Un théorème complètement évident qui n'est pas si évident que ça quand on creuse un peu ? C'est le théorème de Jordan !

Vignette

Deux (deux?) minutes pour... le théorème de Jordan

Script + commentaires :

En 1887, le mathématicien français Camille Jordan démontre l’un des théorèmes fondamentaux de la topologie, le théorème de Jordan. Celui-ci énonce que si l’on dessine sans lever le crayon une courbe qui commence et termine en un même point et qui ne s’auto-coupe pas, alors cette courbe partagera toujours le plan en deux morceaux : l’intérieur et l’extérieur. Ce théorème peut vous sembler complètement évident, mais c’est loin d’être l’avis des mathématiciens. Ça tombe bien, j’ai 2 minutes pour en parler.
 
Pour énoncer le théorème de Jordan, nous avons besoin d’un certain type de courbes du plan que l’on appelle les courbe fermées simples, ou parfois les courbes de Jordan ; il s’agit d’une courbe qui est un lacet, c’est à dire qu’elle est continue, on peut théoriquement la tracer sans lever le crayon, en que de plus, son point de départ est le même que son point d’arrivée. On demande en plus que ce lacet soit simple, c’est à dire qu’il ne passe pas deux fois par le même point, qu’il ne s’autocroise pas en fait. Une façon équivalente et un peu plus topologique de voir un lacet simple, c’est de dire qu’il s’agit d’un cercle déformé.
Si on veut être précis, un lacet simple telle qu'on l'entendra ici est une fonction continue f : [a;b] → ℝ² avec a < b, et f(a)=f(b) et injective sur [a;b[. En particularité, la courbe ne peut donc pas se réduire en un unique point. De manière équivalente, on peut dire qu'il s'agit d'une fonction continue injective f : S1 → ℝ² . On se permet d'identifier la fonction à son graphe, pour pouvoir un minimum se représenter le concept.


Le théorème de Jordan, donc, affirme que dans le plan, un lacet simple délimite toujours exactement deux régions différentes, ni plus, ni moins. Il va même plus loin, et précise que les deux régions en question sont connexes, c’est à dire qu’elles sont chacune d’un seul tenant, et qu’en plus l’une est bornée alors que l’autre non. On appellera le premier “l’intérieur” et le second “l’extérieur”. On peut même aller encore plus loin, et dire que la frontière entre ces deux régions n’est autre que le lacet initial. Et c’est à peu près tout, voilà ce qu’énonce ce grand théorème.
 
Ceci vous sera sans aucun doute complètement intuitif. Mais pour un mathématicien, ce n’est pas parce que c’est intuitif que c’est complètement évident. Pour avancer, il est nécéssaire de le prouver. Et c’est sur ce point que le théorème devient intéressant, puisque cette évidence est particulièrement difficile à démontrer rigoureusement. Avant que Jordan ne le démontre à la fin du XIXe siècle et lui donne le statut de théorème, de nombreux mathématiciens s’y s’ont cassé les dents.
Le premier à avoir débroussaillé ce sujet est Bernhard Bolzano, l’un des fondateurs de la topologie telle qu’on la connait aujourd’hui. On lui doit notamment le théorème de Bolzano, plus connu des lycéens sous le nom de théorème des valeurs intermédiaires, celui qui permet d’affirmer des choses comme “si je monte un escalier pendant que tu le descends, il y aura un moment où nous nous croiserons”. Ça aussi, ce n’est pas complètement évident, mais c’est un autre sujet. On le connait aussi pour le théorème de Bolzano-Weiestrass, autre théorème incontournable en topologie.
Bolzano, donc, peut être considéré comme celui qui a posé les première pierres du théorème de Jordan. La première pierre indispensable dans la construction d’un théorème, c’est de voir qu’il y a quelque chose à démontrer. Des générations de mathématiciens sont passé à côté de la propriété en la supposant à tort comme étant triviale, évidente. Il faut ensuite donner les bonnes définitions des concepts qui sont en jeu, de façon à poser une conjecture claire : c’est quoi une courbe, c’est quoi une frontière, comment on sait qu’un point est à l’intérieur, etc.. La troisième et dernière étape, sur laquelle Bolzano a consacré beaucoup de temps et d’énergie est celui de la démonstration à proprement parler. Sans succès.
 
Mais pourquoi ce théorème est-il si difficile à prouver? Le principal problème, c’est que ce théorème est global, et non simplement local. Pour savoir si un point est à l’intérieur ou à l’extérieur d’un lacet simple, il faut être capable de prendre en compte la totalité de la courbe, et non pas seulement une partie. C’est pour cette raison que le théorème devient faux si on se place ailleurs que sur plan. Par exemple, si la courbe de Jordan est tracée sur la surface d’un tore ou d’un ruban de Moebius, il peut arriver qu’elle ne délimite ni intérieur, ni extérieur. De même, si la courbe est un élastique d’un espace à 3 dimension, il est clair que l’on ne peut pas parler d’intérieur ou d’extérieur.
 
L’autre problème, particulièrement gênant, c’est que les exemples planaires auquel on pense face à l’énoncé du théorème de Jordan ne rendent pas comptent de la complexité potentielle de ce que peut être une courbe. Et ce sont ces complexités qui n’auraient peut-être pas été découvertes si l’on s’était contenté de dire que la conjecture de Bolzano était évidente.
Si on parle de lacet simple, on pense généralement à des cercles gentiments déformés. Malheureusement, un lacet simple, ça peut ressembler à ça, à ça ou à ça. Dans de tels cas, l’intérieur, l’extérieur et la frontière sont parfaitement définis, mais sont difficiles à appréhender simplement.
 
Un exemple relativement simple de courbe qui peut poser problème est la courbe de Von Koch, une courbe fractale dont la longueur a pour particularité d’être infinie. Pour construire cette courbe, on va y aller étape par étape. On part d’un triangle équilatéral puis, à chaque étape, on construit un nouveau triangle équilatéral sur le deuxième tiers de chacun des côtés de la figure de l’étape précédente. Ainsi, on a 4 triangles à la deuxième étape, 16 à l’étape suivante, et ainsi de suite. La courbe de Koch est le périmètre de ce flocon après une infinité d’étapes. On peut remarquer que, à chaque étape, chaque segment de la frontière est divisé en 3 et multiplié par 4, autrement dit, la longueur de la frontière est à chaque étape multiplié par 4/3, ce qui implique après une infinité d’étapes une longueur infinie pour la courbe de Koch. Cette courbe est fractale, si bien qu’il est parfois difficile de savoir si un point proche de la frontière est à l’intérieur ou à l’extérieur.
Ce qu’il y a de pire avec les courbes fractales comme celle de Koch, c’est qu’en chacun de leur point, elles ont l’allure de zig-zag, et ça quel que soit le niveau de zoom. Il est donc impossible de leur trouver des droites tangentes. On dit que la courbe n’est pas différentiable, ce qui est un réel problème vu qu’une bonne part de la boite à outil des mathématiciens repose sur l’étude de cette différentiabilité.
 
Des courbes non différentiable, c’est à dire sans tangentes, les mathématiciens en ont fabriqué tout un bestiaire, et ce n’est pas un hasard si la première de l’histoire a été fabriqué par Bernhard Bolzano. Pour la construire, on procède à nouveau par étapes. On commence pour cela par se choisir une courbe en zig-zag. Celle-ci, composée de 4 segments, fera l’affaire. Ensuite, on transforme chaque segment composant ce zig-zag par des versions contractées du zig-zag initial. Après avoir répété cette opération une bonne infinité de fois, on obtient la courbe de Bolzano, une courbe continue partout mais sans la moindre tangente. Bref, une courbe, ça peut paraitre simple intuitivement, mais rien ne reste simple très longtemps chez les mathématicien.
 
Puisque j’en suis à parler de courbe bizarres, la palme revient aux courbes remplissantes : une courbe continue qui a la particularité de passer par rigoureusement tous les points à l’intérieur d’un carré. La courbe de Moore en est un bon exemple, et sa construction se réalise à nouveau par étape.
Partons donc de ce grand carré, que l’on découpe en quatre carrés plus petits. On numérote ces carrés de A à D, de sorte que si les numéros se suivent, les carrés se touchent. En reliant leur centre, on obtient une première courbe, pas forcément très intéressante.
À présent, découpons chacun de ces carrés en petits carrés. On va numéroter ces petits carrés de AA jusqu’à DD, de sorte que la première lettre soit celle du précédent découpage, et que si les numéros se suivent, les carrés se touchent. En reliant dans l’ordre les centres, on obtient une nouvelle courbe, un peu plus intéressante que la précédente.
On poursuit alors le processus de découpage et de numérotation, ce qui donnera des courbes de plus en plus complexes.
Après quelques étapes de ce processus, on obtient une courbe de Jordan où il devient assez difficile de distinguer du premier coup d’oeil où se trouve son intérieur et où se trouve son extérieur. Mais après une infinité d’étapes, il n’y a même plus besoin de se poser la question. La courbe que l’on obtient est la courbe de Moore, qui ne possède même plus d’intérieur. Tous les points du grand carré initial appartiennent en fait à la courbe. Ça devrait être un contre-exemple du théorème de Jordan, mais ce n’est en fait pas le cas, puisque la courbe de Moore n’est pas un lacet simple. C’est bien un lacet, car la courbe est refermée sur elle-même, mais il n’est pas simple, puisque presque partout, la courbe se chevauche. Pourquoi ? Prenons par exemple le point central du carré. D'étapes en étapes, la courbe de Moore va se rapprocher de ce point, et ça depuis les 4 directions à la fois. Après une infinité d'étapes, ces 4 directions atteindront le point central "en même temps", ce sont donc 4 portions de la courbe qui s'y croiseront. Il se passe en fait la même chose partout dans le carré lors du passage à l'infini.
J'ai choisi de parler de la courbe de Moore et non de celle de Peano, de Hilbert ou de Lebesgue, d'autres courbes remplissantes, pour donner un exemple de courbe remplissante qui soit également un lacet. Petit point supplémentaire, je n'ai traité que d'un seul aspect des courbes remplissantes, le fait qu'elles sont... "remplissante". Il y a des tas de choses intéressantes à raconter à leur sujet que j'ai à peine évoqué (en particulier, ces fonctions, malgré leur aspect "bricolé" avec l'infini, sont des objets qui se définissent sans ambigüité et sur lesquelles ont peut prouver des choses, notemment qu'elles sont bien continues et non différentiable)
 
C’est donc l’existence de ces courbes monstres, sans tangentes, qui rendent si difficile la preuve du théorème de Jordan. Contrairement à ce que leur nom laisse entendre, les lacets simples sont loins d’être simple. Et encore, je ne vous ai pas parlé des courbes non rectifiables. Bref, Bolzano passera une partie de sa vie à essayer de démontrer le théorème, mais ce n’est qu’en 1893 qu’une réelle preuve pointera son nez. Dans son cours d’analyse de l’école polytechnique, Camille Jordan donne une démonstration courte, simple et rigoureuse de ce que l’on appellera à partir de là le théorème de Jordan.


La démonstration procède en deux temps. On commence par prouver que si la courbe est un polygone, alors le théorème est vrai. Pour comprendre comment cela fonctionne, prenons un courbe de Jordan polygonale, n’importe laquelle, et choisissons arbitrairement une direction du plan. Disons par exemple, vers le nord est. On choisit alors un point, n’importe lequel, qui n’appartient pas à la courbe, et on trace la demi-droite partant de ce point vers la direction préalablement choisie. Si cette demi-droite passe par un sommet du polygone, on passe notre tour, sinon on compte le nombre de points d’intersection. Si celui-ci est pair, on colorie le point en rouge, sinon, on le colorie en bleu. Miracle, tous les points à l'extérieur de la courbe sont rouges, et tous ceux qui sont à l’intérieur sont bleus. Ce coloriage ne dépend en fait pas de la direction initialement choisie. Si, par exemple, un point a été colorié en rouge, c’est qu’un nombre pair de points sont à l’intersection de la demi-droite et du polygone. En tournant cette demi-droite, le nombre de points d’intersection ne peut que augmenter de 2 ou diminuer de 2, la parité ne dépend en fait pas de la direction choisie.  Pour les points pour lequel on a passé notre tour, il suffit de choisir autre direction, il y en aura forcément une qui ne passera par aucun sommet. Avec le même argument, on peut voir que si un segment ne coupe pas la courbe polygonale, alors tous ses points seront de la même couleur. Tous les points extérieurs à la courbe sont donc à présent coloriés, il y a d’un côté les rouges, et l’autre les bleus. Il reste donc à montrer que tous ces points rouges ne forment qu’un seul bloc, l’extérieur, et que les points bleus forment un autre bloc, l’intérieur. Pour ça, il faut montrer que deux points bleus peuvent toujours être reliés par un chemin qui reste en zone bleue, et de même du côté rouge. Prenons deux points au hasard de l’ensemble bleu, et relions les par un segment. Si ce segment est inclus dans l’ensemble bleu, il n’y a rien à faire. Si ce segment passe par un sommet du polygone, on pourra toujours construire un petit détour qui reste en zone bleu. Si enfin le segment ne touche aucun sommet, alors il coupera le polygone un nombre pair de fois. On peut alors, en suivant la courbe polygonale, fabriquer des chemins bleus reliant deux à deux les points d’intersection. Bref, si la courbe est polygonale, il y a bien une seule zone intérieure, formée par les points bleus, et une seule zone extérieure, formée par les points rouges, CQFD.
 
Ce qu’il reste à faire, c’est montrer que n’importe quelle courbe peut être approchée  suffisamment près et de la bonne manière par un polygone, ce qui permettra de conclure que n’importe quel lacet simple possède bien un intérieur et un extérieur. Cette partie est assez technique, donc je vais passer mon tour ici.
 
Bref, avec ces deux arguments simples, Jordan a démontré ce qu’il fallait démontrer. Tout pourrait être parfait si il n’avait pas cette sale habitude que peuvent avoir certain profs : considérer que des parties de la démonstration sont tellement simples que l’on peut se permettre de les laisser en exercice à ses étudiants. Il ne s’est en effet pas embêté à en rédiger la première partie. La réponse des mathématiciens contemporains ne se fera pas attendre : la démonstration de Jordan semble tout à fait correcte, mais est trop lacunaire pour pouvoir être réellement acceptable. Un peu comme quand votre prof de maths écrit en rouge “Justifiez” dans la marge de votre copie. De fait, la première démonstration rigoureuse du théorème de Jordan date de 1905, 12 ans plus tard, et est signée du mathématicien américain Oswald Veblen. Avec le temps, le nom de Veblen sera effacé, et le théorème conservera celui de Jordan. Ce théorème, littéralement incontournable en topologie, a vu depuis bien d’autres démonstrations, sa validité est aujourd’hui incontestable.
 
On peut être tenté de généraliser le propos : si une courbe de Jordan, c’est à dire un cercle déformé dans le plan délimite toujours deux espace connexes distincts, est-ce le cas pour une sphère déformée dans l’espace à 3 dimensions, ou pour une hypersphère déformée dans un espace de dimension 42 ? Pour la dimension 3, cela semble intuitivement vrai, et pour la dimension 42, cela semble intuitivement rien du tout, puisque rien n’est intuitif en dimension 42. La réponse ne se fera pas attendre très longtemps, puisqu’en 1912, Brouwer démontre que oui. Le théorème de Jordan-Brouwer énonce donc qu’une sphère déformée délimite deux espace distincts connexes de l’espace tridimentionnel, et cela se généralise à n’importe quelle dimension finie, sans ajouter la moindre hypothèse.
    Mais il y a forcément un truc qui cloche. Même si le théorème de Jordan-Brouwer est parfaitement correct, une généralisation aussi simple, ça doit cacher quelque chose de pas très clair.
C’est en 1924 que l’on découvrira un objet qui met un petit peu à mal cette jolie généralisation. Étant donné qu’une courbe de Jordan délimite toujours le plan en deux régions, l’extérieur, et l’intérieur, on peut se demander quelle est la forme globale de ces régions en question. On peut alors prouver, et c’est le théorème de Schoenflies [Chenfliss]  qui le dit, que l’intérieur est toujours un disque déformé, et que l’extérieur est toujours un plan privé d’un disque déformé. Bref, quand on déforme un cercle, on déforme en même temps son intérieur et son extérieur. À partir de la dimension 3, ceci n’est plus vrai. Quand une sphère est déformée, eh bien la forme de l’extérieur ne sera pas toujours équivalente à celle d’un extérieur de boule déformé. C’est donc là que les choses deviennent contre-intuitives.

    L’objet mathématique qui le prouve, c’est celui-ci, la sphère cornue d’Alexander. Pour le construire, on part d’une sphère, sur laquelle on rajoute des cornes. Au bout de chaque corne, on rajoute une paire de cornes, au bout desquelles on rajoute des paires de cornes, et ainsi de suite, de façon à les entrelacer. Après une infinité d’étapes, on a une infinité de cornes toutes plus enchevêtrées les unes dans les autres. Les plans de la sphère d'Alexander sont disponibles ici pour ceux qui ont une imprimante 3D.

Ajouter des cornes, cela peut être fait par déformation. La sphère d’Alexandre est donc, à déformation près, similaire à la sphère initiale. Cependant, la sphère a été déformée de manière si particulière que son extérieur n’est plus simplement connexe. Je m’explique. On dit qu’un espace est simplement connexe si un élastique peut s’y déplacer où il veut sans la moindre entrave. L’extérieur d’une sphère est simplement connexe, et c’est une propriété qui est toujours conservée après déformation. Si un élastique est coincé dans les cornes de la sphère d’Alexander, il ne pourra pas s’y échapper. L'extérieur de cette sphère cornue ne peut pas être obtenu par déformation d’un extérieur de sphère, puisque ce n’est pas aussi simplement connexe que prévu. La généralisation à la 3e dimension du théorème de Jordan n’est donc pas aussi évident que l’on aurait pu croire.
Bref, tout n’est pas si évident que ça dans le théorème de Jordan. Le contre-exemple un peu exotique qu’est cette sphère d’Alexander n’aurait jamais été découvert si l’on s’était contenté de considérer évident ce qui ne l’était pas vraiment. C’est donc aussi pour cela que des mathématiciens passent leur temps à chercher à démontrer rigoureusement tout ce qui leur passe sous le nez, pendant que les autres pointent les erreurs de rigueur des premiers. Démontrer un théorème, c’est donc non seulement s’assurer qu’un énoncé mathématique est vrai, mais c’est surtout chercher à comprendre pourquoi il est vrai, et ainsi mieux comprendre les objets mathématiques que l’on étudie. La géométrie hyperbolique, par exemple, n’aurait jamais été découverte si des générations de mathématiciens ne s’étaient pas écharpé à vouloir prouver le 5eme postulat d’Euclide. De même, la notion incontournable de groupes en algèbre est le fruit du travail de mathématiciens qui ne voulaient pas se contenter de résoudre des équations de manière approchée. En mathématiques, les démonstrations sont aussi importantes que les résultats, voilà pourquoi les mathématiciens sont si tatillons. C’est ça, la morale de l’histoire.

FAQ
- En en dimension infinie ?
A priori, non. En fait, la topologie en dimension infinie est particulièrement contre-intuitive. En particulier, les "sphère" de dimension infinie ne sont pas toujours réellement "creuse" (plus précisément, elles peuvent être contractile). cf ce lien.


Sources :
Jordan curve theorem, Wikipedia
Cours d'analyse de l'École polytechnique, Camille Jordan - la démo originale de Jordan
Jordan’s Proof of the Jordan Curve Theorem, Thoams C. Hales - Historique des preuves et des critiques de la démo du théorème
La courbe de Koch, Mathcurve
Le théorème de Jordan topologiquement, Hugues Lerebours Pigeonnière - Démonstration moderne du théorème de Jordan
Demonstrating that rigour is important, mathoverflow - Catalogue d'exemples expliquant pourquoi la rigueur est importante en maths
Jordan Curve Theorem, Proof, Cut the knot - Démonstration complète et vulgarisée
Continuous Nowhere Differentiable Functions, Johan Thim - Catalogue de courbes continues et non différentiable