Petit jeu : A votre avis, quelle est la chose la plus difficile à réaliser mentalement entre :
- Trouver la racine carrée d'un nombre à 80 chiffres aléatoire (ce nombre étant un carré parfait)
- Trouver la racine 13eme d'un nombre à 100 chiffres aléatoire (ce nombre étant une puissance 13eme parfaite)
- Trouver la racine 1789eme d'un nombre à 7000 chiffres aléatoire  (ce nombre étant une puissance 1789eme parfaite)


(Alexis Lemaire calcule en 72 secondes la racine 13e d'un nombre à 200 chiffres, 15 novembre 2007)

Si je pose la question, c'est qu'il y a évidemment un piège, le paradoxe de la fausse difficulté ! Extraire une racine 1789eme d'un nombre à 7000 chiffres est un jeu d'enfant, alors qu'aucun "prodige" en math n'a pu extraire de tête une racine carrée d'un nombre à 80 chiffres.

Petite explication
Le nombre p à 7000 chiffres tiré aléatoirement sera une puissance 1789 parfaite : sa racine 1789eme sera donc un nombre entier. On peut se poser la question dans l'autre sens : comment faut il choisir un nombre pour que, élevé à la puissance 1789, donne un nombre de 7000 chiffres ?
Un petit calcul donne la solution, il faut que ce nombre k satisfasse l'inégalité suivante (r étant la puissance, l la longueur des nombre) :

inegalite_paradoxe

Dans notre cas, avec l=7000 et r=1789, on trouve que le nombre que l'on va devoir retrouver est compris entre 8171 et 8180, ce qui signifie qu'il n'y a en fait que 10 solutions possibles. Il suffit d'apprendre les 10 puissances 1789 parfaites à 7000 chiffres, et on trouve directement la réponse... Ca reste encore compliqué.

Heureusement, 1789 est un nombre de la forme 4k+1, et quand on élève un nombre à une puissance 4k+1, la dernière décimale du nombre reste la même (4k_1, démonstration pas bien compliquée avec des congruences et une récurrence).

Ainsi, la racine 1789 de ce nombre à 7000 chiffres (Cliquez pour agrandir):

nombre

- Est compris entre 8171 et 8180
- Termine par un 4
La solution est donc 8174 !

En faisant les mêmes calculs pour l=13 (nombre de la forme 4k+1) et n=100 nous informe que la racine treizième d'un nombre à 100 chiffres :
- est compris entre 41246264 et 49238826 (commence par 4, donc)
- ont le même chiffre des unités
Cela ramène le problème à trouver le nombre de la forme 4xxxxxxu, seulement 6 chiffres à trouver, ce qui est faisable en quelques minutes avec beaucoup d'astuce et d'entraînement.

Pour la racine treizième de nombre à 200 chiffres, il va falloir retrouver un nombre entre 2.03×1015 et 2.42×1015. Cela laisse tout de même 12 chiffres inconnus, la difficulté de faire ceci mentalement reste bien présente !

 

En fait, la difficulté de ces problème ne dépend pas comme on pourrait le penser de la longueur des données, mais de celle des informations à calculer soi-même. Rien dans le troisième problème, toutes dans le premier problème...

Cela explique également pourquoi ces évènements de calcul mental se font sur des racines treizièmes. Il faut déjà un nombre premier (calculer une racine neuvième, c'est calculer 2 fois une racine cubique), mais surtout c'est bien plus impressionnant de calculer la racine treizième d'un nombre à 100 chiffres que la racine carrée d'un nombre à 13 chiffres, alors que les difficultés restent comparables !
Cela n'enlève cependant pas la difficulté d'extraire une racine treizième d'un nombre de 200 chiffres de tête en 70 secondes... Mais ça reste quand même plus facile que d'en trouver la racine carrée... Toutes proportions gardées...


Sources :
Plus que largement inspiré de cet article