La quadrature du carré
La quadrature du cercle : à partir d'un cercle donné, construire à la règle et au compas un carré d'aire égale à celle du cercle. Posé dans l'antiquité, la réponse est donné en 1882 par Lindemann : impossible !
Et maintenant, on fait quoi ? La quadrature du carré ??!...
L'idée du problème date du Lady Isabel's Casket, puzzle de Dudeney, en 1903 : un puzzle où (presque) toutes les pièces sont des carrés, à assembler pour retrouver un carré :
Lady Isabel's Casket
La question de la quadrature du carré, c'est "Est-il possible de découper un carré en carrés plus petits ?".
La réponse est évidente : je peux découper un carré en 64 carrés plus petit, et ça s'appelle un échiquier !
Mais si on s'impose des carrés tous différents ?...
La quadrature du rectangle
Avant de s'attaquer à la quadrature du carré, on peut commencer par celle du du rectangle, avec la même question : un rectangle peut-il être découpé en carrés tous différents ?
Première bonne nouvelle, apportée par Dehn en 1902 : il n'y a aucune contre-indication à ce qu'un tel pavage puisse exister ! On sait même que si un tel pavage existe, on pourra avoir le rectangle et les carrés auront des côtés entiers.
Il faudra attendre 1925 et Zbigniew Moroń pour avoir des exemple de rectangle parfaitement quadrable : un rectangle 32×33 découpé en 9 carrés, et un rectangle 65×47 découpé en 10 carrés :
Les deux rectangles de Moroń
Du rectangle au carré, il n'y a qu'un pas, donné par Moroń. Si on connaît deux pavages différents d'un même rectangle (utilisant des pavés tous différents), on peut retrouver rapidement un carré. En effet, avec deux rectangles p×q (pavés différemment), un carré p² et un carré q², on retrouve un carré (p+q)² :
La quadrature du carré
A partir de cette observation de Moroń, Roland Percival Sprague a pu donner la première quadrature du carré, en 1939 : un carré de côté 4205, pavé par 55 carrés !
Mais en éternel insatisfait, on peut se dire que ce découpage n'est pas totalement convaincant, puisqu'on peut y retrouver des rectangles (par construction)...
Ce qui serait parfait, ça serait un carré pavé par des carrés tous différents plus petits, et sans aucun sous-rectangle... On va appeler ça une quadrature "simple" (le nom va de soit, puisqu'elles sont difficiles à trouver...)
C'est en 1940 que le gang des 4 (Brooks, Smith, Stone et Tutte) découvre la première quadrature simple ! Un carré découpé en 69 sous-carrés, et de côté... 7 919 535 !
Carré d'ordre 69
Un tel carré ne se trouve évidement pas par hasard, surtout à une époque où l'informatique n'est d'aucune aide pour ce genre de question. Pour trouver cette quadrature, ils sont passé par le terrain de... l'électronique, et de la loi de Kirchhoff (loi qui me rappelle très vaguement des cours que j'ai pu avoir en première année de licence..)
En associant aux rectangles quadrés un circuit électrique. Ils découvrirent alors un rectangle quadré par 13 pavés, et pavable par ces carrés de deux façons différentes (l'anecdote dit que c'est la mère de Brooks qui découvrit une deuxième quadrature du rectangle en cherchant à reconstituer le premier). A partir des circuits électriques correspondants et en réalisant des court-circuits, le club des 4 réussit à découvrir le premier carré quadré simplement !
Brooks découvrit un peu plus tard un carré pavable par 39 carrés au lieu de 69.
S'en suivit tout un tas de résultat à propos de quadratures de carrés et de rectangles :
- Christoffel Jacob Bouwkamp, dans les années 50, recherche tous les rectangles pavables par moins de 15 carrés... Il y en a 3663 !
- En 1962, Adrianus Johannes Wilhelmus Duijvestijn montre que tout carré simplement quadrable contient au moins 21 carrés.
- En 1978, il trouva un carré fait de 21 carrés : c'est le seul !
- En 1992, Bouwkamp et Duivestijn font la liste des 207 carrés quadrables avec moins de 25 pavés !
Le -seul- carré quadré par 21 carrés !
La quadrature du reste
Avec tout ça, on peut se dire que le problème de la quadrature du carré est complètement résolue... Mais on peut trouver à généraliser, avec la question de la quadrature du plan : peut-on paver entièrement le plan avec des carrés tous différents ? (et, si possible, que l'ensemble des entiers naturels soit utilisé...). La question est encore ouverte à l'heure qu'il est !
On peut aussi être tenté de voir ailleurs, avec toutes les inventions des topologistes : cylindre, ruban de Möbius, tore, bouteille de Klein, plan projectif... Sans doutes plus d'info sur le propos la semaine prochaine !
Sources :
La quadrature du carré - Ian Stewart - Pour la science n°240 - Octobre 1997
Squaring.net - d'où viennent la plupart des illustrations de l'article
On y retrouve notamment l'historique ainsi que toutes les quadratures recensées
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