Choix des villes pour le Monopoly où s'est injustement fait exclure Montcuq, concours eurovision de la chanson où les Fatals Picards auraient dû gagner, fusion Pornic/Sainte-Marie hasardeuse, élection nationale ayant fait gagner un président showbizz...  Même si toutes ces élections n'ont rien de truquées, relèvent-elles de la volonté du plus grand nombre ? La démocratie est un beau concept, mais difficile à appliquer dans la réalité... Qui a dit impossible ? Arrow, tu sors !

Petit exemple. Trois candidats, que nous appellerons A,B et C (Qui n'est pas sans nous rappeler A comme gauche, B comme centre et C comme droite) se présentent à une élection. 600 électeurs sont prêts à donner leur voix, mais chacun a ses préférences, qui se décomposent ainsi :
A>B>C (électeurs qui préfèrent A à B et B à C) : 190
A>C>B : 0
B>A>C : 160
B>C>A :20
C>A>B : 0
C>B>A : 230

* Maintenant, procédons au vote :
A : 190 voix (31,7%)
B : 180 voix (30,0 %)
C : 230 voix (38,3%)
Dans un système de scrutin unilatéral à un tour, C est élu, avec 38,33% des voix.
Ordre final : C>A>B

* Mais en cas  de système de scrutin à 2 tours ? Dans notre exemple précédent, A et C passent le premier tour. Les électeurs de A et C gardent leur voix, ceux de B choisiront leur deuxième choix.
A : 190 + 160 = 350 voix (58,3%)
C : 230 + 20 = 250 voix (41,6%)
C'est maintenant A qui est élu, grâce au report des voix de B, dans ce système de scrutin à deux tours.
Ordre final : A>C>B

* Changeons alors de système de vote, pour un système où chaque candidat combat par duels. On garde alors le candidat ayant remporté le plus de duels.
A contre B : 190+0=190 / 160+20+230=410 -> B gagne
A contre C : 350 / 250 -> A gagne
B contre C : 160+20+190=370 / 230+0=230 -> B gagne
A l'issu de ce scrutin, B est élu !
Ordre final : B>A>C

3 modes de scrutin, 3 résultats différents. Chaque procédure de vote paraît pourtant refléter celle de l'opinion générale...

On peut imaginer d'autres mode de scrutin :
* Le scrutin Koh-Lanta, où l'on vote pour éliminer le candidat que l'on aime le moins.
Au premier tour, on a
A : 20+230 = 250 voix
B : 0 voix
C : 190+160 = 350 voix
C est alors éliminé, les choses se jouent entre A et B, et B est élu dans le duel final
Ordre final : B>A>C

* Le scrutin Eurovision, où les des points sont distribués selon les préférences relatives. 5 points pour son candidat préféré, 2 point pour son deuxième choix et 1 pour son dernier choix.
A : 5×190 + 2×160 + (20+230) = 1520 points
B : 5×(160 + 20) + 2×(230+190) = 1740 points
C : 5×230 + 2×20 + (190+160) = 1540 points
B est encore élu, mais cette fois ci, C arrive en seconde position.
Ordre final : B>C>A

Cependant, dans l'exemple présent, chaque méthode amène à une élection.
Imaginons que les préférences relatives des électeurs soient celles-ci :
A>B>C : 230
A>C>B : 0
B>A>C : 20
B>C>A : 170
C>A>B : 100
C>B>A : 80

La méthode du duel permet de voir que :
A est préféré à B (230+100=330 / 190+80=270)
B est préféré à C (190+230 = 420 / 180 + 0 = 180)
C est préféré à A (180+170 = 350 / 230 + 20 = 250)

C'est le paradoxe de Condorcet : une majorité préfère A à B, une autre préfère B à C et une autre encore préfère C à A !
Dans un tel cas d'égalité, Condorcet propose d'éliminer le candidat gagnant avec le plus faible écart, ici A serait éliminé, et B serait élu.


Dans un bon régime démocratique, il faut des procédures permettant de transformer les préférences individuelles en choix collectif, un "processus d'agrégation" ou "fonction de choix social". Tous les exemples précédents en sont : scrutin uninominal à un tour, à 2 tours, classement par duel, palmarès Eurovision ou élimination Koh-Lanta...

Cependant, on est en droit d'attendre plusieurs choses d'une élection pour qu'elle soit vraiment démocratique. Arrow a ainsi défini 5 principes nécessaires à  une élection démocratique. Les voici présentées de manière pas du tout formelle (On pourrait les présenter mathématiquement, mais cela serait quelque peu difficile à comprendre...): 

Principe d'universalité :
Peu importe les préférences personnelles de chacun, tout le monde doit pouvoir voter. Après avoir décidé du groupe de personnes aptes à voter, on ne doit pas pouvoir annuler le vote de Michel si il a voté dans les règles de l'art.

Principe de non dictature :
Un personne particulière ne doit pas pouvoir décider seul pour tous les autres...

Principe d'unanimité :
Si tous les électeurs ont une même préférence, il est impossible que le résultat ne soit pas en accord... Ainsi, si tous les votants préfèrent A à B, le processus d'agrégation ne pourra pas placer B devant A dans le résultat final.

Principe d'indépendance vis à vis des états non pertinents
Le choix collectif entre A et B ne doit dépendre que des préférence individuelle entre A et B, et non d'une troisième possibilité C indépendante de A et B.
Par exemple, un groupe d'ami décide du repas du soir : commander des pizzas (A), faire une raclette (B) ou aller au restau (C). Après un vote, c'est le choix des pizza qui est sélectionné. On s'aperçoit cependant que le restau est en fait fermé, et le vote est renouvelé. Pour respecter ce dernier principe, le nouveau vote entre pizzas et raclette doit à nouveau sélectionner les pizzas, puisque le restau n'a aucun lien entre ces deux choix.

Principe de transitivité
Dans le résultat du vote, si A est préféré à B et B préféré à C, alors il faut que A soit préféré à C.

 

Kenneth J. Arrow, prix Nobel d'économie en 1972, démontre en 1951 le théorème d'impossibilité d'Arrow :

Il n'existe pas de processus d'agrégation transformant des choix individuels en choix global qui ne viole aucun des 5 principes ci dessus.

Il s'agit d'un théorème, donc, démontré : il n'existe pas de véritable démocratie !

Ainsi, le vote organisé par Hasbro pour les villes françaises du Monopoly violent le principe d'universalité, puisqu'une règle implicite interdisait l'élection de Montcuq.
Tirer au sort un électeur, puis prendre en compte seulement son choix est tout à fait unanime, mais est dictatorial.
La méthode du duel pose des problèmes au niveau de la transitivité, et la plupart des autres posent problème au niveau du principe d'indépendance vis-à-vis des états indépendants (Le principe le plus difficile à prendre en compte)

Pour rassurer les démocrates, il y a quand même moyen d'alléger les principes fondateurs, pour trouver des scrutins un peu plus démocratiques...

Et demain, faut quand même aller voter ! (Même si...)


Sources :
Les choix sociaux - Pour la science n°246, avril 1998
Wikipédia - Théorème d'impossibilité d'Arrow
Un article du Québécois libre