Bonjour à tous. Nous sommes à l’aube d’une nouvelle année, il est donc l’heure pour moi de réouvrir ce qui me sert annuellement de blog afin de répondre à cette sempiternelle question : l’année qui vient sera-t-elle intéressante ?

Toujours la même boule de cristal pour répondre à cette question : l’OEIS. C’est l’encyclopédie qui répertorie un nombre bien trop grand de suites de nombres entiers, et qui permet de mesurer de manière ultra-rigoureuse et parfaitement scientifique la qualité d’un nombre entier. Plus le nombre apparait dans l’encyclopédie, plus il sera intéressant. On peut alors en extrapoler la qualité de l’année qui vient, ce qui me permet donc d’annoncer que…

 

2023 sera “mouais”...
Pas inintéressante, mais faut pas trop en attendre non plus

 

Nombre de propriétés recensées par l'OEIS pour chaque année depuis 2012

 

Le nombre 2023 a, à l’heure où j’écris ces lignes, 238 propriétés cataloguées. Creusons un petit peu plus malgré tout pour en trouver celles qui ressortent du lot.

 

2023 est un nombre chanceux de Josèphe [A000960]

En l’an 67, l’armée de l’empereur Vespasien organise le siège de la forteresse de Iotapata. L’historien Flavius Josèphe est sur place et fait partie des assiégés. Avec 40 de ses soldats, ils se réfugient dans une cave. On va les numérotés de 1 à 41, et on dira que Josèphe est lui aussi un soldat pour simplifier l’exposé. Plutôt que de se rendre à l’ennemi, ils décident de se donner eux-même la mort. Ils s’en remettent alors au quasi-hasard pour décider de l’ordre. Plus précisément, commencer par choisir au hasard un premier soldat. Disons qu’il s’agit du n°40, vous simplifier les comptes.


Qui va survivre ?

 

À partir de celui-ci, il est convenu que le premier à mourir sera le troisième à sa gauche, puis le suivant sera le troisième à gauche de celui qui vient de mourir, et ainsi de suite. La question qui se pose alors pour Josephe, qui n’a aucune envie de se suicider, c’est de savoir quelle sera la position de dernier à rester debout.

Le plus simple pour avoir la réponse à cette question, c’est simplement de lancer la simulation. 

Dans un premier temps, tous les soldats qui occupent une position multiple de 3 seront tués.


Les 13 premiers malheureux à périr seront les porteur d'un numéro multiple de 3.

Après le premier tour, on poursuit le processus, avec le numéro 1, puis 5, puis le 10, etc. On peut alors vérifier que le dernier emplacement libre sera le 31.


Il fallait donc se placer en position 31. Félicitations au survivant !

 

Pour un nombre quelconque de soldats, ce nombre peut se calculer avec une formule récursive. En notant J(n) l’emplacement du dernier soldat debout pour n soldats présents, on peut montrer que l’on a :

J(1) = 1

et J(n) = J(n-1) + 3 modulo n

 

Il a cependant fallu attendre 1997 pour découvrir une formule qui permet de calculer directement ce résultat. La formule est parfaitement horrible, et cache surtout l’utilisation d’une constante α qui elle doit être calculée au préalable. Ce n’est pas vraiment ce que l'on appelle un formule pratique.

 

En référence à ce problème, Stanislas Ulam et ses amis inventent dans les années 50 le crible de Josèphe. On commence donc par prendre tous les entiers naturels : 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …


Puis, on supprime un nombre sur 2 :

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39 …

 

Une fois que tous les nombres pairs sont supprimés, on va supprimer un nombre sur 3 de tous les nombres restants :

1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49, 51, 55, 57 …

 

On poursuit en supprimant un nombre sur 4, puis un nombre sur 5, et ainsi de suite. 

1, 3, 7, 13, 19, 27, 39, 49, 63, 79, 91, 109, 133, 147, 181, 207, 223, 253, 289, 307, 349, 387, 399, 459, 481, 529, 567, 613, 649, 709, 763, 807, 843, 927, 949, 1009, 1093, 1111, 1189, 1261, 1321, 1359, 1471, 1483, 1579, 1693, 1719, 1807, 1899, 1933, 2023, …

 

Les nombres restants sont appelés des nombres chanceux de Josèphe, et, en 50e position, le nombre 2023 !

 

Il existe 2023 pavage d’un carré 4x4 par des carrés unité et des triominos L [A220061]
Un triomino est un polygone formé à partir de trois carrés accolés. Il n’en existe que deux : le triomino L et le triomino I.

 


Les deux seuls triominos. Voici L et I.

Une des propriétés pratique du triomino L, c'est le théorème de Golomb. Il est toujours possible de paver à l'aide de triominos L un échiquier 8×8 auquel on a retiré un carré. Pour montrer cela, il faut commencer par observer qu’un triomino L peut être pavé par 4 triomino L deux fois plus petits.

Prenons maintenant un échiquier, auquel on a retiré un case.

 

L'idée est de procéder par récurrence. On va découper l'échiquier 8×8 en quatre carrés 4×4. L'un de ces quatre carrés contient alors la case retirée, pendant que les trois autres sont intacts. On peut alors recouvrir ces trois grands carrés par un grand triomino L. En remplaçant ce grand triomino L par quatre plus petits, et en répétant l'opération, on peut alors paver la grande zone en L par 16 petits triominos L.

 


Étape 1 : on partage l'échiquier en 4 carérs identiques
Étape 2 : on pose un grand triomino L sur les trois emplacements sans la case manquante

 


Étape 3 : on découpe ce triomino L en 4 triominos L plus petits
Étape 4 :on découpe chacun des triominos de l'étape précédente en 4 triominos L plus petits

 

Il reste alors un carré 4×4 avec une case manquante. On peut reprendre toutes les opérations précédentes sur ce plus petit carré. En recommençant suffisamment de fois, on va finir par intégralement recouvrir notre échiquier par les triominos L.


Étape 5 : on reprend l'étape 2 sur le quadrant laissé de côté à l'étape 1
Étape finale : on savoure ce pavage de l'échiquier

Le processus se généralise, ce qui permet d’affirmer que n’importe quel échiquier de taille 2n×2n auquel une case est retirée peut se faire paver par des triominos L.

Et puisque l'on parle de petits carrés et de triominos L, on peut se demander combien il existe de façons différentes de paver un carré 4×4 avec ces deux types de pavés. La réponse est : 2023.

Quelques exemples parmi les 2023 possibles

 

2023 est un nombre heptagonal concentrique [A195041].

La preuve en image qui pique les yeux :

2023 points disposés en heptagone. Ce n'était pas nécéssaire, mais je l'ai fait.

Cette horrible image permet de mettre en image que 2023 = 7×17². Il s'agit en effet d'heptagones concentriques qui comptent respectivement 7×1, 7×3, 7×5, …, 7×37 points. Or, la somme 1+3+5+...+n des n premiers nombres impairs est égal à n².

On a alors 1+3+5+...+37=17², et donc bien un total de 7×17² points.

 

Et sinon…

  • En anglais, le nombre 2023 s’écrit uniquement avec des mots qui commencent par la même lettre (Two thousand twenty-three) [A146755]

  • Quand on divise 7^7 (=823543) par 7! (=5040), il reste 2023. [A063709]

  • 2023 est un nombre de la forme (3n²+17n)/2, car 2023 = (3×34² + 17×34)/2. Oui, ce n’est pas une propriété très excitante.[A140674]

  • Si on joue aux fléchettes avec 34 flèches, le plus petit score qu’il est impossible de faire sur une cible réglementaire est 2023. Cette propriété n’a rien à voir avec la propriété précédente. [A241746].

  • On peut écrire 2023 nombres différents de la forme x^y, avec x et y compris entre 1 et 48.[A126255]


Et la santé !