Un nouvel épisode de "deux minutes pour", où il est entre autres question d'escargot sur une corde élastique, et d'une course entre une tortue et un héros mythologique...

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Transcription :

En 1982, Martin Gardner publie "Aha : Gotcha", un recueil de paradoxes mathématiques allant des antiques paradoxes de Zénon jusqu'à celui de l'hôtel de Hilbert. Parmi eux figure le paradoxe de la corde élastique, une variante du paradoxe de Achille et de la Tortue, dont la solution est particulièrement contre-intuitive. Ce problème met en scène un vaillant escargot, une corde considérablement élastique et un géant facétieux. Ce qui tombe bien, c'est que j'ai justement deux (deux?) minutes pour en parler.

Cette histoire met en scène Léo, un escargot particulièrement obstiné qui voue sa vie à atteindre l'extrémité d'une corde sur laquelle il progresse.
Cette corde mesure 100 m, et Léo avance à la vitesse de 1 m/h. Si rien ne s'opposait à lui, il lui faudrait donc 100 heures, soit un peu plus de 4 jours pour arriver à son but.
Ce qu'il ne sait pas encore, c'est qu'au début de chaque heure, un géant infatigable viendra tirer sur cette corde, qui se trouve être en fait un élastique infiniment extensible. A chaque fois, la corde sera étendue de 100 mètres, et ce, de façon homogène.
Cela signifie que lorsque le géant tire sur la corde, la distance qu'il restera à parcourir pour Léo augmentera, mais aussi la distance déjà parcourue. Seul le pourcentage de progression de Léo restera le même.
Notre courageux escargot est-il condamné à errer sur cette corde pour l'éternité, ou bien pourra-t-il accomplir sa mission et, si oui, après combien d'heures atteindra-t-il son but ? Pour répondre à la question, le mieux est d'observer heure après heure le périple de notre gastéropode.

Au début de la première heure, l'escargot est dans les starting blocks, et la corde mesure 100 mètres. A l'issue de cette première heure, il aura parcouru 1 mètre, ce qui représente 1% du trajet total.
Puis, le géant tire sur la corde, qui passe alors à 200 mètres. Puisque la déformation est homogène et que la corde a ici doublé en taille, chaque distance est doublée : la distance qui sépare l'escargot de son point de départ est maintenant de 2 mètres. La proportion de trajet parcourue n'a quant à elle pas changée, elle est toujours de exactement 1 %.
Durant la deuxième heure, l'escargot parcourt à nouveau un mètre supplémentaire, il aura donc parcouru en tout 3 mètres sur un total de 200, ce qui représente 1,5 % du trajet.
A nouveau, le géant tire sur la corde, qui passe de 200 à 300 mètres. La proportion de trajet parcourue par l'escargot reste constante, ce sont donc maintenant 4,5 mètres qui séparent Léo du point de départ.
Durant la troisième heure, l'escargot avance de 1 m supplémentaire, soit 5,5 mètres en tout. Puisque la corde mesure 300 mètres, cela représente 1,83 %.

Regardons un peu plus précisément la proportion de trajet parcourue par l'escargot à chaque étape.

  • La première heure, la corde mesure 100 mètres. En avançant de 1m, Léo a donc progressé de 1 %.
  • La deuxième heure, la corde mesure 200 mètres. Puisque Léo avance toujours de 1m, il progressera durant cette deuxième heure de 1/2 %.
  • La troisième heure, la corde mesure 300 mètres. En avançant de 1m, il progressera donc de 1/3 % de trajet en plus.

On peut facilement généraliser en remarquant que, à la n-ième heure, la corde mesure 100*n mètres, et Léo progressera de 1/n % de trajet supplémentaire.
Finalement, après n heure, le pourcentage de corde parcourue par Léo sera de 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n %
Cette somme 1 + 1/2 + 1/3+ ... + 1/n porte le nom de série harmonique, et la question est donc de savoir si elle finira par dépasser le seuil des 100 %.

Cette histoire peut rappeler l'un des 8 paradoxes de Zénon que Aristote nous a rapporté, le paradoxe de Achille et de la tortue. Dans cette histoire, Achille, le héros légendaire de la guerre de Troie, cherche à battre à la course une modeste tortue. Cette tortue marche à la vitesse de 5 m/s, tandis que Achille court à 10m/s. Pour lui laisser une chance, Achille lui laissera 5 mètres d'avance.
Une demie-seconde après que la course ait démarrée, Achille atteint le point de départ de la tortue. Pendant ce même temps, la tortue a également avancé, elle garde donc toujours un peu d'avance. Le temps que Achille atteigne cette nouvelle position de la tortue, elle aura une nouvelle fois avancé.
Zénon conclut alors que Achille ne pourra jamais dépasser la tortue, puisque celle-ci maintiendra toujours de l'avance.
Pourtant, l'expérience montre que Achille finit bien par dépasser cette tortue, il y a donc ici un paradoxe !

En fait, dans cette histoire, Achille courra, avant de rattraper la tortue, une distance en mètres égale à 5 + 5/2 + 5/4 + 5/8 + ... . Cette somme possède un nombre infini de termes. La théorie des suites géométriques permet de montrer que cette somme, même si elle semble infinie, est exactement égale au nombre 10. Il faudra donc bien une infinité d'étapes à Achille pour rattraper la tortue, mais seulement au bout de 10 mètres.
Mais le temps intervient aussi dans cette histoire. Il lui faudra une demie-seconde pour parcourir la première portion, un quart de seconde pour la deuxième portion, un huitième de seconde pour la troisième, etc. Le temps demandé pour rattraper la tortue est donc, en secondes, égal à 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., ce qui est exactement égal à une seconde.
D'un point de vue strictement mathématique, Achille a bien effectué une infinité de mouvements, c'est à dire 10 mètres, en un temps qui est fini.
Le paradoxe est en fait un paradoxe de physique, puisqu'il semble impossible de diviser à l'infini les distances et les temps. Le paradoxe est lui aussi philosophique, puisqu'il semble inconcevable qu'un processus ayant un nombre infini d'étapes puisse se terminer. En fait, cela prouve surtout que cet outil mathématique n'est pas le meilleur pour représenter cette situation d'une course entre un reptile et un héros mythologique.

Ce paradoxe nous apprend cependant quelque chose : une somme, même si elle possède un nombre infini de termes, peut avoir un résultat parfaitement fini. Dans le cas présent, on avait 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1.
Mais est-ce le cas pour la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... ? Eh bien en fait... non ! Cette somme qui possède un nombre infini de termes ne peut pas être égale à autre chose qu'à l'infini !
En fait, on peut le comprendre en regroupant ensemble certains termes de la somme.

  • Prenons les termes 1/3 et 1/4. Ces deux fractions sont toutes les deux supérieures à 1/4. A elles deux, elles sont donc plus grandes que 1/2.
  • Prenons maintenant les quatre termes suivants : 1/5, 1/6, 1/7 et 1/8. Ces quatre fractions sont toutes supérieures à 1/8. A elles 4, elles sont donc plus grandes que 1/2.
  • C'est la même chose pour les 8 fractions suivantes, dont la somme est elle aussi plus grande que 1/2.

Finalement, on peut dire que la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4+ ... est plus grande que 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + .., qui, si on mène cette somme jusqu'à l'infini, est intuitivement égale à l'infini.
La série harmonique est donc finalement supérieure à l'infini : elle est donc égale à l'infini !

Revenons à Léo l'escargot : on a vu que, après n heures, son pourcentage de progression sera de 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n %. En marchant un nombre infini d'heures, ce pourcentage de progression sera donc infini, il y a donc forcément un moment où il dépassera le seuil des 100 %. Oui, mais quand ?...
En fait, on peut calculer qu'il faut 4 termes pour que la somme dépasse 2 %, et qu'il en faut 27 de plus pour dépasser les 4 %. Pour que cette somme dépasse 10%, il faudra additionner 12 367 termes.
Et finalement, pour que cette somme dépasse le seuil des 100% demandé, eh bien, il en faudra environ 15 septillions de termes, c'est à dire que l'escargot devra avancer pendant 15 millions de milliards de milliards de milliards de milliards d'heures, ou, plus simplement, environ 15 ×1042 heures, c'est à dire 15 suivi de 42 autres chiffres (15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 101 449 859 497, pour être précis).
En gros, cela correspond à 120 milliards de milliards de milliards de fois l'âge de l'Univers.

En fait, quelle que soit la vitesse de l'escargot et quelle que soit la longueur que le géant ajoute à chaque étape, l'escargot finira par atteindre son but, même si ce temps est ridiculement grand.
Par exemple, si le géant augmentait à chaque heure la corde de 1 km au lieu de seulement 100 m, il faudrait à notre escargot environ 10343 heures pour atteindre son but.
Certains trouveront probablement à dire qu'un escargot ne peut pas vivre assez longtemps pour atteindre le bout de la corde. Mais dans le monde mathématique où il existe des hôtels avec une infinité de chambres et des troupeaux de bétail grands comme l'Univers, certains gastéropodes vivent particulièrement vieux. En fait, si il y a une chose à retenir de ce problème, c'est qu'il ne faut jamais sous-estimer la persévérance des escargots...