherchent pas à avancer que la liste est terminée.
Ce sont donc à présent 13 pavages pentagonaux que l’on connaît. En 1985, une 14e classe est découverte, par le mathématicien Rolf Stein. Bien sûr, il affirme que la liste est complète, et bien sûr, il se plante dans sa démonstration.
La 15e et dernière classe sera découverte en 2015 par les mathématiciens Casey Mann, Jennifer McLoud et leur étudiant. En faisant preuve pour une fois d’un peu de sagesse, ils n’affirment pas que la liste est exhaustive. Ils auraient pu, puisque, effectivement, la liste était bien complète, ce qui a été prouvé en mai 2017 par Michael Rao. Son objectif était de découvrir de nouveaux pavages en testant méthodiquement tous les pavés possibles. Il n’en a pas trouvé de nouveaux, la conclusion est donc qu’il n’en existe pas d’autres. La démonstration utilise donc en grande partie l’informatique, et on ne va pas rouvrir le débat sur la validité d’une telle preuve.

La classification des tuiles convexes est donc aujourd’hui achevée : les polygones qui peuvent paver le plan sont donc les triangles, les quadrilatères, 3 classes d’hexagones, 15 classes de pentagones et c’est tout. Je n’en ai pas parlé, mais on a aussi la liste des pavages isoédriques par des polygones convexes, les pavages où toutes les tuiles sont dans des positions équivalentes. Il en existe précisément 107.
Peut-on alors considérer que la classification des pavages périodiques est bien terminée ? La question des tuiles pentagonales était la véritable dernière question encore ouverte donc, sur ce point, c’est oui. Il faut dire que l’informatique a bien aidé les chercheurs et les amateurs à mettre de l’ordre dans tout ça. Mais il reste malgré tout bien d’autres questions. Il y a déjà la classification des pavages k-uniformes, que l’on connait en partie, mais qui très vite ne présente aucun intérêt. Il y a aussi la classification des pavages périodiques convexes mais non isoédriques en fonction de leur complexité, un chantier loin d’être évident à aborder. Du côté des tuiles non convexes, c’est surtout les polyominos que l’on a étudié, c’est à dire les tuiles composées de carrés accolés. Là aussi, des classifications sont faites en fonction de la complexité des polyominos ou des pavages, je ne vais pas m’étendre davantage sur le sujet. Un autre problème très actuel à propos des tuiles non convexe est de savoir s’il existe des critères permettant de dire si une tuile donnée peut oui on non paver le plan. Il y a aussi la question des pavages qui ne sont pas périodiques. Ces structures sont très récentes, et avant de chercher à mettre de l’ordre dans tout ça, il faut commencer par prendre la pleine mesure de ce que le sujet recouvre et la tâche n’est pas simple. Cela ferait un très bon sujet pour une autre vidéo, non ?

FAQ
- Peut-on paver le plan avec des tuiles non pas polygonale, mais formées par des courbes de Jordan quelconques ?
Deux possibilités. Si elles sont convexes, alors elles ne paveront jamais le plan (trois courbes ne peuvent pas se réunir en un seul point sans former d'angles). Si elles ne sont pas convexes, alors il n'y a pas vraiment de moyens aujourd'hui pour faire des classifications intéressantes.
- Peuton paver le plan hyperbolique ?
Là, il y a un théorème intéressant : tous les polygones réguliers peuvent paver le plan hyperbolique ! Je vous laisse faire vos recherches sur ce sujet...

PU petit rhombitrihexagonal


Sources :
Wallpaper symetry, applet en ligne pour test les 17 papiers peints
The tiling viewer, J. Scherphuis,  applet en ligne pour visualiser tous les pavages convexes connus
Spacegroups, applet à télécharger pour visualiser les 230 groupes d'espace
Album-photo des pavages que j'ai dessiné pour les besoins de cette vidéo

Wallpaper groups, J. Zavadlav
Pavages périodiques, V. Pilaud
History of crystallographic groups and related topics, D. E. Joyce
Wallpaper group, sur wikipedia
What symmetry groups are present in the Alhambra, B. Grünbaum
The Alhambra and the Alcazar, Math & the Art of Escher

Tilings by regular polygons, D Chavey
n-Uniform Tilings, B. Galebach

On paving the plane, R. Kershner
Exhaustive search of convex p entagons which tile the plane, Michael Rao
Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem, Quanta magazine

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30 juillet 2017

Réglons une bonne fois pour toute cette histoire de nombre d'or

Selon une étude, les rectangles dont le format suit le nombre d'or seraient les plus beaux/harmonieux/attirants (rayez la mention inutile) de tous les rectangles. Peut-être, mais il m'en faut plus pour pouvoir être vraiment convaincu. Et si on étudiait vraiment cette question ? Faisons de la science !

Formats de rectangles
Avant de parler de rectangle d'or ou de choses du genre, donnons quelques généralités. On appelle format f d'un rectangle le rapport entre la longueur de son plus grand côté (L) et de son plus petit côté (l). C'est donc un nombre qui sera supérieur à 1 (ou égal à 1 dans le cas d'un carré).

gif

L'intérêt de cette notion, c'est que si deux rectangles ont le même format, alors ils sont grosso modo identiques (ils sont superposables moyennant un agrandissement ou une réduction). Un rectangle de format 1.4, c'est un rectangle 1.4 fois plus long que large, quelle que soit sa taille ou son orientation.


Tous ces rectangles sont similaires : ils ont le même format, malgré une taille et une orientation différente.

Petit panorama des différents formats que l'on a l'habitude d'avoir sous les yeux.



Petit panorama des formats de rectangles que l'on croise dans la vie quotidienne.
Les points violets sont les formats testés dans le sondage décrit plus bas.

Quelques précisions sur les formats de la vie quotidienne

  • Le format des peintures les plus célèbre est loin d'être fixe, de 1.26 pour la nuit étoilée de Van Gogh jusqu'à 2.22 pour Guernica. J'aurais pu placer le radeau de la méduse (1.45) ou la Cène (1.91)
  • Mis à part Macron qui fait son malin avec une photo officiel au format 1.4, les autres présidents de la 5e république ont en mairie des photos au format 1.3.
  • La norme ID-1 donnant le format des cartes de crédit a lui permet de se rapprocher du nombre d'or (1.6). Du côté des autres cartes, nos cartes d'dientités françaises (norme ID-2) ont pour format 1.41, tout comme les passeports (norme ID-3). Les cartes SIM utilisent le format 5/3 (norme ID-000).
  • Les billets de banques ont des formats assez longs ; de 1.8 pour le billet de 20€ jusqu'à 1.95 pour le billet de 500€.

Mathématiquement, il y a deux formats qui sont un peu plus intéressants que les autres :

  • le format f = √2, plus connu sous le nom A4 ou A3. C'est le format des cartes postales, de votre fiche de paie ou des cartes de poker. Il repose sur une construction mathématique : il faut que, lorsque l'on plie en deux une feuille de format Ax, on obtienne une feuille de même format. Théorème : il n'y a qu'un seul format qui vérifie cette propriété.

    Posons l'équation. On prend un rectangle de longueur L et de largeur l (on supposera L>l) ; son format est donc f = L/l. On plie ce rectangle en deux : la nouvelle longueur L' est l'ancienne largeur, donc L'=l, et la nouvelle largeur l' est la moitié de l'ancienne longueur, donc l'=L/2. Le nouveau format est donc f' = L'/l' = l/(L/2) = 2/f. Ces deux formats doivent être les mêmes ce qui donne l'équation f=f', soit f=2/f, et donc f²=2. Cette équation n'a qu'une seule solution (positive) : f = √2.

    Dans un souci de standardisation, il a aussi été décidé qu'une feuille de format* A0 mesurerait 1m² ; puisqu'elle doit être √2 fois plus longue que large, cela donne à la feuille A0 des dimensions de 841mm x 1189 mm. Bref, si nos feuilles d'impots nous sont proposées au format f ≈ 1.41, c'est pour qu'une fois pliée en 2, elle ressemble encore à cette même feuille d'impot.
    * Parler de "format" A0 est un abus de langage, puisque des feuilles de dimensions A0, A3 ou A4 ont leur format, au sens mathématique, identique.

  • Le format f = φ, où φ = (1+√5)/2 ≈ 1.62 est le nombre d'or. Ce format repose lui aussi sur une construction géométrique, un peu plus alambiquée que pour le format précédent. L'idée est de chercher s'il existe un rectangle qui conserve son format lorsqu'on lui retire un carré. Théorème : il n'y a qu'un seul format qui vérifie cette propriété.

    On peut une nouvelle fois le mettre en équation. On part une nouvelle fois d'un rectangle de dimension L×l (on supposera L>l), donc de format f = L/l. On retire un carré de côté l. La pièce restante est un rectangle, de longueur L' = l et de largeur l'=L-l ; son format est donc f' = L'/l' = l/(L-l) = 1/(f-1). Le grand et le petit rectangle ont le même format, donc f'=f, soit f = 1/(f-1), et donc f² - f = 1. Cette équation n'a qu'une unique solution positive : f = (1+√5)/2.

    Le format f = φ donnant le rectangle d'or est donc issu d'une construction géométrique, mais ne répond pas à une problématique autre que la satisfaction de faire des maths. On ne retrouve pas dans la vie quotidienne de rectangle ayant ce format à cause de cette considération géométrique. En particulier, c'est un hasard que nos cartes bleueus aient ce format ; si on avait voulu le faire volontairement, cela aurait été bien plus précis.

La grande étude
Il semble pourtant, à en croire les sites internet complotistes ou new age, que le format d'or est partout, parce qu'il correspondrait à un idéal esthétique. Les arguments employés se basent en général sur des appels à la tradition (les grecs utilisaient le nombre d'or, donc c'est vrai) ou d'appel à la nature (on trouve le nombre d'or dans la nature, donc c'est vrai). Quand on recherche la présence de rectangles d'or dans des peintures ou des sculptures que l'on juge esthétiques, on le retrouve, ce qui permettrait de confirmer l'hypothèse "nombre d'or = c'est bô". Le principal problème, c'est que si l'on cherche des rectangles ayant d'autres formats dans ces mêmes peintures et sculptures, on les retrouvera également.

Certes, mais au final, peut-être que les rectangles d'or sont effectivement préférés aux autres rectangles ? Pour en avoir le cœur net, il faut étudier scientifiquement la question, et heureusement, de nombreux psychologues l'ont fait avant moi.

La première étude emblématique de la question est celle du psychologue allemand, Gustav Fechner, en 1874. C'est d'ailleurs sur cette étude que s'appuient les pro rectangle d'or.  Il présente à ses sujets 10 rectangles, allant du format f=1 jusqu'à f=2.5, chacun d'aire égale. Ceux-ci sont blancs, posés sur un tableau noir, et rangés dans l'ordre de leur format. Leur orientation n'est pas connue. Fechner demande au sujet de choisir LE rectangle qu'ils préfèrent, et celui qu'ils aiment le moins. Le rectangle d'or (f = 1.62) est placé en 7e position, entre le format f=1.5 et le format f=16/9. Sur ses 347 réponses, 35% ont préféré le nombre d'or, 20.6% ont préféré le format f=1.5, et 20% pour le format f=16/9. Au contraire, personne n'a choisi le rectangle d'or comme rectangle le moins aimé, et seulement 1.4% ont choisi un des deux rectangles adjacents.

Fechner ne s'est pas arrêté aux rectangles. Il a aussi testé, sous le même protocole, les préférences pour les ellipses. Cette fois-ci, c'est l'ellipse de format f=1.5 qui a eu la préférence (à 42%) des sujets, contre seulement 16.7% pour l'ellipse d'or.
Il a également compilé le format de 20 000 peintures provenant de différents musées et galleries d'art. Le format f=5/4 est privilégié pour les peintures en orientation portrait, et f=4/3 pour celle d'orientation paysage.

Depuis Fechner, de nombreux psychologues ont étudié la question, en variant les protocoles expérimentaux. En 1995, le psychologue canadien Christopher Green a compilé une quarantaine d'études, de 1874 jusqu'à 1992. Les différents résultats sont loins d'être unanimes. Bien qu'ils tournent pour la plupart autour de f=1.6, la préférence n'est jamais très marquée, et jamais précisément sur le rapport d'or.

Du coup, j'ai eu envie de tester moi aussi l'hypothèse, en proposant aux internautes qui me suivent sur Twitter et Facebook de noter des rectangles. Les meilleures notes sont-elles attribuées au rectangle d'or ? Nous allons le voir tout de suite.

J'ai donc proposé aux volontaires de note 20 rectangles de 0 (non harmonique) jusqu'à 5 (très harmonique). Les rectangles sont proposés dans un ordre aléatoire, les volontaires ont été libres de ne pas donner de notes à tous les rectangles. Chaque rectangle (sauf le carré) est présenté en trois exemplaires : en orientation portrait, paysage, et après une rotation de 24°. Tous les rectangles sont de la même couleur, chacun est inscrit dans un cercle de même taille (les aires ne sont cependant pas toutes identiques).

  • Deux carrés (rectangle de format f = 1)
    AA__
  • Trois rectangles de format f = 4/3 ≈ 1.33
  • Trois rectangles de format f = √2 ≈ 1.41


  • Trois rectangles de format f = φ ≈ 1.62


  • Trois rectangles de format f = 16/9 ≈ 1.78
  • Trois rectangles de format f = 2

Je regrette de ne pas avoir glissé de rectangle de format 1.5...

Les résultats
Passons sans plus attendre aux résultats. Merci aux 772 personnes qui ont répondu. Comment avez-vous noté tous ces rectangles ? Voici les résultats bruts. Je vous laisse dans les sources mes données brutes, que vous puissiez vous aussi faire joujou avec.


Distribution des notes proposées

Quand on regarde la proportion de 5/5, le rectangle jugé le plus harmonique semble être le carré, dépassant de peu le rectangle d'or (f=1.62)  orienté paysage, et le rectangle 16/9 (f=1.78) orientation paysage. De manière générale, vous préférez toujours les formats paysages aux autres formats.
Si on s'intéresse aux rectangles jugés à au moins 4/5, le rectangle d'or (paysage) et le rectangle 16/9 (paysage) passent devant.

Au rayon des rectangles les plus rejetés, le prix revient également au carré, quelle que soit sa forme. Le carré est donc à la fois le plus apprécié et le plus déprécié. Le format f=2 à la verticale semble également particulièrement repoussant.


Distribution des meilleures notes données, accompagnée de son intervalle de confiance à 95%.
Une même meilleure note peut être attribuée à plusieurs rectangles différents.

Sur ce critère, les résultats sont similaires. Le rectangle d'or (paysage) arrive en tête (37% des votes), suivi du carré (31.3%), puis du rectangle 16/9 (29.5% des votes). De tous les formats portraits (hors carré), le format √2 est le premier.


Note moyenne et écart-type attribués à chaque rectangle

Lorsque les rectangles sont présentés en orientation paysage, le rectangle d'or et le rectangle 16/9 arrivent pour ce critère une nouvelle fois en première position. En orientation portrait, ce sont cependant les formats √2 et 4/3 qui ont vos préférences.

Finalement, l'expérience semble dire que de tous les rectangles qui vous ont été proposés, ce sont le rectangle d'or en format paysage et le carré posé que vous avez plébiscité. Ça pourrait être un résultat intéressant, mais il y a quand même plusieurs soucis. Déjà, les préférences pour un format donné sous l'orientation paysage ne se retrouvent pas dès que celle-ci est changée ; le rectangle d'or est apprécié en paysage mais boudé en portrait. De plus, mon questionnaire s'est limité à un échantillon de seulement 6 rectangles différents, ce que l'on pourrait sans doute affiner davantage. Un questionnaire avec des rectangles générés automatiquement serait parfait. Enfin, il y a un certain biais dans la population testée, certains ayant avoué avoir voté pour le rectangle d'or parce que c'est le rectangle d'or.

Bref, je ne sais pas si j'ai fait avancer la science, mais on a au moins une réponse. Une réponse floue, mais c'est quand même une réponse.

 


Sources :
All that glitters : a review of psychological research on the aesthetics of the golden section, Christopher D. Green
Faites vos propres stats : les données brutes

Posté par El Jj à 10:00 - Commentaires [16] - Permalien [#]
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