Deligne de vie

Le mois dernier, l'Académie norvégienne des sciences et des lettres a remis son traditionnel prix Abel (le prix Nobel des maths) au mathématicien belge Pierre Deligne. L'algébriste n'en est pas à son coup d'essai, puisqu'il avait déjà reçu la médaille Fields (le prix Nobel des maths) en 1978, le prix Crafoord (le prix Nobel des maths) en 1988 ou le prix Wolf (pas le prix Nobel des maths) en 2008. Ce nouveau prix récompense l'ensemble de ses travaux en géométrie algébrique (en particulier, la démonstration de la conjecture de Weil), ainsi que ses retombées dans la théorie des nombres, dans la théorie des représentations et tout le toutim.

Non seulement, ce type est génial, mais en plus, il est vicompte  vicomte !

En 1949, le mathématicien français André Weil formule, en s'inspirant de l'hypothèse de Riemann, plusieurs questions (assez pointues) de géométrie algébrique (domaine des mathématiques qui, à l'origine, s'intéresse aux objets géométriques par le prisme de leurs équations) : les quatre conjectures de Weil. Il se dit qu'il serait pas mal d'utiliser, pour aborder ces problèmes, des outils topologiques  : la cohomologie. Des cohomologies, il en existe pléthore, mais celle réclamée par Weil fait partie de celles qui n'existe pas encore... Dans les années 1960, le français Alexander Grothendieck invente la cohomologie "étale", qui a l'air parfaite pour résoudre les conjectures de Weil. C'est effectivement le cas, puisqu'elle ont permis d'en faire tomber trois sur quatre. Pour la dernière partie, la plus difficile des quatre, ce n'est pas Grothendiek qui s'en chargera mais son étudiant, Pierre Deligne (1974), à partir des travaux de son superviseur.

Et concrètement, de quoi parle ces fameuses conjectures, dont la dernière a valu à Pierre Deligne toutes ces distinctions ? La chose la plus précise que je peux dire sur ce blog, c'est qu'elles s'intéressent au comportement de Ζ, une fonction définie à l'aide de considérations géométrico-algébriques sur les corps finis. Heureusement, Deligne a aussi résolu des problèmes un peu plus explicables, comme la conjecture de Ramanujan(-Peterson), qui peut donner une idée 

La conjecture de Ramanujan
Pour comprendre cette conjecture (qui sera résolue par Deligne en 1968), on a besoin de la fonction Δ(q) suivante :

S'intéresser à cette fonction peut paraître totalement arbitraire, mais ne l'est pas tant que ça. Il se trouve que cette fonction, lorsque son paramètre est un nombre complexe q(z)=e^2iπz, possède de nombreuses propriétés intéressantes que l'on rencontre rarement ensemble. C'est un exemple de forme modulaire, des fonctions qui n'ont plus à prouver leur utilité puisqu'elles sont centrales dans la démonstration par Wiles du dernier théorème de Fermat. Le nombre 24 n'est pas arbitraire non plus, il se trouve que les espaces de dimension 24 possèdent des structures particulièrement intéressantes (les réseaux de Leech).

Δ(q), donc, c'est un produit infini. On peut l'écrire :

Δ(q) = q.(1-q)²⁴.(1-q²)²⁴.(1-q³)²⁴.(1-q⁴)²⁴...
= q.(1-q)...(1-q).(1-q²)...(1-q²).(1-q³)...(1-q³).(1-q⁴)...(1-q⁴)....
(chaque terme se retrouve 24 fois)

Écrire Δ sous la forme d'un produit, c'est bien, mais ça serait encore plus marrant de le développer (même si il y a une infinité de termes, on a le droit de le faire). Chacun des termes du développement s'obtient en choisissant soit 1, soit -qⁿ dans chacune des parenthèses (sachant qu'on ne peut pas choisir les termes -qⁿ une infinité de fois). En tout cas, il n'y a qu'un nombre fini de façon d'obtenir le terme qⁿ. Par exemple, pour obtenir q⁴², on peut choisir q¹, q¹ et q⁴⁰. On peut aussi le faire en choisissant 24 fois le terme q¹ et 9 fois le terme q². On ne peut cependant pas obtenir q42 en prenant 42 fois le terme q¹, puisqu'on chaque terme q^k ne peut être pris qu'au plus 24 fois.
Le développement de Δ commence donc par :

Δ(q) = q.(1 - 24q¹ + 252 q² - 1472 q³ + ...)

Le coefficient de qⁿ dans ce développement, on l'appelle τ(n) : la fonction tau de Ramanujan. Ainsi, τ(1) = 1, τ(2) = -24, τ(3) = 252 (la présence du facteur q devant la parenthèse crée un décalage). C'est ainsi qu'est défini la fonction τ de Ramanujan : il correspond au nombre de façons d'écrire n-1 comme une somme où chaque nombre se retrouve au plus 24 fois.

A cause du signe - dans "-qⁿ", il faut être en fait un peu plus précis : τ(n), c'est le nombre de façon d'obtenir n-1 en sommant un nombre pair de termes, auquel on soustrait le nombre de façons d'obtenir n-1 avec un nombre impair de termes.

Une formule donnant explicitement les valeurs de τ n'existera sans doute jamais. Le problème, c'est plutôt de connaître l'ordre de grandeur de τ(n). C'est justement d'un des nombreux problèmes de Ramanujan. À partir des constations décrites en dessous, il formule la conjecture suivante :

Si p est premier, alors -2p^11/2 ≤ τ(p) ≤ 2p^11/2

Pourquoi 11/2 ? Ça, c'est une bonne question !

D'autres conjectures sur τ existent ; en particulier, la conjecture de Lehmer suppose que τ n'est jamais égal à 0, conjecture vérifiée vraie jusqu'à n = 22 798 241 520 242 687 999.

Pourquoi cette conjecture a l'air vraie ?
Étonnament, le nombre τ(n) est lié au nombre r(n) de façons d'écrire un nombre n (impair) comme somme de 24 carrés, par la formule suivante, due à Ramanujan :

r(n) = 16/691 σ₁₁(n) + 33152/691 τ(n)

Le terme σ₁₁(n) (somme des puissances 11eme des diviseurs de n) donne l'ordre de grandeur de r(p), et τ(n) est son terme correctif. Et c'est grâce à cette formule et de considérations à la limite du hors-sujet que l'on peut prédire que τ(p) est de l'ordre de p^11/2.

Écrire un nombre n comme somme de 24 carrés, c'est trouver 24 entiers x₁, ..., x₂₄ qui vérifient : 

x₁² + x₂² + ... + x₂₄² = n

Ce qui tombe bien, c'est que x₁² + x₂² + ... + x₂₄² = n, c'est aussi l'équation d'une sphère de rayon √n dans un espace de dimension 24. Il y a donc autant de façons de partager un entier en somme de 24 carrés que de points à coordonnées entières sur cette sphère.

Le nombre de points entiers sur la surface, on peut justement l'estimer. Puisque l'on est dans un espace de dimension 24, le volume d'une boule de rayon r étant C r²⁴, celui de la boule de rayon √n est donc de C n¹² (C est le coefficient de proportionnalité, on ne cherche pas à le connaître de façon précise). Le nombre de points de la surface va alors être proportionnel à la différence entre le volume des boules de rayon √n et √n-1 (qui valent respectivement C.n¹² et C.(n-1)¹²)

r(n) ≈ C n¹² - C (n-1)¹² ≈ 12 C n¹¹

On peut donc dire que le nombre de façons de partager un nombre n en 24 entiers est proportionnel à n¹¹. La présence de σ₁₁(n), lui aussi de l'ordre de n¹¹, dans la formule de r(n) est donc tout à fait légitime.

Pour ce qui est du terme d'erreur, on peut adopter une démarche probabiliste : supposons qu'on choisit au hasard (avec 1 chance sur 2) si les r points proches de la surface appartiennent ou non à la sphère. On peut donc s'attendre à ce que la moitié des points appartiennent à la sphère, plus ou moins l'écart-type (la marge d'erreur), qui vaut √r. Dans le cas présent, cette marge d'erreur, proportionnelle à τ(n) selon la formule de Ramanujan, est donc de l'ordre de √(n¹¹) = n^11/2 ! Tout concorde !

Évidemment, tout ceci n'a rien d'une démonstration rigoureuse, mais permet de montrer que la majoration |τ(p)| ≤ 2p^11/2 est intuitivement vraie. Ce qui est réellement étonnant, c'est que cette estimation faite à la volée soit vraie ! Le terme d'erreur de r(n) est précisément ce à quoi on pouvait s'attendre, alors que les arguments utilisés sont très éloignés de l'arithmétique !

Les conjectures de Weil permettent de montrer ce genre de choses : l'erreur dans l'estimation de certaines quantités est parfois précisément ce à quoi l'on pouvait s'attendre. Finalement, c'est grace aux travaux de Pierre Deligne que l'on peut aujourd'hui dire ce genre d'évidences !

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Sources :
The work of Pierre Deligne, W.T. Gowers

Comments

[Celeri]

Cool que la conjecture de Ramanujan donne une idée... Ça en donne une différente à chaque fois qu'on s'en sert ou c'est toujours la même ? ;)