Ai-je encore des scripts de vidéos en retard à poster ? Bien sûr que oui. Vais-je les poster en janvier ? Ça serait une bonne résolution à prendre. Mais il y a une résolution que je ne mettrai pas de côté de sitôt, répondre à la question que tout le monde se pose en ce 1er janvier 2020 : cette nouvelle année sera-t-elle intéressante ?

La méthodologie est toujours la même. Une année est intéressante si et seulement si elle présente de nombreuses occurences dans l'OEIS, l'encyclopédie en ligne des suites entières. Les années 2018 et 2019 furent assez quelconques, avec seulement une centaines de propriétés intéressante. Pourtant, 2020 sera...

Pas mal.
Pas ouf, mais pas mal.

Nombre de propriétés répertoriées par l'OEIS pour chaque année.
Théorème : plus une année est intéressante, plus elle a de propriétés, et réciproquement

Avec 251 propriétés, l'année 2020 est donc la quatrième année la plus intéressante de la décennie. Sa décomposition en produit de facteurs premiers est 2020=2×2×5×101, ce qui l'empêche de bénéficier des propriétés inhérentes aux années premières, mais grâce à ses seuls chiffres 0 et 2, elle récupère des propriétés des nombres écrits en base 3 (et il y en a beaucoup).

Regardons en détail quelques propriétés qui rendent ce nombre 2020 unique.

2020 est un nombre autobiographique curieux [A046043]
Un nombre est auto-descriptif si, comme son nom l'indique, il se décrit lui-même. C'est par exemple le cas du nombre 10153331, qui possède 1 fois le chiffre 01 fois le chiffre 53 fois le chiffre 3 et 3 fois le chiffre 1. Notons que 10153331 est le plus petit nombre premier à vérifier cette propriété.  Il n'existe qu'un nombre fini de nombres auto-descriptifs, allant de 22 jusqu'à 9998979595959595848484848484848476737373737373736262626262625151515110 (vous pouvez vérifier que ce nombre possède 9 fois le chiffre 9, 9 fois le chiffre 7, etc.)

On y distingue les nombres autobiographiques. Le nombre 10213223 est un autobiographique, puisqu'il se décrit lui-même dans l'ordre : il possède 1 fois le chiffre 0, 2 fois le chiffre 1, 3 fois le chiffre 2 et 2 fois le chiffre 3. Les chiffres décits (en rouge) sont ici dans un ordre croissant, ce qui fait du nombre 10213223 le plus petit entier (après 22) à vérifier cette propriété. Un tel nombre ne peut pas avoir plus de 20 chiffres, le plus grand d'entre eux est alors 101112213141516171819.

Le nombre 2020 est un nombre autobiographique curieux, mais d'une façon un peu différente, puisque les chiffres décrits (en rouge) sont sous-entendus. Dans le nombre 2020, il y a 2 fois le chiffre 00 fois le chiffre 12 fois le chiffre 2 et 0 fois le chiffre 3. Il n'existe que 7 nombres autobiographiques curieux, 2020 est le deuxième (le premier étant 1210).

Un spirale à 5 centres après 20 tours a une longueur de 2020π [A202803
Construisons une spirale à 5 centres. Pour cela, on part d'un pentagone régulier ABCDE de côté 1 à partir duquel on construit 5 demi-droites [BA), [CB); [DC), [ED) et [AE). On construit alors entre les demi-droites [BA) et [CB) un arc de cercle centré en B passant par A, puis on le prolonge entre les demi-droites suivantes en le centrant sur le sommet suivant C, et ainsi de suite. Après 5 arc, la spirale construite fait un tour et on peut calculer sa longueur : le premier arc construit a en effet un rayon de 1, le suivant de 2 et ainsi de suite. Chaque arc décrivant un angle de 2π/5, on en déduit que la longueur de la spirale après un tour est de 1×2π/5 + 2×2π/5 + 3×2π/5 + 4×2π/5 + 5×2π/5 = (1+2+3+4+5)×2π/5 = 6π.

Spirale etape 1

De manière générale, si la spirale fait n tours, sa longueur sera [1+2+3+...+5n]×2π/5 = [5n×(5n+1)/2]×2π/5 = n×(5n+1) π. Pour 20 tours, cela donne donc une longueur de 2020 π.

Spirale etape 20 Spirale à 5 centres et 20 tours. Sa longueur est de 2020π.
Dans chaque portion du plan délimitée par les demi-droites, les arcs de cercles sont concentriques.

Le nombre 12 a 2020 partitions overcubiques [A246584]
Combien y a-t-il de façons d'écrire le nombre 4 sous la forme d'une somme décroissante d'entiers non nuls ? Détaillons :

4 = 1+1+1+1
= 2+1+1
= 2+2
= 3+1
= 4

Il y a donc 5 façons d'écrire 4 sous la forme d'une somme. On dit donc que 4 a 5 partitions. Ces partitions ont particulièrement été étudiées par le mathématicien d'origine indienne Ramanujan qui en a tiré de nombreuses propriétés. L'une d'elle, la "congruence de Ramanujan", indique que pour un nombre sur 5, les partitions sont divisibles par 5 (plus précisément, si on note p(n) le nombre de partitions de n, alors p(5k+4)=0 [mod 5]). L'étude des partitions a également amené Ramanujan a étudier sa série génératrice, donnée par la jolie formule suivante :

formule

Et si, pour une obscure raison, on considère les décompositions suivantes :

  • les nombres pairs peuvent prendre 4 couleurs différentes - disons bleu/rouge/vert/orange - et dont deux couleurs - disons vert/orange - qui apparaissent au plus une fois
  • les nombres impairs peuvent prendre 2 couleurs différentes - disons bleu/rouge - dont une - disons rouge -  qui apparait au plus une fois

Dans ce cas, le nombre de partitions est bien plus grand, puisqu'il s'élève à 26 :

4 = 1+1+1+11+1+1+1
= 2+1+1 2+1+1 = 2+1+1 2+1+1 = 2+1+1 2+1+1 = 2+1+1 2+1+1
= 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2 2+2
= 3+1 3+1 3+1 3+1 
= 4 4 4 4 

On dit alors que 4 a 26 "partitions overcubiques", ce qui est une notion de théorie des nombres dont on peine au premier abord à comprendre les motivations qui ont mené à son existence. En réalité, ce qui a amené à l'introduction de ces partitions est leur série génératrice, qui généralise celle des partitions, et qui permet d'étudier les congruences de Ramanujan sous un nouvel angle.

 Mais aussi...

  • 2020 est la concaténation d'une paire de nombres identiques, au même titre que 1515 ou 4242 (A020338)
  • La somme des chiffres de 2020 est égal à son nombre de chiffres (A061384)
  • le nombre 20203 n'a que des chiffres pairs (ce qui est bizarrement plutôt rare) (A052004)
  • [Edit, via David Draï] On a 2020 = 17² + 19² + 23² + 29², ce qui est la somme de quatre nombres premiers consécutifs (A133524)

 Et la santé !