A quoi sert un nombre entier ? La bonne réponse (pour les besoins de mon article) est "à compter" !
Un, deux, trois, quatre, cinq, six...
Si vous lisez ces lignes, c'est que vous avez normalement l'âge de savoir compter... Compter ! C'est quelque chose de beaucoup trop simple, il est temps de compliquer le concept !

Prenons un exemple connu de tout étudiant de faculté : le tarot ! Dans le cas le plus simple, pour savoir qui remporte un pli, il suffit de voir quelle carte a la plus grande valeur ; la façon la plus simple étant de dire que l'as est la plus basse des cartes (de valeur 1) jusqu'au roi (de valeur 14). Les nombres ici permettent simplement de comparer les cartes. À la fin de la partie, on compte les plis, et les nombres permettent alors de mesurer l'ampleur du désastre d'avoir prit sans bouts. Les nombres permettent alors de mesurer.

Dans le premier cas, les nombres permettent de donner la position dans une suite (l'as est le premier, le 2 la deuxième etc.), et dans le second cas, de décrire la taille d'un ensemble. En français, on distingue ainsi les adjectifs numéraux cardinaux (un, deux, trois...) des adjectifs numéraux ordinaux (premier deuxième, troisième...)

Les ordinaux
    Dans le cas des nombres finis, ça ne pose aucun problème de prendre l'un pour l'autre, mais dans le cas infini, c'est tout autre chose, qui a amené à différencier les nombres ordinaux des nombres cardinaux.
    Les nombres cardinaux peuvent être employés sur n'importe quel ensemble, et correspondent au nombre d'éléments de cet ensemble : s'il est fini, c'est un nombre entier, s'il est infini, il sera dénombrable comme, dans d'autre cas, il pourra avoir le cardinal de ℝ.
    Les nombres ordinaux sont reliés à la notion d'ordre, (et même de "bon ordre") ce qui permet de dire quel est le plus grand entre deux nombres. En général, pour comparer deux entiers, on appelle "plus petit" celui qui est le plus proche de 0, ce qui ne pose en fait aucun problème.
Mais tout joueur de tarot non borné d'esprit doit avoir quelques notions de belote, notamment de sa façon de classer les cartes non canonique (du genre 7<8<12<13<10<1<9<11). Il a d'autres façon de classer les entiers.

Par exemple, l'ordre de Sarkovskii (enfin, une variante plus simple) sur les entiers : on décompose d'abord notre nombre sous la forme 2n.p, avec p un entier impair ; pour comparer deux nombres, on compare la puissance de 2, et si elles sont égale, on compare la partie impaire.
Par exemple, on pourra écrire ici :15 <S 12, car 15=20.15 et 12=22.3, et 0 < 2.
Si on veut compter dans cet ordre, cela va donner quelque chose comme ça :

1 <S 3 <S 5 <S 7 <S 9 <S ... <S 2 <S 6 <S 10 <S 14 <S 18 <S ... <S 4 <S 12 <S 20 <S 28 etc.

On peut alors dire que 1 est le premier (position 0), 3 le deuxième (position 1), 5 le troisième (position 2)... Mais quelle est la position de 2, qui arrive après l'infinité des nombres impairs ?
Il faut donc inventer quelque chose de nouveau (et c'est Cantor qui s'en ait chargé), un ordinal infini : 2 est en position ω.
6 est alors en position
ω+1, 10 en position ω+2... Et 4 sera en position ω+ω, c'est à dire 2ω.
Tous les nombres ont bien une position : au nombre
2n.p correspond la position nω+p. Pour comparer deux nombres selon l'ordre de Sarkovskii, il suffit juste de comparer leur ordinal, en considérant que ω est un nombre plus grand que n'importe quel nombre entier fini.

Mais il y a moyen de faire plus compliqué !
Pour comparer deux nombres, on va d'abord les mettre sous la forme
3m.2n.p, avec p non divisible par 2 ou 3.
Si a=3m.2n.p et b=3m'.2n'.p', on écrit a <R b si (m<m') ou (m=m' et n<n') ou (m=m' et n=n' et p<p'). (Pour simplifier, on regarde d'abord la puissance de 2, en cas d'égalité la puissance de 2, et en dernier recours, le reste). Ca va nous donner :

ordin


Tant que les nombres ne sont pas divisibles par 3, on les positionne de la même façon que pour l'exemple précédent, mais quelle est la position de 3? Il arrive après tous les nombres à la position nω+p, il portera donc logiquement le n° ω×ω, c'est à dire ω². On continue ensuite de compter la même façon. Le nombre 3m.2n.p sera donc à la position ωm+nω+p.

On pourrait facilement imaginer d'autre exemple demandant l'utilisation de ωω !

Les bons ordres

Toutes ces façon de comparer deux nombres, les "ordres", sont des "bons ordres" (qui ne s'opposent pas aux "mauvais ordres" mais simplement aux "ordres qui ne sont pas des bons ordres").
On parle d'"ensemble ordonné" quand on définit un ordre sur notre ensemble. Par exemple, ℕ peut être muni de l'ordre classique, de l'un des exemple vu plus haut ou de n'importe quel ordre sorti de votre imagination.

On dit qu'un ensemble ordonné est "bien ordonné" (muni d'un "bon ordre") si toute partie de cet ensemble admet un plus petit élément.
Dans nos exemples précédents, tous les ordres étaient des bons ordre. Par exemple, si je prend l'ensemble des nombres commençant par D : {2, 10, 12, 17, 18, 19, 200, ...}, le plus petit nombre de l'ensemble selon l'ordre de Sarkovskii est 17. En fait, n'importe quel sous-ensemble de admet un plus petit nombre selon cet ordre.

Mais ce n'est pas toujours le cas. Prenons ℝ avec son ordre classique. On peut voir tout de suite que ℝ n'a pas de plus petit élément (pour n'importe quel nombre réel, on peut toujours en trouver un plus petit). On va alors se limiter à ℝ+, l'ensemble des réels positifs. ℝ+ a bien un plus petit élément, c'est 0.
Mais si je considère l'ensemble des nombres strictement supérieurs à 0. Quel est le plus petit réel dans cet ensemble ? 0.1 ? 0.01 ? 0.00000001 ?... Impossible de trouver un tel nombre, cet ensemble n'admet pas de plus petit élément ! L'ordre naturel de ℝ n'est pas un bon ordre !

Et arrive Zermelo !
Le théorème de Zermelo dit qu'on peut donner un bon ordre à n'importe quel ensemble. Il existe donc une façon de bien ordonner ℝ ! (Et de lui associer un ordinal)
Petit détail tout de même : ce théorème nécéssite l'axiome du choix, ce qui veut dire que le bon ordre obtenu sur ℝ ne va pas être "bien" défini !

Et à quoi sert tout ça ? Au moins à 3 choses :
- Démontrer le théorème de Goodstein (je me réserve la joie de le faire dans le prochain article)
- Ajouter une belle pierre dans l'ensemble des théories mathématiques
- Dire que le tarot, n'empêche, c'est bien plus simple que la belote !


Sources :
Un habile mélange de Wikipédia et de Pour la science (n°278 - décembre 2000)