A.k.a. "comment obtenir un triangle de Sierpiński en 8 méthodes" !

TriangleSierpinski

Le triangle de Wacław Sierpiński (étudié par le mathématicien polonais en 1915), dans toute sa splendeur !

Méthode n°1 : Le triangle de Sierpinski
Dessiner un triangle de Sierpiński, maintenant, j'espère que tout le monde sait faire : on prend un triangle, on évide sa partie centrale et on recommence avec les nouveaux triangles.

evolution_sierpinski

Après une infinité d'itérations, on aboutit à un beau triangle fractale.
Pour calculer sa dimension, il faut voir que quand je divise par 2 la taille de mon étalon (Ici, le côté du triangle équilatéral), je dois multiplier par 3 le nombre de fois où je vais devoir le reporter ; la dimension fractale du triangle est donc de ln(3)/ln(2)=1.58 .

Méthode n°2 : À base de carrés
Mais c'est loin d'être la seule méthode pour obtenir ce triangle, surtout si depuis votre tendre enfance, vous préférez les carrés aux triangles !
Cette fois-ci, donc, il faut partir d'un carré, et lui retirer deux rectangle dans les coins supérieurs, comme dans l'illustration ci-dessous. On se retrouve alors avec 3 carrés, sur lesquels on réitère le processus.

evolution_sierpinski_carres

Après un nombre infini d'itérations, on trouve un bel amas de carrés en forme de triangle : le triangle de Sierpiński !
La dimension est bien la même : en divisant par 2 la taille du carré, on doit la reporter 3 fois plus :  ln(3)/ln(2)=1.58 .

Méthode n°3 : courbe du triangle de Sierpinski

Marre des surfaces, vous préférez les courbes ? Pas de problèmes !
En partant d'un simple segment de droite que l'on transforme en 3 nouveaux segments, on retrouve après un nombre infini d'étapes le triangle de Sierpiński (Attention, en effectuant les remplacement, il faut alterner vers l'intérieur/vers l'extérieur)!

courbe_sierpinski

Et la dimension reste toujours la même, bien que cela soit une suite de courbes et non de surface: en divisant par 2 la taille du segment, on doit le reporter 3 fois plus :  ln(3)/ln(2)=1.58.

Méthode n°4 : Attracteur d'homothéties
Ces trois première méthode ont un problème en commun : le nombre "d'opérations élémentaires" (vider un triangle, supprimer 2 rectangles, transformer un segment en 3 autres) à faire à chaque étape est exponentiel : 1 à la première étape, 3 à la deuxième, 9 à la troisième et ainsi de suite. On peut s'arranger pour n'avoir que 3 opérations à faire à chaque étape !
Pour cela, on part du triangle plein, et on effectue trois homothéties centrées aux 3 points du triangle et de rapport 1/2. Dit autrement, on réduit la taille du triangle de 50%, et on prend 3 copies de cette réduction, placées astucieusement aux 3 coins du triangle initial.
Pour passer de l'étape 2 à l'étape 3, on effectue la réduction/déplacement non pas sur un seul triangle mais sur l'ensemble des 3 triangles de l'étape 2. Et ainsi de suite.

evolution_sierpinski

(Forcément, l'illustration est la même que pour la première méthode...)

Méthode n°5 : Le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal, ou triangle de Tartaglia, inventé ni par Pascal, ni par Tartaglia, existe au moins depuis le XIe siècle, et ressemble à ça :

Triangle_pascal

(Hormis pour les 1) Chaque nombre s'obtient par la somme des deux nombres sous lequel il est écrit. On peut retrouver dans ce triangle un très grand nombre de choses : la suite des nombres triangulaires, les coefficients binomiaux, les puissances de 2 ou la suite de Fibonacci. Mais, lorsque l'on s'amuse à colorer tous les nombres impairs, on découvre également le triangle de Sierpiński !

Triangle_pascal_colore

Si le triangle de Pascal a une hauteur de 2n, on trouvera une fois coloré le triangle de Sierpiński d'ordre n (de la méthode n°2).

En fait, passer par la coloration du triangle de Pascal est une façon de se compliquer. Au lieu de faire la somme des deux cases du dessus, on effectue l'opération binaire XOU, c'est à dire 1 XOU 1 = 0 XOU 0 = 0 et 1 XOU 0 = 0 XOU 1 = 1.
Le résultat sera alors le même après la coloration de tous les 1, car l'opération XOU marche de la même façon que la parité sur la somme. On a en effet pair + pair = impair + impair = pair, et impair + pair = impair.

Méthode n°6 : les automates cellulaires
Un automate cellulaire est une grille composée de "cellules" qui interagissent les une avec les autres de manière bien définie. Le plus connu est le jeu de la vie.
Les plus simples de ces automates sont les automates cellulaires élémentaires : on dispose de 8 axiomes comme ci-dessous :

ElementaryCA30Rules_775
Les 8 axiomes de la règle n° 30 (00011110 en binaire)

À partir d'un tableau vide, on noircit l'une des cellule de la première ligne, et pour chaque cellule de la ligne suivante, on applique l'un des 8 axiome par rapport aux 3 cases au dessus.
En prenant la règle 60 (0,0,1,1,1,1,0,0), la règle 90 (0,1,0,1,1,0,1,0) ou certaines autres règles, on peut retrouver le triangle de Sierpiński :

ACE_regle60
À partir de la règle 60 (0,0,1,1,1,1,0,0)

ACE_regle90
À partir de la règle 90 (0,1,0,1,1,0,1,0)

Méthode n°7 : le jeu du chaos
Toutes ces méthodes sont parfaitement définies, il est temps de faire intervenir un peu de hasard !
Prenez 3 points du plan (A, B et C), et un quatrième autre point M n'importe où. À présent lancez une pièce à 3 face (ou un dé à 3 faces). Si vous obtenez pile, tracez le milieu de [AM], si vous obtenez face, tracez le milieu de [BM], et si vous obtenez fale, tracez le milieu de [CM]. Ce milieu sera le nouveau point M, sur lequel on recommence autant de fois que souhaité le lancé de pièce et le traçage des milieux.

Devinez ce que l'on trouve quand on fait un très grand nombre d'itérations ?... Un triangle de Sierpiński !

sierpin_chaos

Méthode n°8 : regarder la nature
Apparemment, il n'y a rien de moins artificiel que le triangle de Sierpiński, et pourtant ! Le motif que l'on peut observer sur certains coquillage peut s'apparenter au triangle de Sierpiński.

coquillagecoquillage2

L'origine de ce motif s'explique par le processus de coloration au fur et à mesure de la croissance du coquillage : les cellules chargées de la pigmentation sont situées le long de la bouche, et s'activent ou non par rapport à ce que font leur voisine. On retrouve alors un phénomène d'automate cellulaire, qui provoque ce motif !


Sources :
Pas mal de wikipédia
Un peu de chez Wolfram pour la partie sur les automates cellulaires