2021+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 13)

Nous sommes le 1er janvier.
C'est donc le début d'une nouvelle année.
C'est donc aujourd'hui que je publie ma note annuelle pour faire comme si j'étais encore un vrai blogueur.

Bref : à quoi peut-on s'attendre pour cette année 2022 ?

Pour le savoir, il n'y a qu'une seule façon de procéder : lire dans les arcanes de l'OEIS, l'encyclopédie en ligne des suites entières. Plus un nombre est présent dans les suites de cette enyclopédie de référence, plus l'année correspondante sera intéressante. C'est scientifique.

Après une année 2016 incroyable, une année 2017 passionnante, des années 2018 et 2019 pas très intéressante et des années 2020 et 2021 étonnantes, il est l'heure de vous annoncer que...

l'année 2022 sera passable

Nombre de propriétés recensées par l'OEIS pour chaque année depuis 2012, avec un motif nuage du plus bel effet

Désolé de vous l'annoncer comme ça, mais ça va mieux en le disant. Avec seulement 214 propriétés recencées dans l'OEIS, le nombre 2022 est dans la moyenne basse de ces dernières années. Mais on va tout de même investiguer, à la recherche d'une petite pétite.

2022 est le premier terme d'une suite de nombres de Harshad [A141769]
On dit qu'un nombre entier est un nombre de Harshad [du sanskrit "harṣa" ("joie") et "da" ("qui donne")] lorsqu'il est divisible par la somme de ses chiffres. C'est bien le cas du nombre 2022, puisqu'il est divisible par la somme 2+2+0+2 = 6.

Il se trouve cependant que 2023, 2024 et 2025 sont aussi des nombres de Harshad, ce qui rend la propriété pour 2022 un peu moins satisfaisante : 2023 est divisible par 7, 2024 est divisible par 8 et 2025 est divisible par 9.
Mais puisque tous les successeurs de 2022 sont aussi des nombres de Harsahd, ça rend 2022 le premier terme d'une suite de 4 nombres de Harshad, et ça, c'est déjà un peu plus intéressant.

Se pose alors la question : existe-t-il des suites de nombre consécutifs de Harshad qui soient aussi longues que celle de 2022, voire plus longue ? O va mettre de côté la suite (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) qui est une suite de 10 nombres de Harshad consécutifs, parce qu'elle n'est pas du tout incroyable, et on va se concentrer sur les suivantes :

• 510, 511, 512, 513 : longueur 4
• 1014, 1015, 1016, 1017 : longueur 4
• 2022, 2023, 2024, 2025 : longueur 4
• 3030, 3031, 3032, 3033 : longueur 4

Il faudra attendre (131 052, 131 053, 131 054, 131 055, 131 056) pour avoir 5 nombres de Harsahd consécutifs, et (10 000 095, 10 000 096, 10 000 097, 10 000 098, 10 000 099, 10 000 100, 10 000 101) pour en avoir 7. On connait aussi le plus petit entier qui débute une séquence de 14 nombres de Harshad consécutifs : c'est 4201420328711160916072939999999999999999999999999999999999999996. Et on peut même aller plus loin, avec le nombre de Cooper et Kennedy [lien] qui compte 44 363 342 786 chiffres et qui débute une suite de 20 nombres de Harshad consécutifs.

Est-il alors possible de trouver des suites de nombres de Harsahd consécutifs aussi longue que l'on veut ? Eh bien... non ! Le maximum est de 20, et c'est généralisable dans toutes les bases : en base n, il n'existe jamais plus de 2n nombres de Harshad consécutifs [lien]. Vous ne trouverez donc jamais 2022 nombres de harsahd consécutifs (sauf si vous cherchez dans la base 1011, bien entendu).

Aux rotations près, il y a 2022 triangles équilatéraux à coordonnées entières dans un cube de côté 7 [A103501]
Prenez la grille carrée de dimension 7×7 ci-dessous. Combien est-il possible d'y tracer de carrés, de façon à ce que les sommets des carrés tombent bien sur les noeuds de la grille ?

Avec un peu d'astuce, vous pourrez démontrer qu'il y en a très exactement 336. On peut même prouver que dans une grille de dimension n×n, on aura n(n+1)²(n+2)/12, mais ce n'est pas l'objet de cet article. La vraie question, c'est combien de triangles équilatéraux est-il possible d'y tracer ?

Trois carrés par les 336 possibles. Mais combien de triangles équilatéraux ?

Pour ce qui est des triangles équlatéraux, on peut démontrer qu'il y en a très exactement... aucun. C'est un résultat que l'on doit au mathématicien Edouard Lucas : il est impossible de trouver un triangle équilatéral pour lequel les trois sommets sont tous sur les mailles d'un réseau carré, même très grand.

On peut trouver des triangles presque équilatéraux, mais aucun qui ne le soit parfaitement. Les deux triangles ci-dessous n'ont pas vraiment trois côtés égaux.

On peut le prouver de façon algébrique, mais il y a une jolie preuve visuelle de ce résultat. Pour cela, supposons qu'il existe quelque part dans un réseau carré un triangle équilatéral (représenté en bleu). À partir de ce triangle, on peut construire, par translation des côtés du triangle, un hexagone (en vert) dont les six sommets sont eux aussi sur le réseau.

Si on suppose que le triangle bleu équilatéral appartient au réseau, alors il en est de même de l'hexagone vert.

À partir de cet hexagone vert, on va construire un nouvel hexagone (en rouge), plus petit et dont les six sommets sont aussi sur le réseau. Pour cela, on va faire effectuer à chaque segment composant l'hexagone une rotation d'un quart de tour. Cette construction permet de s'assurer que ces nouveaux segments (en orange) appartiennent eux aussi au réseau.

Si on suppose que l'hexagone vert appartient au réseau, alors il en est de même de l'hexagone rouge.

À partir de cet hexagone rouge qui appartient au réseau, on peut en construire encore un autre plus petit qui appartient aussi au réseau, et ainsi de suite. On pourrait donc construire un hexagone aussi petit que l'on veut et dont tous les sommets appartiennent au réseau : c'est impossible, car une figure ne pourra jamais être plus petite que la plus petite maille du réseau. L'hypothèse initiale est donc à rejeter : on ne peut pas trouver de triangle équilatéral dans un réseau de carrés.

On peut alors se poser la même question en 3 dimensions : combien existe-t-il de triangles équilatéraux dans un réseau cubique de dimension 7×7×7 ? Contrairement à son équivalent bidimensionnel, ces triangles existent bien. Dans un simple cube unité, on peut d'ailleurs en trouver 8 différents :

Dans un réseau cubique de dimension 1×1×1, on peut trouver 8 triangles équilatéraux.

Dire qu'il y a 8 triangles différents, c'est malgré tout faire semblant de ne pas voir que ces 8 triangles sont identiques, à une rotation près. C'est plus honnête de dire qu'il n'y a qu'un seul.

Ainsi, pour un réseau cubique de dimension 2×2×2, on pourra compter 10 triangles équilatéraux vraiment différents :

On peut placer 10 triangles équilatéraux à coordonnées entières dans un cube 2×2×2, à une rotation près.

 Et pour un réseau cubique de dimension 7×7×7, le nombre de triangles équilatéraux s'élève a très exactement... 2022 !

Un triangle possible parmis les 2022 possibles

Il y 2022 arêtes dans ce joli dessin [A341764]
On part d'une ellipse (en rouge) deux fois plus large que haute, et on la découpe en 14 secteurs (en noir). On obtient donc 14 points sur cette ellipse (en rouge). On relie alors 2 à 2 par des segments (bleus) chaque de ces 14 points, et l'on obtient ceci :

Je ne sais pas bien si c'est très joli, mais ce que je peux vous affirmer, c'est que cette figure contient 2022 petits segments.

Mais aussi :

• 2022 est un nombre de 3-Smith : la somme des chiffres de ses diviseurs premiers est égal au triple de la somme de ses chiffres.
  En effet, 2022 = 2×3×337, et (2)+(3)+(3+3+7) = 18 = 3 × (2+0+2+2). [A104391]
• 2022 est un "nombre magique" en chimie, ce qui correspond aux numéros atomiques des gaz noble. Il ne faut pas s'attendre cependant à voir de sitôt des atomes à plus de 2000 protons... [A018227]
• En anglais, chaque mot de 2022 commence par un T. [A146755]
• 1209/2022 est une très bonne approximation de γ, la constante d'Euler-Mascheroni [A217767].
• Il existe 2022 matrices 3x3 de déterminant 1 dont les coefficients sont 0, 1 ou 2. [A279725]

Et la santé !