Quand les tortues font des maths

25 novembre 2007

Quel est donc le point commun entre la tortue étoilée d'Inde (Geochelone elegans) et le Gömböc, objet mathématique nouvellement fabriqué par deux Hongrois ?

Tout le monde connaît le jouet pour enfant culbuto : un objet tridimensionnel qui revient toujours dans la même position, peut-importe la manière dont on le pose sur la table. On dit qu'il ne possède que deux points d'équilibre : un point d'équilibre stable (vers lequel il reviendra toujours) et un point d'équilibre instable (au moindre mouvement, il s'éloignera de ce point d'équilibre).
La source de ce prodige est simple : le culbuto est lesté en sa base de manière à toujours revenir en son point d'équilibre, il possède un contre poids. Un culbuto n'est donc pas homogène (possédant la même densité partout).
Pour un mathématicien, tout est source de problème, le culbuto n'en est pas exempt : existe t'il un objet tridimensionnel qui possède la propriété du culbuto (seulement deux points d'équilibres), mais qui serait en plus homogène ?

Et la réponse, démontrée par deux Hongrois, Gábor Domokos et Péter Várkonyi, est affirmative : un tel objet homogène tridimensionnel à deux points d'équilibre existe, et sera appelé Gömböc (quadri-sphère, dans la langue natale de Loránt Deutsch - le hongrois). Le résultat, trouvé après une dizaine d'années de recherche, s'est ponctué par la fabrication de l'objet basé sur leur équations (qu'ils comptent vendre, il faut bien rentabiliser les recherches). A noté qu'il n'existe pas qu'un seul Gömböc, mais qu'il peut prendre plusieurs formes, relativement proche. Un concours a même été lancé pour trouver un Gömböc constitué de polyèdres (10 000$ à la clé).

Tout a commencé dans les années 90, où Gábor Domokos (ingénieur), aidé de Jim Papadoupolos, s'est posé la grande question : quel est le nombre minimal de point d'équilibre que peut posséder une forme en deux dimensions ?
Si on prend le cas du cercle, on est en face d'un nombre infini de points d'équilibres.
Si on prend le cas du carré, on est en face de 8 points d'équilibres : 4 stables (les côtés) et 4 instables (les pointes). Pour un triangle équilatéral, on en trouve de la même façon 6.
Si on prend le cas de l'ellipse, on est en face de 4 points d'équilibres : 2 stables (sur le petit axe) et 2 instables (sur le grand axe)
En 1994, ils découvrent que le nombre minimal de points d'équilibres pour n'importe quel forme à deux dimensions est de 4.
Et c'est donc tout naturellement que Domokos s'est penché sur le cas des formes en 3 dimensions.

Et le rapport avec les tortues, dans cette histoire ? Et bien, cette trouvaille mathématique permet de classer d'une nouvelle façon les animaux à carapaces, par rapport à la facilité qu'ils ont à se remettre sur pattes quand ils sont retournés. Ainsi, la tortue étoilée d'Inde, qui possède une carapace proche du Gömböc, peut sans grands efforts se remettre sur pattes !