142857... Un nombre à retenir, pour épater vos collègues dès qu'une calculette tombe dans vos mains :

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

D'où vient ce prodige ? Et surtout, comment se rappeler de ce nombre étrange pour le montrer à ses amis ? Petites explications.

Tout d'abord, les nombres périodiques.
Un nombre périodique est un nombre possédant un développement décimal périodique, une même suite de chiffres se répétant à l'infini, comme par exemple 2,327272727... (Les chiffres 2 et 7 se répètent à l'infini, on écrira alors 2,3[27]).
Ce que l'on peut remarquer avec un petit calcul, c'est que tous les nombres périodiques sont en fait des nombres rationnels (des fractions). Par exemple, avec 2,3272727... :

x = 2,3272727...
10x = 23,272727...
1000x = 2327,272727...
1000x - 10 x = 2327 - 23
990x = 2304
et donc x = 2304/990 = 128/55

(Tout nombre périodique est un nombre rationnel, et tout nombre rationnel est périodique. Si bien qu'un nombre qui n'est pas périodique, comme par exemple 0,123456789101112..., la constante de Champernowne (constitué par la chaîne des entiers), n'a aucune chance d'être exprimable sous la forme d'une fraction)

Intéressons-nous à présent à la période de nos nombres périodiques (qui sont en fait des fractions). Prenons l'exemple de 11 et de 12:

1/11 = 0,090909... = 0,[09]
2/11 = 0,181818... = 0,[18]
3/11 = 0,272727... = 0,[27]
4/11 = 0,363636... = 0,[36]
5/11 = 0,454545... = 0,[45]
6/11 = 0,545454... = 0,[54]
7/11 = 0,636363... = 0,[63]
8/11 = 0,727272... = 0,[72]
9/11 = 0,818181... = 0,[81]
10/11 = 0,90909... = 0,[90]

1/12 = 0,0833333... = 0,08[3]
5/12 = 0,416666... = 0,41[6]
7/12 = 0,583333... = 0,58[3]
11/12 = 0,91666... = 0,91[3]

Une chose à remarquer : pour un entier n donné, les rationnels de la forme k/n auront toujours une période de même longueur, et commenceront au même endroit après la virgule. On peut le vérifier pour n'importe quel nombre, du moment que la fraction ne se simplifie pas.
Une petite idée de la façon dont ça se démontre, en reprenant nos cours de CM2, lorsque nous apprenions à poser des divisions. Après la virgule, le principe était de multiplier par 10, puis d'effectuer la division euclidienne pour trouver le reste. Prenons par exemple 1/37 :

DivisionEcrit autrement, cela donne :
(a = b mod c veut dire (grosso modo) que b est le reste de a dans la division par c)
1 = 1 mod 37 -> 0,
10 = 10 mod 37 -> 0
100 = 26 mod 37 -> 2
260 = 1 mod 37 -> 7
...

Il n'y a ici que 36 restes possible à chaque étape, on va toujours retomber à un moment donné sur une étape déjà atteinte. On tombe ici sur 1 à la première étape, et on retombe sur 1 à la quatrième étape : le développement sera cyclique, et de longueur 3.

Ce qu'il est intéressant de voir, c'est que lorsque le numérateur n'est pas 1 mais k (et k premier avec n, pour une fraction non simplifiable), la suite de divisions modulaire reste la même :
k = k mod 37
10k = 10k mod 37
100k = 26k mod 37
1000k = k mod 37

La longueur du cycle reste bien constante quel que soit k.
On peut aussi remarquer que si n n'est divisible ni par 2, ni par 5 (premier avec 10), le cycle commencera dès la virgule.

Quand on fait une division par n, on s'aperçoit qu'il y a au cours des divisions successives que n-1 restes possibles.
Imaginons un instant que la longueur du cycle d'un nombre p soit p-1 ; cela signifie que tous les restes possibles sont atteints au cours des divisions successives.
De tels nombres existent, sont toujours premiers, et sont appelés nombres premiers longs (en base 10).
Par exemple, avec 7, on a 1/7=142857142857...=0,[142857] :
1 = 1 mod 7 -> 0,
10 = 3 mod 7 -> 1
30 = 2 mod 7 -> 4
20 = 6 mod 7 -> 2 (*)
60 = 4 mod 7 -> 8
40 = 5 mod 7 -> 5
50 = 1 mod 7 -> 7
... -> 0,142857...

Ainsi, lorsque l'on procède aux divisions successives de 2/7, on va commencer à partir de la ligne (*), et on aura la même séquence de restes :
2 = 2 mod 7 -> 0,
20 = 6 mod 7 -> 2
60 = 4 mod 7 -> 8
... -> 0,285714...

Et voilà d'où vient le mystère du chiffre 142857 : c'est simplement parce qu'il s'agit du développement décimal de l'inverse d'un nombre premier long en base 10 !

Mais il y en a d'autres des nombres du même genre :
17 donne 0588235294117647
0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
0588235294117647 × 4 = 2352941176470588
...

19 donne 052631578947368421
052631578947368421 × 1 = 052631578947368421
052631578947368421 × 2 = 105263157894736842
052631578947368421 × 3 = 157894736842105263
...

Pour l'instant, on ne sait pas s'il existe un nombre infini de nombre premiers longs en base 10, mais on suppose qu'ils sont en nombre infini. Sur les 303 nombres premiers inférieurs à 2000, 116 sont longs en base 10. On suppose en fait que 37,3 % des nombres premiers sont longs... (0,37395..., constante de Artin)


Sources :
Les fractions et leurs mystères - Pour la science n°246, avril 1998