La mathématiciens adorent faire des découpages ! La preuve, avec ma dernière vidéo !

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Mes excuses par avance pour le sous-mixage de ma voix...

Transcription :
Durant l’été 1900, l’extraordinaire David Hilbert propose à la communauté mathématique une liste de 23 problèmes dans le but de diriger la recherche sur le siècle à venir.  Entre des problèmes très profonds sur le calcul variationnel ou sur la consistance des axiomes de l’arithmétique, on retrouve un semble-t-il innocent problème sur la géométrie des puzzles, le troisième problème de Hilbert. Ça tombe bien, j’ai deux minutes pour en parler.

Que l’on fasse des mathématiques en CM1 ou en master 2, tout calcul d’aire ou de superficie s’appuie sur la même formule de référence : la formule de l’aire d’un rectangle : longueur fois largeur.

À partir de cette simple formule et d’un peu de découpage, on peut retrouver les formules classiques de tous les autres polygones : triangles, parallélogrammes, trapèzes etc.
Par exemple, l’aire d’un triangle est la longueur b de sa base multipliée par sa hauteur h et le tout divisé par 2. Dit autrement, l’aire de deux triangles, c’est l’aire d’un rectangle de longueur b et de hauteur h, ce qu’un habile jeu de puzzle permet de confirmer.
De même, l’aire d’un parallélogramme est égal à sa base b multipliée par sa hauteur h. Un découpage particulièrement malin permet de le démontrer aussi.
On peut faire le même raisonnement puzzle pour montrer que l’aire d’un trapèze est égal à la somme des longueurs a et b des côtés parallèles, multiplié par la hauteur h et divisé par 2. En effet, en découpant deux trapèzes identiques, on peut parfaitement placer les morceaux dans un rectangle de longueur a+b et de largeur h.

Bref, le découpage semble une méthode particulièrement efficace pour retrouver l’aire d’un polygone. Mais on peut se poser la question contraire : peut-on toujours, par ce jeu de tangram, transformer n’importe quel polygone en rectangle ou, encore mieux, en carré ?
Transformer un objet mathématique en un carré de même aire, cela porte un nom : c’est ce que l’on appelle une quadrature. La question qui se pose donc ici est de savoir si il est possible de réaliser la quadrature de n’importe quel polygone par simple découpage.

Par exemple, un triangle équilatéral de côté 2 cm a pour aire √3 cm². Il a donc la même aire qu’un carré de côté √√3. La question que l’on en droit de se poser, c’est de savoir si il y a moyen de découper le triangle de façon à obtenir le carré ?
Et, bien sûr, moyen il y a, et en seulement 4 pièces. On attribue ce découpage à Henry Dudeney, que j’avais évoqué dans la vidéo sur l’énigme des 3 maisons.

Fort de ce succès, posons nous une autre question. Peut-on découper un hexagone régulier de façon à former un carré ? Pour cela, on peut partir d’un hexagone régulier de côté 2, et chercher à former donc un carré de côté √(6√3).

Encore une fois, c’est possible ! Et on peut le faire en seulement 5 morceaux, bien que le découpage est loin d’être évident.

On peut renouveler l’expérience avec un heptagone régulier, à 7 côtés. En seulement 7 pièces, il est aussi possible de le découper en un carré.

Des quadratures comme celles-ci, Gavin Theobald s’en est fait sur son site sa spécialité. On peut y trouver par exemple le découpage d’un polygone régulier à 54 côtés en un carré, et en seulement 24 pièces.

Mais tout ça, ce ne sont que des exemples ! Est-il possible de le faire de manière générale, sur n’importe quel polygone ? Eh bien… oui ! La question a été posée par Farkas Bolyai à la fin du 18e siècle, et William Wallace l’a démontré au début du 19e. Ignorant la démonstration de Wallace, Paul Gerwien l’a redémontré dans les années 1830. Dans tout ça, Bolyai finit par trouver tout seul une réponse à sa question dans les mêmes années 1830, ignorant que deux autres mathématiciens l’avaient fait avant lui. C’est ainsi que le théorème sera finalement baptisé théorème de Wallace-Bolyai-Gerwein.

Pour transformer un polygone en carré, la méthode est la suivante :
- on commence par trianguler le polygone, c’est à dire, le découper en plusieurs triangle.
- ensuite, on découpe chaque triangle de manière à former des rectangles
- on découpe ensuite chacun de ces rectangles de façon à obtenir un carré.
- Et enfin, on découpe deux à deux ces petits carrés de façon à recomposer un carré plus grand.
Toutes ces opérations peuvent être faites quelles que soient la forme des triangles initiaux, si bien que, en suivant pas à pas cette méthode, on peut transformer n’importe quel polygone, aussi tordi soit-il, en un carré de même aire. CQFD.

Le principal désavantage de cette méthode, c’est qu’elle produit des découpages avec un nombre de pièces qui peut être très grand. Mais la méthode fonctionne tout le temps, et c’est quand même la seule chose qu’on lui demande.

Dans toute cette histoire, il y a une quadrature dont je n’ai pas encore parlé : celle du cercle. Est-il possible de découper un disque de façon à obtenir un carré de même aire ? Contrairement à une rumeur particulièrement tenace, cette quadrature du cercle est parfaitement possible. Le premier soucis, c’est que le découpage découvert par Tarski demande environ 10^50 morceaux. Le deuxième soucis, c’est que ces morceaux ont des formes qui n’existent que dans le monde mathématique, et ne peuvent être réellement découpées avec de simples ciseaux. Une sombre affaire d’axiome du choix que j’évoquerai probablement dans une autre vidéo.
De toutes façons, un disque n’est pas un polygone, donc cette quadrature bordeline ne remet pas du tout en cause le théorème de Wallace Bolyai Gerwein.
Attention cependant à ne pas confondre cette quadrature du cercle par découpage, qui est possible sous certaines hypothèses, avec la quadrature du cercle classique à la règle et au compas, qui, elle, effectivement, a été démontrée comme étant impossible.

Bref : tout polygone peut être ramené par découpage à un carré. Autrement dit, toutes les formules de calculs d’aire des polygones peuvent être démontrées par de simples découpages.

Bon, tout ça, c’était pour les polygones figures en dimension 2. Mais retrouve-t-on la même chose avec les polyèdres, c’est à dire, avec les formes géométriques en 3 dimensions ?

Revenons un peu sur les formules de volumes. Les polyèdres de base, ce sont le cube, dont le volume est égal à son côté, élevé au cube, et le pavé droit, dont le volume est le produit de ses 3 côtés. Il y a aussi les prismes, dont le volume est égal à l’aire de leur base, multipliée par leur hauteur.
Et puis, il y a les pyramides. Le volume d’une pyramide est donné par l’aire de sa base, multipliée par sa hauteur, le tout divisé par 3. Cette formule fonctionne sur tous les types de pyramides, qu’elles soient à base triangulaire, carré ou polygonale, qu’elles soient droites ou qu’elles soient obliques.

Ce que nous dit donc cette formule, c’est que le volume de trois pyramides est égal au volume d’un prisme droit de même base et de même hauteur

Prenons par exemple trois pyramides dont la base est un carré, et telles que deux de ses faces latérales soient des triangles rectangles isocèles. D’après la formule, chaque pyramide a pour volume le tiers du volume d’un cube de même base. Avec trois pyramides, on a donc le même volume que dans ce cube. Eh bien, cette propriété se retrouve par le découpage, puisque en assemblant ces trois pyramides de la bonne façon, on se retrouve avec notre cube.

Prenons maintenant une pyramide droite dont la base est une nouvelle fois un carré, et dont la hauteur est égale à son côté. D’après la formule, cette pyramide a exactement le même volume que la pyramide oblique de l’exemple précédent. Rien n’empêcherait donc a priori que l’on puisse découper la première pyramide de façon à obtenir la deuxième. Et pourtant, après de bien nombreux découpages infructueux, Gauss a fini par conjecturer dans la première moitié du 19e siècle que le problème était impossible, sans réussir à le démontrer.

La question donc que pose Hilbert en 1900 est la suivante : existe-t-il des polyèdres non congruents ? Quand Hilbert parle de polyèdres congruents, il en entend que l’un peut être découpé en petit polyèdres de façon à reformer l’autre.
Par exemple un prisme à base hexagonale et un cube sont congruents, dès lors qu’ils ont le même volume.
La réponse à la question de Hilbert ne se fera pas attendre très longtemps, puisque c’est l’un de ses étudiants, Max Dehn, qui donnera la réponse en 1901 : il existe bien des polyèdres non congruents, et les deux pyramides en sont un exemple.

Pour le prouver, Dehn a construit sur les polyèdres ce que l’on appelle un invariant.
En mathématiques, un invariant est une quantité qui ne change pas malgré des transformations. Ainsi, si deux objets n’ont pas le même invariant, c’est que l’un ne peut pas être transformé en l’autre.

Reprenons l’exemple des polygones, et la transformation qui consiste à découper puis recomposer un autre polygone. On peut imaginer plusieurs quantités qui peuvent prétendre au statut d’invariant, comme par exemple la somme des angles ou la somme des longueurs. Le problème, c’est que ces quantités sont modifiées lors d’un découpage: ce ne sont donc pas des invariants pour cette transformation. Au contraire, l’aire du polygone est une quantité qui ne change pas quel que soit le découpage que l’on fait : l’aire est bien un invariant.
On a même montré plus, avec le théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien, cet invariant est caractéristique de la congruence des polygones. Si deux polygones ont la même aire, alors ils sont congruents, et réciproquement.

En 3 dimensions, le problème est un peu plus compliqué. La mesure du volume est bien un invariant, puisqu’après un découpage-recollage, un polyèdre garde bien entendu le même volume. Cependant, cet invariant n’est pas caractéristique, il est nécéssaire, mais pas suffisant. Rien ne prouve que si deux polyèdres ont le même volume alors ils sont congruents. Il faut donc trouver quelque chose de plus spécifique aux découpages 3D, et c’est que Dehn a découvert : ce sont les angles !
Alors, il est hors de question que je rentre dans les détails de la construction de Dehn, puisqu’elle utilise des structures algébriques qui sont très loin d’êtres triviales. On peut quand même dire dans les très grandes lignes que l’invariant caractéristique de la congruence, c’est la famille d’angles qui apparaît dans le polyèdre.

On parle pas ici des angles des faces, mais des angles dièdres, c’est à dire, les angles formés entre les différentes faces du polyèdre.
Par exemple, tous les angles dièdres du cube sont des angles droits.
Dans un prisme régulier à base triangulaire, les angles dièdres qui apparaissent mesurent, en radian, pi/2 et pi/3. Dans la première pyramide, oblique et à base carré, les angles dièdres qui apparaissent mesurent en radian pi/2, 2 pi/3 et pi/4. Dans tous ces cas, les angles appartiennent à la même famille, celle des angles qui sont en radians une fraction rationelle de l’angle pi.
D’après le théorème de Dehn, tous ces polyèdres ont le même invariant caractéristique, et sont donc congruents.

Par contre, les angles dièdres de la pyramide droite valent arctan(2) etarctan(4/3), des angles qui ne peuvent pas être écrits en radian comme une fraction de pi. Il s’agit donc ici d’une toute autre famille d’angles. Cette deuxième pyramide n’a donc pas le même invariant de Dehn que le cube ou que la première pyramide, il est donc rigoureusement impossible de former par puzzle un cube à partir de morceaux découpés dans cette pyramide.

Bref. Quand Euclide a démontré pour la première fois les formules d’aires et de volume dans les années 300 avant JC, il a utilisé essentiellement des méthodes de découpage pour déterminer les aires des polygones. Pour ce qui est du calcul des volumes des cônes, pyramides et autres cylindres, Euclide n’est pas parvenu à procéder par découpage, et a du utiliser la méthode d’exhaustion, qui, sans rentrer dans les détails, est un ancêtre du calcul intégral que l’on utilise aujourd’hui pour faire les calculs de volume. Ce n’est donc que 2200 ans plus tard que l’on a enfin pu démontrer une bonne fois pour toute que si Euclide a du procéder ainsi, c’est simplement parce qu’il n’avait pas eu d’autre choix.


Sources :
Geometric dissection - Le site de Gavin Theobald
Hilbert's third problem and Dehn's invariant - UMN Math Club
Dissections géométriques - Jean-Paul Delahaye