Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes

Comment être sûr de gagner à l'EuroMillions ?

(la seule bonne réponse à la question posée dans le titre est "en ne jouant pas", mais pour donner un peu de fond à cet article, je développerai plutôt une autre réponse)

Un Français a moins de chances de gagner à l'Euro Millions qu'un Belge ou qu'un Portugais. En France, pour toucher le gros lot, il faut miser 2€ et trouver les 5 bons numéros parmi une liste de 50, ainsi que les 2 bonnes étoiles parmi 11 (1). La probabilité de gagner est donc de 1 sur 116 531 800. En Belgique, pour décrocher la cagnotte, il faut miser deux euros et trouver les cinq bons numéros parmi cinquante, et les deux bonnes étoiles parmi onze. La probabilité de gagner est alors de une sur cent-seize millions cinq-cent-trente-et-un mille huit-cents.

C'est à cause de cette terrible non-injustice que Laure Meilheureux, une mauvaise joueuse française, a décidé de porter plainte au début de la semaine contre la Française des Jeux.

Bon, la plainte de la Versaillaise ne porte pas exactement là-dessus. Son soucis, c'est que Français et Espagnols ne sont pas égaux face au nombre de cases qu'ils peuvent cocher. Plutôt que de cocher 5+2 numéros, on peut, par exemple, en cocher 6+2. La grille correspond alors à 6 combinaisons, et il faudra miser d'autant plus. Au maximum, un Français peut cocher 9+3 numéros (2) (ce qui correspond à 378 combinaisons en une seule grille (3)), alors qu'un Espagnol peut en cocher 10+5 (soit 2520 grilles en une seule).

Là, il y a une injustice terrible. D'ailleurs, elle le dit :

«C’est mathématique : plus on joue de combinaisons, plus on a de chances de gagner»

Heein ?! Avec une grille pleinement remplie, les probabilités de remporter le gros lot (plusieurs dizaines de millions d'euros) sont les suivantes :

Écosse (5+2 - 2 €) : 1 chance sur 116 531 800
France (9+3 - 756 €) : 1 chance sur 308 285
Portugal (9+4 ou 10+3 - 1 512 €) : 1 chance sur  154 143
Belgique (9+5 - 2 520 €) : 1 chance sur  92 486
Espagne (10+5 - 5 040 €) : 1 chance sur 46 242
Utopia (50+11 - 233 063 600 €) : 1 chance sur 1

Madame la plaignante a peut-être raison : plus ou joue de combinaisons, plus on a des chances de gagner... Merci Captain Obvious. Mais le rapport mise/probabilité de gain reste toujours le même, et c'est plutôt sur ce point là que se mesure l'équité entre les pays...

Et surtout... Y'a vraiment des gens qui veulent dépenser 5000 € dans un truc qui a moins de chances de gagner qu'une partie 15 fois répétée de pile ou face ?

Arrêtons plutôt cette histoire de procès perdu d'avance, et venons-en à la partie où je réponds à la question que tout le monde se pose :

Comment être sûr de gagner à l'Euro Millions ?
Un petit détail : on a plus de chance de gagner à l'Euro Millions en jouant une fois 378 combinaisons différentes qu'en jouant 378 fois une seule combinaison. Dans le premier cas, on gagne le gros lot avec 1 chance sur 308 285 ; dans l'autre cas, on gagne (au moins une fois) le gros lot avec 1 chance sur 308 286. Oui, la différence est ridicule, mais elle existe : à un nombre de combinaisons jouées égal, il est toujours plus intéressant de les jouer groupées (pas forcément pour des raisons mathématiques, mais à cause de l'inégalité des gros lots mis en jeu - cf le commentaire de Ethaniael)

C'est à partir de ce constat que l'on peut construire des moyens pour gagner à chaque fois ! Je ne vous promets par de miracle, juste une méthode pour gagner quelque chose à tous les coups (et très surement moins que vous aurez misé).

Plutôt que l'Euro Millions, regardons le loto classique : 6 numéros à choisir parmi 49, et une étoile parmi 10. Bien qu'il soit plus intéressant de retrouver la combinaison complète, on gagne quand même quelque chose en se contentant de trouver juste une étoile.

A partir de cette constatation et d'un peu d'optimisation combinatoire, on peut être sûr à 100% de gagner quelque chose en jouant 10 grilles à la fois. Il suffit pour cela de cocher sur chacune des dix grilles une étoile différente (pour ce qui est des numéros, on peut jouer n'importe quoi). En misant donc 20€, on peut être sûr et certain de remporter (au moins) 2€ ! Je n'ai jamais dit que le système était rentable...

Avec des raisonnements du même genre en version plus poussés et de bons algorithmes, on peut connaître le nombre de grilles minimal à remplir pour garantir un nombre de numéros donnés. Ces résultats, obtenus par Christian Féron, sont les suivants :

Nouveau Euro Millions (5/50+2/11) - 2+0 numéros garantis : 36 grilles (Mise : 72 € - Garantie : 4 €)
Nouveau Euro Millions - 2+1 numéros garantis : 180 grilles (Mise : 360 € - Garantie : 8 €)
Nouveau Euro Millions - 3+0 numéros garantis : 491 grilles
Loto (6/49+1/10) - 3+0 numéros garantis : 174 grilles
Ancien Euro Millions (5/50+2/9) - 2+1 numéros garantis : 144 grilles

Imaginons que l'on mise 72 € et que l'on joue les 36 grilles de Féron (celle-ci, avec n'importe quels numéros étoiles. Par exemple, le 3 et le 4 à chaque fois). Elle garantit au moins 4€ de gains. Par exemple, supposons que les numéros gagnant sont les suivants :

8 - 15 - 16 - 23 - 42 , étoiles : 4 et 8

Yeah ! J'ai trouvé une étoile ! Voyons ce que j'ai gagné avec mes 36 grilles :

Grille 4 : 42
Grille 6 : 8
Grille 10 : 15 - 23 (8€)
Grille 11 : 15
Grille 12 : 15 - 16 (8€)
Grille 13 : 8
Grille 14 : 8
Grille 15 : 16 - 23 (8€)
Grille 16 : 23
Grille 19 : 42
Grille 28 : 42
Grille 31 : 42
Grille 35 : 42
Grille 36 : 16 - 42 (8€)

Finalement, j'ai gagné pas mal : si je calcule bien, j'ai gagné dans cette histoire... -40€ ! Je suis pas mécontent d'être allergique aux jeux d'argent, moi !

J'ai déjà dit que ce système n'était pas rentable ?

Résumons donc tout ça :
* pour être sûr de gagner à l'Euro Millions : ne pas jouer
* pour être sûr de gagner quelque chose (et de perdre plus que l'on gagne) : jouer groupé
* pour être sûr de perdre : porter plainte contre la FDJ


Sources :
- L'affaire La Française Meilheureux vs La Française Des Jeux a beaucoup été relayée par la presse. Par exemple, ici, ou .
- Le règlement de l'Euro Millions est fort en renseignements : .
- La page de Christian Féron sur le Record Euro Millions : ici.


Notes de bas de page :
(1) Ça alors, le règlement a changé depuis la dernière fois ! Avant le 10 mai 2011, il fallait, pour gagner, retrouver 5 numéros parmi 49 et 1 étoile parmi 10. Ce qui diminue relativement la probabilité de gagner... (Le gros lot passe de 1/76 275 360 à 1/116 531 800)
(2) En fait, un français peut cocher 10+2, 9+3, 8+4, 7+6 ou 6+11 numéros+étoiles : le règlement est limité à 400 combinaisons par grilles. Le jeu multiple 9+3 est celui qui donne le plus de combinaisons, avec 378. Par contre, sur un bulletin de jeu, on peut remplir 5 grilles, si bien que l'on peut parier jusqu'à 4000 euros par grille (ce qui n'est pas le cas au Portugal, par exemple, où on ne peut pas miser plus de 1512€)...
(3) 378 = binomial(9,5) × binomial(3,2)

Posté par El Jj à 10:00 - Commentaires [21] - Permalien [#]
Tags : ,

Commentaires sur Comment être sûr de gagner à l'EuroMillions ?

    #27 : Réponse pécuniaire

    "À gagner de l'argent ! Ou du moins, à ne pas en perdre en jouant à des jeux d'argent comme le loto où tu serais tenté d'appliquer la loi des grands nombres à des petits nombres (et, du coup, ça marche pas)."

    Merci de l'explication !

    Posté par RuBisCO, 24 juillet 2011 à 19:06 | | Répondre
  • Grands nombres

    Merci bien pour cet article.
    Une petite question tout de même, certes la probabilité de gagner se calcule facilement.
    Mais cela ne nous donne que la fréquence de gain pour un nombre d'essais assez grand (tendant vers l'infini, loi des grands nombres...).
    Que dire pour un essai unique? Dire qu'un joueur ne jouant qu'une seule fois a une chance sur 116 531 800 a-t-il un sens?
    Je ne cherche bien sur aucunement à défendre les joueurs, il va sans dire...

    Posté par mr_schmit, 24 juillet 2011 à 22:54 | | Répondre
  • #27 : Réponse pécuniaire (bis)

    "À gagner de l'argent ! Ou du moins, à ne pas en perdre en jouant à des jeux d'argent comme le loto où tu serais tenté d'appliquer la loi des grands nombres à des petits nombres (et, du coup, ça marche pas)."

    Comme l'a fait remarquer ElJJ, on est tenté d'utiliser la loi des grands nombres, mais sur des petits nombres, ça marche pas car pas applicable !

    Posté par RuBisCO, 24 juillet 2011 à 23:12 | | Répondre
  • Pinaillages mathématiques ;)

    Certes, il vaut mieux jouer N combinaisons différentes sur un seul tirage (jeu groupé) que une seule combinaison sur N tirages (jeu réparti) — pas forcément la même combinaison à chaque fois, ça ne change rien.
    Ainsi, aux dés, si on joue les N=6 combinaisons différentes sur un seul tirage, on est certain à 100% de gagner (comme la grille d’Utopia), alors que si on joue une seule combinaison sur N=6 tirage, on peut ne pas gagner du tout selon une probabilité de (5/6)^6 (6 fois de suite la probabilité perdante à 5/6), donc on gagne au moins une fois avec une probabilité de 1-(5/6)^6≈66.51%.
    Je souhaiterais cependant mettre en avant deux points :

    1/ Je n’arrive pas à retrouver la probabilité de « 1 chance sur 309 252 » en jouant une seule combinaison pendant 378 tirages.
    En effet, on a bien une probabilité 378/116531800≈1/308285.185 (valeur arrondie à 308285 dans l’article) de gagner en jouant 378 combinaisons en un seul tirage (jeu groupé), mais en jouant une seule combinaison pendant 378 tirages (jeu réparti), la probabilité de gagner au moins une fois passe à 1-(116531799/116531800)^378≈1/308285.679 (à arrondir à 308286 ?) et non 1/309252 : la probabilité baisse légèrement, comme avec les dés, mais de 1.6 millionième seulement.

    2/ En jeu groupé, la probabilité de ne rien gagner est en effet 1.6 millionième plus faible que de ne rien gagner en jeu réparti, mais en contrepartie, on ne gagne au maximum qu’une seule fois le gros lot (puisqu’il n’y a qu’un tirage), alors qu’en jeu réparti, on peut gagner jusqu’à 378 gros lots ! (avec des probabilités absolument ridicules, certes, mais mathématiquement non nulles.)
    En jeu réparti, en comptant les probabilités de gagner 0 gros lot, 1 gros lot, 2 gros lots, …, 378 gros lots et en faisant la somme pondérée, on retrouve *très exactement* une espérance d’1 gros lot gagné : en supposant que la valeur des gros lots est identique pour chaque tirage, on gagne donc en moyenne exactement la même chose en jeu groupé et en jeu réparti, la différence ne portant pas sur la moyenne du nombre de gros lots gagnés mais sur l’écart type, plus grand en jeu réparti qu’en jeu groupé (ainsi, dans le cas N=6 des dés en introduction, l’écart type est de 0 en jeu groupé (gain certain) et de 0.913 en jeu réparti).
    Par contre, vu que la valeur des gros lots varie d’un tirage à l’autre, mieux vaut jouer sur les tirages avec gros lots historiques que sur ceux avec gros lot « normal », donc au final, il vaut mieux jouer groupé sur un seul tirage ayant un gros lot comme on n’en a pas vu depuis X années plutôt que jouer réparti sur 378 tirages dont la plupart auront des gros lots « normaux » (ce qui baisse la valeur du gros lot moyen), mais c’est *uniquement* cette disparité sur la valeur des gros lots qui justifie de jouer groupé plutôt que réparti, et non la différence de probabilité de ne rien gagner, laquelle est très exactement compensée par la probabilité de gagner plusieurs fois en jeu réparti.

    Posté par Ethaniel, 25 juillet 2011 à 12:02 | | Répondre
  • Un ouvrier qui prendrait, à la fin de chaque semaine, un billet de loterie, ne serait-il pas un professionnel ?

    Nullement; car sa position vis-à-vis du hasard est exactement opposée à celle du joueur de roulette ou de baccara qui pratique ce qu'on appelle « la matérielle ». Pour ce joueur professionnel, il s'agit, au moyen d'une martingale appropriée, de réaliser quotidienement un gain modéré; on y arrive assez aisément, mais en risquant une très grosse perte qui finit fatalement par survenir; la position de ce joueur est analogue à celle d'un spéculateur qui céderait habituellement pour cent francs le droit au gros lot d'un billet de loterie qu'il ne posséderait pas et qui se trouverait obligé à verser une somme énorme si ce billet gagnait le gros lot; il gagne presque sûrement cent francs par jour, mais risque de perdre plusieurs millions d'un seul coup. Il cherche à remplacer le travail par le jeu et ne peut d'ailleurs y réussir que d'une manière précaire. Au contraire, le client habituel de la loterie ne risque qu'une somme modique, épargnée grâce à son travail et qu'il aurait consacrée à des dépenses superflues ou essayé de capitaliser. Il préfère acheter les fumées de l'illusion et de l'espoir plutôt que les fumées du tabac ou de l'alcool; il préfère risquer de perdre son épargne chaque semaine plutôt que de risquer de la voir disparaître, au bout de quelques années dans des placements aventureux; il a tout de même une petite chance de réussir à gagner un gros lot; c'est un sage.

    Posté par H, 25 juillet 2011 à 13:45 | | Répondre
  • mr_schmit > RuBisCo a bien répondu à la question ! Cela dit, dire qu'un joueur ne jouant qu'une seule fois a une chance sur 116 531 800 a bien un sens : par pour le joueur, mais pour la FDJ qui définit la valeur des gros lots (et pour qui la loi des grands nombre va s'appliquer).

    Ethaniel > C'est de toutes façon toujours la même chose avec les probas : ce qui est gagné d'un côté est perdu de l'autre. Par rapport aux points soulevés :
    1 - J'ai fait les calculs vite fait, je ne suis pas du tout étonné de voir que j'ai fait une erreur comme ça.
    2 - Ah ah ! Je savais bien que je ne devais pas mettre de côté le fait qu'on ne puisse gagner qu'une seule fois le gros lot. J'ai modifié pour article pour rendre compte de ce que tu as dit.

    Cela dit, je voulais simplement écrire cet article pour dire qu'il existe un moyen pour gagner à tout les coups (gagner dans le sens "ne pas perdre l'intégralité de sa mise).

    Posté par El Jj, 25 juillet 2011 à 18:12 | | Répondre
  • meilleures stratégies

    Bonjour et bravo pour cet article.
    J'aurais aimé que tu abordes également la notion de stratégie de jeu : certains jouent les numéros qui tombent plus souvent, d'autres ceux qui tombent moins souvent ; à moins de supposer que les boules ne sont pas exactement équiprobables (ce qui est sans doute vrai, mais j'imagine négligeable), il n'y a pas - je pense - de raison de penser ainsi. Il faut également tenir compte dans le jeu des autres joueurs : si d'autres joueurs choisissent la même combinaison gagnante, il faudra partager ! Si on connaît les combinaisons ou numéros les plus joués, il peut être pertinent de jouer d'autres numéros...
    Enfin je ne sais pas s'il y a une erreur ou si la réponse est dans la note (1), mais tu donne exactement les mêmes chiffres pour les joueurs français et belges.
    FX

    Posté par FX, 28 juillet 2011 à 22:10 | | Répondre
  • Hasard et chaos

    Comme on l'a déjà dit, c'est une erreur de notre esprit de pauvre humain de croire que le hasard doit être régulier ! Le fait que vous n'ayez jamais fait une combinaison gagnante n'influence pas sur le fait de gagner sur la suivante, ni d’ailleurs sur le fait de perdre !.
    Pour allez dans le sens de Fx quand même, aucune situation n'est vraiment aléatoire, le seul vrai hasard, c'est au niveau des atomes et de l'intrication de la physique quantique par exemple. Mais étant donné la diversité des facteurs et des variables, c'est un système chaotique qu'on observe, donc pas beaucoup d'espoir d'arriver à prédire la combinaison gagnante. Sur les jeux de casinos, c'est autre chose : c'est nettement plus aisé de voir des failles (voir le magasin Tangente n°141 de ce mois-ci par exemple).

    Posté par RuBisCO, 29 juillet 2011 à 01:10 | | Répondre
  • Choisir ces numéros

    FX,
    en effet choisir les numéros les moins retenus par les joueurs est une bonne technique. Ils ont autant de chance de sortir que les autres, mais lorsqu'ils apparaissent à un tirage, il y a moins de gagnants, donc les gains sont plus importants !

    Quels sont les numéros ou combinaisons les moins joués ? La Française des Jeux détient cette information, mais la garde bien sûr strictement confidentielle.

    Alors un système participatif existe : http://www.onewinner.me (en béta privée pour l'instant : demandez un accès). Les joueurs "déclarent" leurs grilles afin de vérifier si quelqu'un les ont déjà jouées, et le système apprend petit à petit les combinaisons les moins jouées.
    C'est une technique de crowdsourcing où la communauté se réunit pour découvrir les numéros statistiquement plus ou moins joués ! C'est à dire ceux qui rapportent le plus !

    Posté par OneWinner.Me, 30 juillet 2011 à 18:12 | | Répondre
  • Et après, tout le monde prend les numéros les moins joués, qui deviennent par conséquent les plus joués .

    Posté par RuBisCO, 30 juillet 2011 à 18:28 | | Répondre
  • ... et les plus joués deviennent... les moins joués !
    A chaque tirage il y aura toujours des numéros moins joués. On observe d'ailleurs qu'ils changent de tirage en tirage.
    Par exemple si le numéro 20 n'est pas sorti depuis 5 mois, beaucoup de gens vont le choisir (très joué). Car ils pensent (à tord) qu'il a plus de chances de sortir). Et après la semaine où il apparaît au tirage, il est ensuite moins retenu ...

    Posté par OneWinner.Me, 30 juillet 2011 à 18:37 | | Répondre
  • C'est presque mieux de jouer au jeux à gratter : la probabilité de gains est au minimum une chance sur 6 (ça varie selon les jeux). Mais on gagne moins (et j'ai pas compté l'argent qu'on dépense).

    Il y a quelque chose que j'aime bien sur ces jeux : le code du "nul si découvert" : c'est généré par un algorithme que donne des nombres pseudo-aléatoire : ils donnent les informations par exemple sur les gains mais ils sont camouflés pour pas remarquer le truc.
    Si on en a suffisamment, on pourrait théoriquement trouver l'algorithme et déduire les numéros gagnants. Reste plus qu'à trouver où est le ticket gagnant .

    Posté par RuBisCO, 30 juillet 2011 à 19:18 | | Répondre
  • pub Française des jeux

    "100 pour 100 des gagnants on tenté leur chance", c'est un des slogans de la française des jeux pour nous expliquer que, finalement, les statistiques ne sont pas si défavorables aux joueurs.

    Pour ce qui est du "gros lot", qui fait rêver bien des gens (dont moi, je l'avoue), un seul slogan:

    "L'euro million, vous avez autant de chance de le gagner en y jouant qu'en y jouant pas"

    ça tombe bien, c'est l'hiver et j'avais envie de rester au chaud chez moi.

    Posté par lecteur, 31 décembre 2011 à 17:29 | | Répondre
  • Qu'est-ce qu'ils nous cachent ?

    J'aimerais bien savoir ce que font les organisateurs de l'Euromillions chaque mardi et vendredi entre 19h et l'heure du tirage ? Je soupçonne qu'ils profite de ce laps de temps pour contrôler toutes les combinaisons jouées afin de choisir la combinaison gagnante, évidemment en nous faisant croire que le tirage se fait sans tricherie. Vrai ou faux ? Curieux

    Posté par Curieux, 13 juin 2012 à 16:36 | | Répondre
  • jouer toutes les combinaisons

    Je pense que le seul moyen de gagner a l'euromillions est de jouer toutes les combinaisons, évidemment seul c'est quasi impossible , mais a plusieurs c'est faisable, notamment avec le site http://www.pozup.com qui permet de jouer des combinaisons uniques.

    Posté par karma74, 24 juillet 2012 à 11:32 | | Répondre
  • ya tricherie

    prenons le cas du vieux loto 6- 49
    la chance de rapporter le gros lot est de
    1/ 13983816
    or, il arrive que 30000000 de billets soient vendus sans qu il n y ait de gagnant!!!!
    ceci veut dire que l ordinateur donne la même grille a plusieurs joueurs
    ou alors que l ordinateur selectionne une grille gagnante parmi celles qui n ont pas été jouée.
    tricherie oint finnal

    Posté par kado, 19 septembre 2012 à 19:40 | | Répondre
  • hazard

    jamais discuter comment jouer comment gagner parceque y'a deux choses
    1- le hasard ca veut dire tu dira je joue sans réfléchir au résultats au la méthode
    2- soit être mathematicien et jouer tout les probabilité et tu verras par la suite que
    a- tu va dépenser beaucoup plus que tu vas gagner
    b- tu aurra pas le temps de faire toute les combinaison pour le prochain tirage
    c- tu feras des fautes pendant le cochage sauf si tu travail avec un million de gens chac'un ses milles de papiers a cocher
    d- tu as tout les papiers bien cochés pour passer un papier il te faut 30 alors il te faut un mois.
    ALORS C'EST DE LA CHANCE ET C'EST TOUT ET COMME ETANT UN MAROCAIN MUSILMAN JE DIS SILE DIEU VEUT VOILA ET MERCI BCP;
    votre ami Fouad du maroc taharonine@hotmail.fr

    Posté par fouad, 12 février 2013 à 23:36 | | Répondre
  • la chance doit venir un jour ou l,autre

    mon horoscope dit vous pourriez toucher une somme inattendue !

    Posté par bon, 22 mars 2013 à 22:30 | | Répondre
  • Mathématiques

    Bonjour,
    Les adeptes de la théorie du complot devraient découvrir quelques principes de probabilité afin de mieux juger les situations (on est après tout sur un site de vulgarisation mathématique) :
    - les probabilités vont souvent à l'encontre de l'intuition : par exemple, si on réunit 30 personnes tirées au sort, il y a plus de chance qu'au moins 2 aient la même date anniversaire que le contraire. Il est normal que de temps en temps, il n'y ait pas de gagnant, même s'il y a 10 fois plus de joueurs que de combinaisons.
    De ce fait, les coïncidences sont très fréquentes dans les suites de tirage.
    - comme écrit plus haut, le passé ne préjuge pas de l'avenir dans les tirages : si vous avez une pièce parfaitement équilibrée et que vous avez déjà tirés 5 "face" de suite, vous aurez 1 chance sur 2 d'avoir "face" au 6ème tirage.
    Ce que je trouve intéressant, est le gain qu'il y a connaître ses adversaires (les autres joueurs).
    Cordialement,
    FX

    Posté par FX, 23 mars 2013 à 09:55 | | Répondre
  • Le hasard n a pas de mémoire !

    Posté par Crips974, 07 juin 2013 à 19:57 | | Répondre
  • le hasard est curieux on le provoque ou parfois c lui qui ns provoque auquel de nombreuses questions sans réponse envahissent ma tete différence la chance et le hasard et dans tout cela Dieu,?

    Posté par Robby8, 20 septembre 2013 à 23:48 | | Répondre
Nouveau commentaire
Licence Creative Commons
Ce(tte) œuvre est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 3.0 France.