2018+1 (Cette nouvelle année est-elle intéressante ? Episode 10)
Une nouvelle année qui commence, et toujours la même question. Que peut-on attendre de cette année qui pointe le bout de son nez ? Pour la dixième fois, nous allons nous tourner vers l'oracle ultime, celui qui est capable de prédire avec une précision inégalableréférence nécessaire l'intérêt d'une année donnée. Ce médium, c'est l'OEIS, l'encyclopédie en ligne des suites entières, qui regroupe toutes ls suites de nombres ayant des propriétés intéressantes. Plus un nombre est intéressant, plus on la retrouvera dans les suites de l'OEIS. Pour mesurer l'intérêt d'une année, il est donc nécessaire et suffisantréférence plus que nécessaire de compter le nombre d'occurences de ce nombre au sein de l'OEIS.
Les nombres 2016, 2017 et 2018 possèdent respectivement 946, 490 et 128 propriétés intéressantes au moment où j'écris ces lignes. Les années 2016, 2017 et 2018, vous l'avez sans doute remarqué, étaient respectivement incroyablement intéressantes, plutôt intéressante, et plutôt banale. Que peut-on annoncer pour 2019 ?... Eh bien, cette année sera
Assez quelconque !
Désolé de vous l'annoncer comme ça...
Nombre de propriétés de chaque années répertoriées dans l'OEIS
L'OEIS permet de déterminer l'intérêt d'une année. Cette outil ne possède aucune faille méthodologique.
Selon l'encyclopédie, le nombre 2019 possède donc 121 propriétés, soit à peu près autant que l'année dernière. Encore, donc, un nombre qui n'a pas beaucoup d'intérêt. Il ne s'agit pas d'un nombre figuré (ni triangulaire, ni carré, ni hexagonal, ni rien du tout) et il n'est même pas premier (puisque 2+0+1+9 est divisible par 3, c'est que 2019 est divisible par 3). La décomposition de 2019 en produit de facteurs premiers est 2019=3×673, et c'est l'un des trucs les plus intéressants que l'on peu raconter sur 2019.
Cherchons tout de même davantage, et explorer l'OEIS en quête de propriétés vraiment intéressantes.
Côté d'un nombre triangulaire qui est la somme de deux nombres triangulaires dont la différence est aussi un nombre triangulaire [A185257]
Un nombre triangulaire, c'est un nombre que l'on peut figurer sous la forme d'un triangle équilatéral :
Les premiers nombres triangulaires sont 1, 3, 6, 10 et 15
Mais bon, 2019 n'est pas du tout un nombre triangulaire. La dernière année triangulaire, c'était 2016, qui est le 64e nombre triangulaire, et je vous invite à relire l'article que j'ai écrit à l'époque pour davantage de détails.
En tout cas, ce que l'on peut dire d'un nombre triangulaire, c'est que le N-ième nombre triangulaire, noté ΔN, c'est le nombre ΔN=1+2+3+4+...+N, ce qui est égal à ΔNN(N+1)/2. Réciproquement, si un nombre peut s'écrire sous la forme N(N+1)/2, c'est que c'est ΔN, le N-ième nombre triangulaire.
Prenons Δ8, le 8-ème nombre triangulaire. Il s'agit de Δ8 = 8×9/2 = 36. Sauf que 36=21+15, or, 21 et 15 sont tous les deux des nombres triangulaires (21=Δ6 et 15=Δ5). Mais cette décomposition est encore plus intéressante : non seulement 21+15 est un nombre triangulaire, mais c'est aussi le cas de 21-15=6, qui est le troisième nombre triangulaire. On a donc les deux égalités :
Δ6 + Δ5 = Δ8
Δ6 - Δ5 = Δ3
Ou, sous forme plus imagée :
Des nombres triangulaires décomposables en somme de deux nombres triangulaires, il y en a beaucoup, mais que la différence soit aussi triangulaire, c'est plus rare. Le nombre Δ8 = 36 est le plus petit exemple, mais il y a aussi Δ23 = 276, puisque Δ18 + Δ14 = Δ23 et Δ18 - Δ14 = Δ11 :
Là où ces nombres nous intéressent, c'est que c'est aussi le cas de Δ2019 = 2019 × 2020/2 = 2 039 190, puisque 2 039 190 = 1023165 + 1016025 et 1023165 - 1016025 = 7140. Dit autrement :
Δ1430 + Δ1425 = Δ2019
Δ1430 - Δ1425 = Δ119
Evidemment, je n'en ferai pas de représentation graphique...
Premier nombre à 4 chiffres qui apparait 6 fois dans les décimales de π [A276686]
Voici les 5648 premières décimales de π (en base 10) :
π =
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328
2306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648
2337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917
1536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237
9962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293
1767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922
7968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502
4459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468
7311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533
8182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509
8381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774
7268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732
6391419927260426992279678235478163600934172164121992458631503028618297455570674983850549458858692699569092721079750
9302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060
0161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694
8556209921922218427255025425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006
4225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467
7646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014
7699090264013639443745530506820349625245174939965143142980919065925093722169646151570985838741059788595977297549893
0161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243
8843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285060168427394522
6746767889525213852254995466672782398645659611635488623057745649803559363456817432411251507606947945109659609402522
8879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682
9989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695
3623144295248493718711014576540359027993440374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319
1048481005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907
1864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030
6803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856100550810665879699
8163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532
9281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353
9657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851714376576183515565088490
9989859982387345528331635507647918535893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309
9244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029
1327656180937734440307074692112019130203303801976211011004492932151608424448596376698389522868478312355265821314495
7685726243344189303968642624341077322697802807318915441101044682325271620105265227211166039666557309254711055785376
3466820653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265
7978771855608455296541266540853061434443185867697514566140680070023787765913440171274947042056223053899456131407112
7000407854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235808933065757406795457163775254202114955761581400
2501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437
5189573596145890193897131117904297828564750320319869151402870808599048010941214722131794764777262241425485454033215
7185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114654062843366393790039769265672146
3853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114959501
5660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435136222247715891504953098444893330963408780769
3259939780541934144737744184263129860809988868741326047215695162396586457302163159819319516735381297416772947867242
2924654366800980676928238280689964004824354037014163149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593
7764716512289357860158816175578297352334460428151262720373431465319777741603199066554187639792933441952154134189948
5444734567383162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332316
6636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702790814356240145171806246436267945612753181340783
3033625423278394497538243720583531147711992606381334677687969597030983391307710987040859133746414428227726346594704
745878477872019
Intéressant : le nombre 2019 y apparait 6 fois. C'est en fait le premier nombre à 4 chiffres qui apparait 6 fois dans les décimales de π. À titre de comparaison, les seules autres années de la décennie qui apparaissent dans ces décimales sont 2010 (deux occurences), 2014 (une occurence) et 2018 (une occurence).
A noter également que la première occurence de 2019 apparait en position 244 dans les décimales de π, ce qui est particulièrement tôt. Comme le remarque Mickael Launay, c'est la première fois que l'on peut écrire les décimales de π dans un tweet jusqu'à faire apparaitre le numéro de l'année. la prochaine fois, ça sera en 2089.
Nombre heureux d'être chanceux [A091431]
Le nombre 2019 est à la fois heureux et chanceux.
Un nombre est heureux si, quand on répète le calcul de la somme du carré de ses chiffres (en base 10), on tombe sur 1. Le nombre 2019 est heureux, a preuve :
2²+0²+1²+9² = 4+0+1+81 = 86
→ 8²+6² = 64 + 36 = 100
→ 1²+0²+0² = 1+0+0 = 1
Le nombre 4, lui est malheureux, puisque l'itération de ces opérations boucle : 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...
En fait, si un entier n'est pas heureux, sa suite finira toujours pas tomber dans la boucle du nombre 4.
Un nombre est chanceux lorsqu'il n'est pas éliminé dans le crible suivant, qui peut rappeler le crible d'Erathostène :
→ on part de la liste des entiers naturels strictement positif :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45...
→ on retire un nombre sur 2 :
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45...
→ Le 1 est à présent sauvé. le premier qui reste est 3, retirons-donc un nombre sur 3 :
1 3 7 9 13 15 19 21 25 27 31 33 37 39 43 45...
→ Le 3 est à présent sauvé. le premier qui reste est 7, retirons-donc un nombre sur 7 :
1 3 7 9 13 15 21 25 27 31 33 37 43 45 ...
→ Le 7 est à présent sauvé. le premier qui reste est 9, retirons-donc un nombre sur 9 :
1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 45 ...
→ etc.
En poursuivant le processus d'élimination, on pourra s'apercevoir que le 273e nombre sauvé sera 2019, ce qui fait de lui un nombre chanceux (qui sont quand même particulièrement nombreux, à vrai dire)
Être à la fois heureux et chanceux, ce n'est pas vraiment une propriété rare (c'était par exemple le cas pour 1995, mais cela ne se reproduira pas avant 2115), le nombre 2019 est en fait le 46e à vérifier les deux propriétés.
Mais aussi...
- 2019 est la somme des 22 premières puissances parfaites : 2019 = 1+4+ 8+ 9+ 16+ 25+ 27+ 32+ 36+ 49+ 64+ 81+ 100+ 121+ 125+ 128+ 144+ 169+ 196+ 216+ 225+ 243 [A076408]
- Le plus grand nombre premier connu de la forme 17n-16 est 172019-16 [A034922]
Bref, à défaut d'être une année intéressante, l'année 2019 sera heureuse et chanceuse, et peu d'années peuvent en dire autant. C'est déjà pas mal.
Et la santé !
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