Infini

Un très gros morceau cette fois-ci, le théorème de Banach-Tarski. Le sujet étant particulièrement dense, je vous propose une version longue et un résumé ! Deux (deux ?) minutes pour le théorème de Banach-Tarski Deux (deux !) minutes pour le théorème de Banach-Tarski     Transcription augmentée En 1924, Stefan Banach et Alfred Tarski publient “sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes”, un article où les deux mathématiciens démontrent que l’on peut découper une boule en... [Lire la suite]

Hey ! Et pourquoi pas une nouvelle vidéo ? On y parlerai des nombres ordinaux et du jeu de l'hydre. Ca serait une bonne occasion de parler d'énoncés indécidables !   Transcriptions + commentaires En 1982, Laurie Kirby et Jeff Paris réinventent dans leur article “Résultats d’indépendances accessibles pour l’arithmétique de Peano” le mythe de Hercule contre l’hydre de Lerne. Un problème qui fournit pour la première fois un exemple plutôt concret de ce que peut être un problème indécidable. Ça tombe bien, j’ai deux minutes... [Lire la suite]

J'en avais déjà parlé sûr ce blog il y a bien longtemps, mais cette histoire d'hôtel possédant une infinité de chambre est vraiment parfaite pour aborder la notion d'infini (et s'il le faut, j'en ferai un nouvel article dans 7 ans...) Transcription :En 1891, Georg Cantor défraye la chronique en annonçant au monde entier que tous les infinis ne se valent pas : certains infinis seraient plus grands que d'autres.Trente ans plus tard, David Hilbert propose lors d'une conférence sa métaphore de l’hôtel, qui permet de comprendre... [Lire la suite]

[6ACV10 - Le Prisonnier de Benda] La saison 7 de Futurama, petite sœur des Simpsons créée par Matt Groening et développée par David X. Cohen, vient de se terminer - pour la troisième fois. En nous laissant sur le mariage de Fry et Leela sur fond de voyage dans le temps, Futurama aura marqué les esprits -en tout cas, le mien. La science est un sujet très présent chez les Simpsons, mais c'est encore pire dans Futurama, où les clins d’œil à la physique, à l'informatique ou aux mathématiques sont légions, sans parler des références... [Lire la suite]

J'ouvre une nouvelle fois la rubrique "Question des lecteurs" pour répondre à un courrier électronique, qui m'a été envoyé par  Mr C. Le mail peut se résumer en "hey, et si tu faisais un article pour expliquer l'erreur du troll maths suivant !". Allons-y ! Une autre construction qui illustre le même paradoxe, et qui permettrait de démontrer que √2=2. A chaque étape, la longueur de la courbe noire ne change pas (elle reste de 2), et pourtant, elle converge vers la courbe rouge, de longueur √2. Oui, mais non ! On m'a appris... [Lire la suite]

Résumé des épisodes précédents :Moi je suis Dedekindien ! J'aime beaucoup l'idée d'avoir beaucoup de trous de ℚ !Pollux, 11 octobre 2009 à 18:25Et les infinis, c'est pas des nombres ? quentin, 13 décembre 2009 à 21:04 Toujours plus de nombres Aujourd'hui, place au dernier épisode de la saga des nombres : les nombres surréels ! Le grand débat... 1 :Preums !Posté par Steph, 20 décembre 2009 à 00:01 2:Un nombre, ça sert à compter ! Un, deux, trois, quatre... Ca, c'est des nombres ! Posté par Firmin, 20 décembre 2009 à 12:25 ... [Lire la suite]

Où en étions-nous, déjà ? J'ai parlé des entiers naturels, des relatifs, des rationnels... Ah oui : les réels... Tout le monde s'attend donc aujourd'hui à ce que je parle des complexes, et c'est pourquoi je ne le ferai pas... Aujourd'hui, place aux brenoms ! L'anneau des 10-adiquesJusqu'à maintenant, les nombres, dans leur grande majorité, possèdent une infinité de chiffres après la virgule. Et si on s'autorisait maintenant à mettre une infinité de chiffres avant la virgule ? Par exemple, ...172172172. N'y cherchons pas trop de sens,... [Lire la suite]

Previously, on Broccoflower, laughing cow and curve integral : "La droite réelle ne peut être pavée que par des segments semi-ouverts, mais ce n'est pas le cas pour le plan, où presque tous les types de segments peuvent le paver Pavage fin du plan par des segments fermés unitaires Le pavage fin par des cercles est impossible... Tout comme le pavage par tout ce qui possède des boucles, comme des ellipses, des R ou des Q !Peut-on paver le plan avec des Y ? Peut-on paver l'espace avec des sphères ? Avec des cercles ?... [Lire la suite]

Précédemment sur ce blog :    La suite de Goodstein (de graine 6), qui commence comme ça : 6, 29, 257, 3125, 46655, 98039, 187243, ... Mais comment est définie cette suite ?  On part d'un nombre [...] qui sera le premier terme de la suite. [...] On le décompose en base 2 itérée [...] On remplace ensuite tous les 2 par des 3. [...]On soustrait ensuite 1, et on obtient le deuxième terme de la suite. Pour obtenir le suivant, on décomposera ce nombre en base 3 itérée, et on remplacera les 3 par des 4, et ainsi de... [Lire la suite]

A quoi sert un nombre entier ? La bonne réponse (pour les besoins de mon article) est "à compter" ! Un, deux, trois, quatre, cinq, six... Si vous lisez ces lignes, c'est que vous avez normalement l'âge de savoir compter... Compter ! C'est quelque chose de beaucoup trop simple, il est temps de compliquer le concept !Prenons un exemple connu de tout étudiant de faculté : le tarot ! Dans le cas le plus simple, pour savoir qui remporte un pli, il suffit de voir quelle carte a la plus grande valeur ; la façon la plus simple... [Lire la suite]